Problema Calcolare la portata d acqua effluente dal serbatoio nel caso indicato in figura. Si supponga ce il livello nel serbatoio rimanga costante. Si ripeta l esercizio in due situazioni: -. si supponga ce la pressione manometrica misurata dall appareccio sia pari a 35 k p /m ; -. si supponga ce la pressione manometrica misurata dall appareccio sia pari a +5 Pa. Portata nel caso : 4.58l/s Portata nel caso : 6.7l/s.Portata nel caso di pressione pari a -35 k p /m Il teorema di Bernoulli è applicato, come di consueto, fra il pelo libero nel serbatoio e la sezione contratta. La pressione relativa ce regna sul pelo libero non è nulla, bensì pari a p=-35 kpm - (ovvero: -343 Pa) rispetto a quella atmosferica. Il teorema di Bernoulli va quindi scritto tenendo conto del valore di tale pressione. Il coefficiente di contrazione si assume pari a.6. p g v g v g p g 343 9.8 9.8 3.83 ms. La portata in uscita viene calcolata moltiplicando la velocità per l area della luce e per il coefficiente di contrazione, nel modo seguente:
A v.6 D 4.5 4 v.6 3.83.6 3.458 m s 4.58 ls.portata nel caso di pressione pari a 5 Pa In questo caso, la velocità di efflusso è pari a: p v g g v g p g 5 9.8 9.8 5.6ms. La portata in uscita viene calcolata moltiplicando la velocità per l area della luce e per il coefficiente di contrazione, nel modo seguente: A v.6 D 4 v.6.5 4 5.6 3.67m s.6 6.7ls
Problema Un tubo di Pitot viene immerso in acqua ce scorre con velocità v. Il liquido manometrico contenuto nel tubo è mercurio. Determinare la differenza di altezza del liquido manometrico quando la velocità del fluido è pari a. m s -. differenza di altezza :.6m Si applici l eq. di Bernoulli fra i punti a e b, dove b si suppone sia il punto di stagnazione dell acqua e ρ w la sua densità, trascurando la differenza di energia di posizione fra a e b. p v p a w b Del resto, se è la differenza di latezza del liquido nei due rami del manometro e ρ Hg la densità del mercurio, possiamo scrivere p a Hg g p b w g Confrontando le due equazioni, si ottiene: p a Hg g Hg g w v p a w w g v w g v g Hg w v Hg g Hg w 36kg ovvero v g Hg w. 9.8 3.6.6m.6cm 3
Problema 3 Calcolare la portata d acqua effluente dal serbatoio nel caso indicato in Figura, quando =.5 m ed =.5 m. Si supponga ce il livello nel serbatoio rimanga costante. Portata scaricata: 5.3 ls - Il teorema di Bernoulli è applicato, come al solito, fra il pelo libero nel serbatoio e la bocca d uscita (le linee di corrente sono qui parallele). Si a perciò (il coefficiente di contrazione viene preso unitario): V g V g V 7.67 5.3 9.8 A 9.6 (.5 3 4.5) 5.3litri / s 7.67m / s 4
Problema 4 Calcolare la portata d acqua effluente dal serbatoio nel caso indicato in Figura, quando =3.5 m ed =.5 m. Si supponga ce il livello nel serbatoio rimanga costante. Portata scaricata: 7.4 ls - Il teorema di Bernoulli è applicato, come al solito, fra il pelo libero nel serbatoio e la bocca d uscita (le linee di corrente sono qui parallele). Si a perciò (il coefficiente di contrazione viene preso unitario): V g V g 9.8 (3.5.5) 8.86m / s V A 8.86 9.6 4 7.4 3 7.4litri / s 5
Problema 5 Si consideri lo stramazzo triangolare riportato in Figura, caratterizzato dalle seguenti caratteristice geometrice: =9 b=. m p=. m =.4m. Si determini la portata sfiorante dallo stramazzo, nel caso di velocità a monte pari a zero. Per il calcolo del coefficiente di contrazione si utilizzino le curve riportate in Figura Figura : Stramazzo triangolare Figura : Diagramma dei valori di coefficiente di contrazione per stramazzo triangolare (valido per geometrie con angolo al vertice α=9 ). - portata : 33 l/s 6
