Prova scritta di Controlli Automatici - Compito A

Prova scritta di Controlli Automatici - Compito A 21 Marzo 27 Domande a Risposta Multipla Per ognuna delle seguenti domande a risposta multipla, indicare quali sono le affermazioni vere. 1. Si consideri l interconnessione riportata in figura. La funzione di trasferimento complessiva M(s) = Y (s) F(s) H(s) X(s) - Y(s) E data da F (s)h(s) 1 E data da F (s)h(s) 1 Non dipende da H(s) 1

Commento. L argomento della domanda riguarda la riduzione degli schemi a blocchi. (Approfondimento: Cap. 1.2 pag. 7 libro di testo). Descrivendo lo schema a blocchi con equazioni algebriche, otteniamo: X(s) = 1 Y (s) =X(s)F (s)h(s), per cui Y (s) = ( ) F (s)h(s) = 1 1 F (s)h(s) e quindi nessuna delle tre affermazioni è corretta. 2. Si consideri una funzione del tempo f(t) e si supponga che la sua trasformata di Laplace sia F (s) = s s 1 2 La trasformata di Laplace di g(t) =3f(t) è = 3s s1 2 Il valore di limt f(t) è Il valore di lim t f(t) è Commento. L argomento della domanda riguarda la trasformata di Laplace dei segnali e le sue proprietà, in particolare il teorema del valor finale, la linearità eilteorema del valore iniziale, rispettivamente. (Approfondimento: Cap. 2.1 pag. 37 e Cap. C2.2 pag. 74 del libro di testo). La prima affermazione è corretta in base alle proprietà di linearità della Trasformata di Laplace, la seconda affermazione è corretta, in quanto per il Teorema del valore finale è lim t f(t) = lim s sf (s) = lim s s s (s1) =, la terza affermazione è errata in base al teorema del valore iniziale lim t f(t) = lim s sf (s) = lim s s s (s1) = 3. Si consideri un sistema descritto da una funzione di trasferimento e si indichi con F (ω) la sua funzione di risposta armonica. F (ω) nonè legata a 2 F (ω) consente di studiare la risposta del sistema a un ingresso sinusoidale 2 F (ω) è una funzione di variabile reale a valori complessi Commento. L argomento della domanda riguarda la Funzione di Risposta Armonica ed il Teorema del Regime Sinusoidale dei Sistemi Lineari Stazionari, che afferma F (ω) = s=jω (Approfondimento: Cap. 3.1 pag. 87 del libro di testo). In base al teorema, la prima affermazione é errata, la seconda e la terza sono corrette. 2

4. Si consideri il sistema chiuso in retroazione rappresentato in figura - C(s) Y(s) Il criterio di Nyquist consente di studiare la stabilità del sistema chiuso in retroazione a partire dal diagramma di Nyquist di 2 Il criterio di Nyquist consente di studiare la stabilità del sistema chiuso in retroazione a partire dal diagramma di Nyquist di C(s) Se il diagramma di Nyquist di circonda il punto 1 j allora è instabile Commento. L argomento della domanda riguarda l applicazione del criterio di Nyquist alla analisi di stabilità dei sistemi dinamici lineari chiusi in retroazione. In particolare, il criterio ci consente di determinare la stabilità del sistema chiuso in retroazione a partire dalla analisi del diagramma polare del sistema in catena aperta. Nel caso in esempio la funzione in catena aperta (guadagno di anello) vale C(s) (Approfondimento: Cap. 4.5, pag. 143 del libro di testo). Quindi, la prima affermazione è errata in quanto non è sufficiente studiare, ma occorre studiare il prodotto C(s), la seconda affermazione è corretta in quanto il criterio studia il guadagno di anello C(s) perdeterminarela C(s) 1C(s) stabilità del sistema chiuso in retroazione H(s) =, la terza affermazione é falsa in quanto il criterio serve a verificare la stabilità del sistema chiuso in retroazione (e non del solo ), mediante l analisi dell intero sistema in catena aperta C(s) (e non del solo ) 5. La trasformata di Laplace 2 consente di trasformare un equazione differenziale lineare nel dominio dei tempi in un equazione algebrica nel dominio complesso Consente di passare da un equazione algebrica nel dominio complesso ad un equazione differenziale nel dominio dei tempi Non è necessario utilizzarla per definire la funzione di trasferimento 3

