Stima puntuale di parametri

Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 006/007 C.d.L.: Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio, Ingegneria Civile, Ingegneria Gestionale, Ingegneria dell Informazione C.d.L.S.: Ingegneria Civile Stima puntuale di parametri Ines Campa e Marco Longhi Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 1

Esercizi Esercizio 1. Si consideri per ϑ > 0 la funzione definita da 4 ϑ x se 0 x ϑ 4 f (x; ϑ) = ϑ (ϑ x) se ϑ < x ϑ 0 altrimenti 1. Verificare che per ogni ϑ > 0, f ( ; ϑ) rappresenta una funzione di densità di probabilità.. Sia X 1, X,, X n un campione casuale estratto dalla popolazione di densità f(, ϑ), stabilire se T = n X i è uno stimatore corretto di ϑ. Risoluzione. Disegniamo il grafico della funzione di densità di probabilità data Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p.

1. Risulta + f (x; ϑ)dx = 1 ϑ ϑ = 1 quindi f ( ; ϑ) rappresenta una funzione di densità di probabilità per ogni ϑ > 0. T è uno stimatore corretto o non distorto di ϑ se E [T] = ϑ. Nel nostro caso E [X] = 1 ϑ e [ ] E [T] = E X i = E [X i ] = n n = n ne [X i] = n n1 ϑ = ϑ = lo stimatore è corretto Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 3

Esercizio. Sia X la variabile casuale di Poisson di parametro λ, 1. calcolare lo stimatore di massima verosimiglianza di λ;. verificare la correttezza dello stimatore trovato; 3. calcolare l errore quadratico medio; 4. determinare uno stimatore con il metodo dei momenti; 5. supponendo poi di avere i seguenti dati campionati, 3,, 4, 3, 5, 4,, 3,, 3, 4,, 3, 4, 3,, 3, 4, 5, 4, 3, 3, 4 calcolare il valore stimato di λ. Risoluzione. X ha funzione di densità di probabilità f X (x; λ) = { λ x x! e λ se x N 0 altrove Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 4

La funzione di verosimiglianza è L (x 1,, x n, λ) = λx 1 x 1! e λ λx x! e λ... λxn x n! e λ = λx1+x+ +xn x 1!x! x n! e nλ = = 1 x 1!x! x n! λ x i e nλ con x i N, i = 1,, n. Il valore di λ : λ che massimizza L è detto stima di massima verosimiglianza e Λ(X 1, X,, X n ) è lo stimatore di massima verosimiglianza. Calcoliamo x d dλ L (x e nλ i 1 x i 1,, x n, λ) = x 1!x! x n! x i λ nλ Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 5

Cerchiamo gli zeri della derivata prima di L (x 1,, x n, λ) rispetto a λ x i λ x i 1 nλ x i = 0 1 λ x i λ x i nλ x i = 0 1 λ x i n = 0 = λ(x 1, x,, x n ) = x i n = x n Si verifica che λ è un punto di massimo, anche se in modo piuttosto faticoso. Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 6

Quindi λ(x 1, x,, x n ) = x i = x n n è la stima di massima verosimiglianza di λ e la media campionaria lo stimatore di massima verosimiglianza. Allo stesso risultato si perviene usando la log-verosimiglianza ln[l (x 1,, x n, λ)] = nλ + x i lnλ ln(x i!) Calcoliamo d dλ ln[l (x 1,, x n, λ)] = n + Poniamo uguale a zero la derivata prima x i λ Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 7

x i n + = 0 = λ λ(x 1, x,, x n ) = = x n n Lo stesso risultato di prima, ma si tratta di un punto di massimo? d dλ ln [L (x 1,, x n, λ)] λ = λ = x i λ x i < 0 = λ PUNTO DI MAX Per determinare se lo stimatore è non distorto calcoliamo ] E [ Λ(X 1, X,, X n ) = E [ [ ] n ] 1 X n = n E X i = 1 ne [X] n Essendo X v.c. di Poisson di parametro λ, si ha E [X] = λ, quindi ] E [ Λ(X 1, X,, X n ) = λ = Λ stimatore non distorto Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 8

