Macchine termiche: ciclo di Carnot Una macchina termica (o motore termico) è un dispositivo che scambia calore con l ambiente (attraverso un fluido motore) producendo lavoro in modo continuo, tramite un ciclo di trasformazioni. Esempi famosi di macchine termiche sono: la macchina a vapore (fluido = acqua allo stato liquido e di vapore); il motore a scoppio (fluido = miscela di aria e benzina); il motore Diesel (fluido = miscela di aria e gasolio). Benché non esistano gas veramente ideali né trasformazioni esattamente reversibili, tali modelli ideali sono molto utili nello studio e progettazione delle macchine termiche. Studiamo quindi motori ideali basati su cicli di trasformazioni reversibili lungo le quali non c è dispersione di energia (ad esempio per attriti e/o turbolenze). Il motore ideale più famoso è basato sul ciclo di Carnot. Esso fa uso di un gas ideale e considera un ciclo costituito da 4 trasformazioni reversibili: due isoterme e due adiabatiche (vedi figura a sinistra). La macchina termica lavora tra due temperature e T 2 (quelle delle due isoterme), e gli scambi di calore (Q 1 e Q 2 ) avvengono solo lungo tali trasformazioni. La macchina produce un lavoro L pari all area del ciclo.
Ciclo di Carnot, calore e lavoro Una macchina che realizza il ciclo di Carnot può essere realizzata con un gas ideale confinato in un cilindro : ab) il gas è in contatto con una sorgente ad alta temperatura ( ) ed espandendosi isotermicamente assorbe il calore Q 1 ; bc) la sorgente viene sostituita con una parete isolante e il gas si espande adiabaticamente; cd) la parete isolante viene sostituita con una sorgente a bassa temperatura (T 2 ) alla quale, nella compressione isoterma, il gas cede il calore Q 2 ; da) la sorgente viene di nuovo rimpiazzata da una parete isolante e il gas è compresso adiabaticamente. In un ciclo la variazione di energia interna è nulla. Quindi, per la prima legge della termodinamica è L = Q. Nel caso presente il lavoro prodotto in un ciclo è pari a L = Q 1 Q 2 Anche la variazione di entropia nel ciclo deve essere nulla, dato che S è una funzione di stato. Inoltre, essendo tutte le trasformazioni reversibili e S = 0 nelle adiabatiche: S = Q 1 Q 2 T 2 = 0 Q 1 = Q 2 T 2
Ciclo di Carnot, entropia La relazione precedente: Q 1 = Q 2 T 2 è basata sull ipotesi che l entropia sia una funzione di stato, ma è possibile dimostrarla direttamente. Infatti, per le due isoterme, vale: Q 1 = nr log V b V a, Q 2 = nrt 2 log V d, S = Q 1 + Q ( 2 = nr log V b + log V ) d. V c T 2 V a V c D altra parte, per le due adiabatiche vale V γ 1 b = T 2 V γ 1 c Dividendo membro a membro si ottiene V b V a = V c V d, da cui S = 0. e T 2 V γ 1 d = V γ 1 a. E possibile usare tale proprietà del ciclo di Carnot per dimostrare che in un ciclo in cui N sorgenti a temperatura T i scambiano calore Q i con il sistema, vale: N i=1 Q i T i = 0 se tutte le trasformazioni sono reversibli. (da qui si dimostra che l entropia come l abbiamo definita è una funzione di stato) Q Da notare che l entropia della sorgente calda diminuisce di 1 ; l entropia della sorgente fredda aumenta di Q 2 T 2 ; l entropia di tutto il sistema rimane invariata.
Rendimento di macchine termiche ideali: macchina di Carnot In una macchina termica viene fornito del calore Q a e prodotta energia meccanica come lavoro L. La qualità di tale trasformazione è misurata dal rendimento η definito come energia ottenuta η = energia assorbita = L Q a Il rendimento di una macchina che realizza il ciclo di Carnot è pari a η C = Q 1 Q 2 Q 1 = 1 Q 2 Q 1 η C = 1 T 2 dove le temperature sono espresse in kelvin. Notare: η < 1 sempre, anche per macchine ideali. Nello schema sopra riportato, notare come parte del calore fornito alla macchina (Q 1 ) sia sempre ceduto alla sorgente a temperatura più bassa (Q 2 ); di conseguenza il lavoro prodotto L potrà al più essere pari alla differenza tra i due.