Per la determinazione della portata è necessario calcolare il valore di, nel modo seguente: l l tan.4.8m La Figura viene utilizzata nel modo seguente per ricavare il valore del coefficiente di contrazione: - si individua la curva di interesse sulla base del valore p/b=.5; - percorrendo tale curva si individua il valore di Cc corrispondente ad un valore di /p=.4 (vale.569). Su tale base, il valore di portata è fornito dalla seguente equazione: 4 5 C c 4.8.569 5.4.53.569 4.4. l g 5 / 9.8.4 3.33m s 5 / 33ls Problema 9bis Si ripete l esercizio ipotizzando un valore di pari a.6m. In questo caso il Cc vale.575. Il valore di portata è fornito dalla seguente equazione: 4 5 C c l g 5 / 4..575 9.8.6 5.6 3.53.575 4.4.8.375m s 5 / 375ls 7
Problema 6 Si consideri lo stramazzo rettangolare riportato in Figura 4., caratterizzato dalle seguenti caratteristice geometrice: b=. m l=. m =.3m. Si determini la portata sfiorante dallo stramazzo, nel caso di velocità a monte pari a zero. portata: 7 ls -..Portata Nel caso di velocità in arrivo (a monte dello sfioratore) pari a zero, è possibile utilizzare le seguenti espressioni:.6 3 dove (se l ' l l. ' l 3.7m s.6 3 3 g ). 3 /.3 9.8.3 3 / 8
Problema 7 Si abbia un canale di sezione rettangolare, di largezza del fondo pari a 8 m, con le pareti ed il fondo in caratterizzate da scabrezza pari a K=5 m /3 /s, ed avente una pendenza del fondo pari a i=.9. Si determini la profondità dell acqua nel canale quando in esso fluisce una portata di 5 m 3 /s, in condizioni di moto uniforme. Determinare inoltre la spinta sulle pareti laterali. Profondità acqua :.5 m Spinta su pareti laterali : 59. 3N L equazione di Gaukler-Strickler viene risolta nel modo seguente per il caso in esame. k k R / 3 By B y A / 3 i By i.5 L equazione ce così si ottiene è non lineare e viene risolta per tentativi successivi nel seguente modo. Si ipotizza inizialmente ce il raggio idraulico possa essere considerato pari a quello di una sezione rettangolare infinitamente larga, e quindi pari ad y, ottenendo: k k k ( y) y R 5 / 3 / 3 / 3 B ByA i A.5 i i.5 3 / 5 5 3 / 5 y.73m.5.5 k B i 5 8.9 uesta soluzione di primo tentativo viene utilizzata come punto di partenza per la soluzione per tentativi, come descritto nella tabella seguente. 9
y (m) R=(By)/(B+y) (m ) V=k*R /3 i.5 (ms - ) y=/(b*v) (m) variazione %.73..85.4.4.4.95.978.9.978.3.9.74-4.87.74.37.9.3.8.3.35.9.5 -.93 La soluzione approssimata corretta è pertanto: y=.5 m. A tale valore, corrisponde una spinta sulla parete (per metro di lungezza del canale) ce può essere calcolata nel seguente modo: - pressione (p) agente sul bordo inferiore della parete = gy 9.8*.5 9 Pa - spinta complessiva, per metro di lungezza del canale = p y.5 59. 3N
Problema 8 Si abbia un canale di sezione rettangolare, di largezza del fondo pari a 5 m, con le pareti ed il fondo in caratterizzate da scabrezza pari a K=4 m /3 /s, ed avente una pendenza del fondo pari a i=.9. Si determini la profondità dell acqua nel canale quando in esso fluisce una portata di 3 m 3 /s, in condizioni di moto uniforme. Profondità acqua :.46 m Si riporta di seguito lo scema di calcolo in forma tabellare. y primo tentativo (ottenuta ipotizzando la sezione infinitamente larga)=.39 m. Lo scema di calcolo può essere scematizzato tramite la seguente tabella: y (m) R=(By)/(B+y) (m ) V=k*R /3 i.5 (ms - ) y=/(b*v) (m).39.5.3.5.5.6.4.43.43..35.48.48.3.38.45.45..36.46 La soluzione approssimata corretta è pertanto: y=.46 m.
Problema 9 Si abbia un canale di sezione rettangolare, di largezza del fondo pari a 5 m, con le pareti ed il fondo in caratterizzate da scabrezza pari a K=4 m /3 /s, ed avente una pendenza del fondo pari a i=.9. Si determini la profondità dell acqua nel canale quando in esso fluisce una portata di 4 m 3 /s, in condizioni di moto uniforme. Profondità acqua :.76 m Si riporta di seguito lo scema di calcolo in forma tabellare. y primo tentativo (ottenuta ipotizzando la sezione infinitamente larga)=.6 m. Lo scema di calcolo può essere scematizzato tramite la seguente tabella: y (m) R=(By)/(B+y) (m ) V=k*R /3 i.5 (ms - ) y=/(b*v) (m).6.33.45.84.84.48.56.7.7.39.5.78.78.44.53.74.74.4.5.76 La soluzione approssimata corretta è pertanto: y=.76 m.
