Esame di Statistica del febbraio 007 (Corso di Laurea Triennale in Biotecnologie, Università degli Studi di Padova. Cognome Nome Matricola Es. Es. Es. 3 Es. 4 Somma Voto finale Attenzione: si consegnano SOLO i fogli di questo fascicolo.
Esercizio. Un azienda produce occhiali utilizzando tre diversi macchinari. Il primo macchinario produce mediamente un paio di occhiali difettosi ogni 00, il secondo ogni 00, il terzo ogni 300. Gli occhiali vengono imballati in scatole identiche, contenenti 00 paia. Ogni scatola contiene occhiali scelti a caso tra quelli prodotti da una sola delle tre macchine. Si supponga che il primo macchinario abbia una produzione doppia rispetto agli altri due, cioè una scatola scelta a caso ha probabilità / di essere prodotta dal primo macchinario, /4 da secondo e /4 dal terzo. Un ottico riceve una di queste scatole.. Qual è la probabilità che trovi almeno un paio di occhiali difettoso?. Se l ottico trova esattamente due paia difettose, qual è la probabilità che gli occhiali siano stati prodotti dal primo macchinario? Esercizio. In un esperimento del 943, 0 ratti albini furono usati per studiare l efficacia del tetracloruro di carbonio nel trattamento dei vermi. Le cavie furono infettate con larve e dopo 0 giorni divise a caso in due gruppi da 5, trattati con dosi diverse della sostanza. Due giorni dopo i ratti furono soppressi e i vermi contati, coi seguenti risultati: 0.03 cc 4 46 400 378 43 0.063 cc 07 7 4 74 6. Calcolare gli intervalli di confidenza al 95% per entrambi i campioni.. Supponendo che la varianza tra le popolazioni sia la stessa, dire se questi dati dimostrano che il dosaggio superiore è stato più efficace. Riportare limitazioni al valore P. Esercizio 3. Un campione aleatorio di 500 famiglie degli Stati Uniti è stato classificato per regione e reddito (in migliaia di dollari, ottenendo i risultati seguenti: reddito sud nord 0 0 4 53 0 30 0 78 30 o più 36 89. Ci sono differenze tra le diverse classi di reddito nel fatto di appartenere agli Stati del nord o agli Stati del sud? Effettuare il test con un livello α = 0.05 e riportare un valore P.. Stabilire quali sono le classi di reddito in cui il tasso di appartenenza geografica si può ritenere uguale. Esercizio 4. Le cifre che seguono sono le medie annuali dei prezzi di tutti i libri recensiti dalla rivista Science dal 990 al 996. anno ( 900 (x 90 9 9 93 94 95 96 dollari (y 54.43 54.08 57.58 5. 59.96 60.5 6.3 con le seguenti statistiche aggregate: x i = 65, y i = 399.9, x i = 6057, yi = 943.0, x i y i = 379.99. Trovare la retta di regressione del prezzo medio dei libri rispetto all anno.. Eseguire un test per vedere se in effetti c è una relazione lineare. Riportare limitazioni al valore P. 3. Fornire un intervallo di confidenza al 95% della media dei prezzi di tutti i libri recensiti nel 997.
Soluzioni Esercizio. Definiamo gli eventi A j := { la scatola proviene dal j-esimo macchinario}, j =,, 3. Allora Ω = A A A 3, e l unione è disgiunta, e si ha P(A = /, P(A = P(A 3 = /4. Modellizziamo inoltre i difetti degli occhiali con delle variabili aleatorie di Bernoulli definite da { se l i-esimo occhiale è difettoso X i := 0 altrimenti Allora le (X i i sono i.i.d. con legge Be(p i sotto ciascuna delle P( A i, dove p = /00, p = /00 e p 3 = /300. Consideriamo poi S 00 := 00 X i B(00, p i sotto P( A i.. Applicando la formula della probabilità totale, abbiamo: P{S 00 > 0} = P{S 00 = 0} = = = 3 ( 00 0 j= ( ( 00 3 P({S 00 = 0} A j P(A j = j= ( p j 00 P(A j = = 0.5349 = 0.486508 00 ( + 00 ( 00 4 + 300 00 = 4. Applicando la formula di Bayes, bisogna calcolare ( 00 P({S 00 = } A P(A P(A {S 00 = } = 3 j= P({S 00 = } A j P(A j = p ( p 98 3 ( 00 j= p j ( p j 98 P(A j = = ( 00 ( ( ( 00 00 = 0.0943 0.75 = 0.767 ( 00 ( 00 98 + ( 00 ( 00 ( 00 98 98 4 + ( 300 ( 300 dove per il denominatore abbiamo applicato la formula della probabilità totale. Esercizio. 98 = 4. Calcolando media e varianza campionarie dei due gruppi otteniamo per il primo X = 44.8 e s X = 960.70 e per il secondo Ȳ = 65. e s Y = 3839.70, quindi s X = s X /5 = 3.86 e sȳ = s Y /5 = 69.05. Abbiamo poi per entrambi i campioni t α/ (ν = t 0.975 (4 =.776. Allora il primo intervallo di confidenza ha estremi X ±t α/ (νs X = 44.8±.776 3.86, e risulta uguale a [376; 453]; il secondo invece ha estremi Ȳ ± t α/(νs Ȳ = 65. ±.776 69.05, e risulta uguale a [ 6; 357]. Facciamo un test t sulla differenza delle medie con ipotesi H 0 : µ X = µ Y e alternativa H : µ X > µ Y. Supponendo che la varianza delle popolazioni iniziali sia la stessa, possiamo usare un test di Student. Abbiamo t = X Ȳ 44.8 65. = = 3.54 s X Ȳ 960.70 5 + 3839.70 5 I gradi di libertà sono ν = 5 + 5 = 8. La regione critica è della forma [t α (ν, +. Siccome t 0.995 (8 = 3.355 < t < t 0.9975 (8 = 3.833, possiamo riportare 0.005 < P < 0.005. Questo significa che possiamo rifiutare H 0 e accettare H : il dosaggio maggiore sembra più efficace.
