LE LINEE DI TRASMISSIONE Modello di una linea a parametri distribuiti Consideriamo il caso di una linea di trasmissione che può essere indifferentemente un doppino telefonico, una linea bifilare o un cavo schermato. Se la linea è alimentata con un generatore ad alta frequenza, essa deve essere considerata come una cascata di doppi bipoli elementari di lunghezza infinitesima dx ognuno dei quali formato da una resistenza R dx, una induttanza L dx, una capacità C dx e una conducibilità G dx, tutte di valore infinitesimo, dette anche costanti primarie della linea. Questo tratto infinitesimo di linea (vedi figura si studia come se fosse un doppio bipolo a parametri concentrati e si possono scrivere le seguenti equazioni: Z dx = R dx + / ω/ dx Y dx = G dx + / ω * dx V (S 1 = V(S 2 + I(S 1 Z dx I(S 1 = I(S 2 + Y dx V(S 2 Ma: V(S 1 - V(S 2 = dv I(S 1 - I(S 2 = di Quindi: dv / dx = I(S 1 Z di / dx = Y V(S 2 Le soluzioni di questo sistema sono: V x = A e - x + B e x I x = (A / Z 0 e - x - (B / Z 0 e x Equazioni dei telegrafisti, costanti secondarie Le espressioni descrivono l andamento di tensione e corrente ( modulo e fase lungo la linea e sono le ben note equazioni dei telegrafisti. In queste equazioni V x e I x rappresentano rispettivamente i valori di tensione e di corrente in un punto generico x della linea a partire dal carico su cui è chiusa e sono date come somma di due onde, incidente e riflessa (V + e V -. ^ e Z 0, sono la costante di propagazione e l impedenza caratteristica e vengono anche dette costanti secondarie. La costante di propagazione é formata da una parte reale chiamata costante di attenuazione e una parte immaginaria chiamata costante di fase.
^ / ( Z Y 5 # / ω/ * / ω& Z 0 ( Z / Y 5 # / ω/ * / ω& La costante di attenuazione [1/ m], rappresenta l attenuazione di un metro di linea ed è espressa in Neper (1 Neper = 8.69 db. La costante di fase [rad/m], rappresenta il ritardo di fase che l onda ha accumulato dopo aver percorso un metro di linea. L impedenza caratteristica Z 0 [Ohm], rappresenta il rapporto tra la tensione e la corrente nell ipotesi che le onde di tensione e di corrente si propaghino solo nella direzione che va dal generatore al carico che le assorbe completamente. Regime progressivo Se la linea è infinitamente lunga si parla di regime progressivo perchè il generatore trasmette alla linea un onda di tensione e di corrente che si propagano lungo la linea ed esse non possono essere riflesse perchè il carico si trova a distanza infinita. Come vedremo successivamente questa condizione ideale non è l unica possibile per parlare di regime progressivo. In questo caso conviene riscrivere le equazioni dei telegrafisti prendendo come riferimento non più il carico ma il generatore: V x = A e - x I x = (A / Z 0 e - x onda progressiva di tensione onda progressiva di corrente In base a quanto detto in precedenza sono presenti solo le onde di tensione progressiva e di corrente progressiva. Sostituendo i valori di ^ nella equazione della tensione progressiva si ha: V x = A e e! V x = A e V x = A [ Quindi [1/ km] rappresenta l attenuazione chilometrica della linea in Neper ( 1 Np = 8.69 db, e [rad/km] il ritardo di fase chilometrico. Se la linea non è infinitamente lunga ma è comunque lunga, dato che le onde viaggiando dal generatore al carico vengono attenuate e se riflesse saranno ancora attenuate durante il ritorno, si può dire che il regime che si instaura è progressivo. Impedenza caratteristica Riprendendo quanto detto a proposito delle linee di trasmissione, possiamo immaginare una linea come una cascata di doppi bipoli elementari simmetrici caricati ognuno sull ingresso del successivo. Per semplificare il discorso supponiamo che: R << ω/ e G << ω& Cioè che gli effetti elettromagnetici sono nettamente prevalenti rispetto a quelli dissipativi. In queste condizioni otteniamo: Z 0 ( Z / Y /& # 5 Queste ipotesi sono verificate molto spesso e danno luogo ad una