Commento. L argomento della domanda riguarda la Trasformata di Laplace dei segnali nel dominio del tempo. (Approfondimento: Cap. 2.1 pag. 4 del libro di testo) e la definizione della funzione di trasferimento (Approfondimento: Cap. 2.1 pag. 46). Ricordando la definizione della Trasformata di Laplace: F (s) = f(t)e st dt affermiamo che la trasformata di Laplace trasforma una funzione f(t) definita nel dominio dei tempi ad una funzione F (s) definita nel dominio complesso s, onde per cui la prima affermazione è corretta e la seconda è errata. La terza affermazione è errata in quanto la funzione di trasferimento è definita esattamente come rapporto tra la trasformata del segnale di uscita e la trasformata del segnale di ingresso (eq. 2.37 a Pag. 46 del libro di testo) 6. La risposta al gradino di un sistema elementare del primo ordine 2 Ha sempre una sovraelongazione pari a zero A regime, il valore della risposta e quello dell ingresso a gradino coincidono 2 Il tempo di assestamento della risposta dipende dalla posizione del polo del sistema Commento. L argomento della domanda riguarda lo studio dell andamento della risposta dei sistemi elementari del primo ordine ad un ingresso a gradino u(s) = u s : y(s) =K g 1 τs1 essendo u l ampiezza del gradino unitario e K g il guadagno statico del sistema. Antitrasformando: ] y(t) =K g [1 e t τ u Analizzando la risposta, è possibile determinare che y(t) non ha sovraelongazioni, mentre il tempo di assestamento è legato unicamente dal polo del sistema p dalla relazione T a =3τ = 3 p (Approfondimento: Cap. 2.4 pag. 64 del libro di testo) Quindi, la sovraelongazione é nulla, per cui la prima affermazione è corretta. Ipotizzando che il sistema sia asintoticamente stabile, il valore dell uscita a regime vale lim t y(t) =K g u, e quindi la seconda affermazione è errata. mentre il tempo di assestamento dipende unicamente dal polo p, per cui la terza affermazione è corretta u s 4

7. Si consideri il seguente sistema chiuso in retroazione - Y(s) 2 Se ha un solo polo nell origine, allora l errore a regime in risposta a un riferimento gradino di ampiezza 4 è nullo Se la funzione di trasferimento G cl (s) = Y (s) ha due poli nell origine, allora l errore a regime in risposta ad un riferimento a rampa è nullo 2 Il guadagno d anello del sistema chiuso in retroazione è Commento. L argomento della domanda riguarda lo studio dell andamento dell errore a regime per sistemi chiusi in retroazione. Lo studio permette di predirre l errore a regime del sistema chiuso in retroazione H(s) = 1 in relazione al tipo di sistema in catena aperta. (Approfondimento: Cap. 4.4 pag. 139 del libro di testo) Quindi, la prima affermazione è corretta. La seconda affermazione è errata in quanto si riferisce al sistema chiuso in retroazione. La terza affermazione è corretta per definizione di guadagno di anello (si veda anche la definizione fornita sul libro di testo alle pagg. 14 e 132) 8. Il controllo in retroazione E meno robusto del controllo in avanti 2 Richiede che l uscita del plant venga confrontata con l ingresso di riferimento in ogni istante 2 Consente di rendere stabile un plant instabile Commento. L argomento della domanda riguarda le caratteristiche del controllo in retroazione di un sistema. (Approfondimento: Cap. 1.3 pag. 9 del libro di testo) Siccome è possibile in generale con una retroazione stabilizzare un plant instabile (si veda lo studio del luogo delle radici, ad esempio), la terza affermazione è corretta. La prima affermazione è errata, la seconda è corretta. 5

