MATEMATICA SCOMPOSIZIONE E FRAZIONE ALGEBRICHE GSCATULLO 1
Scomposizione e frazioni algebriche Scomposizione in Fattori Scomporre in fattori un polinomio significa scriverlo sotto forma di un prodotto di polinomi di grado inferiore. a 2 è di secondo grado. a è di primo (1) grado. Scomporre in fattori significa dunque rendere il polinomio al grado minore. Quando un polinomio si può scomporre esso è detto polinomio riducibile, quando non è possibile scomporlo esso è detto polinomio irriducibile. Raccoglimento a fattor comune Se in tutti i termini di un polinomio è contenuto uno stesso fattore è possibile scomporlo utilizzando la proprietà distributiva, tale procedimento prende nome di raccoglimento a fattor comune. Il fattore a è comune a tutti quanti i monomi del polinomio, egli svolge il ruolo di moltiplicare in tutti i monomi. Dunque egli è il divisore più alto comune a tutti i monomi (MCD). Raccogliendo a fattor comune è possibile moltiplicare l MCD per il polinomio privato del fattore comune. Dunque: 4a a + 2a2 a + 7ab a Che diventa a(4 + 2a + 7b) È possibile raccogliere a fattor comune utilizzando come fattore anche un binomio o un polinomio purché sia comune. e 5( + 2) 2 ( + 2) = ( + 2)(5 2 ) 2
5( + 2) 2 ( + 2) Se si è in difficoltà a visualizzare il calcolo si immagini (+2) come un monomio a. 5a 2 a = a(5 2 ) Dunque si riconverta il monomio a nel binomio (+2). ( + 2)(5 2 ) Nel raccoglimento parziale prima si raccolgono i fattori comuni a parti del polinomio, quindi si procede con il raccoglimento a fattor comune. Scomposizione mediante i Prodotti notevoli Differenza di due quadrati e a 2 b 2 = (a + b)(a b) e 16 9 = (4 + 3)(4 3) Quadrato di un binomio e a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 e 16 + 24 + 9 = (4 + 3) 2 Quadrato del Trinomio e a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c) 2 e 9b 2 + 4a 2 8a + 12b + 4 12ab = (3b 2a + 2) 3 Si individuano prima i possibili quadrati: 9b 2 è il quadrato di 3b; 4a 2 è il quadrato di 2a; 4 è il quadrato di 2. Verifichiamo che gli altri termini possano essere i tre doppi prodotti esaminandone i valori assoluti: 8a = 2(2 2a); 12b = 2(3b 2); 12ab = 2(3b 2a). Se il segno dei doppi prodotti è negativo ciò significa che i suoi fattori sono discordi, nell altro caso concordi. Si studino quindi i segni. 8a segni discordi; +12b concordi; 12ab discordiquindi si ottengono due possibilità, equivalenti: = (3b 2a + 2) 3 ; ( 3b + 3a 2) 3 Cubo di un binomio e a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 Differenza di cubi e a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) 3
Somma di cubi e a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) Trinomio caratteristico e 2 + (a + b) + ab = ( + a)( + b) Ruffini Dato un polinomio P()= 2 3 + 3 2 17 30 procediamo alla ricerca di numeri che annullano il polinomio, ovvero che se sostituiti ad diano come risultato finale 0. Tali numeri sono da cercare tra i divisori del termine noto (30): ±1; ±2; ±3; ±5; ±6; ±10; ±15; ±30 E le rispettive frazioni: ± 1 2 ; ± 3 2 ; ± 5 2 ; Dunque verifichiamo per quale di essi il polinomio si annulla: P(+1)= 2(1) 3 + 3(1) 2 17(1) 30 = -42 0 P(-1)= 2( 1) 3 + 3( 1) 2 17( 1) 30 = -12 0 P(+2)= 2(2) 3 + 3(2) 2 17(2) 30 = -36 0 P(-2)= 2( 2) 3 + 3( 2) 2 17( 2) 30 = 0 Dunque il polinomio è divisibile secondo Ruffini per -(-2) ovvero per +2. Il polinomio è divisibile per +2. Disponiamo quindi i coefficienti sulla tabella. Eseguiamo quindi il calcolo con il metodo di Ruffini Otteniamo dunque il risultato: ( + 2)(2 2 15) Ancora scomponibile con Ruffini sino ad ottenere: ( + 2)( 3)(2 + 5) Le Frazioni Algebriche Dati i polinomi A e B, con B diverso dal polinomio nullo ( 0), la frazione A è detta frazione algebrica. B Una frazione algebrica perde significato quando il denominatore diventa nullo. e 3 2 è nulla per = 2 4
Condizioni di Esistenza Se ne ricava che una frazione algebrica perde significato per tutti e soli quei valori delle lettere che annullano il denominatore. Tutte le diseguaglianze ( ) che le frazioni devono verificare affinché il denominatore non sia nullo ( 0) si chiamano condizioni di esistenza. e 3 2 C.E.: 2 Il ragionamento è semplice: Scriviamo la disuguaglianza in forma di disequazione 2 0 «Spostiamo» tutti i termini che non sono l incognita () dall altra parte del disuguale ( ), come fosse un equazione. (Per spostare un termine si aggiunge l opposto da un lato e dall altro). 2 + 2 0 + 2 Eseguiamo i calcoli. 2 Semplificare le frazioni Nella risoluzione della frazione algebrica un ruolo fondamentale svolge la semplificazione: essa può avvenire solo fra fattori, e dunque dopo aver eseguito le scomposizioni e determinato le condizioni di esistenza. 2 6+9 = ( 3)2 = 3 2 2 3 ( 3)(+1) +1 C.E.: 3 e -1 Addizione e sottrazione Nel caso in cui siano presenti più frazioni e addizionate fra loro si prosegue nelle scomposizioni. Effettuate queste si trova l MCD dei denominatori e, scritte le condizioni di esistenza, si prosegue come se fosse una sola grande frazione. e 4 + 7 2 12 + 1 +3 1. Scomponiamo e + 7 + 1 ( 4) +3 C.E.??? 2. Stabiliamo le C.E. e 4 + 7 + 1 +3 3. Troviamo l MCD e (+3)+7+ 4 4. Eseguiamo il calcolo al numeratore e 2 +3+3 + = 2 +4+3 5. Scomponiamo il trinomio caratteristico al numeratore 5
e (+3)(+1) 6. Semplifichiamo e (+3)(+1) = +1 4 Moltiplicazione Come per le normali frazioni anche in quelle algebriche è possibile, nella moltiplicazione, la semplificazione a croce (si eliminano i numeratori ed i denominatori uguali). e 2 4 5 2 25 2+2 ( 5) 1. Scomponiamo e raccogliamo e ( 5)(+1) ( 5)() 2(+1) ( 5) C.E.??? 2. Stabiliamo le C.E. e ( 5)(+1) ( 5)() 2(+1) ( 5) C.E. -1 e 0 e ±5 3. Semplifichiamo a croce e ( 5)(+1) = 1 ( 5)() 2(+1) ( 5) 2( 5) Divisione Per eseguire le divisioni fra frazioni è sufficiente, dopo aver risolto ogni parte, moltiplicare per il reciproco del divisore (secondo termine della divisione). Si tenga presente che, poiché la frazione del divisore andrà «ribaltata», le C.E. andranno scritte anche per il numeratore. e 3 +2 2 : +2 3+3 2 1 1. Scomponiamo e raccogliamo e 2 (+2) : +2 3(+1) (+1)( 1) C.E.??? 2. Stabiliamo le C.E. e 2 (+2) : +2 3(+1) (+1)( 1) C.E. ± 1 e -2 3. Eseguiamo la divisione, ovvero moltiplichiamo per il reciproco. e 2 (+2) (+1)( 1) = 2 ( 1) 3(+1) +2 3 C.E. ± 1 e -2 Realizzato il 07/11/2014 da Paolo Franchi, rivisto il 08/09/2015 per Sapere Aude! AMDG 6