Chiamiamo errore quadratico medio di uno stimatore T = t (X 1,, X ), la funzione di ϑ data da: MSE [T](ϑ) := E [(T τ(ϑ)) ] con τ(ϑ) funzione del parametro da stimare. Ma MSE[T](ϑ) := var [T] + [D [T](ϑ)], D [T](ϑ) := τ(ϑ) E [T] ] ] Nel nostro caso E [ Λ = λ = D [ Λ = 0, quindi ] MSE [ Λ ] = var[ Λ = var [ ] X n = }{{} X i ind. 1 n var [X i ] = 1 n nλ = λ n Determiniamo, ora, uno stimatore con il metodo dei momenti. Ricordiamo che con M r = 1 Xi r, µ r = E [X r ] n Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 9

indicano rispettivamente il momento campionario assoluto di ordine r e il momento di ordine r della variabile casuale X. Il metodo dei momenti consiste nel risolvere il sistema nelle incognite ϑ 1,, ϑ k di k, numero dei parametri incogniti, equazioni µ 1 = M 1 µ = M µ k = M k Nel nostro caso abbiamo solo un parametro da stimare, λ, quindi calcoliamo Posto µ 1 = M 1, risulta Λ = 1 n µ 1 = E [X] = λ, e M 1 = 1 n X i. X i Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 10

Esercizio 3. Sia X 1, X...X n un campione casuale di ampiezza n estratto da una popolazione con distribuzione uniforme nell intervallo [a b, a + b]. Determinare gli stimatori di a e b con il metodo dei momenti. Risoluzione. L intervallo ha ampiezza a + b (a b) = b, ne segue che la funzione di densità di probabilità della v.c. X è f (x; a, b) = { 1 b se a b x a + b 0 altrove Per determinare gli stimatori di a, b con il metodo dei momenti, bisogna risolvere il sistema { µ 1 = M 1 µ 1 = X n µ = M = µ = 1 n Xi Calcoliamo µ 1 = a+b+a b = a e Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 11

Sostituendo µ = var[x] + (µ 1) = [(a + b) (a b)] 1 a = X n b 3 + a = 1 n Xi + a = b 3 + a ed eseguendo alcuni passaggi algebrici, ne segue che gli stimatori cercati sono â = 1 ( X i e n b = 3 Xi n 3 n ) n X i Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 1

Esercizio 4. Sia data la variabile casuale unidimensionale X con funzione di densità di probabilità data da: con ϑ > 0. f (x; ϑ) = { 1 18ϑ e x 4 3ϑ se x 0 0 altrimenti 1. Trovare uno stimatore di ϑ > 0 con il metodo di massima verosimiglianza.. Calcolare la densità di probabilità della variabile casuale Y = X. Risoluzione. Costruiamo la funzione di massima verosimiglianza L (x 1,, x n, ϑ) = 1 x1 18ϑ 4 e 3ϑ con x i 0, i = 1,...,n. = 1 x 18ϑ 4 e 3ϑ... 1 (18ϑ 4 ) n e ( x 1 + x +...+ xn) 3ϑ 1 x n 18ϑ 4 e 3ϑ = Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 13

Cerchiamo ϑ che massimizza lnl tra le soluzioni di d dϑ lnl = n ln18ϑ 4 + lne ( x 1 + x +...+ xn) 3ϑ x1 + x +... + x n = n ln18 4n lnϑ 3ϑ si ha d dϑ lnl = 4n ϑ + 3ϑ 3 ( x 1 + x +... + x n ) = 0 Essendo ϑ > 0 risulta ϑ = x1 + x +... + x n 6n Vediamo se si tratta di un punto di massimo, calcoliamo d lnl = +4n dϑ ϑ ϑ 4 ( x 1 + x +... + x n ) lnl = 0. Calcoliamo Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 14

ne segue d dϑ lnl ϑ = ϑ = ϑ ( n ϑ 6n ϑ ) = 8n ϑ < 0 = ϑ PUNTO DI MAX Quindi xi Θ = 6n è uno stimatore di ϑ di massima verosimiglianza. Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 15

Determiniamo la densità di probabilità della variabile casuale Y = [ X. Si X ] ha F Y (y) = P [Y y] = P y. Se y < 0 si ha [ x y] =. Se y 0, si ha F Y (y) = P [ X y ] = y 0 1 18ϑ 4 e x 3ϑ dx Posto t = x 3ϑ, risulta d t = 1 6ϑ x d x = 18ϑ4 td t = d x. Quindi y 0 1 x 18ϑ 4 e 3ϑ dx = y 3ϑ 0 te t d t = 1 e y 3ϑ ( 1 + y 3ϑ ) Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 16

