esercitazione Ottimizzazione Prof E Amaldi Localizzazione e pianificazione delle base station per le reti UMTS Consideriamo il problema di localizzare un insieme di stazioni radio base, base station (BS), per una rete UMTS (Universal Mobile Telecommunication System) Sia I = {,,m} l insieme dei cosiddetti test point (TP) che rappresentando i punti da cui viene instradata la comunicazione cellulare Sia S = {,,n} l insieme dei siti candidati in cui è possibile localizzare una BS e sia c j il costo di localizzazione nel sito j-esimo, per j S Sia g ij [,], per i I e j S, il fattore di attenuazione della potenza del segnale trasmesso dal TP i al sito candidato j Si osservi che, per un segnale emesso dal TP di indice i I con potenza p i, la potenza del segnale ricevuto nella BS localizzata nel sito j S è pari a p i g ij Si noti che in questo problema consideriamo solo l aspetto di connessione dai cellulari alla rete (il cosiddetto uplink) Per garantire la qualità del servizio, si richiede che il rapporto segnale-interferenza (SIR, signal-to-interference ratio) tra ogni TP e la BS ad esso associata non sia inferiore a una data soglia SIR min Questo equivale ad assumere che l interferenza sul segnale trasmesso dal TP i I alla BS localizzata sul sito j-esimo, j S, sia pari alla somma della potenza dei segnali inviati da tutti gli altri test point h I \{i} Il problema di localizzazione e pianificazione per una rete UMTS consiste nel decidere dove localizzare le BS e a quale BS associare ogni TP, nonchè di determinare il livello di potenza, tra e P max, del segnale utilizzato nella comunicazione emessa da ogni TP, minimizzando il costo totale di localizzazione delle BS a) Si fornisca una formulazione di programmazione non lineare a variabili misto-intere del problema, considerando direttamente i vincoli di SIR come nella definizione b) Come si può modificare il modello per ottenere una formulazione di programmazione lineare misto-intera? Suggerimento: si osservi che, riscrivendo la generica espressione a b c, con b >, come a bc, otteniamo una formulazione dove figurano unicamente espressioni non lineari contenenti il prodotto di una variabile continua e di una variabile binaria Dualità lagrangiana e programmazione lineare Si consideri il seguente problema di programmazione lineare (PL) in forma canonica: min st c T x Ax b x, dove A R m n, c R n, x R n e b R m e se ne formuli il duale lagrangiano ottenuto rilassando i vincoli Ax b Si consideri ora il duale di programmazione lineare: max st u T b u T A c T u Che relazione intercorre tra i due problemi duali? Documento preparato da S Coniglio, aggiornato da GCarello
esercitazione Ottimizzazione Prof E Amaldi Duale lagrangiano di Held e Karp per il problema del commesso viaggiatore simmetrico Si consideri il grafo non orientato completo K, con costi sui lati riportati nella seguente tabella: Si eseguano iterazioni del metodo del sottogradiente applicato al duale lagrangiano di Held e Karp, utilizzando le seguenti regole di aggiornamento: = u k i +α k ( x e ) u k+ i adottando come inizializzazione u =, α =, ρ = e δ(i) α k = α ρ k, Rilassamento lagrangiano per il problema dell albero di copertura con vincoli sul grado dei nodi Un azienda di telecomunicazioni deve progettare una rete che colleghi un insieme N di nodi L insieme delle possibili connessioni tra nodi è descritto da un insieme di lati E La rete potenziale è quindi descritta da un grafo G = (N,E), in cui ad ogni lato e E è associato il costo c e, che rappresenta il costo di installare sulla connessione i necessari apparati trasmissivi L azienda deve selezionare l insieme di lati da attivare per collegare ogni coppia di nodi, minimizzando il costo complessivo degli apparati Per motivi tecnologici, ogni nodo può gestire al più d connessioni attive a) Si formuli il modello del problema b) Si discuta un rilassamento lagrangiano del problema c) Si applichi all esempio riportato in figura, dove d =, l algoritmo del sottogradiente (limitandosi alle prime iterazioni), aggiornando i moltiplicatori con la regola: u k+ = max{u k +αγ k,} dove γ k è un sottogradiente della funzione duale in u k, pari alla violazione del vincolo di grado all iterazione k Si adotti come inizializzazione u =, e si ponga α = Documento preparato da S Coniglio, aggiornato da GCarello
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esercitazione Ottimizzazione Prof E Amaldi Soluzione Localizzazione e pianificazione delle base station per le reti UMTS Consideriamo la seguente formulazione: Insiemi S = {,,m}: dei siti candidati al collocamento di una BS I = {,,n}: insieme dei TP Parametri c j : costo di localizzazione di una BS nel sito j S g ij : fattore di attenuazione della potenza del segnale trasmesso tra la coppia (i,j) con i I,j S p max : potenza massima di segnale emesso SIR min : livello minimo di SIR richiesto Variabili x ij {,}: uguale a se il TP i I viene connesso alla BS localizzata sul sito j S, altrimenti p i : potenza del segnale emesso dal TP i I y j {,}: uguale a se sul sito j S viene localizzata una BS, altrimenti Modello min st c j y j j S x ij = j S i I p i g ij h I\{i} p hg hj SIR min x ij i I,j J p i p max i I x ij y j i I,j J x ij {,} i I,j J y j {,} j S Documento preparato da S Coniglio, aggiornato da GCarello
