Indice Nozioni preliminari... 1 Notazioni... 1 Alcunirichiamidianalisimatematica... 3 Sommeinfinite... 3 1 Spazi di probabilità discreti: teoria... 7 1.1 Modelli probabilistici discreti..... 7 1.1.1 Considerazioni introduttive...... 7 1.1.2 Assiomi della probabilità.... 10 1.1.3 Probabilità e densità discreta..... 12 1.1.4 Proprietà fondamentali..... 15 1.2 Calcolocombinatorio... 20 1.2.1 Principi basilari..... 20 1.2.2 Disposizioni con ripetizione..... 21 1.2.3 Il principio fondamentale.... 22 1.2.4 Disposizioni semplici e permutazioni... 24 1.2.5 Combinazioni...... 28 1.2.6 Estrazioni di palline da un urna... 29 1.3 Probabilità condizionale e indipendenza.... 33 1.3.1 Probabilità condizionale... 33 1.3.2 Bayes e dintorni.... 36 1.3.3 Indipendenza di eventi..... 40 1.3.4 Prove ripetute e indipendenti..... 47 1.3.5 Esempi e paradossi sul condizionamento...... 52 1.4 Esercizidiriepilogo... 61 1.5 Notebibliografiche... 67 2 Spazi di probabilità discreti: esempi e applicazioni... 69 2.1 Permutazionialeatorie... 69 2.2 Lapasseggiataaleatoriasemplice... 77 2.3 Statisticheclassicheequantistiche... 84
viii Indice 2.4 Il modello di Ising in meccanica statistica...... 90 2.5 IlmodellodiHardy-Weinbergingenetica... 98 2.6 Notebibliografiche... 101 3 Variabili aleatorie discrete: teoria... 103 3.1 Variabilialeatorieedistribuzioni... 103 3.1.1 Considerazioni introduttive...... 103 3.1.2 Definizioni.... 104 3.1.3 Probabilità discrete su spazi generali.... 106 3.1.4 Distribuzione e densità discreta... 107 3.1.5 Osservazioni ed esempi.... 111 3.1.6 Costruzione canonica di una variabile aleatoria...... 115 3.2 Indipendenzadivariabilialeatorie... 117 3.2.1 Distribuzioni congiunte e marginali..... 117 3.2.2 Indipendenza di variabili aleatorie...... 120 3.2.3 Rivisitazione delle prove ripetute e indipendenti..... 124 3.2.4 Proprietà dell indipendenza...... 125 3.2.5 Costruzione di variabili aleatorie indipendenti... 127 3.2.6 Dallo spazio di probabilità alle variabili aleatorie..... 128 3.3 Valor medio e disuguaglianze..... 130 3.3.1 Definizione... 130 3.3.2 Proprietà del valor medio... 134 3.3.3 Momenti, varianza e covarianza... 139 3.3.4 Valor medio e indipendenza..... 146 3.3.5 Disuguaglianze..... 147 3.3.6 Coefficiente di correlazione...... 151 3.4 Lavorareconledistribuzioni... 154 3.4.1 Somma di variabili aleatorie..... 154 3.4.2 Funzione di ripartizione.... 155 3.4.3 Massimo e minimo di variabili aleatorie indipendenti...... 158 3.4.4 Funzione generatrice dei momenti...... 159 3.5 Classinotevolidivariabilialeatoriediscrete... 164 3.5.1 Uniforme discreta.... 164 3.5.2 Bernoulli..... 166 3.5.3 Binomiale.... 167 3.5.4 Ipergeometrica..... 171 3.5.5 Poisson...... 172 3.5.6 Geometrica... 176 3.6 Esercizidiriepilogo... 182 3.7 Notebibliografiche... 187 4 Variabili aleatorie discrete: esempi e applicazioni... 189 4.1 Sullaleggedeipiccolinumeri... 189 4.2 Un applicazione alla finanza: il modello binomiale.... 193 4.3 Ilproblemadelcollezionistadifigurine... 200
