Lezione 3: Principi di Conservazione per un continuo poroso Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale Università degli Studi di Perugia Dottorato Internazionale Congiunto Firenze Braunschweig Firenze, 13 14 Febbraio 2014
Sommario 1 Principi di conservazione della MDC: applicazione ai mezzi porosi 2 3 4
Le equazioni governanti dei problemi di MDC Nella risoluzione di un problema di meccanica dei continui (MDC), l obiettivo principale consiste nel determinare le grandezze fisiche fondamentali (spostamenti, velocità, tensioni, etc.) che descrivono lo stato del corpo in esame e la sua evoluzione nel tempo come campi (scalari, vettoriali, tensoriali) definiti su B R (materiali), o su S t R (spaziali).
Le equazioni governanti dei problemi di MDC Le funzioni incognite sono determinate a partire da un sistema di PDE, derivate da: 1 Principi di conservazione, che hanno carattere universale e sono indipendenti dalle specifiche caratteristiche meccaniche del materiale o dei materiali che costituiscono il corpo in esame: i) della massa; ii) della quantità di moto; iii) del momento della quantità di moto; iv) dell energia. 2 Equazioni costitutive, che caratterizzano il comportamento meccanico dei materiali e consentono di distinguerli tra loro. Al sistema di PDE risultante è poi necessario aggiungere le opportune condizioni ai limiti (iniziali e al contorno).
Le equazioni governanti della MMP: principi di Truesdell Nella meccanica dei mezzi porosi (MMP), i principi di conservazione sono formulati a partire dai postulati enunciati da Truesdell (1984): i) All properties of the mixture must be mathematical consequence of properties of its constituents. ii) So as to describe the motion of a constituent, we may in imagination isolate it from the rest of the mixture, provided we allow properly for the actions of other constituents on it. iii) The motion of the mixture is governed by the same equations as is a single body. Le equazioni costitutive di mezzo saturo devono pertanto riguardare: i) il comportamento delle fasi solida e liquida; ii) il comportamento dello scheletro solido; iii) le interazioni esistenti tra le fasi solida e liquida.
Massa, densità Una proprietà fondamentale dei corpi (solidi e liquidi) è che essi sono dotati di massa. In meccanica dei continui (monofase), la massa è distribuita con continuità all interno del mezzo, ed è quindi valutata come integrale di una funzione densità ρ : S t R R. Per ogni parte P t S t si ha dunque: M (P t ) = ρ dv P t
Densità intrinseca delle fasi Siano ρ s e ρ w le densità intrinseche dei grani solidi e dell acqua interstiziale. Per ogni parte P t S t, si ha allora: Per la fase solida: M s (P t ) = ρ s dv s = P s,t (1 n)ρ s dv P t Per la fase liquida: M w (P t ) = ρ w dv w = P w,t nρ w dv P t
Densità apparente delle fasi Tali espressioni possono essere riscritte come: M s (P t ) = ρ s dv P t M w (P t ) = ρ w dv P t dove: ρ s := n s ρ s = (1 n)ρ s ρ w := n w ρ w = nρ w (densità apparente della fase solida) (densità apparente della fase liquida) Le grandezze ρ s e ρ w rappresentano le masse per unità di volume totale delle singole fasi.
Principio di conservazione della massa del solido Il principio di conservazione della massa della fase solida richiede che, per ogni parte P del corpo B, e per ogni deformazione dello scheletro solido: risulti: M s (ϕ t (P)) = ϕ (X, t) = ϕ t (X) : B R S t ϕ t (P) (1 n)ρ s dv = P (1 n)ρ s JdV = cost. (1)
: forma Euleriana La forma Euleriana del PCM della fase solida si ottiene osservando che l eq. (1) può scriversi come: dm s = d (1 n)ρ s dv ϕ t (P) [ ] [ ] = (1 n)ρs dv + (1 n)ρs vs n dv ϕ t (P) t ϕ t (P) { [ ] [ = (1 n)ρs + div (1 n)ρs v s]} dv = 0 t ϕ t (P) Per l arbitrarietà di P e per il teorema di localizzazione, si ha quindi: [ ] [ (1 n)ρs + div (1 n)ρs v s] = 0 x S t = ϕ t t (B) (2)
: forme Euleriane alternative Forme alternative per il PCM della fase solida si ottengono osservando che, dalla definizione di derivata materiale rispetto al moto del solido: d ( ) = t ( ) + grad( )[vs ] Pertanto, l eq. (2) risulta equivalente a: oppure: d [ ] (1 n)ρs + (1 n)ρs div v s = 0 x S t = ϕ t (B) (3) (1 n) dρ s dn ρ s + (1 n) div vs = 0 x S t = ϕ t (B) (4)
: forma Lagrangiana La forma Lagrangiana del PCM della fase solida si ottiene osservando che l eq. (1) può scriversi come: dm s = d [ ] (1 n)ρ s JdV = (J φ)ρs dv = 0 t P Per l arbitrarietà di P e per il teorema di localizzazione, si ha quindi: Oppure: P d [ ] (J φ)ρs = 0 (X, t) B R (5) m s := (J φ)ρ s = (1 n 0 )ρ s0 =: m s0 = cost. (X, t) B R (6) dove m s è la massa solida per unità di volume nella configurazione di riferimento.
