Laboratorio di calcolo delle probabilità

Laboratorio di calcolo delle probabilità

Il concetto di probabilità I Estraendo a caso una carta da un mazzo è maggiore la probabilità che sia un carta con un numero maggiore di 6 (escluse le figure) o che sia una figura? A) Un numero maggiore di 6 B) Una figura C) prima di rispondere dovrei porre un altra domanda

Il concetto di probabilità II Le prime tre carte sono nere? La nona carta è una figura? Qual è il seme dell ultima carta? Nel mazzo gli assi sono tutti vicini? Nel mazzo ci sono dei nove? L ultima carta è rossa? Sì, è un mazzo di 52 carte P(A) = probabilità dell evento A = Numero dei casi favorevoli ad A Numero dei casi possibili

Il concetto di probabilità III Le prime tre carte sono nere? La nona carta è una figura? Qual è il seme dell ultima carta? Nel mazzo gli assi sono tutti vicini? Nel mazzo ci sono dei nove? L ultima carta è rossa? Sì, è un mazzo di 52 carte P(A) = probabilità dell evento A (carta che presenta un numero maggiore di 6) = P(B) = probabilità dell evento B (carta che presenta una figura) = 12 52 16 52

Il concetto di probabilità IV Estraendo a caso una carta da un mazzo di 52 carte è maggiore la probabilità che sia un carta con un numero maggiore di 6 (escluse le figure) o che sia una figura? A) Un numero maggiore di 6 B) Una figura

Il concetto di probabilità V Il forziere Un forziere ha 3 serrature. Ogni serratura è aperta da una chiave colorata. Hai a disposizione 4 chiavi colorate. Qual è la probabilità che indovini la combinazione? In quanti modi puoi scegliere la prima chiave? In quanti modi puoi scegliere la seconda chiave? In quanti modi puoi scegliere la terza chiave?

Disposizioni 4 3 2 = 24 modi Quindi la probabilità è 1 24. DISPOSIZIONI Una disposizione semplice D n,k di lunghezza k di elementi di un insieme S di n oggetti, con k n, è una presentazione ordinata di k elementi di S nella quale non si possono avere ripetizioni di uno stesso oggetto. n ( n 1)... 1 n! Dn, k = n ( n 1)... ( n k + 1) = = ( n k) ( n k 1)... 1 ( n k)!

Disposizioni II Credete che sia importante sapere che le chiavi sono numerate e possono essere usate solo in sequenze crescenti? Di quanto è maggiore rispetto alla prova precedente la probabilità di trovare la combinazione giusta? Scelte possibili 1 2 3 1 2 4 2 3 4 1 3 4 E 6 volte maggiore della probabilità precedente.

Disposizioni III Bandiere da segnalazione in marina Con le 26 bandiere di segnalazione usate in marina, quanti segnali di due lettere diverse si possono ottenere? 26! 24!

Disposizioni con ripetizione Quanti sono i risultati possibili del lancio di k dadi? (Questo problema fu risolto per la prima volta da Niccolò Fontana detto Tartaglia nel 1523) Consideriamo ad esempio il lancio di k=3 dadi. I risultati possibili del lancio di tre dadi si possono pensare come prodotto dei risultati del lancio del primo, del secondo e del terzo dado Il primo risultato è un numero da 1 a 6, il secondo un numero da 1 a 6, il terzo un numero da 1 a 6. I risultati possibili sono quindi 6 6 6=6 3 DISPOSIZIONI CON RIPETIZIONE O COMPLETE Una disposizione con ripetizione o completa D n,k di lunghezza k di elementi di un insieme S di n oggetti, con k n, è una presentazione ordinata di k elementi di S nella quale ogni elemento si può essere ripetuto fino a k volte. D n,k = n k

Fila indiana Permutazioni I In quanti modi posso disporre 9 persone in fila indiana? In quanti modi posso scegliere il primo elemento della fila? Fissato il primo elemento, in quanti modi posso scegliere il secondo elemento della fila? n (n-1) (n-2) 1 = n! Posso disporre le persone in 9!= 362880 modi. PERMUTAZIONI Una permutazione P n di un insieme di n oggetti è una presentazione ordinata, cioè una sequenza, dei suoi elementi nella quale ogni oggetto viene presentato una e una sola volta.

