Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L.

Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L. Alessandra Bernardi Il numero degli esercizi qui raccolti è volutamente elevato. Lo scopo è di fornire un ampio spettro di esercizi e la conseguente possibilità di verifica della effettiva comprensione degli argomenti. Buon lavoro! 1 Piano cartesiano In tutti gli esercizi che seguiranno lo spazio ambiente sarà il piano cartesiano a valori nel campo dei numeri reali, dove supporremo fissato un sistema di riferimento cartesiano Oxy ortogonale con unità di misura u. Esercizio 1.1. Scrivere l equazione cartesiana e le equazioni parametriche della retta passante per il punto ( 2, 3) R 2 e di direzione il vettore v = (4, 1). Esercizio 1.2. Scrivere l equazione cartesiana della generica retta: 1. parallela all asse x; 2. parallela all asse y; 3. passante per l origine. Esercizio 1.3. Siano A := (x A, y A ) e B := (x B, y B ) R 2. Verificare che la retta passante per i punti A e B ha equazioni parametriche { x = xa + (x B x A )t y = y A + (y B y A )t e se AB non è parallelo ad un asse, allora l euqazione cartesiana della medesima retta risulta y y A y B y A. x x A x B x A = Esercizio 1.4. Scrivere l equazione cartesiana e le equazioni parametriche della retta passante per i punti A = (2, 1), B = ( 1, 4) R 2. Esercizio 1.5. Calcolare la distanza tra i punti A e B di cui all esercizio 1.4. Esercizio 1.6. Calcolare la distanza dal punto A := (3, 2) R 2 e la retta r : 5x y + 1 = 0. Esercizio 1.7. Sia v = (a, b) un versore di R 2. Si consideri la retta r : ax + by + c = 0. Dimostrare che c = ±dist(r, O). Esercizio 1.8. Scrivere l equazione cartesiana e le equazioni parametriche della retta passante per il punto A := ( 1 2, 3) e parallela alla retta y = 2x + 1. 1

Piano cartesiano Esercizio 1.9. Verificare che la retta parallela ad r : ax + by + c = 0 e passante per il punto Q := (x 1, y 1 ) si può scrivere nella forma a(x x 1 ) + b(y y 1 ) = 0. Esercizio 1.10. Scrivere le equazioni parametriche della retta r del piano cartesiano passante per il punto A := (0, 1) e ortogonale alla retta s : 2x y + 1 = 0. Esercizio 1.11. Sia s la retta del piano definita in dipendenza dal parametro reale t nel modo seguente: s : { x = x0 + mt y = y 0 + nt. Verificare che la retta perpendicolare ad s e passante per il punto Q = (x 1, y 1 ) si può scrivere nella forma parametrica: { x = x1 nt y = y 1 + mt oppure anche nella forma cartesiana m(x x 1 ) + n(y y 1 ) = 0. Se la retta s è assegnata mediante l equazione cartesiana ax + by + c = 0, verificare che la perpendicolare passante per Q si può scrivere nella forma b(x x 1 ) a(y y 1 ) = 0. Esercizio 1.12. Determinare il punto di intersezione tra l asse del segmento di estremi A := (1, 2) e B := ( 1, 2) R 2 e la retta di equazione 3x + 2y 1 = 0. Esercizio 1.13. Dimostrare che se b 0 e le equazioni ax + by + c = 0 e y = mx + q definiscono la medesima retta, allora m rappresenta il coefficiente angolare della retta (ossia la tangente trigonometrica dell angolo che la retta forma con il verso positivo del vettore individuante l asse x). Dimostrare inoltre che q è l ordinata all origine (i.e. l intersezione tra r e l asse y è il punto (0, q)). Esercizio 1.14. Trovare il fascio di rette di centro P := (1, 2) e determinanrne due generatrici. Esercizio 1.15. Nel fascio generato dalle rette x y = 0 e 2x = 1 trovare quella passante per il punto Q := (1, 2). Esercizio 1.16. Dato il fascio di rette kx + 2(k 1)y + 3k = 0 determinare se è un fascio proprio o improprio e trovarne la/le generatrice/i. Nel caso sia un fascio proprio trovare il punto in comune a tutte le rette. Quante rette appartenenti al fascio suddetto passano per il punto Q := ( 3, 0)? È possibile trovare un valore di k per cui l equazione del fascio sia l equazione di tale retta? Esercizio 1.17. Nel fascio improprio delle rette parallelle all asse y determinare quella che incide la retta 3y + x 1 = 0 nel punto di coordinate (7, 2). Esercizio 1.18. Sia F il fascio proprio individuato dalle rette 3x 2y = 0 e x y + 1 = 0. Determinare le equazioni delle rette aventi distanza d = 3u da O. Esercizio 1.19. Determinare nel fascio improprio delle rette parallele ad r : 2x y + 2 = 0 la retta che stacca sull asse delle x un segmento di lunghezza 6u. 2

Spazi vettoriali, Sottospazi, Basi 2 Spazi vettoriali, Sottospazi, Basi Esercizio 2.1. Dati i vettori u := ( 1 2, 0, 1), v := (1, 1, 1), w := (2, 1, 0) R 3. Sia z = 2u + 2v 3 2 w. Scrivere z come combinazione lineare dei seguenti vettori: u := (0, 0, 3), v := (0, 1, 1), w := ( 1, 1, 0) R 3. Esercizio 2.2. Verificare che l insieme M (n,m) (R) delle matrici m n ad elementi reali è uno spazio vettoriale su R Esercizio 2.3. Verificare che l insieme V dei vettori applicati (ad esempio in un punto P 0 ) è uno spazio vettoriale. Esercizio 2.4. Stabilire se i seguenti sottoinsiemi di V = R 3 sono dei sottospazi di V : S 1 := {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 1 = 0}, S 2 := {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 1 = 1}, S 3 := {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 x 1 0}. Esercizio 2.5. Verificare che se S ed S sono sottospazi di uno spazio vettoriale V, allora anche S S è uno sottospazio di V. Esercizio 2.6. Verificare che S := {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 x 1 + 3x 2 x 3 + 4x 4 = 0} è un sottospazio di R 4 e calcolarne una base. Esercizio 2.7. Dimostrare che l insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo di m equazioni in n incognite x 1,..., x n a coefficienti in C è uno spazio vettoriale su C. Esercizio 2.8. Sia V un R-spazio vettoriale di vettori applicati in P 0. Siano π un piano passante per P 0 ed r, s due rette per P 0. Stabilire se i seguenti sottoinsiemi di V sono sottospazi: S π := {(P P 0 ) V P π}, S r := {(P P 0 ) V P r}, S s := {(P P 0 ) V P s}, S r S s. Esercizio 2.9. Verificare che tre vettori nello spazio sono linearmente indipendenti se e solo se sono non-complanari. Esercizio 2.10. Dimostrare che due vettori nel piano sono linearmente indipendenti se e solo se non giacciono sulla stessa retta. Esercizio 2.11. Siano S 1 ed S 2 due sottospazi di V. Si definisca S 1 + S 2 := {v V v 1 S 1, v 2 S 2 : v = v 1 + v 2 }. Verificare che S 1 + S 2 è un sottospazio di V. Esercizio 2.12. Siano U =< u 1, u 2, u 3 > e W =< w 1, w 2, w 3 > due sottospazi di R 4 con u 1 = (1, 1, 0, 1), u 2 = (1, 2, 3, 0), u 3 = (2, 3, 3, 1), w 1 = (1, 2, 2, 2), w 2 = (2, 3, 2, 3), w 3 = (1, 3, 4, 3). Determinare la dimensione di U + W. 3