Principio di conservazione della massa del liquido Il principio di conservazione della massa della fase liquida richiede che, per ogni parte P w del corpo B w, e per ogni deformazione della fase liquida: risulti: M w (ϕ w,t (P w )) = ϕ w (X w, t) = ϕ w,t (X w ) : B w R S t ϕ w,t (P w ) nρ w dv = nρ w JdV = cost. P w (7)
: forma Euleriana La forma Euleriana del PCM della fase liquida si ottiene osservando che l eq. (7) può scriversi come: d w M w = dw nρ w dv ϕ w,t (P w ) = ϕ w,t (P w ) t (nρ w) dv + nρ w v w n dv ϕ w,t (P w ) { } = t (nρ w) + div (nρ w v w ) dv = 0 ϕ w,t (P w ) Per l arbitrarietà di P w e per il teorema di localizzazione, si ha quindi: t (nρ w) + div (nρ w v w ) = 0 x S t = ϕ t (B) (8)
: forme Euleriane alternative Forme alternative per il PCM della fase liquida si ottengono osservando che: d w ( ) = t ( ) + grad( )[vw ] ; d w ( ) = d ( ) + grad( )[vw v s ] L eq. (8) risulta equivalente a: oppure: d w (nρ w) + nρ w div v w = 0 x S t = ϕ t (B) (9) n d w ρ w dn ρ w + n div vs + div v = 0 x S t = ϕ t (B) (10)
: forma Lagrangiana (riferita a B) La forma Lagrangiana del PCM della fase liquida, riferita alla configurazione di riferimento B dello scheletro solido, si ottiene a partire dalla eq. (9), osservando che: 0 = dw (nρ w) + nρ w div v w = d (nρ w) + grad(nρ w ) (v w v s ) + nρ w div (v w v s ) + nρ w div v s = d (nρ w) + div (m) + nρ w div v s (11) dove m := ρ w v = nρ w (v w v s )
: forma Lagrangiana (riferita a B) Siano: M := JF 1 m (trasformazione di Piola di m) m w := Jnρ w = φρ w (massa del liquido per unità di volume in B) Osservando che: div v s = 1 J dj ; d (nρ w ) = 1 dm w m w dj J J 2 ; div m = 1 J div M L eq. (11) si trasforma in: dm w + div M = 0 (X, t) B R (12)
: forma Lagrangiana (riferita a B) dm w + div M = 0 (X, t) B R Si noti che m w non rimane costante in X B, perchè le particelle fluide che occupano i pori della configurazione B non sono sempre le stesse.
Miscela bifase: forma Euleriana La forma Euleriana del PCM della miscela bifase si ottiene sommando le eq. (2) e (8): t {(1 n)ρ s + nρ w } = div {(1 n)ρ s v s + nρ w v w } Tale relazione può essere posta nella stessa forma della equazione di continuità di un mezzo monofase: ρ t purchè si introducano le seguenti grandezze: = div (ρ v) (13) ρ := (1 n)ρ s + nρ w v := 1 ρ {(1 n)ρ sv s + nρ w v w } = densità della miscela = velocità spaziale media della miscela
Miscela bifase: forma Euleriana alternativa Una forma Euleriana alternativa e più utile del PCM della miscela bifase si ottiene sommando le eq. (4) e (10): 1 n ρ s dρ s + n d w ρ w + div v s + div v = 0 (14) ρ w Caso particolare: Se le fasi solida e liquida sono incompressibili e si è in regime di piccole deformazioni: ρ s = cost. ; ρ w = cost. ; div v s = ɛ v t L eq. (14) si riduce a: div v + ɛ v t = 0
Miscela bifase: forma Lagrangiana La forma Lagrangiana del PCM della miscela bifase si ottiene sommando le eq. (6) e (12): dm + div M = 0 (X, t) B R (15) dove: m := m s + m w = (J φ)ρ s + φρ w In alternativa: dρ 0 + div M = 0 (X, t) B R (16) dove: ρ 0 := Jρ = J {(1 n)ρ s + nρ w }
Varianti del Teorema di Reynolds per la fase solida Teorema Siano ψ(x, t) : S t R R e ψ(x, t) : S t R V due campi spaziali regolari che rappresentano grandezze fisiche definite per unità di massa del solido. Per una qualunque parte P t di S t = ϕ t (B) e ad ogni istante t, si ha: Dimostrazione d (1 n)ρ s ψ dv = P t P t (1 n)ρ s dψ dv d dψ (1 n)ρ s ψ dv = (1 n)ρ s P t P t dv La dimostrazione lasciata come esercizio segue dal teorema di Reynolds e dal principio di conservazione della massa del solido.
Varianti del Teorema di Reynolds per la fase solida Teorema Siano ψ(x, t) : S t R R e ψ(x, t) : S t R V due campi spaziali regolari che rappresentano grandezze fisiche definite per unità di massa del liquido. Per una qualunque parte P t di S t = ϕ t (B) e ad ogni istante t, si ha: Dimostrazione d w d w d w ψ nρ w ψ dv = nρ w dv P t P t d w ψ nρ w ψ dv = nρ w dv P t P t La dimostrazione lasciata come esercizio segue dal teorema di Reynolds e dal principio di conservazione della massa del liquido.