Permutazioni Quanti segnali distinti formati da 9 bandiere si possono formare con 4 bandiere bianche, 3 bandiere rosse, 2 bandiere blu? II Si tratta di una permutazione (con elementi non tutti distinti) n di oggetti dei quali n 1 sono identici tra loro, n 2 sono identici tra loro e distinti dai precedenti, n! n! n!... n! 1 2 r Quindi si possono determinare 9! 4!3!2! = 1260 segnali distinti

Combinazioni Quante diverse squadre di calcetto a cinque si possono formare a partire da 20 calciatori inscritti a un torneo? 15504 COMBINAZIONI Se n e k sono due interi positivi, si definisce combinazione C n,k di n elementi presi k alla volta (oppure di n elementi di classe k) ogni sottoinsieme di k oggetti estratti da un insieme di n oggetti. Se si impone la condizione che una combinazione non può avere un elemento ripetuto si parla di combinazioni semplici

Il problema delle antenne I Supponiamo di avere un sistema formato da n antenne identiche e allineate. Il sistema ottenuto sarà in grado di ricevere tutti i segnali che arrivano e in tal caso sarà detto funzionante se non vi sono due antenne difettose consecutive. Sapendo che m delle n antenne sono difettose qual è la probabilità che il sistema sia funzionante?

Il problema delle antenne II Esempio n=4 m=2 Diagramma ad albero 1 0 0 1 0 1 10 11 00 01 0 1 0 1 1 0 1001 1010 1100 0011 0110 0101

Il problema delle antenne III Esempio n=4 m=2 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 Sapendo che 2 delle 4 antenne sono difettose qual è la probabilità che il sistema sia funzionante? 1 2

Il problema delle antenne IV In generale Sapendo che m delle n antenne sono difettose qual è la probabilità che il sistema sia funzionante? n m antenne funzionanti Gli spazi tra due antenne funzionanti possono contenere al più un antenna difettosa, dobbiamo quindi selezionare dagli n m + 1 spazi tra le m n antenne funzionanti, m spazi nei quali sistemare le antenne difettose. Vi sono quindi n m + 1 m allineamenti nei quali c è almeno un antenna funzionante tra due antenne difettose

Il problema delle antenne V Sapendo che m delle n antenne sono difettose qual è la probabilità che il sistema sia funzionante? P (sistema funzionante) = n m + 1 m n m = (2 + 1)! 2!(2 + 1 2)! 1 4! 2 2!2! Nell esempio proposto, con n=4 ed m=2 P = = ( n m + 1)! m!( n m + 1 m)! n! m!( n m)!

Le scommesse del Cavalier De Méré I Scommessa sull uscita del sei almeno una volta in quattro lanci di un dado. La sorte favorisce lo scommettitore del sei? O coloro che scommettono su fatto che il sei non esce? Casi possibili L esito dei 4 lanci è una quaterna di numeri da 1 a 6 Le quaterne sono in tutto 6 4 Casi favorevoli a chi non scommette sul 6 I casi favorevoli sono Il sottoinsieme delle quaterne di numeri da 1 a 5; e sono 5 4 Probabilità di vincita di chi scommette sul 6 Probabilità (di uscita del 6) = P(E) =1 5 6 4 4 0,518