Indice ix 4.4 Mescolare un mazzo di carte...... 204 4.5 Rivisitazionedellepasseggiatealeatorie... 211 4.6 La condensazione di Bose-Einstein...... 218 4.7 Notebibliografiche... 229 5 Spazi di probabilità e variabili aleatorie generali... 231 5.1 σ-algebre e misure di probabilità... 231 5.2 Variabilialeatoriegenerali... 235 5.3 Indipendenzaevalormedio... 238 5.4 Costruzione di modelli probabilistici.... 241 5.5 Notebibliografiche... 242 6 Variabili aleatorie assolutamente continue... 243 6.1 Richiamisull integralediriemann... 243 6.1.1 L integrale in senso proprio..... 243 6.1.2 L integrale in senso improprio... 244 6.1.3 Alcuni esempi...... 246 6.1.4 Approfondimenti sull integrabilità...... 248 6.1.5 Proprietà dell integrale.... 250 6.2 Variabilialeatorierealiassolutamentecontinue... 251 6.2.1 Definizione e prime proprietà.... 252 6.2.2 Determinare la densità..... 254 6.2.3 Il calcolo del valor medio... 257 6.2.4 Calcoli con variabili aleatorie indipendenti.... 259 6.3 Classi notevoli di variabili aleatorie reali assolutamente continue... 261 6.3.1 Uniforme continua... 261 6.3.2 Gamma...... 263 6.3.3 Esponenziale....... 266 6.3.4 Normale...... 267 6.4 Vettorialeatoriassolutamentecontinui*... 271 6.4.1 Definizione e prime proprietà *... 273 6.4.2 Densità congiunta e marginali *... 275 6.4.3 Calcoli con densità*....... 278 6.5 Esempi e applicazioni...... 282 6.5.1 Le variabili aleatorie chi-quadro... 282 6.5.2 Statistiche d ordine e variabili aleatorie Beta... 283 6.5.3 Il processo di Poisson (parte I)... 286 6.5.4 Il processo di Poisson (parte II) *... 289 6.5.5 I vettori aleatori uniformi e il paradosso di Bertrand *...... 292 6.6 Vettorialeatorinormali*... 294 6.6.1 Matrice di covarianza *.... 294 6.6.2 Definizione e proprietà principali *..... 296 6.6.3 Proiezioni ortogonali di vettori normali *..... 300 6.7 Esercizidiriepilogo... 303 6.8 Notebibliografiche... 311
x Indice 7 Teoremi limite... 313 7.1 Laleggedeigrandinumeri... 313 7.1.1 Enunciato, dimostrazione e discussione....... 314 7.1.2 Il metodo Monte Carlo per il calcolo di integrali..... 317 7.1.3 Il teorema di approssimazione di Weierstrass... 319 7.1.4 Un esempio con variabili aleatorie correlate... 321 7.2 Ilteoremalimitecentrale... 324 7.2.1 Enunciato e discussione.... 324 7.2.2 Il metodo dell approssimazione normale...... 327 7.2.3 Dimostrazione del teorema limite centrale.... 333 7.2.4 Un teorema limite locale per variabili esponenziali... 338 7.3 Esercizidiriepilogo... 340 7.4 Notebibliografiche... 343 8 Applicazioni alla statistica matematica... 345 8.1 Modellistatisticiparametrici... 345 8.2 Intervallidiconfidenzapercampioninormali... 350 8.3 Proprietàasintotiche... 354 8.4 Stimatoridimassimaverosimiglianza... 358 8.5 Notebibliografiche... 372 Appendice... 373 A.1 Sommeinfinite... 373 A.2 Una misura finitamente additiva (ma non σ-additiva) su N... 378 A.3 Il principio fondamentale del calcolo combinatorio... 382 Tavola della distribuzione normale... 385 Principali distribuzioni notevoli su R... 387 Riferimenti bibliografici... 389 Indice analitico... 393
http://www.springer.com/978-88-470-2594-3