SOLUZIONI DEI PROBLEMI DI FINE CAPITOLO (SELEZIONE) 5. Supponiamo che la corrente in un conduttore decresca con la legge con I 0 la corrente all'istante t = 0 e una costante di tempo. Consideriamo un punto P di osservazione fisso dentro il conduttore. (a) Quanta carica passa in P tra 1'istante t = 0 e t =? (b) Quanta carica passa tra 1'istante t = 0 e 1'istante t = 10.0? Quanta carica passa tra t = 0 e t =? Soluzione Da questa, ricaviamo un integrale generale In tutti e tre i casi, definiamo un tempo finale, T. Integrando dal tempo t = 0 al tempo t = T, Ponendo Q = 0 per t = 0, (a) Se T =, 393
9. Attraverso un filo di tungsteno della lunghezza di 1.50 m e di sezione 0.600 mm 2 viene mantenuta una d.d.p. di 0.900 V. Qual èla corrente nel filo? Soluzione Dalla definizione di resistenza, Quindi, 11. Un campo elettrico uniforme di 0.200 V/m è applicato lungo tutta la lunghezza di un filo di alluminio con un diametro di 0.100 mm. La temperatura del filo è 50.0 C. Si assuma un elettrone libero per atomo. (a) Usando I'informazione della Tabella 21.1, determinare la resistivit à. (b) Qual è la densità di corrente nel filo? (c) Qual èla corrente totale nel filo? (d) Qual èla velocità di deriva degli elettroni di conduzione? (e) Quale differenza di potenziale esiste fra gli estremi del filo lungo 2.00 m per produrre il campo elettrico applicato? Soluzione La resistività si ottiene dalla 394
(d) La densita di massa da il numero di elettroni liberi; assumiamo che ogni atomo dia un elet - trone libero: Ora II segno indica che gli elettroni derivano nella direzione opposta al campo ed alia corrente. 13. Se la velocità di deriva degli elettroni liberi in un filo di rame è 7.84 x 10-4 m/s, calcolare il campo elettrico nel conduttore. Soluzione II nostro modello strutturale della conduzione elettrica descrive un elettrone di conduzione come una particella in un campo elettrico e come una particella sottoposta ad accel e- razione costante, durante il tempo tra le sue collisioni con gli atomi. Tuttavia, includendo gli effetti delle collisioni e mediando sul cammino a zigzag degli elettroni, il modello descrive gli elettro ni come un sistema di particelle in equilibrio, con una ben definita velocit à di deriva. La densità degli elettroni nel rame, dall'esempio 21.1 del testo, e 8.48 x 10 28 e - /m 3. La densità di corrente nel filo è Applicando 1'Equazione 21.17 alla corrente nell'equazione 21.5, 395
17. Supponiamo che per un istante un alimentatore produca una tensione di 240 V. Di quale percentuale aumenta la potenza di una lampadina da 220 V e 100 W, nell'ipotesi che per 1'aumen to di tensione la sua resistenza non vari? Soluzione Troviamo la resistenza: Ora la corrente è più intensa, e la potenza è maggiore: L'aumento percentuale è 19. Un tostapane ha un elemento riscaldatore costituito da un filo di resistenza al nichelcromo. Quando il tostapane e collegato a 220 V (e il filo si trova a una temperatura di 20.0 C), la corrente iniziale è 1.3640 A. La corrente inizia a diminuire quando 1'elemento resistiv o inizia a scaldarsi. Quando il tostapane ha raggiunto la temperatura di funzionamento finale, la corrente è scesa a 1.144 A. (a) Trovare la potenza fornita dal tostapane quando ha raggiunto la sua temperatura di funzionamento. (b) Qual èla temperatura finale di funzionamento? Soluzione II resistore e un sistema non isolate in uno stato stazionario che assorbe energia dalla rete elettrica e restituisce energia sotto forma di radiazione elettromagnetica e di calore all'aria circostante. Molti tostapane sviluppano una potenza di 1000 W (generalmente indicata in fondo al tostapane), e quindi ci possiamo aspettare che questo tostapane sviluppi una potenza simile. La temperatura dell'elemento scaldante dovrebbe essere sufficientemente alta da tostare il pane, ma sufficientemente bassa da non fondere 1'elemento costituito dalla lega di nichel-cromo (la temperatura di fusione del nichel è 1455 C, ed il cromo fonde a 1907 C). La potenza può essere calcolata direttamente moltiplicando la corrente e la tensione. La tempera tura può essere calcolata dall'equazione lineare della conducibilità per il nichel-cromo, con a = 0.4 x 10-3 C -1 dalla Tabella 27.1. 396
