Isiemi umerici Soo oti l isieme dei umeri aturali: N {1,, 3,, l isieme dei umeri iteri relativi: Z {0, ±1, ±, ±3, N {0 ( N e, l isieme dei umeri razioali: Q {p/q : p Z, q N. Si ottiee questo ultimo isieme, co costruzioi diverse ma equivaleti, aggiugedo i reciproci degli iteri relativi o ulli ed i loro multipli, stabiledo ua relazioe di equivaleza (ogi umero razioale ha tate rappresetazioi diverse: 1 4 3 6 e defiedo opportuamete le operazioi di somma e di prodotto. Il risultato è u isieme che ha la struttura algebrica di campo, cioè soo defiite due operazioi (somma e prodotto, etrambe commutative e associative ed etrambe dotate di elemeto eutro. L elemeto eutro rispetto alla somma viee chiamato zero, metre quello rispetto al prodotto viee chiamato uità o uo. ogi elemeto di Q ammette opposto ed ogi elemeto di Q \ {0 ammette reciproco. vale la proprietà distributiva (del prodotto rispetto alla somma: a (b + c a b + a c ioltre su Q è defiita ua relazioe di ordie totale (quella usuale che è compatibile co le operazioi, cioè a Q vale a a (proprietà riflessiva (a b (b a a b (a b (b c a c (proprietà atisimmetrica (proprietà trasitiva (a b (c Q a + c b + c (a b (c > 0 a c b c Ogi campo i cui è defiita ua relazioe di ordie co queste proprietà viee chiamato campo ordiato. Si verifica facilmete che i ogi campo ordiato (o baale, cioè o costituito da u solo elemeto i quadrati soo o egativi e, di cosegueza, l uità è positiva. I umeri razioali possoo essere disposti su ua retta: ua volta fissate le posizioi di 0 e di 1 tutti gli altri umeri della forma p/q possoo essere facilmete idividuati co semplici costruzioi geometriche: ogi umero razioale ha u posto sulla retta, ma o è detto che ad ogi puto sulla retta corrispoda ua frazioe che e idividui la posizioe: per esempio il puto che idica la lughezza della diagoale del quadrato di lato uitario o ha ascissa razioale: ifatti l equazioe p q o ha soluzioi itere. Ogi umero razioale ammette ua rappresetazioe decimale fiita o periodica (basta svolgere la divisioe: per esempio 1 3 0, 3, 1 0 0, 05, 1 7 0, 14857, 1, 46. 15 Si osservi che 1 3 3 3 1 3 0, 3 0, 9 quidi ci soo umeri razioali che ammettoo 3 due rappresetazioi decimali diverse. Ioltre è facile scrivere u allieameto decimale o periodico, che quidi o può ammettere frazioe geeratrice e quidi o può essere u umero razioale, per esempio 0, 000000000001. 1
I tutti gli isiemi umerici i cui sia stata defiita ua relazioe d ordie ha seso parlare di isiemi umerici limitati superiormete o iferiormete e di maggiorati e miorati: se E è u sottoisieme di u isieme ordiato X si dice che α X è u maggiorate di E se e E vale α e. β X è u miorate di E se e E vale β e. E è superiormete limitato se ammette almeo u maggiorate. E è iferiormete limitato se ammette almeo u miorate. E è limitato se è limitato sia superiormete che iferiormete. α è il massimo di E se α E e e E vale α e. β è il miimo di E se β E e e E vale β e. Il campo dei umeri reali: R. R è il completameto del campo razioale. (assioma di cotiuità: È u campo ordiato che ha la seguete proprietà AC Se A e B soo due sottoisiemi o vuoti di R e per ogi a A, b B è a b allora esiste almeo uo ξ R tale che a ξ b a A, b B. Come cosegueza il campo reale ha la proprietà che ogi isieme o vuoto e superiormete limitato ammette estremo superiore, cioè l isieme dei maggiorati di questo isieme ammette miimo (esiste u umero reale che è il miimo di questo isieme. L estremo superiore l di u isieme (limitato A R, come miimo dei maggiorati, ha questa (ovvia proprietà che caratterizza, tra tutti i maggiorati, l estremo superiore: ogi umero miore di l o può essere u maggiorate, quidi se l < l deve esserci i A almeo u elemeto che supera l i simboli l sup A l < l a A : l < a l. Aalogamete ogi isieme o vuoto e iferiormete limitato ammette estremo iferiore (il massimo dei miorati che ha la proprietà caratteristica: se λ è l estremo iferiore di E e λ > λ allora λ if A λ > λ ã A : λ ã < λ. L isieme dei umeri razioali può essere messo i corrispodeza biuivoca co N (si dice che Q è umerabile, si può dimostrare che questo o è possibile per R (si dice che R o è umerabile ed ha la poteza del cotiuo. Ogi umero reale può però essere approssimato tato bee quato si vuole co umeri razioali (si dice che Q è deso i R. Nell isieme dei umeri reali positivi l equazioe x α (α > 0 ha sempre ua e ua sola soluzioe, che viee i geerale idicata co x α o co x α 1/. Per esempio el caso la soluzioe dell equazioe x α è x sup {x > 0 : x < α.