Spazi vettoriali, Sottospazi, Basi Esercizio 2.13. Sia V = M (n,n) (R). Siano S il sottoinsieme delle matrici simmetriche di V ed S il sottoinsieme delle matrici antisimmetriche di V. Verificare che S ed S sono sottospazi di V e dimostrare che S S = V. Esercizio 2.14. Stabilire se le seguenti terne di vettori sono linearmente indipendenti in R 4 : v 1 = (1, 0, 0, 0), v 2 = (0, 1, 0, 0), v 3 = (2, 1, 0, 0); w 1 = (1, 0, 0, 0), w 2 = (1, 1, 0, 0), w 3 = (0, 1, 2, 1). Esercizio 2.15. Verificare che v 1 = ( 1, 0, 0), v 2 = (0, 1, 1), v 3 = (0, 0, 1), v 4 = (1, 1, 1) è un sistema di generatori di R 3 ma non è una base. Esercizio 2.16. Determinare quali tra i seguenti sottoinsiemi di R 4 sono sottospazi e trovarne eventualmente una base: W 1 := {(a, b, 2a, b) R 4 a, b R}, W 2 := {(a, 1 + a, a b, 0) R 4 a, b R}, W 3 := {(a + b, b a, 0, b) R 4 a, b R}, W 4 := {(a, 0, b, ab) R 4 a, b R}. Il sottoinsieme W 1 è un sottospazio di R 4 in quanto: se a = b = 0 allora la quaterna (a, b, 2a, b) = (0, 0, 0, 0), quindi 0 R 4 W 1 ; siano v 1, v 2 W 1, dunque esistono a 1, a 2, b 1, b 2 R tali che v 1 = (a 1, b 1, 2a 1, b 1 ) e v 2 = (a 2, b 2, 2a 2, b 2 ), perciò per ogni α, β R si ha che αv 1 + β 2 = α(a 1, b 1, 2a 1, b 1 ) + β(a 2, b 2, 2a 2, b 2 ) = (αa 1 + βa 2, αb 1 + βb 2, 2(αa 1 + βa 2 ), (αb 1 + βb 2 )) W 1. Una base di W 1 è data da {(1, 0, 2, 0), (0, 1, 0, 1)} in quanto ogni vettore appartenente a W 1 è del tipo (a, b, 2a, b) e quindi può sempre essere scritto come la seguente combinazione lineare dei vettori suddetti:a(1, 0, 2, 0)+ b(0, 1, 0, 1). Questo prova che {(1, 0, 2, 0), (0, 1, 0, 1)} è un sistema di generatori per W 1. Ora non esiste α R tale che (1, 0, 2, 0) sia uguale ad α(0, 1, 0, 1). Il sottoinsieme W 2 non un sottospazio di R 4 in quanto 0 / W 2. Il sottoinsieme W 3 è un sottospazio di R 4 e la dimostrazione è analoga a quella di W 1. Il sottoinsieme W 4 non è un sottospazio di R 4. Ad esempio (2, 0, 2, 4), (5, 0, 3, 15) W 4 ma 3(2, 0, 2, 4)+ 2(5, 0, 3, 15) = (16, 0, 12, 42) / W 4. Esercizio 2.17. Si considerino i seguenti sottospazi di R 4 : V = {(x, y, z, t) R 4 x ky = z = 0} e W = {(x, y, z, t) R 4 t + y = kx + z = 0} dove k è un parametro reale. Dopo aver scritto una base per V ed una base per W, determinare i valori di k per cui risulta W + V = R 4. Esercizio 2.18. Torvare una base del sottospazio S = {(x, y, z) R 3 x + y = 0} R 3. Esercizio 2.19. Trovare una base di S S R 3 dove S = {(x, y, z) R 3 x y = 0} ed S = {(x, y, z) R 3 x + 2y z = 0}. 4

Sistemi lineari Il sottopazio S S = {(x, y, z) R 3 x y = 0, x + 2y z = 0}. Dunque le coordinate di un elemento di tale sottospazio dovranno soddisfare il seguente sistema lineare: { x y = 0 x + 2y z = 0 che ha soluzione { x = y z = 3y perciò gli elementi di S S sono tutti del tipo (y, y, 3y) al variare di y R. Una base di S S è quindi data da {(1, 1, 3)}. Esercizio 2.20. Trovare una base del sottospazio S +S R 4 dove S = {(x, y, z, t) R 4 x y = 0} ed S è l intersezione dei seguenti sottospazi T e T con T = {(x, y, z, t) R 4 x 2z = 0} e T = {(x, y, z, t) R 4 y z = 0}. 3 Sistemi lineari Esercizio 3.1. Sia V = R 3. Si consideri S V t. c. S := {(x, y, z) R 3 x + 3y 2z = 7, 4x + 2y z = 3, 3x + 5y = 1}. Descrivere il generico elemento di S e dedurre che S non è un sottospazio di V (vedi Esercizio 7 del Foglio 2) Esercizio 3.2. Sia V = R 3. Trovare una base del seguente sottospazio S V : S := {v = (x, y, z) V x + 2y = 0, x z = 0, 2x + 2y z = 0}. Esercizio 3.3. Risolvere, se possibile, il seguente sistema lineare in R 3 : x + z = 2 2y + z = 1. x y = 1 3x y + z = 4 Esercizio 3.4. Risolvere, se possibile, il seguente sistema lineare in R 3 : x + 2y z = 0 2x y + z = 3. x + 3y + z = 2 5

