1 Esercizio (tratto da Probema 8.29 de Mazzodi 2) Un asta di unghezza 1.2 m e massa M 0.5 Kg è incernierata ne suo estremo A ad un perno fisso e può osciare senza attrito in un piano verticae. A istante t 0 asta, che è in quiete in posizione orizzontae, viene asciata ibera di ruotare. Raggiunta a posizione verticae asta urta un piccoo oggetto, iniziamente fermo, di massa m 0.25 Kg, che parte con veocità orizzontae v 0, mentre asta si ferma. Cacoare: 1. a veocità angoare de asta un istante prima de urto; 2. a veocità v 0 ; 3. energia cinetica dissipata ne urto; 4. impuso durante urto. A B m Fabrizio Docini (http://staff.poito.it/fabrizio.docini/) Dipartimento di Scienza Appicata e Tecnoogia, Poitecnico di Torino - Esercitazioni di Fisica I
2 SOLUZIONE Si tratta di un probema di urto vincoato, dato che ne urto tra asta ed i corpo m asta è soggetta a vincoo de perno. Dividiamo schematicamente i moto in tre fasi: a) prima de urto; b) urto; c) dopo urto 1. Consideriamo a fase a) de moto. In tae fase i punto materiae m è fermo, mentre asta è in movimento. Le forze che agiscono su asta sono: forza peso (conservativa); reazione vincoare R de perno (appicata a estremo A de asta che rimane fermo, quindi R non compie avoro e, per quanto riguarda i biancio energetico, è come se non ci fosse E m W R R }{{} d s 0 0 Pertanto ne concudiamo che, in questa prima fase de moto, energia meccanica si conserva. E in m E fin m (1) Tae energia meccanica consiste de energia cinetica e de energia potenziae. L energia potenziae si vauta immaginando tutta a massa de asta concentrata ne suo baricentro (i centro de asta stessa) E p Mgz CM (2) Se consideriamo come atezza z 0 di riferimento quea de piano in cui giace i punto materiae m abbiamo E in p Mgz in CM Mg (3) E fin p Mgz fin CM Mg 2 Energia cinetica si può vautare procedendo in due modi equivaenti. PRIMO MODO I primo modo consiste ne pensare a asta che ruota come un corpo rigido che ruota attorno ad un estremo (perno). Pertanto energia cinetica è data daa soa energia cinetica di rotazione attorno a estremo (4) K 1 2 I pω 2 (5) dove I p è i momento d inerzia de asta rispetto ad un asse perpendicoare a fogio e passante per i perno, e vae I p 1 3 M2 (6) mentre ω è a veocità angoare de asta (che varia ne tempo). Fabrizio Docini (http://staff.poito.it/fabrizio.docini/) Dipartimento di Scienza Appicata e Tecnoogia, Poitecnico di Torino - Esercitazioni di Fisica I
3 SECONDO MODO I secondo modo consiste ne guardare a asta come un corpo rigido i cui moto è caratterizzato da moto trasatorio de centro di massa (in ta caso i centro di massa descrive un cerchio) e da moto rotatorio de asta attorno a suo centro di massa (mentre i CM scende asta deve ruotare attorno ad esso, proprio per far sì che estremo in ato rimanga fisso) K 1 2 Mv2 CM + 1 2 I CMω 2 (7) dove I CM è i momento d inerzia de asta rispetto ad un asse perpendicoare a fogio e passante per i suo centro di massa, e vae I CM 1 12 M2 (8) Si noti che siccome i CM compie esso stesso un moto rotatorio, a veocità v CM de CM è data da v CM ω 2 (9) Inserendo tae espressione in (10) otteniamo ( K 1 ( ) 2 M + I CM) 2 2 ω 2 (10) E facie vedere che i risutato (10) coincide con (5). Osserviamo infatti che, per i teorema di Huygens-Steiner riguardante i momenti d inerzia, abbiamo ( ) 2 I p M + I CM (11) 2 dato che /2 è a distanza tra i perno ed i centro di massa. Pertanto abbiamo K in 0 (12) K fin 1 2 I pω 2 (13) dove con ω abbiamo indicato a veocità angoare immediatamente prima de urto, ossia a veocità angoare finae per questa prima fase. Appicando dunque a conservazione de energia meccanica (1) abbiamo E in m E fin m (14) Mg Mg 2 + 1 2 I pω 2 (15) Mg 1 2 2 I pω 2 (16) Mg ω (17) I p Fabrizio Docini (http://staff.poito.it/fabrizio.docini/) Dipartimento di Scienza Appicata e Tecnoogia, Poitecnico di Torino - Esercitazioni di Fisica I