impedenza caratteristica reale. Se questa linea funziona in regime progressivo evidentemente è chiusa su una resistenza uguale a quella caratteristica per cui tutti i doppi bipoli elementari sono adattati. Quando le onde di tensione e di corrente che provengono dal generatore giungono ai morsetti di uno dei quadripoli, vedono una resistenza R 0 la quale assorbe, dalle due onde, l energia elettromagnetica che il quadripolo trasferisce alla propria uscita. Questa energia viene trasferita sotto forma di una tensione e di una corrente che entreranno nel quadripolo successivo, il quale presenta loro, come resistenza di ingresso, la R 0 suddetta. In tal modo, di quadripolo in quadripolo, l onda di tensione e quella di
corrente si propagano fino al carico. Nel caso generale in cui si ha come impedenza caratteristica Z 0 e non R 0, l impedenza d ingresso del quadripolo tiene conto, oltre che dell energia trasferita, anche di quella incamerata nel quadripolo stesso. In conclusione l impedenza caratteristica si può considerare come il rapporto tra la tensione e la corrente in un punto generico di una linea che lavora in regime progressivo. Lunghezza d onda e velocità di fase Analizziamo adesso un po più approfonditamente l espressione della fase dell onda progressiva. Se in un punto generico a distanza x dal generatore la fase dell onda di tensione vale 2 significa che essa si è spostata di una lunghezza pari ad una lunghezza d onda: 2 ª -> ª 2 lunghezza d onda Dato che velocità di propagazione e frequenza sono legate da una nota relazione si ha: V f = ª I1 -> V f = 2 I 1 ω velocità di fase Questo significa che le onde elettromagnetiche si muovono alla massima velocità (3 10 8 m/s solo nel vuoto o nell aria, che ha caratteristiche elettromagnetiche praticamente identiche al vuoto, ma che diminuisce in guida d onda. Regime stazionario Nel caso più generale che la linea non si possa considerare infinitamente lunga o che il carico non sia adattato alla linea, è necessario considerare un onda incidente e un onda riflessa dal carico. Il regime che si instaura in questo caso è quello che viene chiamato stazionario. In questo caso è utile considerare le equazioni dei telegrafisti scritte dal carico verso il generatore: V x = V L + e x + V L - e - x I x = (V L + / Z 0 e x - (V L - / Z 0 e - x In queste equazioni è stato aggiunto il pedice L per indicare che il riferimento è il carico. Usando la definizione del coefficiente di riflessione ( rapporto tra onda incidente e onda riflessa di tensione otteniamo: V L = V L + + V L - V - L = V + L V L = V + L (1 + coefficiente di riflessone di tensione sul carico Dato che il coefficiente di riflessione per la corrente è uguale al coefficiente di riflessione per la tensione cambiato di segno (mentre l onda di tensione riflessa si propaga mantenendo la stessa polarità dell onda di tensione incidente, l onda di corrente riflessa si propaga invertendo la sua direzione, otteniamo: I L = I + L (1 Facendo il rapporto otteniamo Z L V (1 + Γ (1 + ΓLV Z = V / I = I (1 - (1 - Γ + L L L L LV = Z + 0 Γ L LV LV
Ricavando dall espressione sopra si ottiene: = ( Z L Z 0 / ( Z L + Z 0 coefficiente di riflessione sul carico a partire da Z L ez 0 Rapporto di onda stazionaria In una linea disadattata viaggiano due onde, una diretta dal generatore verso il carico ( onda progressiva, e una diretta dal carico verso il generatore ( onda regressiva. In un punto generico della linea la tensione è la somma tra le due onde e trattandosi di vettori esse possono sommarsi ma anche sottrarsi. V max = V + + V - V min = V + - V - V - = V + V max = V + V min = V + ( 1 + ( 1 - Definendo il rapporto di onda stazionaria ROS = V max / V min : ROS = V max / V min = 1 + 1 - Il valore del ROS varia tra 1 (adattamento e infinito (totale disadattamento perchè ƒ varia tra 0 (adattamento e 1 (totale disadattamento. Impedenza della linea a distanza x dal carico Riscrivendo le equazioni dei telegrafisti utilizzando il coefficiente di riflessione sul carico otteniamo: V x = V + L e x + V + L e - x I x = (V + L / Z 0 e x + - (V L / Z 0 e - x V x = V + L [ e x + e - x ] I x = (V L + / Z 0 [ e x - e - x ] Facendo il rapporto membro a membro otteniamo: e x + e - x Z x = Z 0 e x - e - x Quest espressi one rappresenta l impedenza presentata da una linea caricata su Z L a distanza x dal carico. Calcoliamo adesso il coefficiente di riflessione ad inizio linea: ( Z x - Z 0 / ( Z x + Z 0
