MECCANICA. APPUNTI di. 1. Introduzione, leggi della dinamica

APPUNTI di MECCANICA pe gli allievi del coso di TEORIA E PROGETTO DI COSTRUZIONI E STRUTTURE 1. Intoduzione, leggi della dinamica In Fisica si assumono come fondamentali le gandezze seguenti: lunghezza, massa, tempo e caica elettica, misuate ispettivamente in meti (m), chilogammi (massa, kg), secondi (s) e coulomb (C) 1. Ai nosti fini possiamo euisticamente assumee la massa come misua della quantità di mateia contenuta in un copo ed il tempo quello misuato con l oologio. Fondiamo questi appunti sulle te leggi o pincipii della dinamica, in cui entano le gandezze velocità ed acceleazione, che non abbiamo ancoa definito: comunque in questa fase pe queste gandezze basta il concetto intuitivo deivante dall espeienza comune. 1 PRINCIPIO DELLA DINAMICA (LEGGE DI INERZIA): una paticella libea (punto mateiale) si muove sempe con velocità costante. Molto spesso il pimo pincipio è espesso come: Un copo non soggetto a foze pemane nel suo stato di quiete o di moto ettilineo unifome. Questa espessione è sicuamente accattivante ed esplicativa, ma è citicabile pe due motivi: (1) ichiede il concetto di foza, che, invece, deiva dal secondo pincipio; () si usa geneicamente il temine copo, quando le te leggi fondamentali valgono pe il punto mateiale, che è in ealtà un astazione, avendo dimensioni nulle ma essendo dotato di massa. PRINCIPIO DELLA DINAMICA (LEGGE DI NEWTON): se definiamo la quantità di moto come p = Mv essendo v la velocità ed M la massa del punto mateiale, la legge è espessa dall equazione dp d v dv F ( = = ( M ) = M = M a (1.1), ove t indica il tempo, F ( la foza ed a l acceleazione. La legge espessa dall Eq. (1.1) può essee sintetizzata come: l acceleazione di un punto mateiale podotta da foze applicate è popozionale alla isultante delle foze stesse ed invesamente popozionale alla massa del copo. Pe i nosti fini l Eq. (1.1) definisce la foza 3. Più in geneale la foza è quell ente, pe mezzo del quale due copi inteagiscono ta loo. Nel punto definiemo le 4 classi di foze della Fisica: tutte le foze esistenti in natua sono iconducibili ad una queste classi. 1 Si icoda che nel Sistema Tecnico di unità di misue si assume come gandezza fondamentale la foza, che è misuata in chilogammi (kg, peso), unità che ha lo stesso nome e lo stesso simbolo dell unità di massa nel sistema SI. Tuttavia, le unità sono divese concettualmente ed opeativamente. Dall Eq. (1.1) con a = g, essendo g l acceleazione di gavità uguale a cica 9.81 m/s, si ha che la massa di un kg peso è @ 1/9.81: nel sistema SI tale massa vale 1 kg massa. Nella patica di ogni unità di misua si utilizzano multipli e sottomultipli come km = 10 3 m, mm = 10-3 m. Tuttavia, le te leggi fondamentali valgono anche pe un copo geneico, se il moto a cui si fa ifeimento è quello del cento di massa del copo. Qualoa la distibuzione della massa nel copo sia unifome, il cento di massa coincide con il baicento della geometia elementae. 3 Conviene ichiamae le unità di misua delle foze: nel sistema tecnico la foza ha unità di misua fondamentale, detta kilogammo (kg); spesso a kg si aggiunge il temine "peso" pe distinguee dal kilogammo del sistema SI. L'unità di massa nel sistema tecnico consegue dalla (1.1): non ha un nome specifico ed ha