Le scommesse del Cavalier De Méré II Il cavaliere De Méré noto sperimentalmente che invece gettando due dadi per ventiquattro volte e scommettendo sul dodici in questo caso era sfavorito lo scommettitore sul dodici. Egli però non era convinto di questo risultato. Proviamo a dare una spiegazione. Con 24 lanci di due dadi abbiamo: Esiti possibili : 24-uple di coppie di numeri da 1 a 6 = (6 6) 24 Probabilità della 24-upla = 1/36 24 Casi favorevoli a chi non scommette sul dodici (6+6) I casi favorevoli sono Il sottoinsieme delle di 24-upledi numeri da 1 a 6 non entrambi 6 e sono (36 1) 24 24 Probabilità (di non uscita del doppio del 6)= P(Ē) = Probabilità di vincita di chi scommette sul dodici (6+6) Probabilità (di uscita del doppio 6) = P(E)=1 35 36 24 24 0,491 35 36 24

Le scommesse del Cavalier De Méré III Siete degli emuli del Cavalier De Méré? Nel lancio di due dadi, su quale numero scommettereste?

La festa di compleanno I Quante persone ci devono essere almeno in una stanza perché sia più probabile che alcune di loro compiano gli anni lo stesso giorno piuttosto che il viceversa? Ipotesi Tutti gli anni non sono bisestili La possibilità di nascita in ogni giorno dell anno è uguale numero persone n 365 Casi possibili Numeriamo le persone da 1 a n e compiliamo liste di n giorni: 365 n liste possibili, le assumiamo equiprobabili. In quante liste non compare due volte lo stesso giorno? D 365,n = 365 * 364 *... * (365 n + 1)

La festa di compleanno II Probabilità che non ci siano persone che compiano gli anni lo stesso giorno: p = D 365,n /365 n Probabilità che ci siano persone che compiano gli anni lo stesso giorno: p = 1 (D 365,n /365 n ) n = 23 p 0.507 n = 30 p 0.706 n = 50 p 0.97 Bastano 23 persone affinché la probabilità che due persone abbiano lo stesso compleanno sia maggiore di 0,5.

La festa di compleanno III In quanti dobbiamo essere almeno in una stanza perché sia più probabile che sia presente almeno un mio gemello (nato nello stesso giorno) piuttosto che il viceversa? I possibili compleanni di n persone sono rappresentati da una n-upla di numeri da 1 a 365. I casi possibili sono 365 n Il numero di casi favorevoli al fatto che nessun altra persona compia gli anni il mio stesso giorno è 364 n P (che almeno un'altra persona compia gli anni il mio stesso giorno) = n 364 1 365 n

I giochi d azzardo I Il lotto Qual è la probabilità di uscita del numero 27 sulla ruota di Venezia? Ipotesi Su una ruota vengono estratti 5 numeri tra i 90 possibili = Casi possibili (cinquine che contengono il numero 27) 90 5 (cinquine possibili) Casi favorevoli 89 4 89 4 p Probabilità di uscita del numero 27 sulla ruota di Venezia: = = 90 5 89! 85!4! = 1 18

I giochi d azzardo Il lotto e i numeri ritardatari Il fatto che un numero non sia uscito per molte estrazioni precedenti non influisce sulla probabilità che venga estratto alla successiva estrazione (1/18). = II Probabilità che il numero 27 non venga estratto per 199 estrazioni: p = 17 18 199 = 0,0000115 Qual è la probabilità che il numero 27 dopo un ritardo di 199 estrazioni esca alla 200-esima? PROBABILITA CONDIZIONATA La probabilità che l'evento A ha di verificarsi se si è verificato B (probabilità condizionata dell evento A dato l evento B) è uguale al rapporto tra la probabilità congiunta degli eventi A e B e la probabilità dell evento B. P(A B) = P(A B)/P(B)

I giochi d azzardo III P(A B) = P(A B)/P(B) A= esce il numero 27 B= il numero 27 non esce per 199 estrazioni P(A B) = 199 17 1 18 18 P(B)= 17 18 199 P(A B)= 199 17 1 18 18 199 17 18 = P(A) A e B sono eventi indipendenti!