Sistemi lineari Esercizio 3.5. Discutere al variare del parametro h R e risolvere, ove possibile, il seguente sistema lineare in R 2 : { hx + (2h 1)y = 2. x + hy = 2h Esercizio 3.6. Discutere al variare del parametro h R e risolvere, ove possibile, il seguente sistema lineare in R 3 : x + hy + z = 2h 1 x + y + hz = 0. hx + y + z = 5 Esercizio 3.7. Determinare al variere di h R la dimensione del sottospazio vettoriale di V = R 3 generato dai vettori u = (0, 1, 1), v = (1, 1, h), w = ( 1, h, 0) ed esprimere poi il vettore s = (1, 1, 1) come combinazione lineare di u, v, w. Esercizio 3.8. Siano U :=< u 1, u 2 >, W :=< w 1, w 2 > sottospazi di R 3 con u 1 = (1, 2, 1), u 2 = (0, 1, 1), w 1 = (1, 0, 1) e w 2 = (1, 3, 0). Determinare la dimensione di U + W. Esercizio 3.9. Siano S 1 := {(x, y, z, t) R 4 x y t = 0} ed S 2 := {(x, y, z, t) R 4 x y = 0, y 3z = 0} due sottospazi di V = R 4. Torvare una base per S 1 S 2 V ed una base per S 1 + S 2 V. Esercizio 3.10. Discutere al variare del parametro h R e risolvere, ove possibile, il seguente sistema lineare in R 2 : x + y = 2 hx y = 1. x y = 1 h Esercizio 3.11. Discutere al variare del parametro h R e risolvere, ove possibile, il seguente sistema lineare in R 3 : x + (h + 1)y + z = 2 + h (h + 3)y + z = 2h 2. x + (5 + h)y + (1 + h)z = 6 h Esercizio 3.12. Sia h R un parametro reale e siano S 1, S 2 sottospazi di V = R 4 cosí definiti: S 1 := {(x, y, z, t) V hy + t = 0, 2x z = 0}, S 2 := {(x, y, z, t) V y hz = 0, (h + 1)x 2z ht = 0}. Stabilire la dimensione di S 1 S 2 V = R 4 al variare di h R. Esercizio 3.13. Sia h R un parametro reale e sia S V = R 4 il seguente sottospazio: S := {(x, y, z, t) R 4 x hy + ht, 2y z + t = 0, x + y + hz = 0}. Trovare una base di S. 6

Rette e piani nello spazio Esercizio 3.14. Dsicutere in R 2 il sistema dove h è un parametro reale. x + y = 1 hx + 2y = 2 x + y = 3 Esercizio 3.15. Discutere e, ove possibile, risolvere il seguente sistema in R 3 : 2x + y 5z = h x + 3y + hz = 0 3x + 2y 9z = 0 x + y 2z = 0 dove h è un parametro reale. 4 Rette e piani nello spazio In tutti gli esercizi che seguono lo spazio ambiente è R 3. Esercizio 4.1. Scrivere l equazione del piano di R 3 C : (0, 1, 1). passante per i punti A : (0, 1, 0), B : (2, 1, 0) e Esercizio 4.2. Scrivere l equazione del piano π R 3 passante per il punto A : (2, 1, 1) R 3 e parallelo al piano π R 3 definito dall equazione cartesiana x 3y + z 1 = 0. L equazione cartesiana di un piano π R 3 è della forma ax + by + cz + d = 0 dove il vettore (a, b, c) rappresenta un vettore perpendicolare a π. Dunque π sarà parallelo a π se il vettore (a, b, c) sarà parallelo al vettore (1, 3, 1) che rappresenta un vettore perpendicolare al piano π. Dunque (a, b, c) = α(1, 3, 1) per un qualunque α R \ {0}. Scegliamo α = 1. Perciò la condizione di parallelismo tra π e π implica che l equazione di π sia del tipo: x 3y + z + d = 0. Imponiamo ora che A π: 2 + 3 1 + d = 0 perciò d = 4. Ecco che l equazione cartesiana di π è x 3y + z 4 = 0 Esercizio 4.3. Scrivere l equazione del piano di R 3 passante per la retta x = y = z 1 e per il punto P : (5, 1, 1) R 3. Esercizio 4.4. Scrivere l equazione del piano π R 3 passante per i punti A : (3, 0, 1), B : (2, 2, 2) R 3 e parallelo alla direzione individuata dal vettore v = (1, 1, 0). L equazione cartesiana di un piano π R 3 è data da ax + by + cz + d = 0 dove il vettore (a, b, c) rappresenta un vettore perpendicolare a π. Il piano π deve contenere i punti A e B, in particolare dovrà essere parallelo al vettore A B = (1, 2, 1). Dunque π sarà parallelo sia ad A B che a v. Perciò il vettore (a, b, c) dovrà essere perpendicolare sia 7

Rette e piani nello spazio ad A B che a v. Dunque (a, b, c) (A B) = 0 e (a, b, c) v = 0. Dalla prima equazione richaviamo a 2b c = 0, dalla seconda a + b = 0. Perciò: a = b e c = 3b. Ecco che il vettore (a, b, c) può essere scritto nella forma ( b, b, 3b). Ovviamente per qualunque valore di b 0 tale vettore sarà perpendicolare a π, scegliamo b = 1 e otteniamo π: x + y 3z + d = 0. Per ricavare d imponiamo il passaggio per uno qualunque dei due punti A o B. Così facendo troviamo d = 6 perciò π: x + y 3z + 6 = 0. Esercizio 4.5. Scrivere l equazione del piano π R 3 passante per i punti P : (1, 1, 1), Q : (2, 1, 2) e parallelo alla retta r R 3 di equazioni x = t y = 2t. z = 3t Il piano π di equazione ax + by + cz + d = 0 per essere parallelo alla retta retta r, dovrà essere tale che il vettore (a, b, c) (che è perpendicolare a π) sia perpendicolare al vettore direttore della retta r (in quanto il vettore direttore di una retta è parallelo alla retta stessa). Dunque (a, b, c) (1, 2, 3) = 0 da cui a + 2b + 3c = 0, da cui a = 2b 2c. Il piano π deve inoltre contenere due punti, perciò sarà parallelo al vettore direttore della retta da essi individuata; quindi di nuovo (a, b, c) dovrà essere perpendicolare al vettore P Q = ( 1, 0, 1), perciò ( 2b 2c, b, c) ( 1, 0, 1) = 0, da cui 2b + 2c c = 0 c = 2b, dunque (a, b, c) = ( 2b, b, 2b). Ecco che π diventa 2x+y 2z +d. Per trovare d imponiamo il passaggio di π da P e otteniamo 2 + 1 2 + d = 0, quindi d = 3, e cosıπ diventa 2x + y 2z + 3 = 0. Esercizio 4.6. Determinare la distanza tra i piani π e π di R 3 con equazioni rispettive x y + 4z = 0 e x y + 4z 9 = 0. Esercizio 4.7. Scrivere l equazione del piano assiale al segmento di estremi A : (1, 0, 1) e B : (2, 2, 0). Esercizio 4.8. Si considerino i punti A : (1, 1, 1), B : (0, 1, 0), C : (0, 2, 1), D : (0, 0, 0) R 3. Stabilire se sono complanari. Esercizio 4.9. Siano date le rette { x + y + z + 1 = 0 r : x y = 1, s : x = 1 + 2t y = 2 + 3t z = t. Scrivere le equazioni parametriche di r e le equazioni cartesiane di s. Esercizio 4.10. Scrivere le equazioni della retta di R 3 congiungente i punti A : (1, 1, 1) e B : (2, 3, 5). Esercizio 4.11. Scrivere le equazioni della retta r R 3 passante per il punto Q : (1, 1, 0) R 3, incidente la retta s : x = y = z e parallela al piano π : 2x y + 4 = 0. La retta r scritta in forma parametrica risulta: x = lt + x 0 r : y = mt + y 0. z = nt + z 0 8