3 PRINCIPIO DELLA DINAMICA (LEGGE DI AZIONE E REAZIONE): punti mateiali isolati inteagiscono con foze che sono uguali ed opposte ed hanno la stessa linea di azione. Questo pincipio è spesso espesso nella foma statica che ad ogni a- zione coisponde una eazione uguale e contaia. F + F = F + F = 0 (1.), 1 0 1 1 dove F 1 ed F sono le foze che i punti mateiali si scambiano.. Le foze In Fisica si distinguono 4 classi di foze, che sono: 1) FORZA GRAVITAZIONALE; ) FORZA ELETTROMAGNETICA; 3) INTERAZIONE FORTE o NUCLEARE, gazie a cui i potoni ed i neutoni del nucleo atomico imangono insieme; 4) INTERAZIONE ELEMENTARE o DEBOLE, che agisce a livello di paticelle elementai e egola il decadi-mento adioattivo dei neutoni. Si noti che gli ultimi tipi di foze fanno sentie il loo effetto a distanze molto piccole, ispettivamente di 10-16 e 10-18 meti. Nell accezione comune l azione di una foza è quasi sempe associata all idea di contatto ta copi: in ealtà anche macoscopicamente non si ha sempe contatto (si pensi all azione di una calamita che attia un elemento di feo), mente, analizzando il poblema ad una scala più piccola, molecolae od atomica, si può vedee che non c è compenetazione ta le molecole e/o gli atomi di due copi. La foza è quell ente mediante cui due copi inteagiscono: la Fisica studia come avviene questa inteazione, poblema che non è tattato in questi appunti. Nella Meccanica delle Stuttue la maggio pate delle foze agenti sulle stuttue ha oigine gavitazionale. Petanto, vogliamo dae qualche nozione sulla FORZA GRAVITAZIONALE: questa è la foza che due copi si scambiano pe il fatto che sono dotati di massa. Quindi, due copi ispettivamente di massa m 1 posto in P e di massa m posto in Q, essendo la distanza - 1 dimensioni kg m s (dato il valoe dell'acceleazione di gavità - 9.81 m/s -, nel sistema tecnico la massa di un copo è cica 1/10 del suo peso). Nel sistema SI l'unità di base è quella di massa ed è detta ancoa kilogammo (kg), specificandosi spesso kilogammo massa. L'unità di misua delle foze deiva dalla (1.1): ha - dimensioni kg(massa) m s, ed è detta newton (N). Notae: 1 N» 1 / 10 kg peso. In Meccanica si definisce pessione il appoto ta foza ed aea: nel sistema tecnico a igoe l'unità di misua della pessione è il kg(peso)/m, ma nelle applicazioni si pefeisce usae il kg(peso)/c m. Nel sistema SI l'unità di misua della pessione è il pascal che equivale ad 1 newton/m. Siccome il pascal è una quantità molto piccola, si utilizzano i suoi multipli: - ettopascal = hpa = 100 N/m ; - kilopascal = kpa = 1000 N/m ; - megapascal = MPa = 1000000 N/m ; Siccome 1 m = 6 10 mm, si ha l'equivalenza 1 MPa = 1 N/mm. Pe questi motivi nelle applicazioni in genee misueemo le foze in newton e le lunghezze in mm.

Fig. 1 - Foza gavitazionale e foza peso ta i due punti, si scambiano la foza (Fig. 1): m1 m F 1 = F 1 = h (.1), dove h è la costante di gavitazione univesale pai a 6.67 10-11 N m kg -. La foza gavitazionale è, quindi, dietta secondo la congiungente i centi di massa dei due copi: se questi non sono puntifomi, vanno pensati come puntifomi con la massa concentata nel cento di massa. Dalla (.1) si icava il PESO di un copo di massa M posto sulla supeficie teeste, quindi a distanza dal cento della tea pai al aggio teeste R T : M G = h R dove M T è la massa della tea. Dall Eq. (.) osseviamo: T T M (.), la foza peso è un vettoe dietto dal cento di massa del copo di massa M al cento della tea. con ottima appossimazione, poiché il aggio della tea è gande (R T = 6.37 10 3 km), localmente la supeficie della tea è appossimabile con il piano tangente e la foza peso con un vettoe veticale otogonale a questo. La foza peso diminuisce con la quota z, in quanto nella (1.4) al posto di R T si ha R T + z. Definendo l acceleazione di gavità come l Eq. (.) si scive come g = M h R T T (.3), G g v = M (.4). La foza peso appatiene ad una classe paticolae di foze, quelle consevative (o posizionali) su cui toneemo nel seguito. FORZA ELASTICA - Si abbia una molla come in Fig. ed al suo estemo libeo si applichi una foza F s : speimentalmente si isconta che la molla si allunga di s ; quindi, l estemo libeo si sposta della quantità s. Si ha compotamento elastico se: il legame ta F s ed s è lineae; 3

