Esercizi su formula di Itô 1. Scrivere il differenziale stocastico dei seguenti processi: (i) X t = B t (ii) X t = t + e B t (iii) X t = B 3 t 3tB t (iv) X t = 1 + t + e B t (v) X t = [B 1 (t)] + [B (t)] (vi) X t = (B t + t) exp( B t t/) (vii) X t = exp(t/) sin B t. Sia Y t = tb t. Calcolare dy t, E(Y t ) e E(Y t Y s ). 3. Mostrare che X t = sin s db s è definito; (i) mostrare che X t è un processo Gaussiano e calcolare E(X t ) e E(X s X t ); (ii) calcolare E(X t F s ); (iii) mostrare che X t = sin tb t cos sb s ds. 4. Mostrare che I(t) = B s ds è un processo Gaussiano con media e varianza t 3 /3. Trovare la legge della media temporale di B t nell intervallo [, T ], ovvero 1 T B t dt. 5. Per λ > poniamo X t = e λs db s. (i) Mostrare che X t = e λt B t + λ e λs B s ds. (ii) Mostrare che esiste lim t + X t = Z in L e determinare la legge di Z. 6. Se dx t = b 1 (X t )dt + σ 1 (X t )db t e dy t = b (Y t )dt + σ (X t )db t, provare che d(x t Y t ) = X t dy t + Y t dx t + σ 1 (X t )σ (Y t )dt ovvero vale la formula di integrazione per parti: ] X t dy t = [X t Y t T Y t dx t σ 1 (X t )σ (Y t )dt 1
Soluzioni degli esercizi su formula di Itô 1. Ricordiamo la formula di Itô nel caso unidimensionale, per il differenziale stocastico di una funzione f(t, X(t)) con dx(t) = b(x(t))dt + σ(x(t))db t : df(t, X(t)) = t + 1 f x σ (X(t)) + f ] x b(x(t)) dt + f x σ(x(t))db t (i) per f(x) = x, dalla formula di Itô si ricava: dx(t)) = f (B t )db t + 1 f (B t )dt = B t db t + dt e quindi: B t = t + B s db s (ii) per f(t, x) = t + e x, dalla formula di Itô si ricava: dx(t)) = ( ) 1 eb t + 1 dt + e B t db t (iii) per f(t, x) = x 3tx, dalla formula di Itô si ricava: dx(t) = [ 3B t + 1 ] 6B t dt + (3Bt 3t)dB t = (3Bt 3t)dB t (iv) per f(t, x) = 1 + t + e x, dalla formula di Itô si ricava: d(x ( t)) = [ + 1 ] eb t dt + e B t db t (v) Ricordiamo la formula di Itô nel caso bidimensionale, per il differenziale stocastico di una funzione f(t, X(t), Y (t)) con dx(t) = b 1 (X(t), Y (t))dt + σ 11 (X(t), Y (t))db 1 t + σ 1 (X(t), Y (t))db t dy (t) = b (X(t), Y (t))dt + σ 1 (X(t), Y (t))db 1 t + σ (X(t), Y (t))db t, oppure in notazione matriciale ( ) ( ) ( ) ( ) dx(t) b1 σ11 σ = dt + 1 db 1 t dy (t) b σ 1 σ dbt. Si ha: df(t, X(t), Y (t)) = t + f x b 1(X(t), Y (t)) + f y b (X(t), Y (t))+
+ 1 ( f x a 11(X(t), Y (t)) + f x y a 1(X(t), Y (t)) + f y + f ( σ11 dbt 1 + σ 1 db ) f ( t + σ1 dbt 1 + σ db ) t x y ) ] a (X(t), Y (t)) dt+ dove a = σσ T. Se, più semplicemente, X(t) e Y (t) sono processi di Itô rispetto allo stesso moto Browniano B t : dx(t) = b 1 (X(t))dt + σ 1 (X(t))dB t e dy (t) = b (Y (t))dt + σ (Y (t))db t allora: Infatti, ora + 1 df(t, X(t), Y (t)) = t + f x b 1(X(t)) + f y b (Y (t))+ ( ) f x σ 1(X(t)) + f x y σ 1(X(t))σ (Y (t)) + f ] y σ (Y (t)) dt+ B 1 t = B t, σ = Allora, se f(x, y) = x + y, otteniamo: + f x σ 1(X(t))dB t + f y σ (Y (t))db t ( ) ( ) σ1, a = σσ T σ = 1 σ 1 σ σ σ 1 σ σ dx(t) = d(b 1(t) + B (t)) = dt + B 1 (t)db 1 (t) + B (t)db (t) (vi) Se f(t, x) = (x + t)e x t/, otteniamo: Quindi: dx(t)) = f t = e x t/ 1 (x + t)e x t/ = e x t/ (1 (x + t)/) f x = e x t/ (x + t)e x t/ = e x t/ (1 x t) f x = e x t/ + (x + t)e x t/ = e x t/ (x + t ) [ e Bt t/ (1 (B t + t)/) + 1 ] e B t t/ (B t + t ) dt+e Bt t/ (1 B t t)db t (vii) Se f(t, x) = e t/ sin x, otteniamo: ) [ 1 d (e t/ sin B t = et/ 1 ] sin(b t)e t/ dt + e t/ cos(b t )db t 3