Enunciato di Kelvin Si arriva quindi alla conclusione che non potrà mai essere realizzato il motore perfetto (vedi schema qui accanto), in cui il calore prelevato da un unica sorgente è completamente trasformato in lavoro. Tale conclusione porta in modo naturale al seguente enunciato alternativo della seconda legge della termodinamica (enunciato di Kelvin): Non esiste un ciclo termodinamico avente come unico risultato l acquisizione di calore da un unica sorgente termica e la sua totale trasformazione in lavoro
Rendimento di altre macchine termiche I Tutte le trasformazioni sono assunte reversibili e su di un gas ideale. Ciclo di Stirling - costituito da due isoterme e due isocore. Il calore è scambiato in tutte e quattro le trasformazioni. Per le due isoterme, Q 1 = nr log V 2 V 1, Q 2 = nrt 2 log V 1 V 2 Per le due isocore, il calore scambiato è lo stesso in valore assoluto: Q = nc v ( T 2 ) Il rendimento η s di tale ciclo è inferiore a quello del ciclo di Carnot η c : η s = Q 1 Q 2 Q 1 + Q = ( Q 1 Q 2 )/ Q 1 ( Q 1 + Q )/ Q 1 = η c 1 + Q / Q 1 < η c
Rendimento di altre macchine termiche II Ciclo Otto (motore a 4 tempi) Non contiene isoterme ma due isocore e due adiabatiche. Il calore è assorbito nella trasformazione 1 2 e ceduto nella trasformazione 3 4: Q 1,2 = E int = nc V (T 2 ), L = ( E int,23 + E int,41 ) = nc V (T 3 T 2 ) nc V ( T 4 ) Il rendimento è dunque η o = L Q 1,2 = nc V (T 2 + T 4 T 3 ) nc V (T 2 ) = 1 T 4 T 3 T 2 Ricordando che per una trasformazione adiabatica T V γ 1 =cost., si trova V γ 1 1 = T 4 V γ 1 4, T 2 V γ 1 2 = T 3 V γ 1 3, ma V 1 = V 2, V 3 = V 4, da cui ( T 2 )V γ 1 2 = (T 4 T 3 )V γ 1 3 e infine η o = 1 ( V2 V 3 ) γ 1 = 1 ( V2 V 3 ) c p c V 1 Il rapporto V 2 /V 3 è detto rapporto di compressione.
Macchine frigorifere Una macchina termica che trasferisce calore da una sorgente fredda ad una sorgente calda costituisce una macchina frigorifera (o frigorigena). Una macchina di Carnot che funziona al contrario è una macchina frigorifera. Lo schema qui a lato precisa le relazioni tra il lavoro che si deve fornire alla macchina frigorifera e i calori scambiati con le sorgenti termiche. L efficienza di una macchina frigorifera è misurata con il parametro ε = energia utile energia assorbita = Q 2 L Per il frigorifero di Carnot abbiamo ε c = Q 2 Q 1 Q 2 = T 2 T 2 = T 2 / 1 (T 2 / ) = 1 η c η c = 1 η c 1 dove η c è il rendimento della macchina di Carnot quando funziona nel verso usuale.
Secondo principio, enunciato di Clausius Così come il motore perfetto, anche il frigorifero perfetto (schematizzato qui a fianco) non esiste! Infatti, in tal caso la variazione di entropia complessiva del sistema (sorgenti termiche + gas) sarebbe pari a S = Q T 2 + Q < 0 in contrasto con la seconda legge della termodinamica (dato che il sistema è chiuso). Questo porta al seguente enunciato alternativo (di Clausius) della seconda legge: Non esiste una trasformazione il cui unico risultato è il trasferimento di calore da una sorgente a temperatura più bassa ad una a temperatura più alta
Rendimento delle macchine reali Tra tutte le macchine termiche che operano tra due sole temperature e T 2 (con > T 2 ), la macchina di Carnot è quella con il rendimento più elevato. Supponiamo di avere una macchina di rendimento η x > η c. Accoppiamola a un frigorifero di Carnot operante tra le stesse temperature e che utilizza tutto il lavoro prodotto dalla nostra macchina. Otteniamo una macchina che: (1) non utilizza lavoro esterno e che, (2) scambia le quantità di calore Q 1 Q 1 e Q 2 Q 2 con le sorgenti alle temperature e T 2 Dato che il lavoro prodotto dalla macchina termica è pari a quello utilizzato dal frigorifero di Carnot, Q 1 Q 2 = Q 1 Q 2, da cui Q 1 Q 1 = Q 2 Q 2 = Q. Se η x > η c abbiamo η x > η c L Q 1 > L Q 1 Q = Q 1 Q 1 > 0 Ma in questo modo, avremmo costruito un frigorifero perfetto! Nessuna macchina termica reale che lavora fra due temperature può avere un rendimento superiore a quella di Carnot.