9. Si consideri un sistema descritto da = s 2 (s 3) 2 (s 2 1) 2 Il sistema è semplicemente stabile Il sistema è instabile E un sistema elementare del secondo ordine Commento. L argomento della domanda riguarda la stabilitá di un sistema dinamico lineare. Per la stabilitá di un sistema dinamico lineare é necessario e sufficiente che la funzione di trasferimento non presenti alcun polo a parte reale positiva e che gli eventuali poli a parte reale nulla siano semplici. Per la stabilitá asintotica é necessario e sufficiente che tutti i poli abbiano parte reale negativa. (Approfondimento: Cap. 4.1 pag. 121 del libro di testo) La ha 3 poli: un polo p 1 = 3 di molteplicitá due e due poli complessi coniugati p 2 = j e p 3 = j, e quindi semplici. Il sistema ha due poli distinti a parte reale nulla, e un polo multiplo a parte reale negativa, quindi la prima affermazione é corretta e la seconda é errata. Il sistema non é di tipo elementare del secondo ordine (infatti édel4 o ordine), e quindi la terza affermazione é errata. 1. Si consideri un sistema dinamico descritto da una funzione di trasferimento. 2 Se il sistema è asintoticamente stabile, allora tutti i modi devono essere convergenti Se il sistema è asintoticamente stabile tutti gli zeri di devono avere parte reale negativa Se i modi del sistema sono limitati ma non convergenti allora il sistema è instabile Commento. L argomento della domanda riguarda ancora la stabilitá di un sistema dinamico lineare, ed in particolare la relazione tra il carattere di convergenza dei modi e la stabilitá del sistema. In particolare, se un sistema é asintoticamente stabile allora tutti i modi debbono essere convergenti. Gli zeri non hanno influenza sulla stabilitá del sistema, e quindi la seconda affermazione é errata. Se i modi sono limitati, il sistema é semplicemente stabile, e quindi la terza affermazione é errata. 6

11. Si consideri il sistema chiuso in retroazione rappresentato in figura, dove K>. - K Y(s) 2 Il luogo delle radici consente di studiare l andamento dei poli del sistema chiuso in retroazione al variare di K da a Il luogo delle radici consente di studiare la stabilità di Il luogo delle radici consente di studiare come variano gli zeri del sistema chiuso in retroazione al variare di K da a Commento. L argomento della domanda riguarda lo studio del luogo delle radici del sistema chiuso in retroazione al variare del guadagno di anello K. (Approfondimento: Cap. 5.1 pag. 173 del libro di testo) Quindi, la prima affermazione è corretta, la seconda e la terza sono errate. 12. Si consideri un sistema con un ingresso u(t) e un uscita y(t) e descritto dalla seguente equazione differenziale ÿ(t)3ẏ(t)y(t) = u(t)2u(t) La funzione di trasferimento del sistema è s2 3s1 s2 La funzione di trasferimento dipende solo dall uscita del sistema 2 Il sistema è asintoticamente stabile Commento. L argomento della domanda riguarda la Trasformata di Laplace dei segnali nel dominio del tempo (Approfondimento: Cap. 2.1 pag. 38 del libro di testo), e la trasfomata della derivata (Approfondimento: Cap. 2.1 pag. 45 del libro di testo) Applicando il teorema della trasformata della derivata, e raccogliendo i termini y(s) eu(s) si ottine la funzione di trasferimento: s 3 = s 2 3s 1 con poli p 1 = 2.61 e p 2 =.38. Quindi la prima affermazione é errata. La funzione di trasferimento é ottenuta dividendo la trasformata dell uscita con la trasformata dell ingresso, e quindi anche la seconda affermazione é errata. Il sistema ha due poli negativi, e quindi é asintoticamente stabile, quindi la terza affermazione é corretta. 7