Fig. - Molla elastica Rimuovendo la foza, la molla tona alla sua configuazione oiginaia. Quindi il legame ta F ed s si scive come v v F = k s (.5), dove la costante di popozionalità ha dimensioni foza ( lunghezza ). -1 3. Elementi di cinematica e di dinamica del punto mateiale La Cinematica è la pate della Meccanica che studia il movimento indipendentemente dalle cause che lo poducono. Pe semplicità, iniziamo lo studio ifeendoci al caso semplice di un punto mateiale, che si muove su una etta oientata X (Fig. 3): la posizione del punto al tempo t è data dalla funzione (, detta LEGGE ORARIA. Lo spostamento che il punto ha ta gli i- Fig. 3 - Spostamento di un punto mateiale su una etta oientata stanti t e t è dato da s( t') = ( t') - (. Definiamo VELOCITÀ MEDIA la quantità - v = t (3.1), -t che evidentemente dà lo spostamento compiuto nell unità di tempo. Al limite pe 0 si ha la FUNZIONE VELOCITÀ o VELOCITÀ ISTANTANEA: v( = t lim - ds t = t - t D t = t' -t (3.). L ACCELERAZIONE è la vaiazione della velocità nel tempo. L ACCELERAZIONE MEDIA e la FUNZIONE ACCELERAZIONE sono ispettivamente: v( t ) -v( a = a( = t -t t lim v - v dv d s = = t t - t (3.3, 4). La velocità è misuata in m/s e l acceleazione in m/s : queste unità di misua non hanno nome. Il punto mateiale si muova oa su una etta geneica del piano catesiano, y (Fig. 4): 4

Fig. 4 - Punto mateiale su una geneica etta oientata le elazioni pecedenti assumono caattee vettoiale, cioè v = i v a = i a = i d d t s (3.3, 3.5), in cui v ed a sono ispettivamente i moduli dei vettoi v ed a ed i è il vesoe della etta 4. ESEMPIO 3.1 Il moto sulla etta avvenga con velocità v 0 costante: integando la (3.) ta zeo e t con pimo membo uguale a v 0, si ottiene s( = s0 + v0t (3.6), che è l equazione del moto ettilineo unifome, in cui la costante di integazione s 0 appesenta la posizione del punto mateiale sulla etta all istante t = 0. ESEMPIO 3. Sia a( = a 0 = costante: integando 1a (3.4) con a ( = a0, si ottiene v( = v0 + a0t (3.7), in cui la costante di integazione v 0 appesenta la velocità del punto mateiale all'istante iniziale. Integando la (3.) con v( dato dalla (3.7), si ottiene 1 s ( s0 + v0t + a0t = (3.8), che è funzione paabolica. Le Eqq. (3.7, 8) appesentano ispettivamente la velocità e l'acceleazione del punto mateiale nel moto unifomemente acceleato. Applichiamo questi isultati e la legge fondamentale della dinamica ai casi di Fig. 5: in entambi i casi il copo di massa M è da consideasi puntifome e non vi è attito ta il copo ed il piano. Nel pimo caso la (1.1) dà F cosa a = M Supponendo che all istante iniziale t = 0 il copo si tovi nell oigine s = 0 ed abbia velocità v 0 nulla. Alloa al tempo t velocità e posizione del copo sono: F cosa 1 F cosa v( t M M (a). = t s( = (b). 4 Si icoda che il vesoe di una etta è un vettoe di modulo unitaio giacente sulla etta. Poiché la somma dei quadati dei coseni diettoi di una etta vale 1, le componenti di un vesoe secondo gli assi sono cos a, cos a, cos a. y z 5

