Gli eventi Torniamo ora a occuparci degli eventi. Qualunque sia la concezione utilizzata per determinare la probabilità di un evento, si lavora all'interno di un insieme determinato di casi possibili. \ L'insieme 5 di tutti i possibili risultati relativi a un determinato esperimento si chiama spazio probabilistico o universo. Ogni sottoinsieme A dello spazio probabilistico S si chiama evento: A C S. Possiamo quindi dire che: un evento A e un insieme di possibili risultati. Poiché gli eventi sono insiemi, ogni considerazione relativa a eventi può essere espressa con il linguaggio degli insiemi, pertanto si ha che: un evento A si dice certo se coincide con S; un evento A si dice impossibile se è l'insieme vuoto 0; un evento A si dice elementare se è un insieme con un solo elemento. Analizziamo ora i seguenti esempi. 1. Nel lancio di una moneta determiniamo lo spazio probabilistico S. Lanciando una moneta si può ottenere testa o croce, cioè: T= testa e C = croce L'insieme S= [T, C] ha, quindi, 2 elementi. 2. Nel lancio contemporaneo di due monete, vogliamo calcolare la probabilità che esca la stessa faccia. L'insieme 5 di tutti i casi possibili è dato da tutte le possibili coppie che si possonc formare tra i risultati T e C, cioè: S={(T, T); (T, C); (C, T), (C, C)} L'evento di cui vogliamo calcolare la probabilità è E esce la stessa faccia, cioè: ={(r, Pertanto, tutti i casi possibili sono 4 mentre i casi favorevoli sono 2; dunque la probabilità dell'evento E è: p(e} = 2 1 3. Nel lancio contemporaneo di due dadi, vogliamo calcolare la probabilità che la somma delle due facce sia 6. E = la somma delle due facce dei dadi è 6 79
L'insieme di tutti i casi possibili è dato da tutte le possibili coppie che si possono formare con i numeri naturali compresi tra 1 e 6; per determinarlo possiamo utilizzare un diagramma ad albero: l 2 I e2 (ini l + 2 l 2 Te 2 l + 2 U;3) 0;4) i 2 I e2 l + 2 l 2 I e2 l + 2 mentre quello dei casi favorevoli è 5; Usando le operazioni tra i sottoinsiemi di 5 si ottengono nuovi elementi di S. Dati due eventi f, e E2, appartenenti allo stesso spazio probabilistico, si chiama evento unione E = E, u E2 l'evento E che consiste nel verificarsi dell'evento f, o dell'evento 2, dove la congiunzione o > è da intendersi in senso inclusivo, ossia si possono verificare l'uno o l'altro oppure entrambi gli eventi. \/ Dati due eventi f, e E2l appartenenti allo stesso spazio probabilistico, si chiama evento intersezione E = f, n E2 l'evento f che consiste nel verificarsi dell'evento f, e dell'evento E2l cioè di entrambi gli eventi. 80
Consideriamo il seguente esempio. Estraendo due carte da un mazzo di 52 carte, vogliamo che esca: a) una regina o un 5; Nel caso a} l'evento da considerare è: T- C h = esce una regina o un 5; questo evento è la composizione di due eventi: b) una regina e un 5. ", = esce una regina; E2 = esce il 5. Nel caso b) l'evento da considerare è: E = esce una regina e un 5; questo evento è la composizione di due eventi: r -le esce una regina; 2 = esce il 5. Si può notare che gli eventi El e E2 nei due casi sono gli stessi, ma varia la congiunzione che li lega. La diversa congiunzione definisce i due diversi eventi proposti nell'esempio: l'evento unione relativo all'esempio à}\ l'evento intersezione relativo all'esempio b}. Ci poniamo ora il problema di vedere se è possibile calcolare la probabilità dell'evento unione e dell'evento intersezione partendo dalla probabilità degli eventi che li compongono. La probabilità dell'evento unione Dati due eventi A e B consideriamo l'evento unione C'-A U B = C. B A\JB=C Viene spontaneo chiedersi se la probabilità dell'evento unione di due eventi sia uguale alla somma delle probabilità degli eventi stessi: scopriamolo analizzando i seguenti esempi. 1. Lanciando un vogliamo, ad esempio, calcolare la probabilità che esca un numero maggiore di 2 oppure un numero dispari. E= esce un numero maggiore dì 2 o un numero dispari L'evento E è composto da due eventi E} e E2, più precisamente è un evento unione; quindi E = E{ U E2, dove: EI = esce un numero maggiore di 2;. E2 = esce un numero dispari. 81