Esercizi Esercizio 1 Si consideri il sistema riportato in figura dove K>e - K Y(s) = 3 s(s 3)(s 1) 1. Si tracci il diagramma di Nyquist della funzione di risposta armonica associata a 2. Si determinino i valori di K per cui il sistema chiuso in retroazione è asintoticamente stabile Soluzione 1. La funzione di risposta armonica vale: G(jω) = 3 jω(jω 3)(jω 1) Il diagramma di Nyquist (o polare) vine tracciato qualitativamente considerando le tendenze asintotiche: ω. Il sistema ha un polo nell origine, per cui essendo γ =1eφ = (argomento del guadagno di velocitá del sistema, pari a K v = lim s s =1/1), il modulo della funzione di risposta armonica é infinito e l argomento é in ritardo di π 2. (Approfondimento a pag. 11 del libro di testo): lim G(jω) = ; lim arg(g(jω)) = π ω ω 2 8

ω. Il sistema ha tre poli e nessuno zero, per cui per ω tendente all infinito il modulo della funzione di risposta armonica va all infinito. L argomento ha un ritardo di fase di π 2 per ogni ogni polo, per cui: lim G(jω) = ; ω lim ω arg(g(jω)) = 3π 2 Im(G(jω) Re(G(jω) ω > οο ω > Soluzione 2. Determiniamo la soluzione al quesito utilizzando il criterio di Routh. Sviluppando i termini della funzione otteniamo: = quindi il sistema H(s) chiuso in retroazione vale: H(s) = K 1K = 3 s 3 13s 2 3s 3 K s 3 13s 2 3s 3K Costruiamo la tabella di Routh: 3 1 3 2 13 3 K 13 3 3 K 1 13 3K affinché sulla seconda colonna della tabella vi siano solamente permanenze di segno, occorre che sia: cioé la soluzione <K<13. 13 3 3 K 13 > e 3 K> 9

Esercizio 2 Si consideri il sistema riportato in figura - C(s) Y(s) (s1)(s 5) 1. Posto C(s) = K>e = si tracci il luogo delle (s3)(s 2 2s1) radici del sistema complessivo. Esistono dei valori di K> per cui il sistema chiuso in retroazione è asintoticamente stabile? 5 2. Posto = s(s1)(s5), si disegni un controllore C(s) tale per cui la risposta a un riferimeto a gradino abbia S% 2% e T a 1 sec, dove S% et a indicano rispettivamente la massima sovraelongazione percentuale e il tempo di assestamento Soluzione 1. Il metodo del luogo delle radici consente di studiare il luogo delle radici del sistema chiuso in retroazione La cui equazione caratteristica è: K 1K = K (s 1)(s 5) K(s 1)(s 5) (s 3)(s 2 2s 1) s 3 (K 28)s 2 (5 4 K)s 3 5 K = a partire dalla analisi fatta sul sistema in anello aperto K =K (s 1)(s 5) (s 3)(s 2 2s 1) = s 2 4s 5 s 3 28s 2 5s 3 alcune semplici regole ci consentono di effettuare un tracciamento qualitativo del luogo delle radici, con particolare evidenza rispetto ai quesiti posti (Approfondimento, Cap. 5.2 libro di testo, pag. 176): 1

1. Il luogo delle radici ha tanti rami quanti sono i poli della funzione di trasferimento ad anello aperto, che si intersecano sulle radici multiple. 2. Ogni ramo parte dalle radici del sistema ad anello aperto (p 1 = 3,p 2 =1. 3.i, p 3 = 1. 3.i), e terminano sugli zeri (z 1 = 1,z 2 =4). 3. Il luogo é simmetrico rispetto all asse reale. 4. Essendo K 1 =1>, un punto dell asse reale fa parte del luogo delle radici se lascia alla sua destra un numero totale dispari di poli e zeri. 5. Il luogo delle radici ha un solo asintoto, pari alla differenza tra il numero di poli e il numero di zeri (grado relativo) del sistema in catena aperta (ovviamente tale asintoto é l asse reale). 3 Root Locus 2 1 Imaginary Axis 1 2 3 5 4 3 2 1 1 Real Axis Il punto di intersezione del luogo delle radici con l asse immaginario è determinabile ancora con il criterio di Routh. Costruendo la tabella in base alla equazione caratteristica del sistema chiuso in retroazione: 3 1-5 2 28 3 K 5 28 (3K) 1 28 3 K Da cui si ottiene che il sistema diverrebbe stabile per K soddisfacente contemporaneamente 5 28 3 K>, e 3 K>, il che non é possibile, e quindi il sistema non puó essere stabilizzato con un guadagno proporzionale. 11