Rette e piani nello spazio Il passaggio per il punto Q impone semplicemente che diventi: x = lt + 1 r : y = mt 1. z = nt Il fatto che r sia parallela a π si traduce nel fatto che (l, m, n) (2, 1, 0) = 0 e quindi m = 2l. Perciò il vettore (l, m, n) diventa (l, 2l, n). Sia ora P s, le rette r ed s saranno incidenti se i vettori v r, v s e P Q saranno complanari non proporzionali (v r e v s sono rispettivamente i vettori direttori delle rette r ed s). Sia P : (0, 0, 0) s. Consideriamo il vettore Q P = (1, 1, 0). I tre vettori suddetti saranno complanari non propozionali se e solo se la seguente matrice ha rango 2: l 2l n 1 1 1 1 1 0 Questa matrice ha rango 2 se e solo se 3l = 2n. Scegliamo l = 2 ed n = 3 e otteniamo che il vettore (l, m, n) diventa (2, 4, 3) perciò x = 2t + 1 r : y = 4t 1. z = 3t Esercizio 4.12. Scrivere l equazione del piano passante per il punto P : (1, 1, 0) R 3 e parallelo al piano di equazione x z + 1 = 0. Esercizio 4.13. Scrivere l equazione della retta r R 3 passante per i punti A : (1, 2, 3) e B : (0, 4, 1). Esercizio 4.14. Scrivere le equazioni della retta r R 3 passante per i punto P : (1, 0, 0) R 3 ed ortogonale al piano π R 3 descritto in forma parametrica dalle seguenti equazioni: x = 2 + t 1 π : y = t 2. z = 3 + t 1 Esercizio 4.15. Sia r R 3 la retta così definita: x = 3 + t r : y = t z = 2 2t ; trovare una retta passante per il punto B : (3, 1, 2) R 3, sgemba con r e parallela al seguente piano π R 3 : x = 1 t 1 + t 2 π : y = 3t 2. z = t 1 2t 2 9

Rette e piani nello spazio Esercizio 4.16. Scrivere l equazione del piano di R 3 passante per il punto P : (1, 2, 0) R 3 e contenente la retta r R 3 definita dalle seguenti equazioni cartesiane: { x + y = 0 r : 2x + z + 1 = 0. Esercizio 4.17. Scrivere l equazione della retta r R 3 passante per Q : (1/2, 3, 0) R 3, parallela al piano di equazione cartesiana 2x y + 1 = 0 e incidente la retta s R 3 : { x = y s : y = z + 2. Esercizio 4.18. Stabilire se le rette r : sghembe. { y = 1 z = 3 ed s : { x = 1 y + z 1 = 0 sono incidenti, parallele o Esercizio 4.19. Stabilire per quali valori del parametro reale h le rette r : { x 2hy + 3z = 0 hx + y = 0, s : { x + hy = 2 y hz = 0 sono parallele. Esercizio 4.20. Scrivere le equazioni della retta r R 3 che passa per il punto P : (1, 1, 1) R 3, è perpendicolare alla retta s R 3 di equazioni: x = 2 + t y = 2 + 2t z = 2 + 3t ed è parallela al piano π R 3 di equazione x + 3y = 0. Esercizio 4.21. Scrivere le equazioni della retta di R 3 incidente e perpendicolare ad entrambe le rette x = 1 x = t r : y = 0, s : y = 2t. z = τ z = 2t Esercizio 4.22. Stabilire se le seguenti rette di R 3 sono complanari o sghembe: r : { x 1 = 0 y = 0, s : { 2x = y y = z. 10

Rette e piani nello spazio Esercizio 4.23. Siano date nello spazio le rette sghembe r : { 2x z = 0 y z = 0 Calcolare la distanza minima tra r e s., s : { x + y + z 1 = 0 3x + 2z = 0. Esercizio 4.24. Calcolare la distanza dal punto P : (2, 0, 1) R 3 dalla retta r R 3 di equazioni: { x + y = 0 y z + 1 = 0. Esercizio 4.25. Scrivere l equazione del luogo dei punti dello spazio equidistanti dal piano π : z = 1 e dal punto P : (α, α, 0) R 3 con α parametro reale. Successivamente determinare α in modo tale che il punto Q : (0, 1, 1) R 3 appartenga al luogo. Esercizio 4.26. Siano dati i piani π, π R 3 di equazioni rispettive 2x + y + z = 0 e x z 1 = 0. Scrivere l equazione del piano π simmetrico di π rispetto a π. Esercizio 4.27. Si considerino nello spazio le rette { { { x = 0 y = 1 x = 0 p : y = 1, q : z = 2, r : z = 2. Stabilire se p, q, r appartengono ad un medesimo fascio. Esercizio 4.28. Si consideri il sistema { (h + 1)x + y h 2 = 0 y + hz 1 = 0 dove h R. 1. Verificare che il sistema rappresenta una retta nello spazio h R; 2. detta F h la famiglia di rette data dal sistema al variare di h, determinare una retta di F h perpendicolare alla retta r : 3x = 3y = 2z. Esercizio 4.29. Si consideri la famiglia di rette F h dell esercizio precedente 1. stabilire se esistono rette di F h ortogonali al piano π di equazione x 2y + 2z 3 = 0; 2. verificare che le tutte rette di F h passano per uno stesso punto V R 3. Determinare V. 11