Calcoliamo la probabilità di questi due eventi: CP u/i =4 /fwij fì (F \ 4 2 /- 2 o 3 1 Supponendo che p (E) ~ p (,) + p ( 2) si ha che: 2 1 7 3 2 6 i II risultato ottenuto è impossibile perché deve essere O Vediamo che cosa non ha funzionato nel nostro ragionamento analizzando la rappresentazione grafica degli eventi in questione: {3, 4, 5, 6}; 2 = {1, 3, 5}; =, (JE2 = [I, 3, 4, 5, 6} Quindi: p (E) ~ Gli eventi El e E2 hanno due elementi in comune, ossia, O E2 = {3, 5}, quindi quando eseguiamo la somma delle due probabilità questi due elementi vengono contati due volte nei casi favorevoli. Per questo motivo abbiamo ottenuto un risultato impossibile. r Se invece sottraiamo dalla somma la probabilità dell'evento intersezione, cioè: 2 1. otteniamo: p(e] =p(e} U 2) = +p(e2] -p(e, che è proprio il valore della probabilità cercata. 2. Calcoliamo ora la probabilità che lanciando un esca il numero 3 o un numero pari....., Anche in questo caso I evento: E = esce il numero 3 o un numero pari è l'evento unione degli eventi, e 2: El esce il numero 3; Si ha che: E2 esce un numero pari, - {3};, - {2, 4, 6}; E=, U 2 = {2, 3, 4, 6};, D E2 = 0. m Calcoliamo i casi fpossibili e i casi favorevoli dell'evento : 4 82
Calcoliamo ora i casi possibili e Ì casi favorevoli degli eventi E\ E2: Se facciamo la somma delle probabilità otteniamo la probabilità cercata? 1 i 4 2 La risposta alla domanda che ci siamo posti è affermativa. Cosa è cambiato rispetto all'esempio precedente? In questo caso l'intersezione degli insiemi che rappresentano i due eventi è l'insieme vuoto, cioè i due eventi El e E2 non hanno elementi in comune. Prima di generalizzare i risultati ottenuti nei due esempi precedenti, dobbiamo distinguere gli eventi tra compatibili e incompatibili. X. Due eventi si dicono compatibili se si possono verificare contemporaneamente. L'intersezione degli insiemi che rappresentano due eventi compatibili è un insieme non vuoto. Due eventi si dicono incompatibili se il verificarsi dell'uno esclude il verificarsi dell'altro. Gli insiemi che rappresentano due eventi incompatibili sono disgiunti. Eventi El e E2: (. Compatibili Incompatibili Pi E2 = 0 Enunciamo ora i teoremi relativi alla probabilità dell'evento unione. Teorema della probabilità totale, relativo a eventi compatibili Dati due eventi E, e E2 compatibili, la probabilità dell'evento unione E = E, u E2 è uguale alla somma delle probabilità dei due eventi E, e E2, diminuita della probabilità dell'evento intersezione, E, n E2: Teorema della probabilità totale, relativo a eventi incompatibili Dati due eventi E, e E2 incompatibili, la probabilità dell'evento unione E = E, u E2 è uguale alla somma delle probabilità dei due eventi E, e E2: 83
ESEMPI 1. Calcoliamo la probabilità che estraendo a caso una carta da un mazzo di 40 carte questa sia un re o una figura di denari. E esce un re o una figura di denari L'evento E è l'evento unione dei due eventi seguenti: C* E = esce un re; E2 esce una figura di denari; E = EI U E2., Bisogna innanzitutto stabilire se i due eventi sono compatibili o incompatibili. Questi due eventi sono compatibili perché tra le figure di denari c'è anche il re, quindi possiamo applicare il teorema della somma di eventi compatibili: p(e} = H E2 = {re di denari}. Calcoliamo le probabilità da inserire nella formula: C/>,=40 CF, =4 />(,) = p(e^e2} = Pertanto si ha che: p(e) = /»(, U ) =p(e,} + j>(e2] - La probabilità che si verifìchi l'evento E = E} U E2 è r. 20 2. Calcoliamo la probabilità che estraendo a caso una carta da un mazzo di 40 carte questa sia un fante o un 7. E= E} U E2 in cui: E] esce un fante; E2 = esce un 7. E esce un fante o un 7 Poiché i due eventi sono incompatibili, E1C\E2 = 0, possiamo applicare il teorema della somma di eventi incompatibili: p(e)=p(e,\jej =/»(,) +p(e2] Calcoliamo le probabilità degli eventi E{ e E2: CPy - 40 CP, = 4 Per cui si ha: p(e} = La probabilità che esca un fante o un 7 è