Problema Si abbia un canale di sezione rettangolare, di largezza del fondo pari a 8 m, con le pareti ed il fondo in caratterizzate da scabrezza pari a K= m /3 /s, ed avente una pendenza del fondo pari a i=.. Si determini la profondità dell acqua nel canale quando in esso fluisce una portata di m 3 /s, in condizioni di moto uniforme. Profondità acqua :.65 m Si riporta di seguito lo scema di calcolo in forma tabellare. y primo tentativo (ottenuta ipotizzando la sezione infinitamente larga)=.6 m. Lo scema di calcolo può essere scematizzato tramite la seguente tabella: y (m) R=(By)/(B+y) (m ) V=k*R /3 i.5 (ms - ) y=/(b*v) (m).6.53.85.67.67.58.96.64.64.55.9.65 La soluzione approssimata corretta è pertanto: y=.65 m. 3
Problema Si abbia un canale di sezione rettangolare, di largezza del fondo pari a 8 m, con le pareti ed il fondo in caratterizzate da scabrezza pari a K= m /3 /s, ed avente una pendenza del fondo pari a i=.. Si determini la profondità dell acqua nel canale quando in esso fluisce una portata di m 3 /s, in condizioni di moto uniforme. Profondità acqua :.38 m Si riporta di seguito lo scema di calcolo in forma tabellare. y primo tentativo (ottenuta ipotizzando la sezione infinitamente larga)=.m. Lo scema di calcolo può essere scematizzato tramite la seguente tabella: y (m) R=(By)/(B+y) (m ) V=k*R /3 i.5 (ms - ) y=/(b*v) (m)..94.86.46.46.7.93.34.34..89.4.4.3.9.37.37..9.38 La soluzione approssimata corretta è pertanto: y=.38 m. 4
Problema Si abbia un canale di sezione trapezia, di largezza del fondo pari a 5 m, con le pareti ed il fondo in terra (K=5 m /3 /s), ed avente una pendenza del fondo pari a i=.4. Si determini la profondità dell acqua nel canale quando in esso fluisce una portata di 8 m 3 /s, in condizioni di moto uniforme. Determinare inoltre la spinta sulle pareti laterali Angolo inclinazione pareti= = =5. Profondità acqua :.64 m Spinta su pareti laterali : 3774. N Nel caso in esame, il valore della scarpa è pari a n =.4. A A R R A k R / 3 (5 ny) y (5.4y) y (5 ny) y 5 ( i.5 n (5.4y) y 5 4.7y ) y L equazione ce così si ottiene è non lineare e viene risolta per tentativi successivi nel seguente modo. Si ipotizza inizialmente ce il raggio idraulico possa essere considerato pari a quello di una sezione rettangolare infinitamente larga, e quindi pari ad y, e ce l area possa essere calcolata come B*y, ottenendo: k y 5 / 3 B i.5 y k B i.5 3 / 5 5 8 5.4.5 3 / 5.69m Il valore così ottenuto viene utilizzato come primo tentativo. Si calcola l area A (48.39 m ), il perimetro bagnato P (3.77m) ed il raggio idraulico R (.48m) corrispondente, determinando così la velocità nel modo seguente: 5
v k R / 3 i.5 v 5.48 / 3.4.5.39m / s Si calcola quindi l area liquida riciesta, dividendo la portata per la velocità, ottenendo A=46.7 m. Infine, si calcola il valore di y necessario per conseguire un area liquida pari a 46.7m, risolvendo l equazione della geometria (equazione di secondo grado, di cui si seleziona la sola radice positiva): A.4y y (5.6m.4y) y 5y 46.7 46.7 Il valore di y così ottenuto viene utilizzato come secondo tentativo, reiterando lo scema di calcolo fino a quando la differenza fra due valori successivi di y è inferiore al % (ovvero fino a quando la differenza in valore assoluto fra l ultimo ed il penultimo tentativo è inferiore al % del valore del penultimo tentivo). Lo scema di calcolo può essere scematizzato tramite la seguente tabella: y A= (5+.4y)y P= 5+4.7y R V= k R (/3) i.5 A= /v y=soluzione equazione secondo grado (m) (m ) (m) (m) m/s (m ) (m).69 48.39 3.99.47.39 46.47.63.63 46.47 3.7.4.38 47.47.66.66 47.47 3.85.44.38 46.94.64.64.66.%.66 La soluzione approssimata è pertanto: y=.64 m. A tale valore, corrisponde una spinta sulla parete laterale ce può essere calcolata nel modo seguente: Lungezza (l) della parete laterale = y/sen =.64/(sen 5 )=.65/.4 =3.93 m Pressione (p) agente sul bordo inferiore della parete = gy = *9.8*.64 = 67 Pa Spinta complessiva, per metro di lungezza del canale = p l. 5 = 67*3.93*.5 =3774. N 6