Ne segue derivando si ottiene F Y (y) { f Y (y) 1 e ( y 3ϑ 1 + y se y 0 0 se y < 0 3ϑ ) { y 9ϑ e y 4 3ϑ se y 0 0 se y < 0 Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 17

Esercizio 5. Si supponga che X 1, X, X 3 sia un campione casuale di ampiezza 3 estratto da una distribuzione esponenziale di media λ. Si considerino i seguenti stimatori del parametro λ: Λ 1 = X 1, Λ = X 1 + X 1. Indicare quali sono gli stimatori non distorti di λ., Λ 3 = X 1 + X 3. Individuare tra gli stimatori non distorti quello con MSE minimo., Λ 4 = X 3 Risoluzione. Sia X una v.c. esponenziale di media λ, si ha f (x; λ) = { 1 λ e x λ se x 0 0 altrove con E [X] = λ e var [X] = λ. Calcoliamo il valore atteso degli stimatori dati E [Λ 1 ] = E [X 1 ] = λ Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 18

[ ] X1 + X E [Λ ] = E = 1 (E [X 1] + E [X ]) = 1 λ = λ [ ] X1 + X E [Λ 3 ] = E = 1 3 3 (E [X 1] + E [X ]) = 1 (λ + λ) = λ 3 E [Λ 4 ] = E [ X 3 ] = λ Tutti gli stimatori dati sono non distorti, per individuare il preferibile, calcoliamo la varianza di ciascuno: var [Λ 1 ] = var [X 1 ] = λ [ ] X1 + X var [Λ ] = var = 1 4 (var [X 1] + var[x ] + cov [X 1, X ]) = = 1 4 λ = 1 λ (X 1 e X sono indipendenti) [ ] X1 + X var[λ 3 ] = var = 1 3 9 (var [X 1] + 4var[X ]) = 1 (λ + 4λ ) = 5 9 9 λ Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 19

var [Λ 4 ] = var [ X 3 ] = 1 3 λ Lo stimatore non distorto con varianza minima è la media campionaria. Esercizio 6. Il numero di interruzioni (crash) di un personal computer segue una distribuzione di Poisson di parametro λ. Sia X 1, X...X n un campione casuale di ampiezza n estratto dalla distribuzione di Poisson data. Se il costo di riparazione è dato da Y n = 3X n + X n dove X n è la media campionaria su n crash, calcolare E [Y ]. Risoluzione. Sia X una v.c. di Poisson di parametro λ, si ha f (x; λ) = { λ x x! e λ se x = 0, 1,, 3... 0 altrove con E [X] = λ e var [X] = λ. Calcoliamo il valore atteso dello stimatore dato [ ] E [Y n ] = E 3X n + X n = 3E [ ] [ ] [ ] X n + E X n = 3λ + E X n Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 0

Ma quindi E [ ] X n E [ X n ] = var [ Xn ], var [ Xn ] = var [X] n = λ n, E [Y n ] = 3λ + λ n + λ e passando al limite per n si ha E [Y ] = 3λ + λ Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 1

Esercizio 7. Per un corso la prova d accertamento del profitto è costituita da una batteria di 30 quesiti con risposta dicotomica. Si può ipotizzare che chi risponde a caso ad un quesito abbia probabilità 1 di indovinare la risposta esatta. Supponiamo che ogni risposta esatta sia valutata 1 30, si dica qual è per una persona perfettamente ignorante: 1. la probabilità di ottenere la sufficienza in una prova d esame;. il numero medio di prove necessarie per superare l esame. Sia X la variabile casuale che conteggia il numero di risposte esatte in una prova. È ragionevole pensare che X = S + I dove S indica la variabile casuale che conteggia il numero dei quesiti di cui il candidato sa la risposta esatta, mentre I è la variabile casuale che conteggia il numero di risposte indovinate. Sia S la v.c. binomiale di parametri n = 30 e p e sia I/S = s la v.c. binomiale di parametri n = 30 s e p = 1. Si determini la funzione di densità di probabilità congiunta di S e I, p S,I (s, i). Si mostri che p X (x) = x p S,I (s, x s) con x = 0,, 30 e dunque X è una s=0 variabile casuale binomiale di parametri n = 30 e 1+p. Si determini uno stimatore non distorto di p. Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p.