Rette e piani nello spazio Esercizio 4.30. Scrivere le equazioni del luogo dei punti dello spazio che appartengono al piano y 2x 2 = 0 e sono equidistanti dalla retta r: { x = z e dal piano x = 0. y = 0 Esercizio 4.31. Scrivere l equazione del luogo delle rette che sono parallele al piano z = 0 ed incidenti all asse z e alla retta r di equazioni x = 3 + t y = 2 + t. z = 1 + t Esercizio 4.32. Siano 1. π R 3 un piano passante per la retta x = y = z; 2. P R 3 l intersezione di π con la retta r R 3 di equazioni x = 2t y = t z = 1 + t 3. σ R 3 il piano per P e parallelo al piano 2y z + 1 = 0; 4. s R 3 la retta intersezione dei piani π e σ. Scrivere l equazione della superficie descritta da s al variare di π. Esercizio 4.33. Si considerino la famiglia di piani e la retta r : 2x = 2y = z. 1. Determinare i piani di F paralleli a r. F : (k 2 2k + 2)x + (2 k)y + z 1 = 0 2. Scrivere l equazione del luogo delle rette passanti per il punto O : (0, 0, 0) e perpendicolari ai piani di F. Esercizio 4.34. Si considerino le rette x = 1 t r : y = h + t z = t, s : { x + y hz = 0 2x + hz 1 = 0. Trovare i valori di h in modo che r ed s siano incidenti. In corrispondenza dei valori trovati scrivere l equazione del piano contenente r e s. 12

Applicazioni lineari x = 3t Esercizio 4.35. Dato il fascio di piani kx+2y (3+k)z +41 = 0 in R 3 e il fascio di rette r : y = t ; z = αt trovare k ed α reali tali che le equazioni dei due fasci rappresentino rispettivamente un piano ed una retta tra loro perpendicolari. Calcolare poi la distanza del loro punto di intersezione dal piano del fascio (se esiste) parallelo alla retta y = z = 0. Esercizio 4.36. Siano π : x + y + z = 0 e π : x + 2z + 1 = 0 due piani di R 3. Trovare il piano π simmetrico a π rispetto a π. Esercizio 4.37. Scrivere il luogo dei punti di R 3 che appartengono al piano π R 3 di equazione x = 0, che sono equidistanti dalla retta r R 3 e dal piano π R 3 così definiti: r : { x = 1 + y z = 0 e π : y = 1. Esercizio 4.38. Scrivere l equazione del luogo dei punti dello spazio equidistanti dal piano π : x = 1 e dal punto P : (0, 0, a) R 3 dove a è un parametro reale. Determinare poi a in modo tale che il punto Q : ( 4, 0, 0) R 3 appartenga al luogo. Esercizio 4.39. Trovare, se possibile, k R in modo tale che i seguenti punti di R 3 siano complanari: P 1 : (0, 0, k), P 2 : (1, k, 0), P 3 : (k, 0, k) e P 4 : (1, 1, k). Dopodiché, per uno di questi valori di k, trovare un piano paralello a quello generato da P 1,..., P 4 passante per Q = (1, 1, 1) R 3. Esercizio 4.40. Sia dato il fascio di piani incidenti in r : x = 2 + t y = t z = 1 t. Trovare in esso il piano π R 3 passante per il punto P : (0, 0, 2) R 3. Sia ora π R 3 il piano parallelo a π e passante per Q : (2, 4, 0) R 3. Si consideri il fascio di rette costituito da tutte le rette di π perpendicolari ad r. In quest ultimo fascio di rette trovare quela passante per R proiezione ortogonale di M su π dove M è il punto medio del segmento P Q. Calcolare infine l area del triangolo di vertici P, Q, R. 5 Applicazioni lineari Esercizio 5.1. Si considerino la seguenti applicazioni 1. f : R R, definta da f(x) = x 2 + 5; 2. g : R + R, definita da g(x) = log(x). Specificare quali applicazioni sono iniettive, suriettive, bijettive. Esercizio 5.2. Si considerino le applicazioni 1. f : R R tale che f(x) = x 6 ; 13

Applicazioni lineari 2. g : R R tale che g(x) = e x + 1. Verificare che f e g non sono bijettive. Stabilire se è possibile modificare dominio e codominio di f e g in modo che diventino entrembe bijettive. Esercizio 5.3. Sia f : R 3 R 2 l applicazione lineare con matrice associata rispetto alle basi canoniche nei rispettivi spazi: ( ) 1 a 1 A =. b 2b 1 Si determinino gli eventuali valori di a, b R per cui f è suriettiva. Esercizio 5.4. Sia data un applicazione f : R 3 R 3 tale che f((0, 1, 1)) = (3, 0, 0) Stabilire se f è lineare. f((2, 0, 1)) = (2, 1, 2) f((2, 1, 2)) = (0, 1, 1). Esercizio 5.5. Si consideri l endomorfismo f : R 3 R 3 tale che f(e 1 ) = 2e 1 + e 2 3e 3 f(e 2 ) = e 1 + 3e 2 2e 3 f(e 3 ) = f(e 1 ) 2f(e 2 ) dove {e 1, e 2, e 3 } è la base canonica di R 3. Si scriva una matrice associata ad f e si calcoli le dimensioni di Ker(f) o Im(f). Esercizio 5.6. Si considerino in R 3, in cui è fissata la base canonica, i tre vettori v 1 = (0, 1, 2), v 2 = (3, 2, 1), v 3 = (0, 1, 0). Dopo aver verificato che v 1, v 2, v 3 formano una base di R 3, scrivere le equazioni della sostituzione lineare omogenea tra le coordinate (x, y, z) di un vettore di R 3 rispetto alla base canonica e le coordinate (x, y, z ) dello stesso vettore rispetto alla base (v 1, v 2, v 3 ). Esercizio 5.7. Siano B = (v 1, v 2 ) e B = (v 1, v 2 ) due basi di R2 con v 1 = (2, 1), v 2 = (0, 1), v 1 = (1, 1), v 2 = (1, 1). Scrivere le equazioni della sostituzione lineare tra le coordinate (x, y) rispetto a B e (x, y ) rispetto a B. Esercizio 5.8. Si consideri l endomorfismo di R 3 (in cui è fissata la base canonica E = {e 1, e 2, e 3 }) f(x, y, z) = (x, y, z ), definito da x = x z y = 2x + y z = 2y + z Considerata la base B costituita dai vettori v 1 = (1, 0, 1), v 2 = (2, 0, 0) e v 3 = ( 1, 1, 1), determinare la matrice associata a f dopo il cambiamento di base. 14