Fattoriali, coefficieti biomiali, poteza del biomio Per ogi itero aturale si defiisce fattoriale il prodotto di tutti i umeri iteri compresi tra 1 ed :! 1 3 la defiizioe può essere fatta per ricorreza: 1! 1 e, per ogi > 1! ( 1!. Per ogi coppia di iteri, k co 1 k 1 si defiisce coefficiete biomiale (si legge ee su cappa (! ( 1 ( k + 1 k k! ( k! k! ( ( Si verifica immediatamete che ioltre poedo (è ua covezioe, di k k per sé o avrebbe ( seso 0! 1 si può dare seso al coefficiete biomiale ache ei casi ( k 0 e k : 1. 0 ( È comodo ordiare i coefficieti biomiali i ua tabella (triagolo di Tartaglia i cui si k trova all icrocio della riga di idice co la coloa di idice k: k 0 1 3 4 5 6 7 8 9 0 1 1 1 1 1 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 5 1 6 1 6 15 0 15 6 1 7 1 7 1 35 35 1 7 1 8 1 8 8 56 70 56 8 8 1 9 1 9 36 84 16 16 84 36 9 1 i questa tabella si vede immediatamete che ogi riga è simmetrica rispetto al cetro, ifatti ( (, ioltre ogi termie o agli estremi di ua riga può essere otteuto come k k somma dei due termii della riga precedete, uo sulla stessa coloa, l altro ella coloa precedete, cioè ( ( ( 1 1 +. k k k 1 Il termie coefficiete biomiale sopra itrodotto è giustificato dalla seguete formula: (a + b k0 ( k a k b k. 3
Progressioi aritmetiche. Somma dei primi umeri aturali: ( + 1 1 + + + ( 1 + k. Somma dei primi umeri dispari: 1 + 3 + + ( 1 (k 1. Somma di umeri aturali cosecutivi: 00 00 0 + 1 + + 00 k k 00 Esempi, esercizi, formule 99 k 00 01 50 (0 99 495 550. 00 901 901 901 oppure: k (99 + k 99 + k 901 99 + 00 99 0 901 90 901 (99 + 451 901 550 495 550. Somma di termii di ua progressioe aritmetica: 30 30 30 30 (5k + 57 + 6 + 67 + + 15 (5k + (5k + 5 k + 5 1 5 30 31 + 30 5 11 Progressioi geometriche. 1 + a + a + + a 1 + a 5 (93 11 + 40 5 8 + 40 090. a k 1 a+1 1 a si ottiee dalla ota formula x +1 y +1 (x y (x + x 1 y + x y + + xy 1 + y poedo x 1, y a. { 3 Cosegueza 0, 3 sup. k 3 3 k 1 3 1 1 k +1 k0 1 1 3 1 1 9 9 1 3 1 3 +1 quidi 0, 3 1 3. 1, 345 1, + 0, 0345 1 + 1 { 1 sup + 345 1 00 0 k 1 (00 1 + 345 9990 ( 1 0, 345 1 + 345 00 1345 1 9990 1333 9990. da cui la ota formula per la frazioe geeratrice. 1 + 345 0 + 345 0 + 345 0 999 1 ( 1 + 345 999 0 + 3 k 4
Per ciascuo dei segueti isiemi stabilire se è limitato, se ammette massimo e/o miimo e determiare l estremo superiore e l estremo iferiore. 1. A (3, 5] {x R : 3 < x 5. B [3, 5 {x R : 3 x < 5 3. C [3, 5 {7 {x R : (3 x < 5 (x 7 4. N {1,, 3,,. 5. D {1, 1, 13,, 1, { 1, N { 1 ( 1 ( 1 6. E { 1,, 13,,, 7. F {1 + 1, N, N ( 8. G {( 1 1 + 1, N ( 9. H {( 1 1 1, N { + m. I m,, m N { + m 11. J m,, m N { 3m 1. K m,, m N {( 13. L, 0, 1,,, {( 11 14. M, 0, 1,,, 11 {( 15. N, N 16. O {x : x s/r, r R, s S dove R ( 3, /3] [1, 4], S [ 4, 3. 5