Risoluzione. Per ipotesi X è la v.c. che conteggia il numero di risposte esatte, ha distribuzione Bi ( 30, ) 1 con ( ) 30 p X (x) = p x (1 p) 30 x x = 0,, 30 x Nel caso ricerchiamo la probabilità di ottenere appena la sufficienza si ha ( ) (1 ) 18 ( ) 1 30 1 p = p X (18) = 0.08055 18 Se invece vogliamo almeno la sufficienza, dobbiamo calcolare P [X 18]. Dato che { np = 30 1 ) nq = 30 1 = 15 5 = X ha distribuzione appr. N = 15 5 ( 15, 15 Quindi P [X 18] = P [X 17.5] 0.18066 = p con l interpolazione, facendo invece " la media aritmetica" p = 0.1801. Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 3

T denota il numero di prove di 30 domande ciascuna. Quando si avrà il superamento della prova con esattamente la sufficienza T è una v.c. di Pascal di parametro p = 0.08055, quindi E [T] = 1 p 1.41465, per passare la prova con esattamente la sufficienza bisogna fare mediamente l esame dalle 1 alle 13 volte. Se invece si avrà il superamento della prova con almeno la sufficienza T è una v.c. di Pascal di parametro p = 0.18066 = E [T] 5.5356 p = 0.1801 = E [T] 5.5547 Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 4

Sia 0 s 30 e 0 i 30 s allora ( ) 30 p S,I (s, i) = p s (1 p) 30 s s = ( 30 s ) ( 30 s i ( ) 30 s i ) (1 p s [ 1 (1 p) ] 30 s ) i ( ) 30 s i 1 = Scelto 0 s 30 e 0 i 30 s risulta p X (x) = = (s,i): s+i=x ( x s=0 30 x p S,I (s, i) = ) ( x s ) (s,i): i=x s [ ] 30 s 1 p p s = p S,I (s, x s) = Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 5

= ( 30 s ) s=0 ( ) 30 x x ( 1 p Ricordando il binomio di Newton ( ) x ( x 1 p p s s s=0 x s ) x s = ) p s ( 1 p ( 1 + p ) x ) x s. si ha p X (x) = ( 30 x ) (1 ) (30 x) ( ) x p 1 + p, con x = 0, 1,..., 30. Pertanto X è una binomiale di parametri 30 e 1+p, di media E [X] = 30 1 + p = 15 (1 + p). Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 6

Determiniamo, inoltre, uno stimatore di p con il metodo dei momenti: Calcoliamo E [ p] quindi p è corretto. X n = 15(1 + p) = p = X n 15 E [ p] = 1 15 1 stimatore di p. 15(1 + p) 1 = p, Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 7

Esercizio 8. X 1, X...X n un campione casuale proveniente da una distribuzione rettangolare nell intervallo [0, ϑ] con ϑ > 0. 1. Si determini lo stimatore di ϑ con il metodo dei momenti.. Si verifichi se tale stimatore è consistente. Risoluzione. L intervallo ha ampiezza ϑ 0 = ϑ, ne segue che la funzione di densità di probabilità della v.c. rettangolare X è f (x; ϑ) = { 1 ϑ se 0 x ϑ 0 altrove Per determinare lo stimatore di ϑ con il metodo dei momenti, bisogna risolvere l equazione µ 1 = M 1 = µ 1 = X n, rispetto a ϑ. Calcoliamo µ 1 = 0+ϑ = ϑ, sostituendo nell equazione precedente risulta X n uno stimatore di ϑ. Essendo E [ ] X n = ϑ, lo stimatore è non distorto. Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 8

Calcoliamo var [ X n ] = }{{} X i indip. 1 n var[x i ] = 1 n n ϑ 3 = ϑ 3n. Ne segue [ (Xn lim E ϑ ) ] = n + quindi lo stimatore è consistente. lim n + ϑ 3n = 0, Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 9

Esercizio 9 (Tema d esame del 10/01/006). Sia X 1, X...X n un campione casuale di ampiezza n estratto da una popolazione con densità di probabilità con ϑ > 0. { ( ) f X (x, ϑ) = ϑ 1 x ϑ se 0 x ϑ 0 altrove 1. Determinare uno stimatore T di ϑ con il metodo dei momenti.. Stabilire se T è distorto e calcolarne l errore quadratico medio. Risoluzione. Individuiamo lo stimatore T del parametro ϑ, risolvendo rispetto a ϑ X n = E [X]. Calcoliamo quindi E [X] = ϑ 0 (1 ϑ x x ) d x = 1 ϑ 3 ϑ Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 30