h Fig. 5 - Copo di peso G = g M su un piano oizzontale e su un piano inclinato L Nel caso del copo sul piano inclinato la foza attiva è l acceleazione è costante e vale g sin a. Le (b) diventano 1 v( t G sin a = g M sin a : petanto = g sin a t s( = g sin a (c). Il fatto impotante nelle (c) è che la velocità e l acceleazione non dipendono dalla massa M del copo: quindi, in assenza di attito due copi, uno di massa M ed uno di massa am (a > 1). Supponiamo che il copo pata dal vetice supeioe del tiangolo di Fig. 5: l ipotenusa ha lunghezza h sin a e vogliamo conoscee in quanto tempo il copo pecoe questa distanza. Si isolve la seconda delle (c) ispetto a t ponendovi s = h sin a : In pesenza di attito la foza attiva si iduce a h h t = = (d). sin a g sin a g sin a Gsin a - F = g M sin a - F f f. Se si tascua l attito del mezzo e si considea solo l attito adente ta copo e piano, secondo il modello coulombiano pe l attito = mgcosa, cioè la foza di attito è diettamente popozionale F f alla foza nomale al piano, che in questo caso è la componente nomale al piano del peso del copo, secondo il coefficiente di attito m. ESEMPIO 3 Il moto del punto mateiale su una etta avvenga secondo la legge oaia si deteminino velocità ed acceleazione. 3 s( = t + 5t + 5cost : Si ha: ds v( = = 6t + 10t - 5sin t a( = 1t + 10-5cost 3.1 Il moto cuvilineo piano del punto mateiale Nel moto cuvilineo piano la taiettoia è espimibile in foma paametica mediante le funzioni tempoali (, y(, che foniscono le coodinate della posizione del punto mateiale al tempo t (in un moto non piano vi è una teza componente z(, che è identicamente nulla nel 6

Fig. 6 - Spostamento nel moto cuvilineo caso piano). Intoducendo il vettoe ta l'oigine e la posizione A del punto, questo è: v v = ( i + y( j (3.9), essendo i e j ispettivamente i vesoi dell asse e dell asse y. Lo SPOSTAMENTO del punto mateiale da A a B è dato dal vettoe (Fig. 6) v v s = - = ( B) - ( A) i + y( B) - y( A) j= Di + Dy (3.10). [ ] [ ] j Si faccia attenzione a che lo spostamento e la taiettoia sono quantità divese (Fig. 6). Il modulo s = s e l aco di taiettoia A ) B hanno valoi divesi, essendo il secondo ) t L( AB) = & ( t') + y& ò Solo in un atto di moto infinitesimo s ( AB). 0 = L ) ( t') ' (3.1). La VELOCITÀ MEDIA è definita come D D Dy v = = i + j (3.13). La funzione velocità si ottiene dalla (3.13) passando al limite pe D t 0 : v ( = lim 0 v = & i + y& j (3.14). Quindi, le componenti del vettoe velocità secondo gli assi coodinati sono & ed y&. Petanto il vettoe velocità ha modulo v = v = & + y& (3.15). Tale vettoe è dietto come la tangente alla taiettoia (Fig. 7 a), come si dimosta facendo tendee ' ad. Analogamente pe l acceleazione abbiamo: Dv Dv Dvy a = = i + j (3.16) a ( = lim 0 a lim 0 Dv = v & i + v& j (3.17). y 7

(a) (b) (c) Fig. 7 - (a) Vettoe velocità; (b) vettoe velocità e vettoe acceleazione; (c) componenti del vettoe acceleazione nel sistema di coodinate locale. La (3.17) può essee scitta come a d v ( = (3.18). Le componenti ed il modulo del vettoe acceleazione sono ispettivamente: a dv d dv y = a y = = y d = a = a = a y & & y + a = & + & (3.19 a-c). Il vettoe acceleazione a in geneale non è dietto nè secondo la tangente t alla taiettoia né secondo la nomale n a questa (Fig. 7 b), le quali costituiscono un sistema di assi locale nel geneico punto P della taiettoia (Fig. 7c). La scomposizione di a secondo queste diezioni è dv v a(t ) = t + n (3.0), in cui t ed n sono ispettivamente il vesoe tangente ed il vesoe nomale, mente = () è il aggio di cuvatua della taiettoia in P (se la taiettoia è data nella foma Y(), si ha, come noto, ( ) = 1 Y ( ) ). Il pimo temine della (3.0) è detto acceleazione tangente ed il secondo acceleazione centipeta. 4. Lavoo, enegia e potenza nei sistemi meccanici 4.1 Lavoo statico In Statica le gandezze sono il più delle volte assunte costanti. Sotto l ipotesi di costanza della foza e di spostamento costante e ettilineo, il LAVORO di una foza F pe uno spostamento s è dato dal podotto scalae di queste due gandezze: L = F s = F s cosa = F s cosa (4.1), in cui a è il coseno dell angolo compeso ta le diezioni dei vettoi (Fig. 8 a). La (4.1) può essee posta nelle fome altenative L = F cosa s = F s L = F s cosa = F s (4. a,b), ( ) s ( ) F in cuit F s è la componente di F nella diezione di s ed s F è la componente di s nella diezione di F. Evidentemente il lavoo è una quantità scalae. Il LAVORO di una coppia M pe una otazione J è definito come: 8

