S.Barbarino - Appunti di Microonde. Cap. 18. Eccitazione di guide d onda.

SBarbarino - Appunti di Microonde Cap 18 Eccitazione di guide d onda 181 - Teorema di reciprocità di Lorentz Il teorema di reciprocità di Lorentz è uno dei più utili teoremi nella soluzione di problemi elettromagnetici, poichè esso può essere usato per dedurre un numero di proprietà fondamentali dei dispositivi a microonde Esso dà le basi per dimostrare le proprietà reciproche dei circuiti a microonde e per mostrare che le caratteristiche di ricezione e di trasmissione delle antenne sono le stesse Esso può anche essere usato per stabilire le proprietà di ortogonalità dei modi che possono esistere nelle guide d onda e nelle cavità risonanti Un altro importante uso è quello di derivare un conveniente sviluppo dei campi analogo ad uno sviluppo in serie di Fourier) per i campi irradiati o accoppiati nelle guide d onda e cavità da probe, spire o aperture Per derivare il teorema, consideriamo un volume V limitato da una superficie chiusa S come in figura 181-1 r 1 O r V J1 J S ˆn fig181-1 Sia J 1 una sorgente di corrente in V che produce un campo E 1, H1, mentre una seconda sorgente J produce un campo E, H Questi campi soddisfano alle equazioni di Maxwell; così: E 1 = iωµ H 1 H1 = iωǫ E 1 + J 1 1811) E = iωµ H H = iωǫe + J 181) Consideriamo la quantità E1 H E H ) 1, possiamo scrivere: E1 H ) = H ) E1 E ) 1 H 1813) 18-1

SBarbarino - Appunti di Microonde e E H ) 1 = H ) 1 E E ) H1 1814) Sostituendo in esse le espressioni date dalle equazioni di Maxwell 1811) e 181) si ha: E1 H ) = H iωµ H ) 1 E 1 iωǫ E + J ) = = iωµ H 1 H iωǫe 1 E E 1 J 1815) E H ) 1 = H 1 iωµ H ) E iωǫ E 1 + J ) 1 = = iωµ H 1 H iωǫ E 1 E E J 1 1816) Ne segue, quindi, che: E1 H E H ) 1 = J E 1 + J 1 E 1817) Integrando entrambi i membri su tutto il volume V e usando il teorema della divergenza si ha: E1 H E H ) 1 dv= V S E1 H E H ) 1 ˆn da= E J 1 E 1 J ) dv V 1818) dove ˆn è il versore unitario uscente normale ad S L equazione 1818) è la forma base del teorema di reciprocità di Lorentz Per i mezzi anisotropi questo teorema deve essere modificato) Per un certo numero di situazioni tipiche l integrale di superficie si annulla Questo succede in ognuno dei seguenti casi i) Se la superficie S è la superficie di un conduttore perfetto; infatti in questo caso essendo E 1 ed E paralleli ad ˆn si ha: ˆn E 1 = ˆn E = su S e poichè E1 H ) ˆn si può eguagliare a ˆn E ) 1 H ne segue che E1 H ) ˆn = così come per lo stesso motivo E H ) 1 ˆn = Quindi l integrale di superficie si annulla ii) Se la superficie S è caratterizzata da una impedenza superficiale Z s, che è definita da E t = Z sjs, dove E t è la componente tangenziale di E sulla superficie e J s è la densità superficiale di corrente sulla superficie con J s = ˆn H, si ha E t = Z sˆn H Conseguentemente: ˆn E ) 1 H = ˆn E ) 1t H = [inquanto ˆn E 1n = ] = Z s [ˆn ˆn H )] 1 H 1819) Se si applica l identità vettoriale ) ) A B C = A B C = A H ; B ˆn ; C ˆn H1 18 -