X n = 1 3 ϑ = T = 3X n. Lo stimatore è non distorto, infatti, E [ 3X n ] = 3E [ Xn ] = 3 ϑ 3 = ϑ Calcoliamo, infine, l errore quadratico medio MSE[T] = var[t] = var [ ] var[x] 3X n = 9. n E [ X ] = ϑ Ne segue MSE[T] = ϑ n. 0 ( ϑ x 1 x ) d x = ϑ ϑ 6 = var[x] = ϑ 6 ϑ 9 = ϑ 18. Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 31

Esercizio 10 (Tema d esame del 1/07/005). Sia X 1, X...X n un campione casuale di ampiezza n estratto da una popolazione con densità di probabilità f X (x, ϑ) = { 5 ϑ ϑ x ϑ 1 se 0 < x < 5 0 altrove con ϑ > 0. Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza Θ di ϑ. Risoluzione. Calcoliamo la funzione di massima verosimiglianza L (x 1, x,, x n, ϑ) = n n f (x i, ϑ) = 5 nϑ ϑ n x ϑ 1 i con 0 < x i < 5, i = 1,,...,,n. Quindi lnl = nϑ ln5 + n lnϑ + (ϑ 1) lnx i e Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 3

Poniamo Inoltre, d dϑ lnl = n ln5 + n n ϑ + d dϑ lnl = 0 = ϑ = d dϑ lnl n n ln5 n ln x i ϑ = ϑ = ṋ ϑ < 0 lnx i quindi Θ = n n ln5 n lnx i Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 33

Esercizio 11 (Tema d esame del 8/06/005). Sia X 1,...,X n un campione casuale, di dimensione n, estratto da una distribuzione rettangolare uniforme sull intervallo [a, a]. 1. Determinare uno stimatore T 1 di a con il metodo dei momenti. Verificare se lo stimatore T 1 è distorto e calcolarne l errore quadratico medio MSE[T 1 ].. Considerato poi lo stimatore T = 1 X 1 + 1 6 X, verificare se T è distorto e calcolarne l errore quadratico medio MSE[T ]. 3. Supposto n = 3, quale dei due stimatori T 1 e T di a è preferibile (giustificare la risposta)? T 1 = 3 X n T 1 non distorto [Risposta MSE[T 1 ] = a 7n T non distorto MSE[T ] = 5a 16 T 1 preferibile ] Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 34

Esercizio 1 (Tema d esame del 11/04/006). Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza del parametro λ per un campione estratto dalla densità f(x) = { λ (x 1)e λ(x 1) se x > 1, 0 altrove. [Risposta T = X n 1 ] Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 35

Esercizio 13 (Tema d esame del 04/07/006). Sia X 1,...,X 8 un campione aleatorio, di dimensione 8, estratto da una distribuzione rettangolare uniforme sull intervallo [ 1, b], con b > 1. Si chiede: 1. determinare uno stimatore T 1 di b con il metodo dei momenti;. determinare se lo stimatore T 1 sia distorto; 3. calcolare l errore quadratico medio MSE[T 1 ]; 4. considerato poi lo stimatore T = 4X 8 X 3 X 5 + 1, calcolarne l errore quadratico medio MSE[T ]; 5. determinare quale dei due stimatori T 1 e T di b sia preferibile, giustificando la risposta. [Risposta T 1 = X n + 1 T 1 non distorto MSE[T 1 ] = (b+1) 4 MSE[T ] = (b+1) 6 T 1 preferibile ] Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 36

Esercizio 14 (Tema d esame del 05/04/005). Sia X una variabile casuale normale con media µ e varianza σ. Siano X 1, X, X 3 le variabili casuali indipendenti descritte dalle tre determinazioni x 1, x, x 3 di un campione casuale estratto da essa. Per stimare il parametro µ si considerano i due seguenti stimatori: X 3 = X 1 + X + X 3 3, T = 1 5 X 1 + 1 5 X + 3 5 X 3. 1. Dire se X 3 e T sono stimatori non distorti di µ e motivare la risposta.. Calcolare MSE[X 3 ] e MSE[T] e stabilire quale tra i due stimatori X 3 e T di µ sia preferibile, motivando la risposta. X 3 non distorto [Risposta T non distorto MSE[X 3 ] = σ 3 MSE[T] = 11σ 5 X 3 preferibile ] Probabilità e Statistica - Esercitazioni - a.a. 006/007 Stima puntuale di parametri- Ines Campa e Marco Longhi - p. 37