Applicazioni lineari Esercizio 5.9. In R 2 si consideri la base B = (v 1, v 2 ) con v 1 = (1, 1) e v 2 = ( 1, 0), e l applicazione lineare f che, rispetto alla base B, è associata alla matrice ( ) 3 2 M =. 1 2 Determinare la matrice di f rispetto alla base canonica E = (e 1, e 2 ). Esercizio 5.10. In R 3, fissata la base canonica, si consideri l endomorfismo definito da f(e 1 ) = me 1 + e 2 f(e 2 ) = 2e 1 + me 2 f(e 3 ) = e 1 e 2 + 2e 3 ove m è un parametro reale. Stabilire se f è semplice. Esercizio 5.11. In R 4 si consideri l endomorfismo f definito dalla sostituzione lineare omogenea y 1 = 2x 1 + x 2 + 3x 3 + x 4 y 2 = x 1 x 2 + 2x 4. y 3 = x 2 + x 3 x 4 y 4 = 0 1. Determinare la dimensione e una base per Im(f). 2. Trovare una base per Ker(f). Esercizio 5.12. In R 4, in cui si pensa fissata la base canonica E = {e 1, e 2, e 3, e 4 }, sono dati: l applicazione lineare f tale che f(e 1 ) = e 1 2e 2 f(e 2 ) = e 3 + e 4 f(e 3 ) = e 2 f(e 4 ) = e 1 e 2 + e 3 + e 4 il sottospazio V di equazioni x 1 + x 4 = 0 2x 1 + x 3 x 4 = 0 x 2 + x 4 = 0 ove x 1, x 2, x 3, x 4 sono le coordinate in R 4 associate a E. Determinare la dimensione e una base per f(v ). Esercizio 5.13. Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare definita da f(x, y, z) = (hx y, y, hx + hy + z) dove h R. Dopo aver determiato i valori di h in corrispondenza dei quali f è un automorfismo, scrivere un espressione analitica dell applicazione lineare inversa f 1. 15

Applicazioni lineari Esercizio 5.14. Si consideri l endomorfismo f h : R 3 R 3 associato alla matrice h 0 h A h = 1 1 h 0 0 1 con h R. Si stabilisca se f è semplice. Esercizio 5.15. Sia f : R 2 R 3 l applicazione lineare f(x, y) = (x+y, x 2y, x). Determinare M B,B (f) dove B = ((1, 1), (0, 1)) e B = ((1, 1, 1), (1, 2, 0), (0, 0, 1)). Esercizio 5.16. Sia f : R 2 R 3 l applicazione lineare f(x, y) = ( x + 3y, 3x y, 4x). Determinare M B,B (f) dove B = ((1, 1), (1, 1)) e B = ((1, 0, 1), (0, 1, 1), (2, 1, 1)). Esercizio 5.17. Per ognuna delle seguenti coppie di basi B e B di R 2 determinare M B,B (Id): B = ((1, 0), (0, 1)), B = ((1, 3), ( 3, 1)) B = ((1, 1), (9, 1/2)), B = ((1, 0), (2, 1)) B = ((2, 1), (0, 2)), B = (( 5 1, 5), (1, 0)) Esercizio 5.18. Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare f(x, y, z) = (x + y z, y + z, 2x). Determinare la matrice M E,B (f), dove E è la base canonica di R 3 e B = ((1, 1, 0), ( 1, 0, 1), (1, 1, 1)). Esercizio 5.19. Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare f(x, y, z) = (2x, x y, y z). Determinare la matrice M B,E (f 2 ), dove E è la base canonica e B = ((1, 1, 0), (2, 1, 1), (0, 1, 1)). Esercizio 5.20. Sia f un endomorfismo di R 3 definito dalla matrice 2 1 1 A = 0 1 2 0 0 3 rispetto alla base canonica. Determinare la matrice M B,B (f) che rappresenta f rispetto alla base B = ((1, 1, 0), ( 1, 0, 1), (1, 1, 1)). Esercizio 5.21. Sia f l endomorfismo di R 3 definito, rispetto alle basi B 1 = ((1, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1)) e B 2 = ((1, 0, 0), (2, 1, 0), (0, 1, 2)) seguente matrice: M B1,B 2 (f) = 1 2 1 1 1 3. 1 0 2 Determinare la matrice M B3,B 4 (f) che rappresenta f rispetto alle basi B 3 = (( 1, 0, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 0)) e B 4 = ((0, 0, 1), (1, 0, 1), (2, 1, 0)). Tutti i vettori delle basi B 1, B 2, B 3, B 4 hanno coordinate rispetto alla base canonica E = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)). 16

Applicazioni lineari Esercizio 5.22. Calcolare dimensioni di Ker(f) e Im(f) delle applicazioni lineari descritte negli esercizi precedenti. Trovarne poi rispettive basi. Esercizio 5.23. Sia f un endomorfinsmo di R 3 tale che f(x, y, z) = (2x, z y, y + x). 1. Trovare dimensioni e basi di Im(f) e Ker(f); 2. Determinare dimensioni e basi per f(u) f(v ) e f(u) + f(v ) dove U =< (0, 0, 1), (2, 1, 0) > e V =< (1, 0, 1), (1, 1, 0) >. Esercizio 5.24. Sia data l applicazione lineare f : R 3 R 3, t.c. f(x, y, z) = (2x+y+z, 4x+z, 6x+y+2z). Determinare le dimensioni di Im(f) e Ker(f). Trovare poi (x, y, z) R 3 t.c. f(x, y, z) = (3, 2, 5). Esercizio 5.25. Sia {e 1, e 2, e 3 } la base canonica di R 3. Trovare una base per Ker(f) dove f(e 1 ) = e 1 2e 3 f(e 2 ) = e 1 + e 2 + 3e 3. f(e 3 ) = 2e 1 4e 3 Esercizio 5.26. Sia data f : R 3 R 3 applicazione lineare t.c. (x, y, z) f (x+y, x y +2z, x). Descrivere una matrice associata ad f. Siano poi U :=< u 1, u 2 > e V :=< v 1, v 2 > due sottospazi di R 3 generati rispettivamente dai vettori u 1 = (2, 2, 0), u 2 = ( 2, 2, 2) e v 1 = (1, 1, 1), v 2 = (2, 2, 0). Determinare la dimensione e rispettive basi per gli spazi f(u) f(v ) e f(u) + f(v ). Esercizio 5.27. Sia data l applicazione lineare f : R 3 R 2 cosí definita: f(x, y, z) = (x y, x z). Stabilire la dimensione dell immagine e del nucleo di f. Esercizio 5.28. In R 3, fissata la base canonica, si consideri l endomorfismo f t associato alla matrice t 0 (t + 1) 2 M t := 0 t + 1 0. 1 0 2(t + 1) Determinare il valore del parametro per cui f t risulta un automorfismo. Determinare la dimensione e una base per Im(f t ) nel caso in cui t = 1. Esercizio 5.29. Sia data l applicazione lineare f : R 3 R 3 t.c. f(x, y, z) = (x, 2y, y z, x + 2z). Determinare dim(im(f)) e dim(ker(f)) e relative basi. Esercizio 5.30. Studiare Im(f) e Ker(f) di f : R 4 R 3 con (x, y, z, t) f (x y + z + t, x 2z t, x + y + 3z 3t). 17