esercitazione Ottimizzazione Prof E Amaldi Possiamo rimuovere facilmente le non linearità nel vincolo di qualità del segnale Prima, rimuoviamo il denominatore (quantità strettamente positiva per ogni problema con almeno due TP) ottenendo il vincolo p i g ij SIR min x ij p h g hj i I,j J h I\{i} Poi, osservando che il vincolo deve essere soddisfatto solo per x ij =, lo trasformiamo in p i g ij SIR min h I\{i} p h g hj M( x ij ) i I,j J, per M costante sufficientemente grande Una scelta corretta è M := (n )p max, pari a un limite superiore della quantià h I\{i} p hg hj Valori più piccoli, opportunamente scelti per ogni sito j S, sono facilmente individuabili Dualità lagrangiana e programmazione lineare La funzione lagrangiana è: L(x,u) = c T x+u T (b Ax) La funzione duale vale dunque: w(u) = min x c T x+u T (b Ax) Il duale lagrangiano è: max u min x (ct x+u T (b Ax)) = max u min x (ut b+(c T u T A)x) Si noti che per ogni scelta di u che verifichi (c T u T A) i < per almeno un i {,,m} avremmo un valore per la funzione duale, in corrispondenza di x i = +, e, per tanto, un valore di per il duale lagrangiano stesso Ne segue che dev essere (c T u T A) i per ogni indice i =,,m In questo caso, l unica soluzione di min x (ut b+(c T u T A)x) si ottiene ponendo x = Il duale lagrangiano diventa dunque: max u T b c T u T A,u Il problema è chiaramente equivalente al duale di programmazione lineare Duale lagrangiano di Held e Karp per il problema del commesso viaggiatore simmetrico Utilizziamo il sottogradiente γ k con γ k i = ( e δ(i)x k), dove xk è la soluzione ottima del e sottoproblema lagrangiano all iterazione k-esima Si ricordi che la funzione duale vale: w(u k ) = min e x e Ec k e + u k i( x k e) : x k vettore di incidenza di uno -albero i V e δ(i) Documento preparato da S Coniglio, aggiornato da GCarello
esercitazione Ottimizzazione Prof E Amaldi La funzione è riscribile come: w(u k ) = min e u e={i,j} E(c k i u k j)x k e + u k i : x k vettore di incidenza di uno -albero i V Si ricordi poi che, non avendo rilassato il vincolo e δ(i) x e = per i =, avremo sempre γ k = Partendo da uk = per k =, questo implica uk = per ogni k Adottiamo la notazione c k ij = c e u k i uk jk per e = {i,j} E It ) Risolviamo il sottoproblema lagrangiano con costi: C = (corrispondenti ai costi originali, dato che u = ) Troviamo x, corrispondente all - albero seguente: Noto x, possiamo calcolare il valore della funzione duale: w(u ) =, pari al costo dell -albero + i V u i Calcoliamo il sottogradiente γ : γ = It ) Calcoliamo il nuovo u k : u = u +α γ = +γ = Documento preparato da S Coniglio, aggiornato da GCarello
esercitazione Ottimizzazione Prof E Amaldi Abbiamo con x pari a: C = Abbiamo: γ = con valore w(u ) = It ) Calcoliamo il nuovo u k : u = u +α γ = u +γ = Abbiamo con x pari a: C = Documento preparato da S Coniglio, aggiornato da GCarello
esercitazione Ottimizzazione Prof E Amaldi con valore w(u ) = Abbiamo: γ = It ) Calcoliamo il nuovo u k : u = u +α γ = u +γ = Abbiamo con x pari a: C = Documento preparato da S Coniglio, aggiornato da GCarello
esercitazione Ottimizzazione Prof E Amaldi Abbiamo, poi, di nuovo: con valore w(u ) = γ = L ammissibilità della soluzione fornita dal rilassamento lagrangiano ne implica chiaramente l ottimalità Rilassamento lagrangiano per il problema dell albero di copertura con vincoli sul grado dei nodi a) Si formuli il modello del problema min c e x e e E st e Ex e = N e δ(s) e δ(i) x e S N x e d i N x e {,} e E b) Si discuta un rilassamento lagrangiano del problema Rilassando i vincoli sul massimo grado di ogni nodo si ottiene il seguente problema rilassato min e +u e={i,j} E(c i +u j )x e d u i i N st x e = N e E e δ(s) x e x e {,} S N e E che si risolve calcolando l albero di copertura di costo minimo, con costi c e +u i +u j per ogni lato e = {i,j} c) Si applichi all esempio riportato in figura, dove d =, l algoritmo del sottogradiente (limitandosi alle prime iterazioni), aggiornando i moltiplicatori con la regola: u k+ = max{u k +αγ k,} Documento preparato da S Coniglio, aggiornato da GCarello
esercitazione Ottimizzazione Prof E Amaldi dove γ k è un sottogradiente della funzione duale in u k, pari alla violazione del vincolo di grado all iterazione k Si adotti come inizializzazione u =, e si ponga α = Nella prima iterazione l albero ottimo ha costo ed è riportato in figura, Il vettore γk T è [,,,,,,,, ] Il vettore dei moltiplicatori aggiornato è u T = [,,,,,,,,] Seconda iterazione Il vettore γk T è [,,,,,,,, ] Il vettore dei moltiplicatori aggiornato è u T = [,,,,,,,,] Terza iterazione Documento preparato da S Coniglio, aggiornato da GCarello
esercitazione Ottimizzazione Prof E Amaldi Il vettore γ T k è [,,,,,,,, ] Il vettore dei moltiplicatori aggiornato è u T = [,,,,,,,,] Quarta iterazione L albero rispetta i vincoli Il rilassamento ha costo, mentre l albero, inteso come soluzione ammissibile, ha costo L ottimo del problema ha costo Documento preparato da S Coniglio, aggiornato da GCarello