Esercizio 3.. Vogliamo fare un test di ipotesi H 0 : p = p = p 3 contro l alternativa H : i, j tali che p i p j. Raccogliamo i dati osservati ed attesi nella seguente tabella: Per costruire la tabella attesa, abbiamo usato sud nord totale 4 (34 53 (6 95 0 (0 78 (79 80 3 36 (45 89 (80 5 80 30 500 ˆp = 4 + 0 + 36 95 + 80 + 5 = 0.36 Siccome tutti i numeri della tabella attesa sono maggiori di 5, si puó usare il metodo del χ : χ = (4 34 (53 6 + + 34 6 (36 45 (89 80 + + 45 80 (0 0 0 = 5.6 + (78 79 79 Il valore critico è χ 0.95( = 5.99; siccome χ < χ 0.95(, accettiamo H 0 : non sembra che l appartenenza regionale sia legata all appartenenza alle diverse classi di reddito. Inoltre possiamo dire che P > 0.05 (6 punti.. Poichè abbiamo già accettato H 0, i tassi si possono ritenere tutti uguali fra di loro senza fare ulteriori tests ( punti. +
Esercizio 4. Partiamo calcolando le quantità: X = n s X = s Y = s XY = n X i = 93 (0.5 punti, Ȳ = n n n n n Y i = 57.3 ( n Xi n X = 4.66 (0.5 punti, ( n Y i nȳ = 6.05 (0.5 punti, ( n X i Y i n XȲ = 6.39 (0.5 punti (0.5 punti,. Calcoliamo i coefficienti della retta di regressione: La retta di regressione è quindi y =.37x 70.8. b = s XY s =.37 X b 0 = Ȳ b X = 70.8. Bisogna eseguire un test di ipotesi H 0 : β = 0 e alternativa H : β 0. Bisogna allora calcolare: s Y X = s b = n n (s T b s X =.96 s T X = 0.56 (n s X Abbiamo allora t = b 0 s b =.44 Bisogna confrontare t con una legge di Student a ν = 7 = 5 gradi di libertà. Abbiamo che t 0.95 (5 =.05 < t =.44 < t 0.975 (5 =.570, quindi 0.05 < P < 0.. Con una P così alta siamo portati ad accettare H 0, il che significa che non sembra esserci una relazione lineare della media dei prezzi dei libri recensiti rispetto all anno. 3. La media che ci attendiamo per i prezzi del 997 (quindi con x = 97 è y = b x + b 0 = 6.6. L errore standard della stima della y è s := s Y X + (x X + n (n s = 3.87 x e t 0.975 (5 =.570, quindi l intervallo di confidenza cercato ha estremi y ± t α/ (νs = 6.6 ±.570 3.87, ed è quindi [5.66; 7.56]
Esame di Statistica del febbraio 007 (Corso di Laurea in Biotecnologie, Universitá degli Studi di Padova (docente: Tiziano Vargiolu Hanno superato la prova: Agnolon Valentina + 3 Anselmi Giulia 4 + 3 + Bisin Marco 8 + 3 Bordin Fulvio 0.5 + 3 Cantarelli Irene Xochilt 0.5 + 3 + Casano Alessandra Maria.5 + 3 Civettini Michele 5 + 3 + De Prà Valentina 7 Ferro Chiara 0 Filograna Roberta 5.5 + 3 + Foletto Mattia 8.5 Fortin Andrea 5.5 + 3 + Gardiman Elisa 6.5 + 3 Gottardo Lisa 3.5 + 3 Loschi Luca 6 + 3 + Lunardon Alice.5 + 3 + Massarotto Luca 6.5 + 3 Nigris Sebastiano 9 + 3 Orlandi Veronica + 3 + Pianca Nicola 9 Pinto Marcella 6 + 3 + Rigato Annafrancesca 5 Romoli Ottavia 4 + 3 Salvagnin Umberto 0 Stasi Fabio.5 + 3 Szekely Serena 4.5 + 3 + Tebaldi Marta 0 + 3 Zilio Federica 8 + 3 Visione compiti corretti, registrazione voto e/o orali: giovedì 5 febbraio ore 4.30 aula Aula BC/50 torre Archimede. Verrà data precedenza alla registrazione voti a chi accetta il voto dello scritto e ha il bonus di + 3.