Copyright 010 - The McGraw-Hill Companies srl Capitolo Svolgimento degli esercizi proposti 1. Vi sono solo termini contenenti potenze di x, e tutti hanno coefficiente numerico uguale a 1, perciò raccogliamo a fattore comune x : 4 x + x + x x x + x + 1 Il trinomio fra parentesi non è ulteriormente scomponibile.. Vi è l apparente difficoltà che gli esponenti contengono una lettera. Tuttavia essa va considerata un parametro e vanno applicate le normali proprietà delle potenze per ottenere il quoziente della divisione fra ciascun termine e il termine che si raccoglie a fattor comune (regola della sottrazione degli esponenti); per esempio, x : x x x. n n n n n Il raccoglimento totale è possibile, ma non risolve granché. Invece un raccoglimento parziale permette di avere una fattorizzazione più compatta. n Raccogliamo x nei primi due addendi e lasciamo gli altri come sono: x x x x x x x x x n n+ 1 n n n n n+ 1 n n + + + + + + n n n x x + x + x + x n Adesso è facile vedere che si può raccogliere il binomio x + x : n n ( x x)( x 1) + +. Una rapida occhiata permette di identificare il termine da raccogliere, ossia il binomio x+ y : ( x+ y) + x( x+ y) + 5 y( x+ y) x+ y x+ y + x x+ y + 5 y A questo punto si può sviluppare l espressione fra parentesi quadre, ma non fattorizzare ulteriormente.
Copyright 010 - The McGraw-Hill Companies srl Svolgimento degli esercizi proposti Capitolo 4. Raccogliamo parzialmente nei primi due addendi: 4x + 6ax x a x x+ a x a Raccogliamo il segno meno (cioè il fattore 1) negli ultimi due addendi: x x+ a x+ a Ora che i segni sono stati opportunamente manipolati possiamo raccogliere il binomio x+ a : ( x a)( x 1) + 5. Nuovamente un raccoglimento parziale, questa volta doppio: 6x+ ax 1+ a x 6+ a + 6+ a Ora raccogliamo il binomio comune: ( x )( 6 a) ( x )( a 6) + + + 6. Questa volta il raccoglimento parziale conviene farlo negli addendi centrali: x a + a x 1 x + a 1+ x 1 Riordinando i termini si vede chiaramente qual è la strada su cui proseguire, ossia il raccoglimento di x 1 : x 1 a ( x 1) ( x 1)( 1 a ) + + Il primo binomio è ulteriormente scomponibile (è una differenza di quadrati): ( x 1)( x 1)( 1 a ) + + 7. Non ci sono termini di grado zero, perciò cominciamo con un raccoglimento totale: 6 5 x + x + x + x ( 1) 4 x x + x + x+ Dentro alla parentesi individuiamo uno spiraglio per un raccoglimento parziale nei primi due addendi: x x x+ 1 + x + 1
Copyright 010 - The McGraw-Hill Companies srl Svolgimento degli esercizi proposti Capitolo Ora è facile, raccogliamo x +1 dentro la quadra: ( 1)( 1) x x+ x + 8. Il binomio dato è facilmente identificabile come differenza di quadrati: 1 x 1 x 1+ x 6 Vediamo, per chiarezza separatamente, se possiamo scomporre uno dei due binomi fattore, o entrambi. Iniziamo da 1 x. Siamo nel caso del Paragrafo.4.1, sottocaso di n dispari. Applichiamo la (.1) con A 1 e B x: 1 x 1 x 1+ x+ x Perfetto, lo abbiamo fattorizzato. Passiamo a 1 + x. Siamo nel caso del Paragrafo.4., sottocaso di n dispari. Applichiamo la (.) con A 1 e B x: 1+ x 1+ x 1 x+ x E due. Non ci resta che riscrivere tutto insieme: 6 1 x ( 1 x )( 1 x ) ( 1 x)( 1 x x )( 1 x)( 1 x x ) + + + + + 9. Sembra complicato, ma non lo è. I primi tre termini sono fattorizzabili come quadrato di binomio: 6x x 9 ( x 4) ( x ) ( x 4) + + A B dove A questo punto, allontanando magari il punto di vista (il foglio), vediamo che siamo di fronte a una differenza di quadrati, anche se in senso lato. Cioè abbiamo un espressione del tipo, A x, B x 4. Perciò applichiamo la regolina di fattorizzazione (somma dei termini per la loro differenza): ( x ) ( x 4) ( x ) ( x 4) ( x x 7)( x x 1) + + + + Eventualmente possiamo raccogliere il segno meno fuori dalla parentesi.