1. A (3, 5] {x R : 3 < x 5 if A 3, sup A max A 5.. B [3, 5 {x R : 3 x < 5 if B mi B 3, sup B 5. 3. C [3, 5 {7 {x R : (3 x < 5 (x 7 if C mi C 3, sup C max C 7. 4. N {1,, 3,,. if N mi N 1, N o è superiormete limitato (sup N +. 5. D {1, 1, 13,, 1 { 1,, N if D 0, sup D max D 1. { 1 ( 1 ( 1 6. E { 1,, 13,,, if E mi E 1, sup E max E 1. 7. F {1 + 1, N if F 1, sup F max F. ( 8. G {( 1 1 + 1, N, N if G mi G, sup G max G 3. 9. H ( {( 1 1 1, N if H 1, sup H 1. { + m. I m,, m N { 1 m + 1,, m N. if I 0, sup I max I. { + m { 11. J m,, m N m + m,, m N { q + 1 q, q Q +. sup J +, if J mi J. { { 3m 1. K m,, m N m 3,, m N. { { 3 Posto I 1 m, m N, I, N si ha I {x y, x I 1, y I quidi if I 3, sup I. 6
13. L {(, 0, 1,,, Ogi ( isieme fiito ammette massimo e miimo: if K mi K 1, sup K max K 5. 5 14. M {( 11, 0, 1,,, 11 ( ( 11 11 if L mi L 1, sup L max L 46. I valori del massimo e del 5 6 miio soo uici e ciascuo viee assuto per due diversi valori di. {( 15. N, N if M mi M, M o è superiormete limitato (sup M +. Ifatti ( (! ( ( 4 ( 1 ( 3 3 1!!!! 16. Coviee costruire l isieme Si può riscrivere l isieme O come T {t : t 1/r, r R [ 3/, 1/3 [1/4, 1]. O {x : x s t, t C, s S.. S e T soo limitati, quidi O è a sua volta limitato. Teedo coto che sia S che T cotegoo umeri egativi e umeri positivi, l estremo superiore di O (certamete positivo è il massimo tra il prodotto degli estremi superiori di S e di T ed il prodotto degli estremi iferiori di S e di T, metre l estremo iferiore di O (certamete egativo è il miimo (cioè il massimo i valore assoluto tra i prodotti icrociati dell estremo superiore di u isieme co l estremo iferiore dell altro. Poiché si ottiee: perché sup S 3, if S 4 mi B sup T 1 max T, if T 3/ mi T sup O max {3 1, 4 ( 3/ max {3, 6 6 max O 4 S e 3/ T if O mi {3 ( 3/, 1 ( 4 mi { 9/, 4 9/ / O perché 3 / S. Duque O è limitato, ammette massimo ma o ammette miimo. Voledo costruire l isieme O (teedo coto di quato detto sopra si ottiee che O è l itervallo ( 9/, 6]. 7
Altri esercizi sui coefficieti biomiali. 17. Calcolare il coefficiete di x 9 y 1 ello sviluppo di ( 3 x y 3 y 9 4 x 9 ( ( 9 k 3 k0 9 ( ( k ( 9 k 3 x y 3 4 k0 k ( x k y k 4 3 9 k y 18 k x k 9 Deve essere k 6 quidi il coefficiete cercato è ( ( 6 ( 9 3 3 9 8 7 6 3 3 8 6 3 4 3 3 6 4 3 9. y 9 k x 9 k0 ( 9 k ( 3 x y 3 4 18. Risolvere le segueti equazioi: ( itero maggiore di 9 ( ( ( ( ( (,,. 7 9 6 9 5 9 ( (!!,. Deve essere 7 7! ( 7! 9 9! ( 9! y 9. x ( k ( 3 9 k x 3 4 3k 9 y 18 k. 7! ( 7! 9! ( 9!, ( 7 ( 8 9 8., 15 16 0. L uica soluzioe ( accettabile ( è 16. Questo era ituibile fi dall iizio: 9 + 7 16 16 16 quidi. 7 9 Le altre due equazioi hao certamete come soluzioe (per il motivo citato sopra rispettivamete 15 e 14. Si può verificare che la prima o ammette altre soluzioi reali, la secoda ammette come uica altra soluzioe reale 1 (da scartare. ( ( 19. Risolvere l equazioe 8 9 ( itero maggiore di 16 17 15 Ricordado che (! 17 17! ( 17!, ( 15! 15! ( 15! l equazioe è:! 8 17! ( 17! 9! semplificado per! 15! ( 15! 8 17! ( 17! 9 e riscrivedo meglio 15! ( 15! 8 17 16 15! ( 17! 9 15! ( 15 ( 16 ( 17! semplificado acora per tutto il semplificabile 8 17 16 9 duque ( 15 ( 16 18 17. ( 15 ( 16 Le soluzioi soo e 33 quidi l uica soluzioe è 33. 8