SBarbarino - Appunti di Microonde ne segue che: E1 H ) ˆn = ˆn E ) 1 e analogamente: H ) = Z H s ˆn ˆn H ) 1 = Z s ˆn H ) ˆn H ) 1 E H ) 1 ˆn = ˆn E ) H 1 = ˆn E ) t H 1 = [inquanto ˆn E n = ] = Z s [ˆn ˆn H )] H 1 = Z s ˆn H ) 1 ˆn H ) Si ha quindi: E1 H ) ˆn E H ) 1 e l integrale di superficie si annulla 1811) 18111) [ ˆn = Z s ˆn H ) ˆn H ) 1 ˆn H ) 1 ˆn H )] = 1811) iii) Quando la superficie S è una superficie sferica di raggio infinitamente grande per cui ˆn = ê r Come sappiamo il campo su questa sfera all infinito) è un onda sferica TEM per cui sulla superficie sferica si ha: ǫ H = E = Y ê r E 18113) µêr Quindi: E1 H ) ˆn = ˆn E ) 1 H = Y E H ) 1 ˆn = ˆn E ) H 1 = Y ê r E ) 1 ê r E ) ê r E ) ê r E ) 1 18114) 18115) Ne segue che: E1 H ) ˆn E H ) 1 ˆn = 18116) e l integrale di superficie si annulla iv) Se la superficie S racchiude tutte le sorgenti per il campo cioè fuori di essa non vi sono altre sorgenti) Questo può essere dimostrato applicando la 1818) a un volume che è internamente circondato dalla superficie S ed esternamente da S m una superficie sferica infinitamente 18-3

SBarbarino - Appunti di Microonde grande vedi figura 181-): ˆn S m V S ˆn J1 J r 1 O r fig181- Poichè nel volume considerato non vi sono sorgenti, l integrale di volume del secondo membro è nullo Si badi che la superficie da considerare è stavolta la somma di S ed S m e le normali sono rivolte come in figura 181- Ne segue: [ E1 H E H ] 1 ˆn da = 18117) S+S m Poichè l integrale su S m per la iii) è nullo e poichè ˆn = ˆn si ha: S [ E1 H E H ] 1 ˆn da = 18118) Quindi l integrale di superficie si annulla Quando l integrale superficiale si annulla la 1818) si riduce a: V E 1 J dv = Se J 1 e J sono elementi di corrente infinitesimi si ha: V E J 1 dv 18119) E 1 r ) J r ) = E r 1 ) J 1 r 1 ) 181) 18-4

SBarbarino - Appunti di Microonde ciò stabilisce che il campo E 1 prodotto da J 1 ha una componente lungo J che è uguale alla componente lungo J 1 del campo irradiato da J quando J 1 e J hanno una grandezza unitaria La forma 181) è essenzialmente il principio di reciprocità usato nella analisi dei circuiti tranne che E e J sono sostituiti dalla tensione V e dalla corrente I 18 - Accoppiamento sonda probe) - guida d onda rettangolare La figura 18-1 illustra un tipico accoppiamento cavo coassiale-guida d onda l z y d b a x vista laterale x vista trasversale vista sul piano xz z fig18-1 La posizione di cortocircuito l e la lunghezza della sonda d possono essere aggiustate per ottenere il massimo trasferimento di potenza dalla linea coassiale alla guida d onda Il conduttore centrale della linea coassiale si estende nella guida d onda per formare una piccola antenna Ogni modo della guida d onda che ha un campo elettrico non nullo lungo il conduttore coassiale ecciterà corrente nel probe Reciprocamente, quando nel probe viene prodotta una corrente dall onda TEM che si propaga nel cavo coassiale, nella guida d onda saranno eccitati gli stessi modi [Questo teorema di reciprocità è molto utile per determinare quali modi possono essere eccitati da un dato probe] Si può così facilmente vedere che, per un massimo accoppiamento al modo dominante TE 1 in una guida rettangolare, il probe dovrebbe estendersi nella guida nel punto di mezzo del lato largo in modo da coincidere con la posizione del massimo campo elettrico per il modo TE 1 I modi evanescenti che sono anche eccitati sono campi localizzati che immagazzinano energia reattiva Ci limitiamo a valutare solo l ampiezza del modo TE 1 La corrente sul probe deve essere zero alla fine del probe Per un probe sottile vi sarà una distribuzione di corrente tale da produrre un onda stazionaria Così la corrente 18-5