Il gioco equo I giochi d azzardo IV Un gioco è equo se : (V - P) p - P (1 - p) = 0 dove p è probabilità di vincita, V è il valore della vincita e P la posta Semplificando l uguaglianza scritta sopra abbiamo: V p = P Il gioco è equo se il prezzo pagato (posta) è uguale al prodotto della vincita per la probabilità della vincita.

I giochi d azzardo V Numeri giocati Numeri indovinati Vincita lorda (euro) Probabilità di vincita 1 1 11,23 1 su 18 2 2 250,00 1 su 400,5 3 3 4500,00 1 su 11 748 4 4 120 000,00 1 su 511 038 5 5 6 000 000,00 1 su 43 949 268 V p = 11,23 Il gioco di un numero su una ruota è un gioco equo? Supponendo di giocare 1 euro: 1 18 < 1

Il problema di Monty Hall I Supponi di partecipare a un gioco a premi in cui puoi scegliere tra tre scatole: dentro una c è un premio di 100.000, dentro le altre un premio di consolazione di 1. Scegli una scatola e il conduttore del gioco, che sa il contenuto di ciascuna scatola, ne apre un altra, rivelando un premio da 1 e domanda: Vuoi cambiare la tua scelta?. Conviene cambiare la tua scelta originale? È più probabile vincere cambiando la scelta iniziale o non cambiandola?

Il problema di Monty Hall II Tre scenari possibili: A. Il giocatore sceglie scatola con premio di 1, la numero 1. Il conduttore apre la scatola con l altro premio di 1. Cambiando, il giocatore vince 100.000. B. Il giocatore sceglie scatola con premio di 1, la numero 2. Il conduttore apre la scatola con l altro premio di 1, la numero 1. Cambiando, il giocatore vince 100.000. C. Il giocatore sceglie scatola con premio di 100.000. Il conduttore apre una qualsiasi delle due scatole con 1. Cambiando, il giocatore trova l altra scatola con 1.

Il problema di Monty Hall III Conviene cambiare la tua scelta originale? Se il giocatore non conoscesse il contenuto della scatola rivelato dal conduttore, non avrebbe nessuna ragione di preferire una scatola a un altra, effettuerebbe quindi scelta a caso, e avrebbe quindi probabilità 1/3 di vincere il premio da 100.000. La strategia "cambiare" porta alla vittoria in due casi su tre, quindi la probabilità di vincere sale a 2/3.

Gioco con tre carte I Ogni carta è nascosta in una scatola nera. Il giocatore sceglie una delle scatole, estrae la carta e la posa sul tavolo senza vedere l altra faccia. La faccia visibile è rossa. Il banco propone al giocatore una scommessa alla pari che è rossa anche l altra faccia (se è rossa vince il banco, se è bianca vince il giocatore). La probabilità che l altra faccia sia rossa è 0,5 e quindi il gioco è equo. E giusto?

Gioco con tre carte II P(faccia nascosta = R faccia visibile = R) = P(RR R)=P(R RR)/P(R) probabilità di vincita del banco Dobbiamo valutare P(R) = P(R RR) + P(R RB) 1/3 P(R RB) = P(RB R) P(RB) 1/2 1/3

Gioco con tre carte III P(RR R)=P(R RR)/P(R) = 1/3 : 1/2 = 2/3 probabilità di vincita del banco Il gioco è favorevole al banco

Il paradosso dei due bambini I Sapendo che una famiglia ha due figli, dei quali almeno uno un maschio, con che probabilità l altro figlio è una femmina? Figlio maggiore Femmina Femmina Maschio Maschio Figlio minore Femmina Maschio Femmina Maschio P(F M) = P(F M)/P(M) = 2/4 / 3/4= 2/3

Il paradosso dei due bambini II Sapendo che una famiglia ha due figli, dei quali il primo un maschio, qual è la probabilità che l altro figlio sia una femmina? Figlio maggiore Femmina Femmina Maschio Maschio Figlio minore Femmina Maschio Femmina Maschio I casi possibili in questo caso sono solo due

Grazie per l attenzione