SCHEDA SULLA TRIGONOMETRIA I N D I C E Circonferenza trigonometrica Relazioni fondamentali che legano tra loro le funzioni trigonometriche Riduzione al primo quadrante Segni algebrici delle funzioni trigonometriche Valori delle funzioni trigonometriche degli angoli fondamentali e alcuni notevoli Grafici delle funzioni trigonometriche Tavola dei valori naturali delle funzioni trigonometriche nel primo quadrante (con sei decimali) Formulario trigonometrico (addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione, parametriche, prostaferesi e di Werner) Schema riassuntivo per la risoluzione dei triangoli qualsiasi Schema riassuntivo per la risoluzione dei triangoli rettangoli Spunti e approfondimenti (tratta da wikipedia.it) Michele T. Mazzucato - settembre 05
Circonferenza trigonometrica Ha per centro l'origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali e per raggio l'unità OA=OC=OD=. Ad essa vengono riferite tutte le funzioni trigonometriche dirette sin (seno BC), cos (coseno OB), tan (tangente AG) e indirette csc (cosecante OD), sec (secante OG), cot (cotangente DF) nonché del versin (senoverso BA) = complemento a del coseno, vercos (cosenoverso C D ) = complemento a del seno, excsc (cosecante esterna DE) ed exsec (secante esterna CG). L angolo al centro cresce in senso antiorario. (tratta da wikipedia.it) Michele T. Mazzucato - settembre 05
Relazioni fondamentali che legano tra loro le funzioni trigonometriche ) sin α cos α = da cui sinα = ± (-cos α) 0.5 e cosα = ± (-sin α) 0.5 ) tanα = sinα/cosα ; tanα = /cotα ) cotα = cosα/sinα ; cotα = /tanα 4) cscα = /sinα ; csc α cot α = 5) secα = /cosα ; sec α tan α = 6) versinα = -cosα 7) vercosα = -sinα 8) excscα = cscα 9) exsecα = secα 0) senα = /cscα ) cosα = /secα Michele T. Mazzucato - settembre 05
Riduzione al primo quadrante metodo degli angoli II 90-80 III 80-70 IV 70-60 sinα sin(80 α) sin(α80 ) sin(60 α) cosα cos(80 α) cos(α80 ) cos(60 α) tanα tan(80 α) tan(α80 ) tan(60 α) cscα csc(80 α) csc(α80 ) csc(60 α) secα sec(80 α) sec(α80 ) sec(60 α) cotα cot(80 α) cot(α80 ) cot(60 α) metodo delle funzioni II 90-80 III 80-70 IV 70-60 sinα cos(α 90 ) cos(70 α) cos(α70 ) cosα sin(α 90 ) sin(70 α) sin(α70 ) tanα cot(α 90 ) cot(70 α) cot(α70 ) cscα sec(α 90 ) sec(70 α) sec(α70 ) secα csc(α 90 ) csc(70 α) csc(α70 ) cotα tan(α 90 ) tan(70 α) tan(α70 ) Nota: se l angolo in esame è maggiore dell angolo giro (60 =π), si tolgono tanti angoli giri quanti se ne possono estrarre dall angolo in esame e sul resto si applica uno dei metodi di riduzione di cui alle precedenti tabelle. Segni algebrici delle funzioni trigonometriche sinα cosα tanα cscα secα cotα I 0-90 0 0 0 0 II 90-80 0 0 - - 0 - - 0 - III 80-70 0 - - 0 0 - - - - 0 IV 70-60 - 0 0-0 - - 0 - Michele T. Mazzucato - settembre 05