(a) Alla temperatura di funzionamento, Trascurando la dilatazione termica, abbiamo Sebbene questo tostapane sembri sviluppare molta meno potenza degli altri, la temperatura è sufficientemente alta per tostare un pezzo di pane in un tempo ragionevole. Infatti, la temperatu ra di funzionamento di un tipico tostapane da 1000 W sarebbe solo leggermente più alta perchè la legge di irraggiamento di Stefan (Equazione 17.35) ci dice che la temperatura dovrebbe essere di circa 700 C. In entrambi i casi, la temperatura di funzionamento è ben al disotto del punto di fusione dell'elemento scaldante. 23. Una batteria ha una f.e.m. di 15.0 V. La d.d.p. ai suoi capi diventa di 11.6 V se essa fornisce 20.0 W di potenza ad un resistore di carico esterno R. (a) Qual èil valore di R? (b) Qual èla resistenza interna della batteria? Soluzione Mettendo insieme 1'espressione per la potenza con la definizione di resistenza, quindi (6) 397
27. Si consideri il circuito mostrato in Figura P21.27. Trovare (a) la corrente nel resistore da 20.0 e (b) la d.d.p. tra i punti a e b. Soluzione Se ruotiamo il diagramma dato sul suo lato, troviamo che esso e lo stesso della figura (a). Le resistenze da 20.0 e 5.00. sono in serie, per cui la prima riduzione è come quella mostrata in (b). Inoltre, poichè le resistenze da 10.0,5.00, e 25.0 sono ora in parallelo, possiamo calcolare la loro resistenza equivalente: Ciò è mostrato in figura (c), che infine si riduce al circuito mostrato in (d). Successivamente, percorriamo indietro i diagrammi, applicando I = V/R e V = IR. La resistenza da 12.94. è collegata ai 25.0 V, per cui la corrente attraverso la batteria in ogni diagramma è In figura (c), questa corrente di 1.93 A scorre attraverso la resistenza equivalente di 2.94 per dare una caduta di tensione di: Dalla figura (b), vediamo che questa caduta di tensione è la stessa di quella ai capi delle resistenze da 10.0. e da 5.00, V ab. (b) Quindi, V ab = 5.68 V 0 Poichè la corrente attraverso la resistenza da 20 è pure la corrente attraverso il ramo ab da 25, 398
33. Determinare la corrente in ciascuno del rami del circuito mostrato in Figura P21.33. Soluzione Per prima cosa, definiamo arbitrariamente i versi iniziali delle correnti e i nomi, com'e mostrato nella seconda figura a destra. La legge delle correnti, allora, dice che Per la legge sulle differenze di potenziale, girando in verso orario intorno alia maglia di sinistra +I 1 (8.00 ) -I 2 (5.00 ) -I 2 (1.00 ) - 4.00 V = 0 (2) e in verso orario intorno alia maglia di destra, 4.00 V + I 2 (1.00 + 5.00 ) + I 3 (3.00 Q + l.00 ) -12.0 V = 0 (3) Risolvendo per sostituzione piuttosto che con i determinanti si ha il vantaggio che le risposte, dopo la prima, vengono fuori molto più facilmente. Cosi, sostituiamo (I 1 + I 2 ) al posto di I 3, e riduciamo le nostre tre equazioni a: o Risolvendo 1'equazione in alto rispetto a I 2, e sostituendo poi I 2 nell'equazione sotto di essa, Quindi, verso il basso nel ramo centrale verso 1'alto nel ramo di destra
39. Consideriamo un circuito RC in serie (vedi Fig. P21.26) per il quale R = 1.00 M, C = 5.00 F e V = 30.0 V. Trovare (a) la costante di tempo del circuito, (b) la massima carica sul condensatore dopo la chiusura dell'interruttore e (c) la corrente nel resistore R 10.0 s dopo la chiusura dell'interruttore. Soluzione (b) Dopo un tempo abbastanza lungo, il condensatore si e "caricato a trenta volt", separando una carica dove 41. II circuito in Figura P21.41 è stato collegato al generatore gia da "molto" tempo, (a) Qual èla tensione ai capi del condensatore? (b) Se la batteria viene scollegata, quan to tempo ci vuole affinchè il condensatore si scarichi fino a 1/10 della sua tensione iniziale? 2.0Q Soluzione (a) Dopo un tempo sufficientemente lungo il ramo contenente il condensatore trasporterà una corrente trascurabile. II flusso della corrente sarà come quello mostrato nella Figura (a). 400?il
Quindi, la tensione ai capi del condensatore è (b) Supponiamo di staccare la batteria lasciando un circuito aperto. Avremo la Figura (b), con un circuito che può essere ridotto ai circuiti equivalenti (c) e (d). Da (d), vediamo che il condensatore si scarica attraverso una resistenza equivalente di 3.60. In accordo con 401
51. Una macchina elettrica è progettata per funzionare con un banco di batterie da 12.0 V con un'energia totale immagazzinata di 2.00 x 10 7 J. (a) Se il motore elettrico assorbe 8.00 kw, qual è la corrente nel motore? (b) Se il motore elettrico assorbe 8.00 kw quando la macchina si muove a velocità uniforme di 20.0 m/s, quanto percorrerà la macchina prima di "restare a secco"? 402