Problema 3 Si abbia un canale in sezione trapezia, di largezza del fondo pari a 6 m, con le pareti ed il fondo in calcestruzzo (K=7 m /3 /s), ed avente una pendenza del fondo pari a i=.5. Si determini la profondità dell acqua nel canale quando in esso fluisce una portata di.9 m 3 /s, in condizioni di moto uniforme. Angolo inclinazione pareti= = =45. Profondità acqua :.5 m Si riporta di seguito lo scema di calcolo in forma tabellare. y primo tentativo (ottenuta ipotizzando la sezione infinitamente larga)=.49 m. Lo scema di calcolo può essere scematizzato tramite la seguente tabella: y A P R V A= /v y=soluzione equazione secondo grado (m) (m ) (m) (m) m/s (m ) (m).49 3. 7.4.43.89 3.3.5.49.5.9%.49 La soluzione approssimata è pertanto: y=.5 m. 7
Problema 4 Si abbia un canale in sezione trapezia, di largezza del fondo pari a 6 m, con le pareti ed il fondo in calcestruzzo (K=7 m /3 /s), ed avente una pendenza del fondo pari a i=.5. Si determini la profondità dell acqua nel canale quando in esso fluisce una portata di 9.3 m 3 /s, in condizioni di moto uniforme. Angolo inclinazione pareti= = =45. Profondità acqua :.994 m Si riporta di seguito lo scema di calcolo in forma tabellare. y primo tentativo (ottenuta ipotizzando la sezione infinitamente larga)=.99 m. Lo scema di calcolo può essere scematizzato tramite la seguente tabella: y A P R V A= /v y=soluzione equazione secondo grado (m) (m ) (m) (m) m/s (m ) (m).99 6.95 8.8.79.33 6.96.994.99.994.4%.99 La soluzione approssimata è pertanto: y=.994 m. 8
Problema 5 Si abbia un canale in sezione trapezia, di largezza del fondo pari a 6 m, con le pareti ed il fondo in calcestruzzo (K=7 m /3 /s), ed avente una pendenza del fondo pari a i=.5. Si determini la profondità dell acqua nel canale quando in esso fluisce una portata di 3.6 m 3 /s, in condizioni di moto uniforme. Angolo inclinazione pareti= = =45. Profondità acqua :.99 m Si riporta di seguito lo scema di calcolo in forma tabellare. y primo tentativo (ottenuta ipotizzando la sezione infinitamente larga)=.3 m. Lo scema di calcolo può essere scematizzato tramite la seguente tabella: y A P R V A= /v y=soluzione equazione secondo grado (m) (m ) (m) (m) m/s (m ) (m).3 6.3.74.39.95 5.7.97.97 5.7.57.36.9 5.95.99.97.99 %.97 La soluzione approssimata è pertanto: y=.99 m. 9
Problema 6 Si abbia un canale in sezione trapezia, di largezza del fondo pari a. m, con le pareti ed il fondo in terra (K=4 m /3 /s), ed avente una pendenza del fondo pari a i=.. Si determini la profondità dell acqua nel canale quando in esso fluisce una portata di 5. m 3 /s, in condizioni di moto uniforme. n=3 per entrambe le pareti. Profondità acqua :.5 m Si riporta di seguito lo scema di calcolo in forma tabellare. y primo tentativo (ottenuta ipotizzando la sezione infinitamente larga)=.6 m. Lo scema di calcolo può essere scematizzato tramite la seguente tabella: y A P R V A= /v y=soluzione equazione secondo grado (m) (m ) (m) (m) m/s (m ) (m).6 39.95 3.8.3.68 36.65.5.5 36.65 9.47.4.65 38..55.55 38. 9.8.8.67 37.45.5.5.55.9%.55 La soluzione approssimata è pertanto: y=.5 m.