Sostituendo l espressione di Z x e con qualche passaggio algebrico si ottiene: = e - 2 x coefficiente di riflessione a distanza x dal carico Ricavo adesso l impedenza d ingresso della linea: = ( Z x - Z 0 / ( Z x + Z 0 Riorganizzando l espressione si ottiene: Z x = Z 0 ( 1 + / ( 1 impedenza della linea a distanza x dal carico Dato che il coefficiente di riflessione è un numero complesso, al variare di x varierà sia il modulo che la fase di per cui anche Z x varierà di conseguenza. Ma vista la forma della sua espressione si avranno dei punti della linea in cui l impedenza toccherà dei minimi ed altri in cui essa avrà dei massimi. Linee senza perdite Se ω/!!5 #H ω&!!* si ha: Z 0 / ω/ / ω& / & ^ 5# / ω/ / ω& ω!! / & Le equazioni dei telegrafisti diventano quindi: V x = V L + e "" ## x + V L - e -"" ## x I x = (V L + / R 0 e "" ## x - (V L - / R 0 e -"" ## x / ω / & / V + L = V L /(1 + $% e R 0 = Z L (1 - $% / (1 + $% Sostituendo, applicando le formule di Eulero e dopo alcuni passaggi algebrici si ottiene: Z x = R 0 (Z L + / R 0 tg x/ª Impedenza di una linea lunga x caricata e senza ( R 0 + / Z L tg x/ª perdite Sostituendo a x ª /2 si ottiene che: Z x = Z L tratti di linea lunghi ª /2 sono trasparenti rispetto al carico Sostituendo a x ª /4 si ottiene che: Z x = R 2 0 /Z L tratti di linea lunghi ª /4 si comportano da trasformatore di impedenza Dall espressione dell impedenza Z x della linea si ricava rispettivamente con carico in cortocircuito e con carico in circuito aperto: Z CC = / R 0 tg ( x/ª Z CA = -/ R 0 cotg ( x/ª
Da cui risulta: Z CC Z CA = R 0 2 Mediante la quale è possibile conoscere l impedenza caratteristica di una linea priva di perdite, misurandone l impedenza di ingresso in condizioni di carico in cortocircuito e carico in circu ito aperto. Stubs Si chiama stub uno spezzone di linea di opportuna lunghezza, aperto o in corto circuito, collegato nelle vicinanze del carico con lo scopo di adattare il carico stesso alla linea. Prima di parlare dell adattamento vero e proprio vediamo q uali sono le caratteristiche di uno stub. Z x = R 0 (Z L + / R 0 tg x / ( R 0 + / Z L tg x impedenza di una linea lunga x caricata e senza perdite Per uno stub in corto si ha: Z L = 0 Z SCC = / R 0 tg x impedenza di uno stub aperto Per uno stub aperto si ha: Z L = \ Z SCA = -/ R 0 cotg x impedenza di uno stub in corto Al variare della lunghezza dello stub, che sia esso in corto o aperto, la sua impedenza passa da capacitiva a induttiva e assume tutti i valori possibili. Ovviamente se si ha bisogno di uno stub induttivo è conveniente prenderlo in corto circuito e se si ha bisogno di uno stub capacitivo é conveniente prenderlo aperto perché così facendo saranno più corti. Dato un carico generico Z L ed una linea di impedenza caratteristica R 0 (reale: Z L = R L + / X L dove Z L è l impedenza, R L è la resistenza, X L la reattanza del carico Consideriamo l ammettenza del carico Y L Y L = G L + / B L carico. dove Y L è l ammettenza, G L è la conduttanza, B L la suscettanza del L adattamento viene effettuato in due passi: 1 Tramite il collegamento di uno stub opportuno in circuito aperto si elimina la parte immaginaria dell impedenza di carico (lo stub deve avere modulo pari alla suscettanza del carico e segno opposto 2 Con l interposizione in serie al carico di un trasformat ore d impedenza in ª /4 si modifica il valore del carico in modo che assuma il valore dell impedenza caratteristica R 0 della linea.