SBarbarino - Appunti di Microonde nel probe può essere considerata come un infinitamente sottile filamento di corrente della forma I = I sink d y) y d, x = a, z = 181) dove k = ω ǫ µ Desideriamo determinare l ampiezza del modo TE 1 eccitato da questa corrente Una tecnica generale per fare questo è una formulazione matematica del principio di reciprocità per determinare quali modi guidati saranno eccitati da una data corrente I risultati sono derivati di seguito La figura 18- illustra una infinitamente lunga guida d onda in cui una sorgente di corrente J è situata in una regione compresa fra z 1 e z Il campo irradiato da questa sorgente può essere espresso come una somma infinita di modi guidati come segue: E + = n C + n e n + e zn ) e iβ nz z > z 18a) H + = n C + n hn + h zn ) e iβ nz z > z 18b) E = n C n e n e zn ) e iβ nz z < z 1 18c) H = n C n h n + h zn ) e iβ nz z < z 1 18d) Nelle 18) n è un grande indice di somma ed implica una somma su tutti i possibili modi TE e TM Le ampiezze sconosciute C n possono essere determinate applicando la formula di reciprocità di Lorentz 1818) E, H E +, H + J z z 1 z fig18- Per il volume V, scegliamo quello limitato dalle pareti della guida d onda e dai piani trasversali situati in z 1 e z 18-6

SBarbarino - Appunti di Microonde Per i campi E 1, H1 che figurano nel teorema di Lorentz assumiamo quello irradiato dalla sorgente dato dalle 18) Per i campi E, H, che figurano nel teorema di Lorentz, assumiamo l ennesimo modo guidato E n, H n ; cioè: E E n = e n e zn ) e iβ nz H H n = h n + ) h zn e iβ nz oppure E + n oppure H + n 183) Sostituendo le 183) nella 1818) si ha: E1 H n E n H ) 1 ˆnda = S V E n J dv 184) in quanto E, H è una soluzione senza sorgenti J = ) entro V L integrale di superficie è zero sulle pareti della guida in quanto E H n ˆn = ˆn E ) H n = perchè E, sulle pareti perfettamente conduttrici della guida, è ortogonale a S cioè parallelo a ˆn quindi ˆn E = ; lo stesso dicasi per E n Pertanto l integrale di superficie resta definito soltanto sulle superfici individuate da z 1 e z Poichè i modi sono ortogonali, risulta: S E ± m H ± n ˆnda = n m 185) Quindi tutti i termini dello sviluppo di E e H si annullano tranne l ennesimo quando si integra sulla sezione trasversale della guida d onda Così noi abbiamo: [ e n + e zn ) h n + ) h zn e n e zn ) hn + )] h zn ẑ da+ S C + n S 1 C n [ e n e zn ) h n + ) h zn e n e zn ) h n + )] h zn ẑ da = = C n + e n h n ẑ da = E n J dv S V 186) Quindi C n + è dato da: C n + = 1 P n V E n J dv = 1 P n V e n e zn ) Je iβ nz dv 187) Se E + n, H + n sono scelte per i campi E, H, otteniamo Cn = 1 P n V E n + J dv = 1 P n V 18-7 e n + e zn ) Je iβ nz dv 188)

SBarbarino - Appunti di Microonde dove P n = e n h n ẑ da, ed S è una superficie trasversale della guida d onda S Applichiamo i risultati sopra trovati al problema della sonda eccitatrice introdotta prima Per il modo TE 1 i campi sono: E y = e y e iβz = sin πx a e iβz [ampiezzaunitaria] H x = h x e iβz = Y sin πx 189) a e iβz Si ha: P 1 = a b Y sin πx a dxdy = aby 181) dove Y è l ammettenza A questo punto dobbiamo tenere conto che la sonda z = ) si trova a distanza l dal cortocircuito Il sistema è equivalente, allora, al probe originale più la sua immagine localizzata a distanza l da esso con il cortocircuito rimosso; entrambi i probes sono situati dentro una guida infinitamente lunga e la corrente nel probe immagine è opposta Questo si rende necessario perchè i campi irradiati dal probe e dalla sua immagine devono dare un campo elettrico tangenziale nullo nella posizione di cortocircuito Probe immagine Probe z = l z = fig18-3 Ne segue C + = 1 P 1 V [ sin π a xŷ ŷ I sin k d y)e iβz }{{} z = ) sin π ] a xŷ ŷ I sink d y)e iβz dv }{{} z = l) 18-8 1811)