Applicazioni lineari Esercizio 5.31. Sia f : R 4 R 4 t.c. f(x, y, z, t) = (x + 2y + z, 4x + z, x + y, z + t), Sia S R 4 il sottospazio S := {(x, y, z, t) R 4 x + t = 2x + z t = y + t = 0}. Trovare una base per f(s). Esercizio 5.32. Si fissi in R 4 la base canonica e si consideri f k : R 4 R 4 con matrice associata k 0 1 k A k = k 1 1 0 1 2k 0 2 1. 0 0 0 1 Stabilire per quali k R, dim(ker(f)) = 1. Esercizio 5.33. Trovare quei k R tali che la seguente applicazione lineare sia un automorfismo di R 3 : f : R 3 R 3 f(x, y, z) = (x + ky + z, 2x + y + kz, 2x + y). Esercizio 5.34. Sia f : R 3 R 3 con f(x, y, z) = (kx y, x + ky 2z, x + ky + z). Trovare quei k R, se esistono, tali che dim(im(f)) 2. Esercizio 5.35. Sia f : R 4 R 3 con f(x, y, z, t) = (x + t, x + ky + kz + t, kz). Trovare quei k R, se esistono, tali che dim(ker(f)) 2. Esercizio 5.36. Sia f : R 3 R 2 con f(x, y, z) = ( 2x + (2 k/2)y + 3z, 4x + (6 k/2)y + 5z). Sia inoltre U R 3 il sottospazio generato dai vettori u 1 = (1, 0, 1) e u 2 = (1, 2, 0). Trovare, se esistono, quei k R tali che f(u) sia una retta di R 2. Esercizio 5.37. Sia B := {v 1, v 2, v 3 } una base di R 3 con v 1 = (1, 1, 0), v 2 = (0, 1, 1) e v 3 = ( 1, 0, 2). Trovare f un endomorfismo di R 3 tale che l immagine di B sia una base ortonormale di R 3 ed < f(v 1 ), f(v 2 ) >= {(x, y, z) R 3 x + y z = 0}. Esercizio 5.38. Discutere al variare di k in R, le dimensioni di Im(f) e Ker(f) dove f è così definita f : R 3 R 3, f(x, y, z) = (kx y, zk, x y). Esercizio 5.39. Sia B := {v 1, v 2, v 3 } una base di R 3 con v 1 = (0, 1, 2), v 2 = (1, 0, 1) e v 3 = (3, 0, 0) Discutere al variare di k in R, le dimensioni di Im(f) e Ker(f) dove f è l endomorfismo di R 3 definito nel modo seguente tramite l immagine dei vettori di B: f(v 1 ) = (1, 0, 1) f(v 2 ) = (0, 1, 1) f(v 3 ) = (k, k, k) 18

Autovalori e autovettori Esercizio 5.40. Sia f : R 2 R 4 con f(x, y) = (kx, y, x ky, 2x ky). Discutere al variare di k in R, le dimensioni di Im(f) e Ker(f). Esercizio 5.41. Discutere al variare di k in R, le dimensioni di Im(f) e Ker(f) dove f è così definita f : R 4 R 3 f(x, y, z, t) = (x t, kz + t, x + 2z). Esercizio 5.42. Sia f : R 3 R 3 con f(x, y, z) = (kx, ky + z, kx 2kz). Studiare dim(im(f)) e dim(ker(f)). Esercizio 5.43. Nello spazio vettoriale R 4 si considerino i vettori v 1 = (1, 0, 1, 0), v 2 = (2, 0, 0, 1), w 1 = (1, 1, 1, 0), w 2 = (0, 0, 2, 1) e i sottospazi V =< v 1, v 2 > e W =< w 1, w 2 >. Studiare i sottospazi V W e V + W. Esercizio 5.44. Siano dati i vettori u 1 = (2, 5, 0), u 2 = (3, 1, 2), u 3 = (1, 9, 2) e u 4 = (1, 4, 2) in R 3. Stabilire qual è la dimensione di U =< u 1, u 2, u 3, u 4 >. Esercizio 5.45. Si considerino i seguenti sottospazi di R 4 : V := {(x, y, z, t) R 4 x ky = z = 0} e W := {(x, y, z, t) R 4 t + y = kx + z = 0} dove k è un parametro reale. Determinare i valori di k per cui risulta dim(v + W ) = 4. 6 Autovalori e autovettori Esercizio 6.1. Determinare autovalori e autovettori della seguente applicazione lineare: f : R 2 R 2 con f(x, y) = (x, y). Esercizio 6.2. Stabilire se la seguente applicazione lineare sia semplice e trovarne gli autospazi: f : R 3 R 3 tale che f(x, y, z) = ( 2y, 1 2 x, 7x + z). Esercizio 6.3. Dimostrare che l applicazione lineare f : R 3 R 3 cosí definita f(x, y, z) = (x, 2x y + z, x + 5y + 3z) è semplice. Trovare una base di autovettori e scrivere la matrice che rappresenta la f in tale base. Esercizio 6.4. Dimostrare che l applicazione lineare f : R 3 R 3 cosí definita f(x, y, z) = (x, 2x x + y + z, x + 2z) è semplice. Trovare una base di autovettori e scrivere la matrice che rappresenta la f in tale base. Esercizio 6.5. Determinare autovalori e autovettori della seguente applicazione lineare: f : R 2 R 2 con f(x, y) = (x + y, y). 19