4 Utiizzando a (6) otteniamo ω Mg I p Mg 1 3 M2 (18) e dunque 3g ω (19) Sostituendo i vaori otteniamo 3 9.81 m s ω 2 1.2 m 4.95 s 1 (20) 2. Consideriamo ora urto. L energia non è conservata ne urto, dato che i probema non precisa espicitamente che si tratti di urto eastico. A contrario, a punto 3., i probema chiede di cacoare energia cinetica dissipata; Consideriamo a quantità di moto de sistema asta + punto. Tae sistema non è un sistema isoato. Infatti asta è vincoata a perno, ed è anche soggetta aa forza peso. La reazione vincoare R de perno e a forza peso M g sono forze esterne a sistema asta + punto. In conseguenza di ciò, a quantità di moto non è conservata. Consideriamo i momento angoare de sistema asta + punto rispetto a poopunto A. I momento angoare varia secondo a egge d L dt M e (21) dove M e è i momento dee forze esterne a sistema, che ne nostro caso sono a reazione vincoare R e a forza peso m g. La reazione vincoare R non esercita acun momento (perchè ha braccio nuo rispetto a tae poo) M perno }{{} r R 0 0 e dunque non infuisce su momento angoare. Tuttavia a forza peso, che è appicata a baricentro de asta, situato a /2 rispetto a poo A, esercita un momento su asta, e dunque cambia in generae i momento angoare d L dt M peso 2 m g Pertanto, in generae i momento angoare L de sistema asta + punto varia ne tempo e dunque non si conserva. Fabrizio Docini (http://staff.poito.it/fabrizio.docini/) Dipartimento di Scienza Appicata e Tecnoogia, Poitecnico di Torino - Esercitazioni di Fisica I
5 A /2 CM mg B Osserviamo tuttavia che urto avviene quando asta si trova in posizione verticae. Precisamente in questa particoare posizione i momento M peso dea forza peso si annua, dato che i braccio /2 e a forza peso m g sono paraei (entrambi diretti verso i basso). Pertanto, a istante de urto (e soo in tae istante) i momento dee forze esterne che agiscono su sistema è nuo, e dunque i momento angoare L si conserva istantaneamente ne urto, ossia dl 0 Lprima L dt dopo (22) tturto Utiizziamo dunque questa egge di conservazione per determinare a veocità de punto materiae dopo urto. Dato che i moto (sia de asta che de punto materiae) avviene ungo i piano verticae, i momento angoare L è diretto nea direzione perpendicoare a fogio. Denotiamo con ˆk i versore entrante ne fogio. Aora abbiamo da cui L prima L dopo (23) L asta prima + L punto prima L asta dopo + L punto dopo (24) I p ω ˆk + 0 0 + mv0ˆk (25) I p ω mv 0 (26) v 0 I pω m 1 M 2 3g 3 m M 3g 3m M m Fabrizio Docini (http://staff.poito.it/fabrizio.docini/) Dipartimento di Scienza Appicata e Tecnoogia, Poitecnico di Torino - Esercitazioni di Fisica I g 3 (27)
6 Sostituendo i vaori otteniamo v 0 0.5 Kg / 9.81 m 1.2 m s 2 0.25 Kg / 3 3.96 m s (28) 3. Cacoiamo ora energia cinetica dissipata ne urto, ossia K K dopo K prima (29) dove L energia cinetica prima de urto è soo dovuta a asta (dato che i punto materiae è fermo) K prima 1 2 I pω 2 (30) L energia cinetica dopo urto è soo dovuta a punto materiae (dato che asta rimane ferma in verticae) Pertanto energia dissipata vae K K dopo K prima K dopo 1 2 mv2 0 (31) 1 2 mv2 0 1 2 I pω 2 [uso ora (27) e (19)] ( 1 ) 2 2 m M g 1 m 3 2 1 3 M2 3g 1 6 M M m g 1 2 Mg 1 2 Mg ( M 3m 1 ) (32) Sostituendo i vaori otteniamo K 1 2 0.5 Kg 9.81 m ( ) 0.5 Kg s 2 1.2 m 3 0.25 Kg 1 0.98 Kg m 2 /s 2 0.98 J (33) Tae variazione negativa di energia impica che energia cinetica dopo urto è minore di quea prima de urto, ossia energia si è dissipata ne urto. Si noti anche che energia potenziae rimane inatertata attraverso urto. 4. L impuso sviuppato ne urto è pari aa variazione dea quantità di moto dove J p dopo p prima (34) Fabrizio Docini (http://staff.poito.it/fabrizio.docini/) Dipartimento di Scienza Appicata e Tecnoogia, Poitecnico di Torino - Esercitazioni di Fisica I
7 L impuso prima de urto è dovuto aa soa asta, ed è data daa quantità di moto de centro di massa de asta. E diretto verso sinistra, ed in moduo è pari a p prima Mv CM Mω 2 uso (19) M 3g 2 M 2 3g (35) L impuso dopo urto è dovuto a soo punto materiae. E diretto verso sinistra e in moduo vae Pertanto impuso vae p dopo mv 0 [uso (27)] m M g m 3 M 3 3g (36) J p dopo p prima M M 3g 3g 3 2 M 6 3g (37) Sostituendo i vaori, vae J 0.5 Kg 3 9.81 m 6 s 2 1.2 m 0.50 Kg m s (38) E dunque diretto nea direzione opposta a quea di p prima e p dopo, ossia è diretto verso destra. Tae impuso è quea parte di quantità di moto iniziae che viene assorbita da perno. Fabrizio Docini (http://staff.poito.it/fabrizio.docini/) Dipartimento di Scienza Appicata e Tecnoogia, Poitecnico di Torino - Esercitazioni di Fisica I