Mtemtic I, 24.0.2. Funzione integrle Definizione Sino f : A R, funzione continu su A intervllo, e c in A. L funzione che ssoci d ogni in A l integrle di f sull intervllo [c, ], viene dett funzione integrle di f con punto bse c, e viene indict con I f,c. In simboli I f,c : A R I f,c () = c f(t)dt. Osservimo che, se f e un funzione continu non negtiv su A, llor I f,c () = re del trpezoide di f su [c, ]; in generle, se f e un funzione continu qulsisi, I f,c () e un somm lgebric di ree. Esempio. Un punto mterile P si muove sull circonferenz di centro (0, 0) e rggio 4 in senso orrio, dl punto (0, 4) l punto (4, 0), poi sull circonferenz di centro (6, 0) e rggio 2 in senso ntiorrio, dl punto (4, 0) l punto (8, 0), infine sull circonferenz di centro (9, 0) e rggio in senso orrio, dl punto (8, 0) l punto (9, ). L triettori di P e il grfico di un funzione continu f : [0, 9] R. Si I f,0 : [0, 9] R l funzione integrle dell funzione f con punto bse 0. Per il significto geometrico dell integrle si h che I f,0 (0) = 0 I f,0 crescente su [0, 4] I f,0 (4) = 4π I f,0 decrescente su [4, 8] I f,0 (8) = 4π 2π = 2π I f,0 crescente su [8, 9] I f,0 (9) = 4π 2π + π 4 = 9π 4. In prticolre, si h che 4 e punto di mssimo locle per I f,0, 8 e punto di minimo locle per I f,0. Le figure dei grfici di f e di I f,0 sono lscite d fre l lettore.
2. I Teorem Fondmentle Teorem Si f : A R un funzione continu su un intervllo A, e si c un punto di A. L funzione integrle I f,c : A R e derivbile su A, e (I f,c ) = f. Non dimo l dimostrzione di questo teorem (per rgioni di tempo). Esempio. Riprendimo l esempio precedente; per il teorem bbimo in prticolre che = 4 per = 0, > 0 per [0, 4[, = 0 per = 4, ], 0[ per ]4, 6[, (I f,0 ) () = f() = per = 6, ], 0[ per ]6, 8[, = 0 per = 8, > 0 per ]8, 9], = per = 9. Al lettore e lscit d fre un figur del grfico di I f,0 che mostri questi ulteriori ftti. 3. Primitive Definizione 2 Si f : A R un funzione continu su un intervllo A. Un funzione F : A R derivbile su A tle che si dice primitiv di f su A. Esempio. Si f : R R, f() = ; un primitiv di f e F = f F 0 : R R, F 0 () = 2 ; 2 piu in generle, sono primitive di f tutte le funzioni del tipo F : R R, F () = 2 + k, 2 dove k e un costnte in R. Viene nturle chiedersi se tutte le primitive di f sono di questo tipo. 2
Teorem 2 Si f : A R un funzione continu su un intervllo A, e si F 0 : A R un primitiv di f. Per ogni costnte k R, nche l funzione F 0 + k : A R e un primitiv di f. Se F : A R e un primitiv di f, llor esiste un costnte k R tle che F = F 0 + k. Osservimo che l prim prte del teorem deriv direttmente dl buon comportmento dell derivzione rispetto ll somm di funzioni, e dl ftto che l derivt di un funzione costnte e null. Non dimo l dimostrzione dell second prte del teorem (per rgioni di tempo). Esempi, primitive delle funzioni elementri. f F α α+ α+ log + k + k, (α ) e e + k log? sin cos cos + k sin + k 4. II Teorem Fondmentle Teorem 3 Si f : [, b] R unu funzione continu, e si F : [, b] R un primitiv di f. Allor f()d = F (b) F (). Nell prossim lezione vedremo come il II teorem fondmentle segu dl I teorem fondmentle e dl teorem sulle primitive. Esempio. L re dell prte di pino compres fr l rco di prbol y = 2 (con 0 ), l sse, l rett =, e [ ] [ ] 2 3 3 d = = 3 3 3. 0 = =0 3
Esempio. 2 (/ + 2 + 3)d = [log + 2 + 32 ] 2 =2 [log + 2 + 32 ] 2 = log 2 + 4 + 6 (0 + 2 + 3 ) = log 2 6.5. 2 = 5. Integrli Generlizzti Definizione 3 Si f : [, + [ R, continu; dicimo che esiste l integrle di f su [, + [ se esiste (finito o infinito) il limite dell integrle di f su [, b] per b +, e in tl cso ponimo f()d f()d. Si f :], b] R, continu. dicimo che esiste l integrle di f su ], b] se esiste (finito o infinito) il limite dell integrle di f su [, b] per, e in tl cso ponimo f()d = lim f()d. Si f : R R, continu. dicimo che esiste l integrle di f su R se per un punto c in R esistono (non infiniti di segno diverso) l integrle di f su ], c] e l integrle di f su [c, + [, e in tl cso ponimo f()d = c f()d + c f()d. Se f : [, + [ R e un funzione non negtiv, si definisce l re dell regione di pino compres fr il grfico di f, l sse, e l rett =, come il vlore dell integrle f()d di f su [, + [ (essendo f non negtiv questo integrle esiste sempre, finito o infinito). Anlogmente si definiscono le ree ssocite funzioni non negtive ], b] R o R R. Esempi. d 2 ([ d 2 ] b ( b ) + = [ ] ) 4
b d d ([log ] b [log ] ) log b = +. e d = lim e d ([e ] b [e ] ) ( e b e ) = e b. 5