SBarbarino - Appunti di Microonde Poichè la corrente J è zero dappertutto tranne nei piani z = e z = l e per x = a, segue che: C + = 1 d P 1 = 1 P 1 I = I aby = I abk Y d I sink d y)dy + 1 P 1 d sin k d y)dy + 1 P 1 I e iβl 1 e iβl ) [ 1 cos k d y) k 1 e iβl ) 1 cos k d) ] d I sink d y)e iβl dy = = d sin k d y) dy = 181) che si può scrivere: C + = I Z abk 1 e iβl ) 1 cos k d) 1813) Il campo trasversale totale del modo TE 1 irradiato dal probe per z > è: E y = I Z abk 1 e iβl ) 1 cos k d) sin πx a e iβz H x = Y E y 1814) La potenza totale irradiata è data da: P = Y = Y a b a b = 1 IZ a b k E y dxdy = e iβl 1 1 cos k d) sin πx IZ a b k e iβl 1 a 1 cos k d) b a dxdy = sin πx a dxdy e ricordando che si ha: a b sin πx a dxdy = ab P = 1 IZ 4 abk e iβl 1 1 cos k d) 1815) Alla base dell antenna probe y = ) la corrente totale della linea coassiale è I = I sin k d 18-9

SBarbarino - Appunti di Microonde L impedenza vista dalla linea coassiale, riferita alla base è Z in = R + ix Il teorema del vettore di Poynting complesso allora dà: Z in = R + ix = P + iω W m W e ) 1 II 1816) dove P è la potenza irradiata dalla guida e W m W e è l energia reattiva immagazzinata in vicinanza dell antenna dovuta all eccitazione di modi che non si propagano evanescenti) Poichè P è stata valutata possiamo valutare la resistenza d ingresso Si ottiene: R = P II = P I sin k d = Z 1 e iβl 1 cos k d) abk sin k d 1817) Il termine 1 cos k d si può scrivere: ) k d 1 cos k d = 1 cos = sin k d = 1 cos k d) = 4sin 4 k d 1818) Analogamente ) sin k d = sin k d = 4sin k d k d cos 1819) Il rapporto fra la 1818) e la 1819) è: 1 cos k d) sin k d sostituendo la 18) nella 1817) si ha: = tan k d 18) R = Z abk 1 e iβl tan k d 181) Questa resistenza d ingresso è chiamata resistenza di radiazione del probe Questo valore può essere variato variando i parametri l e d, cioè la posizione di cortocircuito e la lunghezza dell antenna Cambiando questi parametri si è in grado di ottimizzare il trasferimento di potenza aggiustando R in modo da eguagliare l impedenza caratteristica del cavo coassiale e introducendo una conveniente reattanza per annullare la ix 18-1

SBarbarino - Appunti di Microonde Osservazione La potenza P è massima quando 1) βl = π = l = π β ; ricordando che λ g = π β ne segue che l = λ g 4 cortocircuito deve avvenire ad una distanza di λ g 4 Quindi il ) k d = π = d = π k = λ ciò implica che la lunghezza del probe deve essere λ 183 - Radiazione da elementi lineari di corrente La radiazione di un generale elemento lineare di corrente può essere più facilmente analizzata suddividendo l elemento in un elemento trasversale di corrente e in uno assiale La radiazione di ciascun tipo di elemento di corrente sarà studiato separatamente La radiazione totale di un generico elemento di corrente è la somma dei contributi provenienti da ciascuna componente individuale J elemento di corrente assiale elemento di corrente trasversale ẑ fig183-1 a) Elemento di corrente trasversale guida d onda senza cortocircuito) Per un elemento trasversale di corrente situato in z = la 187) e la 188) mostrano che: C n + = 1 e n P J dv = Cn 1831) n V dove J = ˆxJ x + ŷj y Questo implica che C n + ha un valore proporzionale a J, o l elemento di corrente trasversale dà luogo a una sorgente di tensione nella direzione trasversale parallela a J In altre parole, l elemento trasversale di corrente è equivalente ad una sorgente di tensione 18-11