(a) (b) Fig. 8 - (a) Podotto scalae (lavoo) del vettoe foza pe il vettoe spostamento; (b) vettoe momento e vettoe otazione. L = M J = M J cos(0) = M J (4.3), essendo il vettoe otazione J definito paallelo al vettoe coppia (Fig. 8 b). Siccome il coseno di un angolo il lavoo di una foza pe uno spostamento ha dimensioni [foza] [spostamento], che si nota essee le medesime dimensioni del momento di una foza. Tuttavia, nel caso del lavoo a newton m si dà il nome di joule (J). È fequentemente usato anche il kilowattoa (kwh) uguale a 3.6 10 6 J (si giustificheà in seguito questo valoe). Si constata immediatamente che il lavoo di una coppia ha le stesse dimensioni. (a) (b) Fig. 9 - (a) Vettoe piano v v e sue componenti; (b) vettoi a v e b v. Al lavoo di una foza pe uno spostamento si può dae la foma altenativa L = F s + F s (4.3). L Eq. (4.3) si giustifica facilmente: entambi i vettoi da moltiplicae scalamente sono espi mibili nella foma v = v i + v y j (Fig. 9 a) ed il podotto scalae gode della popietà associativa. Quindi, si ha: F s = ( F i + F j ) ( s i + s j ) = F s ( i i ) + F s ( i j) + F s ( j i ) + F s ( j j ). y y y y y y Quest ultima espessione è uguale alla (4.3) in quanto si ha i i = j j = 1 1 cos(0) = 1 e i j = 1 1 cos( p ) = 0. ESEMPIO Si vogliano moltiplicae i vettoi a e b di Fig. 9b, sapendo che a = b = 1. Alloa, pe la v pima foma del podotto scalae si ha a b = 1 1 cos(30 ) = 3. Pe applicae l Eq. (4.3), y y 9

è necessaio pima calcolae le componenti dei vettoi che sono: a = 1 cos(30 ) = 3, a y = 1 sin(30 ) = 1, b = 1 sin(30 ) = 1, by = 1 cos(30 ) = 3. Si ha, quindi: v 3 1 1 3 3 a b = + = q.v.d. (a) (b) Fig. 10 - (a) La foza F è vaiabile e lo spostamento avviene lungo una taiettoia cuvilinea: il lavoo totale è la somma di lavoi infinitesimi. (b) Il lavoo compiuto spostando il punto mateiale da A a B è uguale all aea sottesa dalla cuva. In figua s è indicato con ed L con W. 4. Lavoo dinamico Le Eqq. (4., 3) sono valide, qualoa foza e spostamento siano costanti. Nel caso in cui vaiino, in un tempuscolo lo spostamento ds del punto mateiale a meno di infinitesimi di odine supeioe può essee consideato avvenie lungo la tangente alla taiettoia. Alloa, il lavoo infinitesimo è d L = F ds (4.4). Il lavoo compiuto nel potae il punto da A a B (Fig. 10 a) è la somma di tutti i lavoi infinitesimi, cioè L F ds + F ds + F s + K (4.5). Al limite il LAVORO è dato da: = 1 1 3 d 3 L = ò F d s (4.6), l in cui l è la linea che congiunge A e B. In alti temini il lavoo è l aea sottesa dalla cuva (Fig. 10 b). Utilizzando l Eq. (4.3), la (4.6) diventa ( F F dy) L = + ò d y (4.7). l Nella (4.7) i diffeenziali d e dy vanno valutati lungo la linea l, che deve essee nota nella foma paametica X = f (, Y = g( (in Dinamica t è il tempo, in Statica è un paameto. ESEMPIO Si vuole calcolae il lavoo che le due foze F, una veticale e l alta oizzontale, compiono spostando un punto mateiale lungo la ciconfeenza di Fig. 11. Le equazioni paametiche di 10