. Posto f(t, x) = tx, dalla formula di Itô si ricava: ovvero d(tb t ) = B t dt + tdb t Y t = tb t = B s ds + sdb s Allora E(Y t ) = e E(Y s Y t ) = E(sB s tb t ) = st min(s, t); Y t è un processo Gaussiano (poiché è t volte B t ), con media zero e funzione di covarianza st min(s, t). 3. X t = sin sdb s è ben definito, visto che sin sds < t. Il processo X t è Gaussiano, essendo un integrale stocastico con integrando deterministico. Si ha: ( ) E(X t ) = E sin sdb s = ( ) E(Xt ) = E sin sdb s = Inoltre, sempre dalla teoria, per u t : = ( u E(X u X t ) = E sin sdb s sin sds sin sdb s ) = [( ) ( )] = E 1 (,u) (s) sin sdb s sin sdb s = E(1 (,u) (s) sin s)ds = u sin sds = min(u,t) = 1 (u t) 1 [sin(u t) cos(u t)] sin sds = Dalla teoria segue anche che, essendo un integrale stocastico, X t è una martingala, cioé E(X t F s ) = X s, s < t. (iii) Integrando per parti (vedi esercizio 6) o usando la formula di Itô si ricava: X t = sin sdb s = [ ] t sin tb t cos sb s ds = sin tb t cos sb s ds 4. Dalla formula di Itô segue che d(tb t ) = B t dt + tdb t per cui tb t = B s ds + 4 sdb s
Allora I(t) = B s ds = tb t sdb s = tdb s sdb s = e dunque I(t) è un processo Gaussiano, con media zero e varianza (t s)db s Quindi I(t) N varianza 5. (i) Per la formula di Itô: ( ), t3 3 ; segue che 1 T (t s) ds = t3 3. B tdt ha distribuzione normale di media zero e 1 T 3 T 3 = T 3. d ( e λt B t ) = λe λt B t dt + e λt db t da cui: X t = (ii) Per t > s : e λs db s = [ ] t e λs B s + λ e λs B s ds = e λtb t + λ e λs B s ds E [ [ ( X t X s ] t ) ] = E e λu db u = s s ( e λu ) 1 ( du = e λs e λt) λ Dunque X t è di Cauchy in L, ovvero Z. = lim t X t (in L ). Siccome X t è un processo Gaussiano, esso ha legge normale per ogni t, e anche il limite in L, Z, ha legge normale con media lim E(X t ) = e varianza lim t E(X t ) = lim e λu du = 1 t λ. Pertanto, X t converge in legge a Z N (, 1 λ ). 6. Mostriamo che d(x t Y t ) = X t dy t + Y t dx t + σ 1 (X t )σ (Y t )dt ovvero X t Y t = X Y + X s dy s + Y s dx s + σ 1 (X s )σ (Y s )ds 5
da cui segue la regola di integrazione per parti. Ricordiamo la formula di Itô per il differenziale di una funzione f(t, X t, Y t ) (vedi Esercizio 1 (v)): + 1 df(t, X(t), Y (t)) = t + f x b 1(X(t)) + f y b (Y (t))+ ( ) f x σ 1(X(t)) + f x y σ 1(X(t))σ (Y (t)) + f ] y σ (Y (t)) dt+ Prendendo f(x, y) = xy, otteniamo: + f x σ 1(X(t))dB t + f y σ (Y (t))db t d(x t Y t ) = [Y t b 1 (X t ) + X t b (Y t ) + σ 1 (X t )σ (Y t )]dt + Y t σ 1 (X t )db t + X t σ (Y t )db t = = Y t [b 1 (X t )dt + σ 1 (X t )db t ] + X t [b (Y t )dt + σ (Y t )db t ] + σ 1 (X t )σ (Y t )dt = = X t dy t + Y t dx t + σ 1 (X t )σ (Y t )dt 6