0 0 0 π/6 sinα 0 cosα Valori delle funzioni trigonometriche degli angoli fondamentali e alcuni notevoli 45 π/4 60 π/ 90 π/ 0 π/ 5 π/4 50 5π/6 0 - - 80 π 5 5π/4 40 4π/ 0 - - - - 70 /π 00 5π/ - - - 0 tanα 0 ± - - - 0 ± cscα ± secα cotα ± ± - ± - - 0 π/6-60 π - 0 - - 0 - - - - ± - - - - ± 0 - - - ± 0 - - ± Nota: un radiante RAD è quell angolo al centro della circonferenza trigonometrica che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio della medesima circonferenza. Un RAD = 80 /π = 57.95 779 DEG proporzione per ricavare angoli radianti RAD conoscendo quelli sessagesimali DEG α r = π/60 α = π/80 α proporzione per ricavare angoli sessagesimali DEG conoscendo quelli radianti RAD α = 60 /πα r = 80 /πα r con π =.4 59... Michele T. Mazzucato - settembre 05
Grafici delle funzioni trigonometriche (tratti da www.matematicamente.it e realizzati da Gianni Sammito) sin cos tan csc sec cot Michele T. Mazzucato - settembre 05
Tavola dei valori naturali delle funzioni trigonometriche nel primo quadrante (con sei decimali) RAD DEG SIN COS TAN CSC SEC COT 0.000 000 00 0.000 000.000 000 0.000 000 -----.000 000 ----- 90.570 796 0.07 45 0 0.07 45 0.999 847 0.07 455 57.98 688.000 5 57.89 96 89.55 4 0.04 906 0 0.04 899 0.999 90 0.04 90 8.65 708.000 609 8.66 5 88.55 889 0.05 59 0 0.05 5 0.998 69 0.05 407 9.07.00 7 9.08 6 87.58 46 0.069 8 04 0.069 756 0.997 564 0.069 96 4.5 587.00 44 4.00 666 86.500 98 0.087 66 05 0.087 55 0.996 94 0.087 488.47 7.00 89.40 05 85.48 59 0.04 79 06 0.04 58 0.994 5 0.05 04 9.566 77.005 508 9.54 64 84.466 076 0. 7 07 0. 869 0.99 546 0. 784 8.05 509.007 509 8.44 46 8.448 6 0.9 66 08 0.9 7 0.990 68 0.40 540 7.85 96.009 87 7.5 69 8.4 69 0.57 079 09 0.56 44 0.987 688 0.58 84 6.9 45.0 465 6. 75 8.4 76 0.74 5 0 0.7 648 0.984 807 0.76 6 5.758 770.05 46 5.67 8 80.96 6 0.9 986 0.90 808 0.98 67 0.94 80 5.40 84.08 76 5.44 554 79.78 80 0.09 49 0.07 9 0.978 47 0. 556 4.809 74.0 40 4.704 60 78.6 56 0.6 89 0.4 95 0.974 70 0.0 868 4.445 4.06 04 4. 475 77.4 90 0.44 46 4 0.4 9 0.970 95 0.49 8 4. 565.00 6 4.00 780 76.6 450 0.6 799 5 0.58 89 0.965 95 0.67 949.86 70.05 76.7 050 75.08 996 0.79 5 6 0.75 67 0.96 6 0.86 745.67 955.040 99.487 44 74.9 54 0.96 705 7 0.9 7 0.956 04 0.05 70.40 0.045 69.70 85 7.74 090 0.4 59 8 0.09 06 0.95 056 0.4 99.6 067.05 46.077 68 7.56 67 0. 6 9 0.5 568 0.945 58 0.44 7.07 55.057 60.904 0 7.9 8 0.49 065 0 0.4 00 0.99 69 0.6 970.9 804.064 77.747 477 70. 70 0.66 59 0.58 67 0.9 580 0.8 864.790 48.07 44.605 089 69.04 77 0.8 97 0.74 606 0.97 8 0.404 06.669 467.078 54.475 086 68.86 8 0.40 45 0.90 7 0.90 504 0.44 474.559 04.086 60.55 85 67.69 70 0.48 879 4 0.406 76 0.9 545 0.445 8.458 59.094 66.46 06 66.5 97 0.46 5 0.4 68 0.906 07 0.466 07.66 0.0 77.44 506 65.4 464 0.45 785 6 0.48 7 0.898 794 0.487 7.8 7. 60.050 0 64.7 00 0.47 8 7 0.45 990 0.89 006 0.509 55.0 689. 6.96 60 6.099 557 0.488 69 8 0.469 47 0.88 947 0.5 709.0 054. 