Fig. 11 - Lavoo lungo una semiciconfeenza di aggio R questa ed i diffeenziali sono: X ( = Rcost Y( = Rsin t d = -Rsin t dy = Rcost Applicando l Eq. (4.7), si ha: = F F F L d + dy = (-Rsin + ò ò ò ò p l l - F =- R F p p p - F ( Rcos = p p [-cost] + R[ sin t] =- R 0+ R = F R F F -p -p Si può ossevae che la foza veticale compie lavoo nullo: infatti, la coodinata iniziale e finale del punto mateiale sono uguali, cioè il punto ha spostamento nullo in diezione. Invece, il suo spostamento in diezione y è R ed, infatti, il lavoo della foza oizzontale è dato da ( F ) R. La seconda ossevazione impotante che si deduce dal isultato ottenuto è che il pecoso seguito pe giungee nella posizione finale non ha in alcun modo deteminato il valoe del lavoo, che dipende solo dalla posizione iniziale e da quella finale. Le foze pe cui accade questo sono dette consevative e saanno tattate al punto 4.5. 4.3 Potenza meccanica Nelle applicazioni della Meccanica si è inteessati a conoscee quanto lavoo è compiuto nel tempo. In un intevallo di tempo il lavoo compiuto sia DL, noto dall Eq. (4.6) o (4.7). Si definisce POTENZA MEDIA la quantità DL W = (4.8). D t Le dimensioni della potenza W sono evidentemente [foza] [spostamento] [tempo] -1 : la elativa unità di misua è detta watt; poiché questa è piccola, si usa quasi sempe il kilowatt (kw), che vale 1000 watt. Il kilowattoa è il lavoo compiuto in un oa (3600 s) da una macchina a- vente potenza media costante di 1 kw. Nel piano y la linea l congiunge punti A e B: assumiamo che il moto inizii in A, pe cui questo punto è fisso e che B denoti la posizione del punto mateiale all istante t, cioè sia B(. Alloa, il lavoo L è funzione del tempo e la sua deivata pima dl( W ( = (4.9), è detta potenza istantanea. La (4.9) può anche essee ottenuta facendo tendee a zeo nella (4.8).

4.4 Enegia cinetica In Fisica si studiano divesi tipi di ENERGIA quali l enegia cinetica, l enegia potenziale, l enegia chimica, l enegia elettica, l enegia nucleae, ecc.. Possiamo designae l enegia come la misua dell attitudine di un copo o sistema meccanico a compiee lavoo. Definiamo l ENERGIA CINETICA pe il punto mateiale, la quale oigina dal fatto che questo ha massa M e velocità v. A tale scopo moltiplichiamo scalamente a desta entambi i membi dell Eq. (1.1), la legge di Newton, scitta mediante la quantità di moto: d Poiché si ha d ( Mv ) v = d ( 1 Mv ) Si definisce l enegia cinetica come ( Mv) v = F v d 1 ç Mv è, la (4.10) può essee iscitta come æ ö = F v ø (4.10). (4.11). 1 p E k = Mv = (4.1). M Poichè si può dimostae che W = F v, l Eq. (4.11) espime il teoema dell enegia cinetica: la deivata pima dell enegia cinetica eguaglia la potenza della foza applicata 5. È da ilevae che ciò che conta nell enegia cinetica è il modulo v della velocità e non la sua diezione: l enegia è, infatti, una quantità scalae. L enegia ha le stesse unità di misua del lavoo, cioè il joule, i suoi multipli ed il kilowattoa. Infatti, in base alla definizione E k ha dimensioni [massa] [lunghezza] [tempo] -, cioè nel Sistema Intenazionale kg(massa) m s - : poiché la foza ha dimensioni [massa] [lunghezza] [tempo] -, E k ha dimensioni [foza] [lunghezza], cioè le stesse dimensioni del lavoo. In un sistema fisico si hanno tasfomazioni di enegia da una foma all alta: in un sistema ideale il quantitativo di enegia totale E tot imane costante (si veda il punto seguente). In un sistema eale ad ogni tafomazione una pate dell enegia si tasfoma in caloe 6, in paticolae a causa degli attiti: il caloe è una foma degadata di enegia, che non può mai essee completamente tasfomata in lavoo. Il secondo pincipio della temodinamica statuisce che non è possibile ealizzae una tasfomazione, pe la quale si abbia alla fine un quantitativo di enegia maggioe della somma di quello iniziale e del lavoo speso. 4.5 Foze consevative, enegia potenziale Si dice che una foza è consevativa, quando il lavoo che essa compie dipende solo dalla po- 5 Nel caso vi siano più foze applicate F è la loo isultante. Il momento M di tali foze non ha effetto sul punto mateiale, peché questo è pivo di dimensioni. È chiao che un copo pivo di dimensioni, ma dotato di massa è una pua astazione. 6 Il caloe è una misua dell enegia cinetica degli atomi e delle molecole che costituiscono la mateia di cui è fatto un copo. Esso fluisce dal copo più caldo a quello più feddo: il passaggio opposto ichiede che si compia del lavoo. L equivalenza ta caloe e lavoo è statuita dal pimo pincipio della temodinamica nella foma: L - C - E = 0, in cui C è il caloe ed E l enegia intena del copo. 1