Soluzione 2. Il sistema in catena aperta ha due poli dominanti (p 1 =,p 2 = 1) e un polo recessivo (p 3 = 5), per cui può essere trascurato in prima analisi l influenza del polo recessivo. Il sistema chiuso in retroazione ha una funzione di trasferimento pari a: La cui equazione caratteristica è: K 1K = K 5 s(s 1)(s 5) K 5 s 3 51s 2 5s K 5 = il cui luogo delle radici é mostrato nella seguente figura: 8 Root Locus 6 Root Locus 4 Imaginary Axis 6 2 2 4 4 6 1.5 1.5.5 1 1.5 Real Axis Imaginary Axis 2 2 4 6 6 5 4 3 2 1 1 2 3 Real Axis Il punto di emergenza, cioé il punto in cui si ha un polo doppio reale, si ottiene cercando le soluzioni della derivata prima dell equazione caratteristica: d(s 3 51s 2 5s K 5) ds =3s 2 12s 5= che fornisce due soluzioni, s 1 = 33.5 (che non appartiene al luogo delle radici) e s =.4975 1/2, che corrisponde al punto in cui il luogo delle radici ha due poli reali coincidenti, da cui partono i rami complessi coniugati. 12

Per guadagni K vicino a quello per cui abbiamo il punto di emergenza, possiamo trascurare l influenza del polo in p 3 = 5 ottenendo: K 1K = K 5 s(s 1)K 5 sistema su cui possiamo applicare le formule di progetto del controllore viste per i sistemi elementari del secondo ordine: πδ S% = 1e 1 δ 2 2% = β ; T a = 3 1 sec. = α δω n da cui: δ ln2 1 β π 2 ln 2 1 β ; δω n 3 α per cui otteniamo una regione ammissibile per i poli del sistema chiuso in retroazione pari a: δ.45 ; δω n 3 La regione ammissibile per i poli é mostrata nella seguente figura Regione consentita per i poli Root Locus.26.19.13.8.4 17.5 15.36 15 12.5 1.52 1 7.5 Imaginary Axis 5.8 8 5 2.5 5.8 2.5 5 1.52 7.5 1 12.5 15.36.26.19.13.8.4 15 5 4 3 2 1 1 2 Real Axis 13

La psecifica su S% é facilmente soddisfatta imponendo poli reali con il metodo del luogo delle radici, mentre la specifica sul tempo di assestamento non puó essere soddisfatta utilizzando un solo guadagno proporzionale, per cui occorre aggiungere un controllore con uno zero z = 1 che cancelli il polo p = 1 sostituendolo con un polo reale collocato in modo da assicurare un punto di emergenza minore (maggiore in modulo) di 3 per soddisfare la specifica richiesta. Un controllore che soddisfi questa specifica é: (s 1) C(s) =K (s 1) Per cui é possibile determinare il luogo delle radici e determinare il guadagno K per cui si hanno due poli dominanti reali coincidenti pari a 5, punto di emergenza nel caso in cui continuamo a trascurare il polo in p 3 = 5. Utilizzando la funzione rlocfind di Matlab, otteniamo K = 22, e quindi il controllore cercato é: (s 1) C(s) =22 (s 1) (Nota: La soluzione numerica é presentata per completezza, in sede di esame é sufficiente fornire la struttura del controllore senza specificare il valore numerico del guadagno.) Il luogo delle radici é mostrato nella seguente figura: 6 Root Locus 4 2 Imaginary Axis 2 4 6 6 5 4 3 2 1 1 2 Real Axis 14