570.880 76 6.08 04 0.506 45 9 0.484 809 0.874 69 0.554 09.06 665.4 54.804 047 6.064 650 0.5 598 0 0.500 000 0.866 05 0.577 50.000 000.54 700.7 050 60.047 97 0.54 05 0.55 08 0.857 67 0.600 860.94 604.66 6.664 79 59.09 744 0.558 505 0.59 99 0.848 048 0.64 869.887 079.79 78.600 4 58.0 90 0.575 958 0.544 69 0.88 670 0.649 407.86 078.9 6.59 864 57 0.994 87 0.59 4 4 0.559 9 0.89 07 0.674 508.788 9.06 7.48 560 56 0.977 84 0.60 865 5 0.57 576 0.89 5 0.700 07.74 446.0 774.48 48 55 0.959 9 0.68 8 6 0.587 785 0.809 06 0.76 54.70 0.6.76 8 54 0.94 477 0.645 77 7 0.60 85 0.798 65 0.75 554.66 640.5 5.7 044 5 0.95 04 0.66 5 8 0.65 66 0.788 00 0.78 85.64 69.69 08.79 94 5 0.907 57 0.680 678 9 0.69 0 0.777 45 0.809 784.589 05.86 759.4 897 5 0.890 7 0.698 40 0.64 787 0.766 044 0.89 099.555 7.05 407.9 75 50 0.87 664 0.75 584 4 0.656 059 0.754 709 0.869 86.54 5.5 0.50 68 49 0.855 0.7 08 4 0.669 0 0.74 44 0.900 404.494 476.45 6.0 6 48 0.87 758 0.750 49 4 0.68 998 0.7 5 0.9 55.466 79.67 7.07 68 47 0.80 04 0.767 944 44 0.694 658 0.79 9 0.965 688.49 556.90 6.05 50 46 0.80 85 0.785 98 45 0.707 06 0.707 06.000 000.44.44.000 000 45 0.785 98 COS SIN COT SEC CSC TAN DEG RAD Michele T. Mazzucato - settembre 05
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Schema riassuntivo per la risoluzione dei triangoli qualsiasi Per risolvere un triangolo qualsiasi occorrono tre elementi (due per un triangolo rettangolo) di cui almeno un lato caso noti: lato e angoli esempio: a α β una sola soluzione γ= 60 -(αβ) b= asinβ/sinα c= asinγ/sinα A= (c /)[(sinβsinα)/sin(βα)] caso noti: lati e l angolo compreso esempio: a b γ una sola soluzione Caso noti: lati e angolo adiacente al lato incognito esempio: a b α nessuna, una o due soluzioni caso 4 noti: lati esempio: a b c una sola soluzione c = a b -abcosγ cosα= (b c -a )/bc β= 60 -(αγ) sinβ= (bsinα)/a γ= 60 -(αβ) c= asinγ/sinα verificare le soluzioni ambigue per β cosα= (b c -a )/bc cosβ= (a c -b )/ac γ= 60 -(αβ) A= (absinγ)/ A = p(p-a)(p-b)(p-c) con p= (abc)/ A = p(p-a)(p-b)(p-c) con p= (abc)/ A B C vertici e a b c lati del triangolo α β γ angoli interni del triangolo corrispondenti ai rispettivi vertici e opposti ai rispettivi lati In ogni triangolo: α β γ = π = 80 Michele T. Mazzucato - settembre 05
Schema riassuntivo per la risoluzione dei triangoli rettangoli Per risolvere un triangolo qualsiasi occorrono tre elementi (due per un triangolo rettangolo) di cui almeno un lato caso noti: ipotenusa c e angolo α β= 90 -α a= csinα = ccosβ b= ccosα = csinβ A = p(p-a)(p-b)(p-c) con p= (abc)/ caso noti: cateto a e angolo α β= 90 -α b= acotα = atanβ c= a/sinα = a/cosβ A = p(p-a)(p-b)(p-c) con p= (abc)/ caso noti: ipotenusa c e cateto a sinα= a/c oppure cosβ= a/c β= 90 -α oppure α= 90 -β b= ccosα = csinβ A = p(p-a)(p-b)(p-c) con p= (abc)/ caso 4 noti: cateto a e cateto b tanα= a/b oppure tanβ= b/a β= 90 -α oppure α= 90 -β c= a/sinα = a/cosβ A = p(p-a)(p-b)(p-c) con p= (abc)/ A B C vertici, a b cateti e c ipotenusa del triangolo α β γ angoli interni del triangolo corrispondenti ai rispettivi vertici e opposti ai rispettivi lati con γ=90 angolo retto e A area del triangolo In ogni triangolo: α β γ = π = 80 Michele T. Mazzucato - settembre 05
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