Copyright 010 - The McGraw-Hill Companies srl 4 Svolgimento degli esercizi proposti Capitolo 8 10. Raccogliamo x e applichiamo il prodotto notevole quadrato di binomio : 9 10 8 x x 4 8 9 x x 1 4 8 x x+ 1 x 1 11. Anche in questo caso è facile identificare la differenza di due quadrati: ( x+ ) a ( x a)( x a) 4 1 9 x+ 1 + a x+ 1 a + + + 1. Siamo di fronte a un trinomio; vediamo subito che il primo e il terzo termine 5 sono due quadrati, rispettivamente di x e di 1 ; il secondo termine è il loro doppio prodotto. Essendo preceduto dal segno meno, la scomposizione è: 10 5 1 4x x + 4 5 1 x 1. È l opposto del binomio dell Esercizio 8. La scomposizione è la stessa, fatto salvo un segno meno : 6 1 ( 1 )( 1 )( 1 )( 1 ) ( x 1)( x 1)( 1 x x )( 1 x x ) x x + x+ x + x x+ x + + + + 14. Non è un esercizio semplicissimo, ma essendo un caso abbastanza tipico vale la pena imparare un procedimento particolare. 6 Dal Paragrafo.4., sottocaso di n pari, sappiamo che x + 1 non è divisibile né per x +1 né per x 1. Sappiamo però che x + 1 lo è. Proviamo allora con un 6 trucco. Poniamo x t, per cui x t : 6 x + 1 t + 1
Copyright 010 - The McGraw-Hill Companies srl Svolgimento degli esercizi proposti Capitolo 5 Scomponiamo questo binomio in t come abbiamo già visto nello svolgimento dell Esercizio 8: t + 1 t+ 1 t t + 1 Ora torniamo all espressione in x sostituendo all indietro : 6 t + 1 t+ 1 t t+ 1 x + 1 x + 1 x x + 1 4 ( x 1)( x x 1) + + 15. Lo abbiamo già visto nell Esempio 19, al quale rimandiamo: ( ) 8x x x+ 1 4x 16. Operiamo come per l Esercizio 15: cerchiamo due numeri che addizionati diano +5 e moltiplicati diano 14; sono evidentemente i numeri +7 e. Perciò: x + 5x 7 x + 7x x 7 x( x 7) ( x 7) ( x 7)( x 1) + + + 17. Applichiamo il trucco usato nell Esercizio 14; poniamo x t, a 15x + a 15t + b 6 6 Applichiamo la (.): 15t + b 5t + b 5t b 5t 5bt b ( 5t b)( 5t 5bt b ) + + + + Sostituiamo all indietro: 15t + b 5t+ b 5t 5bt+ b 15x + a 5x + a 5x 5a x + a 6 6 4 4 b. 18. La fattorizzazione del trinomio dato è una semplice coppietta : si tratta solo di trovare due numeri che sommati diano 1 e moltiplicati diano +5: x 1x+ 5 x 7 x 5
Copyright 010 - The McGraw-Hill Companies srl 6 Svolgimento degli esercizi proposti Capitolo 19. Operiamo come per l Esercizio 16: cerchiamo due numeri che addizionati diano 5 e moltiplicati diano 4; sono evidentemente i numeri 1 e 4. Perciò: 4x 5x+ 1 4x 4x x+ 1 4x( x 1) ( x 1) ( x 1)( 4x 1) 0. Riordiniamo il trinomio: 8 x x x x+ 8 x + x 8 Ricorriamo ancora alle coppiette : ( x 4)( x ) + 1. Eseguiamo dei raccoglimenti parziali: x + x y x + xy+ y y x ( x y 1) y( x y 1) ( x y 1)( x y) + + + + +. È un quadrinomio; se lo riordiniamo vediamo l alternanza dei segni e ci accorgiamo che è fattorizzabile come cubo di binomio: 1x 48x + 64x 1 64x 48x + 1x 1 ( 4x 1). Possiamo applicare il Teorema del resto. Cercando i candidati troviamo che le 1 radici del polinomio sono,, 1. Perciò: x x x+ 1 x ( x )( x+ 1 ) Q( x) Eseguendo la divisione troviamo Q(x), pertanto: 1 x ( x )( x+ 1) + ( x 1)( x )( x 1)