SBarbarino - Appunti di Microonde connessa in parallelo attraverso una linea di trasmissione equivalente per il modo nella guida d onda L elemento trasversale di corrente irradia identici campi elettrici trasversi prossimi all elemento di corrente Questo significa che la tensione è continua attraverso la regione sorgente z + Il corrispondente campo magnetico trasverso irradiato è discontinuo attraverso la regione sorgente, e quindi, la corrente equivalente è discontinua attraverso la sorgente di tensione equivalente Il circuito equivalente per questo tipo di sorgente è mostrato in figura 183-a Il trasformatore ideale fornisce l accoppiamento appropriato tra il generatore e la linea per fornire la stessa quantità di potenza come è irradiata nella guida L energia immagazzinata nei modi evanescenti è denotata dalla suscettanza ib b) Elemento assiale di corrente Per un elemento assiale di corrente il cui centro é situato nel punto z =, la 187) dà: C n + = 1 J e zn e iβnz dz 183) P n V C n = 1 P n V J e zn e iβ nz dz 1833) Se la corrente è una funzione simmetrica di z fra l < z < +l, allora, poichè e zn è una funzione di x e y si ha: C n + = 1 +l P n l Jz) e zn x,y)e iβ nz dz = = 1 P n l Jz) e zn x,y)e iβ nz dz } {{ } I 1 = 1 P n [ I 1 + I ] + 1 +l P n Jz) e zn x,y)e iβnz dz = } {{ } I 1834) Sia z = z 1, si ha: I 1 = l J z 1 ) e zn e iβ nz 1 d z 1 ) = l Jz 1 ) e zn e iβ nz 1 dz 1 1835) avendo supposto che Jz) sia una funzione simmetrica per l < z < +l Ancora: I 1 = analogamente per l integrale I l Jz) e zn e iβnz dz 1836) 18-1

SBarbarino - Appunti di Microonde Sostituendo la 1836) nella 1834) segue che: C + n = 1 P n = P n l l Jz) e zn x,y) [ e iβ nz + e iβ nz ] dz = Jz) e zn cosβ n z) dz Si può facilmente vedere che C n = C + n 1837) Circuiti equivalenti ib ix n : 1 n : 1 V g Sorgente di corrente trasversale fig183-a V g Sorgente di corrente assiale fig183-b c) Dipolo equivalente per un elemento lineare di corrente Un elemento lineare di corrente può essere rappresentato da un dipolo elettrico equivalente Dalle equazioni di Maxwell si ha: H = iωǫe + J = iωǫ E + iωp + J = iωǫe J + iω P + ) = iω 1838) dove P j = J iω = iωǫ E + iω P + Pj ) può essere considerato un momento elettrico di dipolo 18-13

SBarbarino - Appunti di Microonde 184 - Accoppiamento tramite una spira percorsa da corrente La figura 184-1 illustra una spira in una guida d onda C I S τ n z fig184-1 L ampiezza dell ennesimo modo irradiato è data da: C n + = 1 E n ˆτI dl 1841) P n c dove ˆτI è il vettore corrente che fluisce nel contorno C della spira ˆτ è un vettore unitario lungo C Per la legge di Stokes si ha: C n + = I E n P dl = I E n c P n ˆnda 184) n S Ma E n = iω B n = iωµ H n, e quindi C n + = I iωb P n ˆn da = iωi n S P n S B n ˆn da 1843) Analogamente dove S è la superficie della spira C n = iωi P n S B + n ˆnda 1844) 18-14

SBarbarino - Appunti di Microonde Si vede che l ampiezza di eccitazione dell ennesimo modo è proporzionale al flusso magnetico attraverso la spira Se la dimensione della spira è così piccola per cui il campo B n dell ennesimo modo può essere considerato costante sull area della spira, otteniamo: C n + = iωi B P n ˆn ds = iωi B n S P n S 1845) n Ma IS è il modulo del momento magnetico della spira; quindi: C + n = iω P n B n M 1846) analogamente C n = iω P n B + n M 1847) La radiazione emessa da una piccola spira di corrente si può considerare essere una radiazione di dipolo magnetico, come mostrano la 1846) e 1847) Per un dipolo magnetico assiale spira trasversale) la sorgente equivalente è uno shunt connesso alla sorgente di tensione 185 - Guide d onda accoppiate da aperture La formulazione precedente della radiazione da correnti in una guida d onda in termini di radiazione da dipoli elettrici e magnetici è direttamente applicabile all accoppiamento di guide d onda con piccole aperture, o buchi, in una parete comune In prima approssimazione una piccola apertura in una parete conduttrice è equivalente ad un dipolo elettrico normale all apertura e avente una intensità proporzionale alla componente normale del campo elettrico eccitante, più un dipolo magnetico nel piano dell apertura e avente una intensità proporzionale alla componente tangenziale del campo magnetico eccitante Le costanti di proporzionalità sono parametri che dipendono dalle dimensioni e dalla forma dell apertura Queste costanti sono chiamate le polarizzabilità elettrica e magnetica dell apertura e caratterizzano l accoppiamento e le proprietà radianti dell apertura Un argomento qualitativo per dimostrare la ragionevolezza fisica di queste proprietà di una apertura è dato sotto La figura 185-1a illustra il campo elettrico normale di intensità E su una superficie conduttrice senza apertura Quando nello schermo è fatta un apertura, le linee di forza del campo elettrico at- 18-15