sizione iniziale e da quella finale, ma non dal pecoso seguito. Tale lavoo è espimibile come diffeenza ta il valoe iniziale ed il valoe finale di una funzione U(,y,z), la quale è detta ENERGIA POTENZIALE o semplicemente POTENZIALE: L Q OQ - O = - du = U ( O) U ( Q) (4.13). ò Pe conveso la foza è legata al potenziale dalla elazione di gadiente: U U U F = -gad( U ) = - i - j - k (4.14). y z Dalla (4.13) consegue evidentemente che il lavoo di una foza consevativa lungo un pecoso chiuso (Fig. 1 a) è nullo. (a) (b) Fig. 11 - (a) Pecoso chiuso; (b) molla elastica a iposo e tiata da un peso G = mg o da una foza manuale. ENERGIA ELASTICA Se applichiamo delle foze ad un copo elastico, queste causano spostamenti, che sono legati lineamente alle pime. Rimuovendo le foze, il copo tona allo stato iniziale indefomato. Il lavoo compiuto dalle foze si tasfoma in enegia elastica, che è completamente estituita imuovendo le foze. Il modello di copo elastico è, quindi, un modello ideale, in quanto si assume che non vi siano attiti inteni. Il caso più semplice di copo elastico è quello della molla lineae elastica, già intodotta in. (Fig. ) e nuovamente appesentata in Fig. 1 b. L allungamento della molla e la foza applicata sono legati dalla elazione (.5), che qui si ipete omettendo i segni di vettoe: F = k (4.15). La foza F è di tipo consevativo: infatti il lavoo compiuto dalla foza dipende solo dall allungamento di questa. È facile constatae che l enegia potenziale elastica è data da 1 k P = (4.16). Deivando la (4.16) ispetto ad, si iottiene la (4.15). Si noti: P è uguale all aea sottesa dalla etta che lega foza e spostamento, cioè all aea del tiangolo OCD in Fig. 1; nella (4.16) non vi è segno negativo a secondo membo, pe cui, pe usae P nel calcolo del lavoo con la (4.13), in questa non va posto segno negativo. Speimentalmente si sia misuato l allungamento = 1.50 cm = 1.50 10 m, applicando alla molla un peso di 39. N. Dall Eq. (4.15) si icava la costante della molla: - 13

39. 3-1 k = =.610 10 Nm. - 1.50 10 Fig. 1 - Legame foza-spostamento pe una molla lineae. POTENZIALE GRAVITAZIONALE È immediato vedee che la foza peso dell Eq. (.4) può essee ottenuta dal potenziale U g = -G z (4.17), in cui z è la quota del copo. Volendo calcolae il lavoo necessaio a potae un copo di peso G dalla quota z 0 alla quota z 1, si applica l Eq. (4.13) col potenziale (4.17): 0 ) -U ( z1) che dipende solo dalla diffeenza delle quote. PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL ENERGIA ( z ) L = U ( z = G - z (4.18), Pe un punto mateiale isolato, cioè che non inteagisce con alti punti o copi e soggetto a foze consevative l enegia totale si conseva duante il moto, cioè 1 0 E k -U = costante (4.19). Istante pe istante enegia cinetica ed enegia potenziale vaiano, ma la loo somma esta costante. Il pincipio di consevazione dell enegia ha una potata geneale: esso è valido non solo pe il punto mateiale, ma pe qualsiasi sistema meccanico consevativo. Nel caso che il sistema non sia consevativo ed in paticolae ci sia attito, se il sistema è isolato, la (4.19) diventa: E k -U + C = costante (4.0), in cui C indica l enegia, cinetica e potenziale, che si tasfoma in caloe. BIBLIOGRAFIA Alonso M. e Finn E.J. Elementi di Fisica pe l Univesità. Inte Euopean Editions Amstedam. Finzi B. Meccanica Razionale. Zanichelli, Bologna. Tuchetti G. Dinamica Classica dei Sistemi Fisici. Zanichelli, Bologna. 14