Autovalori e autovettori Esercizio 6.6. Determinare autovalori e autovettori della seguente applicazione lineare: f : R 2 R 2 con f(x, y) = (x, x + y). Esercizio 6.7. Determinare autovalori e autovettori della seguente applicazione lineare: f : R 2 R 2 con f(x, y) = (x + y, x + y). Esercizio 6.8. Determinare autovalori e autovettori della seguente applicazione lineare: f : R 2 R 2 con f(x, y) = (x + ay, bx + y) dove a, b sono parametri reali. Esercizio 6.9. Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare definita nel modo seguente: f(x, y, z) = (y z, x+ 2y z, x y + 2z). Dimostrare che è semplice e trovare una base di autovettori per R 3 e determinare la matrice che rappresenta f in tale base. Esercizio 6.10. Stabilire se l applicazione lineare f : R 3 R 3 cosí definita è semplice. Descriverne poi gli autospazi. f(x, y, z) = ( 6x + 2y 5z, 4x + 4y 2z, 10x 3y + 8z) Esercizio 6.11. Stabilire se l applicazione lineare f : R 3 R 3 cosí definita è semplice. Descriverne poi gli autospazi. f(x, y, z) = ( 8x 13y 14z, 6x 5y 8z, 14x + 17y + 21z) Esercizio 6.12. Stabilire se l applicazione lineare f : R 3 R 3 cosí definita f(x, y, z) = (x, 3y 15z, 2y + 8z) è semplice. In caso affermativo trovare una base di autovettori per R 3 e determinare la matrice che rappresenta f in tale base. Esercizio 6.13. Stabilire se l applicazione lineare f : R 3 R 3 cosí definita è semplice. Descriverne poi gli autospazi. f(x, y, z) = ( 5x + 4y z, 4x + y 2z, 8x 4y + 3z) Esercizio 6.14. Stabilire se l applicazione lineare f : R 3 R 3 cosí definita f(x, y, z) = (13x + 59y + 34z, 10x + 40y + 24z, 18x 79y 46z) è semplice. Descriverne poi gli autospazi. 20

Matrici (con soluzione) Esercizio 6.15. Stabilire se l applicazione lineare f : R 3 R 3 cosí definita è semplice. Descriverne poi gli autospazi. f(x, y, z) = ( 4x + 2y + 5z, 44y 120z, 16y + 44z) Esercizio 6.16. Stabilire se l applicazione lineare f : R 4 R 4 cosí definita è semplice. Descriverne poi gli autospazi. f(x, y, z, t) = (y, z, t, x) Esercizio 6.17. Trovare per quali valori reali di k R l applicazione lineare f : R 3 R 3 cosí definita f(x, y, z) = (x + y, y, kz) è semplice. Esercizio 6.18. Trovare per quali valori reali di a, b R l applicazione lineare f : R 2 R 2 cosí definita f(x, y) = (x + ay, bx + y) è semplice. Esercizio 6.19. Trovare per quali valori reali di k R l applicazione lineare f : R 3 R 3 cosí definita f(x, y, z) = (kx + y, y + z, z) è semplice. Esercizio 6.20. Trovare per quali valori reali di k R l applicazione lineare f : R 3 R 3 cosí definita f(x, y, z) = (y kz, x kz, kz) è semplice. Esercizio 6.21. Trovare per quali valori reali di k R l applicazione lineare f : R 3 R 3 cosí definita f(x, y, z) = (2kz, x + ky, x) è semplice. Esercizio 6.22. Trovare per quali valori reali di k R l applicazione lineare f : R 3 R 3 cosí definita f(x, y, z) = (y, x ky, z) è semplice. Esercizio 6.23. Trovare per quali valori reali di k R l applicazione lineare f : R 3 R 3 cosí definita f(x, y, z) = (10x, ky + 3z, x + y z) è semplice. 7 Matrici (con soluzione) Esercizio 7.1. Dimostrare che se una matrice A M R (n, n) è invertibile, allora ammette un unica inversa. Una matrice A M R (n, n) è invertibile se e solo se esiste B M R (n, n) tale che Supponiamo che esistano B 1, B 2 M R (n, n) tali che AB = BA = I. AB 1 = B 1 A = I AB 2 = B 2 A = I. Dunque B 1 = B 1 I = B 1 (AB 2 ) = (B 1 A)B 2 = IB 2 = B 2. 21

Matrici (con soluzione) Esercizio 7.2. Dimostrare che ogni matrice quadrata A M R (n, n) tale che A 2 = I è uguale alla propria inversa. Per ipotesi A 2 = I. Moltiplichiamo entrambi i membri dell uglianza per A 1 Remark: Questo presuppone che A 1 esista. Nel testo dell esercizio non è scritto che A sia invertibile. Come dedurre che se A 2 = I allora necessariamente A è invertibile? 1 Otteniamo A 1 A 2 = A 1 I. Remark: Si è scelto di moltiplicare per A 1 a sinistra. Si poteva scegliere di farlo anche a destra? Sarebbe stato corretto moltiplicare un membro a sinistra e uno a destra per A 1, ossia: A 1 A 2 = IA 1? Ora il membro di sinistra A 1 A 2 si può riscrivere A 1 (A A) che per la proprietà associativa è uguale a (A 1 A)A = IA = A. Il membro di destra IA 1 = A 1. ( ) 2 2 Esercizio 7.3. Verificare che la matrice A = M 3 1 R (2, 2) è soluzione dell equazione A 2 A 8I = 0. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 0 A 2 A 8I = 8 = 3 1 3 1 3 1 0 1 ( ) ( ) ( ) 10 2 2 2 8 0 = + + = 3 7 3 +1 0 8 ( ) ( ) 10 2 10 2 = + = 0. 3 7 3 7 Esercizio 7.4. Verificare che da AB = 0 e BA = 0 non si può dedurre che AB = BA. Se A M R (m, n) e B M R (n, m) allora AB M R (m, m) quindi AB = 0 MR (m,m), mentre BA M R (n, n) quindi BA = 0 MR (n,n) e chiaramente 0 M R (m,m) 0 M R (n,n). Esercizio 7.5. Stabilire se esistono valori del parametro reale k tale che la matrice A = sia idempotente. 1 0 k k 0 0 1 0 0 Una matrice A si dice idempotente se A 2 = A. Controlliamo nel nostro caso: A 2 = solo se k = 0. 1 0 k k 0 0 1 0 0 2 = 1 + k 0 k k 0 k 2 1 0 k è uguale a 1 0 k k 0 0 1 0 0 se e Esercizio 7.6. Verificare che se AB = A e BA = B allora A è idempotente. 1 Chi svolge questi esercizi senza conoscere ancora la nozione di determinante non si stupisca se non sa rispondere a questa domanda; gli altri invece dovrebbero conoscere la risposta. 22

Matrici (con soluzione) Dobbiamo provare che A 2 = A. Scriviamo A 2 = AA che per la prima ipotesi è AA = (AB)A, per la proprietà associativa (AB)A = A(BA). Ora per la seconda ipotesi A(BA) = AB. Infine AB = A. Mettiamo assiem tutto: A 2 = AA = (AB)A = A(BA) = AB = A. Esercizio 7.7. Dimostrare che se A M R (n, n) allora A + T A è una matrice simmetrica. Sia B = A + T A. B = (b i,j ) i,j=1,...,n = (a i,j ) i,j=1,...,n + (a j,i ) i,j=1,...,n = (a i,j + a ji ). Dunque b i,j = a i,j + a j,i e b j,i = a j,i + a i,j. Dunque b i,j = b j,i. 23