SBarbarino - Appunti di Microonde traverso l apertura hanno la forma indicata in figura 185-1b ˆn E E E H H H a) b) c) d) e) f) fig185-1 Ma questa distribuzione del campo è essenzialmente quella prodotta da un dipolo elettrico equivalente come mostrato in figura 185-1c Notare che il dipolo è orientato normalmente all apertura Similmente le linee della componente tangenziale del campo magnetico attraverso l apertura hanno la forma di figura 185-1d e 185-1e Queste linee di forza sono equivalenti a quelle prodotte da un dipolo magnetico situato nel piano dell apertura fig185-1f) Per una piccola apertura circolare di raggio r << λ, i momenti di dipolo sono correlati al campo elettromagnetico incidente, in assenza dell apertura, come segue: P = ǫ α e ˆn E ) ˆn 1851) M = α mhi dove ˆn E è il campo elettrico normale e H i è il campo magnetico tangenziale al centro dell apertura La polarizzabilità elettrica α e è data da α e = 3 r3 e la polarizzabilità magnetica α m è data da α m = 4 3 r3 La presenza di una apertura perturba anche il campo nella parte incidente dello schermo É importante notare che quando l apertura è sostituita dai dipoli elettrici e magnetici, il campo irradiato da questi è calcolato assumendo che l apertura è ora chiusa da una parete conduttrice I dipoli equivalenti correttamente tengono conto del campo accoppiato attraverso l apertura nello schermo conduttore Deve essere notato che la teoria è approssimata, valida soltanto per piccole aperture 18-16

SBarbarino - Appunti di Microonde Gli esempi che seguono chiarificheranno l applicazione della teoria 186 - Apertura in una parete trasversale La figura 185-1 illustra una piccola apertura circolare in una parete trasversale in una guida rettangolare Per determinare il campo eccitante, assumiamo che l apertura sia chiusa Un modo TE 1 incidente da z < è riflesso dalla parte conduttrice a z = e produce un onda stazionaria nella regione z < Questo campo è: E y = C e iβz e iβz) sin πx a H x = CY e iβz + e iβz) sin πx a 1861) più una componente del campo magnetico lungo l asse z che non è importante per il presente problema Il campo elettrico normale all apertura è zero; così nessun dipolo elettrico indotto è prodotto Il campo magnetico tangenziale al centro dell apertura è: H x = CY 186) e quindi un dipolo magnetico diretto lungo l asse x è prodotto ed è dato da: M = α m H x = CY α m = 8 3 CY r3 1863) Il campo irradiato nella regione z > è quello irradiato dal dipolo magnetico M, come illustrato in figura 185-1d 185-1f Questo dipolo è equivalente a mezza spira circolare di corrente nel piano yz come illustrato Per trovare il campo radiato da questo dipolo in presenza di pareti conduttrici trasverse, può essere usato il teorema delle immagini Poichè l immagine della mezza corrente circolare nella parete trasversale è l altra mezza corrente, l immagine di M è un altro dipolo magnetico di momento M L effetto della parete trasversale è equivalente a rimuovere la parete e raddoppiare l intensità del dipolo, come in figura 185-1c Se il campo irradiato nella regione z > è: E + y = Ae iβz sin πx a = Ae ye iβz Si ha: H + x = AY e iβz sin πx a = Ah xe iβz 1864) A = iωµ P 1 H x M) = iωµ P 1 Y poichè, nel presente caso, il campo B n = µ h x = µ Y sin 18-17 ) 16 3 r3 CY πx a ) 1865)

SBarbarino - Appunti di Microonde La costante P 1 è data da: P 1 = a b e y h x dxdy = Y a b sin πx a dxdy = aby 1866) Quindi la 1865) diventa A = 16 iωµ 3 r3 abz C 1867) Poichè il modo incidente TE 1 ha una ampiezza C, l apertura ha un coefficiente di trasmissione T = A C = 16 ωµ 3 ir3 abz = i16 k Z 3 r3 1868) abz Fine del Cap18 18-18