Aspettative razionali e modelli di crescita

Aspettative razionali e modelli di crescita Dispense per il corso di Macroeconomia M (A.A. 2014/2015) Vittoria Cerasi Contents 1 Introduzione ai modelli con aspettative razionali 2 1.1 Aspettative razionali ed equilibri stazionari........ 2 2 La dinamica della curva dei rendimenti 3 2.1 Relazione tra tassi di interesse a lunga e a breve..... 3 2.2 Il modello IS-LM dinamico (di economia chiusa)..... 4 2.3 Analisi gra ca della dinamica............... 5 2.4 E etto di politiche economiche anticipate e non anticipate 7 3 Modello di crescita (Solow) 13 3.1 Modello di base....................... 13 3.2 Modello con progresso tecnico............... 15 4 Modello con sentiero di consumo ottimale (Ramsey) 17 4.1 Golden rule......................... 17 4.2 Golden rule modi cata................... 18 5 Modello a generazioni sovrapposte 22 5.1 Il modello di Diamond................... 22 5.2 Modello con eredità..................... 27 5.3 Sistemi di previdenza sociale................ 29 5.4 Debito pubblico e equivalenza ricardiana......... 31 A Introduzione ai diagrammi di fase 35 Sono particolarmente grata ad Alberto Peretti per aver contribuito coi suoi commenti puntuali a migliorare il contenuto della parte relativa ai digrammi di fase. 1

1 Introduzione ai modelli con aspettative razionali Per analizzare l impatto delle politiche economiche sui principali aggregati economici è conveniente utilizzare un modello IS-LM dinamico in cui si introducono esplicitamente le aspettative. Le aspettative costituiscono infatti uno degli elementi dinamici che spiegano l aggiustamento delle variabili macreconomiche da un equilibrio all altro. Per fare questo utilizzeremo l apparato dei diagrammi di fase, metodo che ci consente di analizzare le proprietà dinamiche dei sistemi di equazioni di erenziali senza dover ricorrere alla soluzione analitica. 1.1 Aspettative razionali ed equilibri stazionari Nella letteratura economica due sono le ipotesi che si fanno sul meccanismo di formazione delle aspettative degli agenti: 1) aspettative adattive, 2) aspettative razionali. Le aspettative adattive si formano guardando alla storia passata dell economia (in realtà l ipotesi più comune è che le aspettative si formano prendendo in considerazione un solo periodo precedente tra tutti quelli del passato dell economia) e sono perciò dette backward looking (che guardano all indietro). Le aspettative razionali invece presuppongono che i) gli individui sappiano anticipare l equilibrio del sistema economico e ii) non commettano errori sistematici nelle previsioni. Questo implica che siano in grado di formulare aspettative tenendo conto di tutti gli elementi del sistema economico, comprese le regole di politica economica 1 e sappiano risolvere le equazioni che descrivono il sistema economico trovando la soluzione di equilibrio. Queste aspettative sono dette forward looking (che guardano in avanti). Le aspettative razionali, insieme all ipotesi che il sistema economico sia descritto da un SED, implicano che la soluzione di equilibrio sia un punto di sella. Il punto di sella ha infatti la caratteristica di essere stabile rispetto ad una delle variabili e instabile rispetto all altra. La variabile, la cui soluzione presenta instabilità, è quella su cui gli individui formano aspettative razionali. L aggiustamento del sistema prevede che la variabile stabile si muova con gradualità verso l equilibrio, mentre la variabile instabile si aggiusti istantaneamente in modo da convergere univocamente e senza errori al nuovo equilibrio. Per questo si de niscono variabili essibili quelle su cui si formano 1 A questo proposito è utile menzionare l argomento della critica di Lucas che riguarda la valutazione dell impatto delle politiche economiche. In un modello con aspettative razionali i parametri strutturali del modello dipendono dalle regole di politica economica. E quindi, se per fare previsioni sull impatto di una nuova regola di politica economica si utilizzasse una stima dei coe cienti di un modello, stimati sulla base delle vecchie regole di politica economica, si otterrebbero risultati non attendibili. 2

le aspettative, mentre variabili predeterminate quelle che dipendono dal loro valore passato. 2 La dinamica della curva dei rendimenti Per iniziare introduciamo la dinamica nella curva dei rendimenti con lo scopo di studiare l impatto delle politiche economiche sulla struttura dei tassi di interesse. Come si vedrà la curva dei rendimenti si sposta in ogni istante successivo all annuncio o all implementazione di una politica economica. 2.1 Relazione tra tassi di interesse a lunga e a breve Supponiamo che vi siano due soli titoli: un titolo a breve con rendimento istantaneo r(t) e un titolo a lunga (irredimibile) che paga una cedola c costante in ogni istante. Per confrontare i due titoli dobbiamo calcolare il rendimento del titolo a lunga. Il prezzo di un titolo p B (t) con cedola irredimibile c è dato dal suo valore attuale, ovvero p B = c 1 + R 1 + 1 1 + R + 1 (1 + R) 2 + ::: Dentro parentesi si ha una serie geometrica di ragione < 1 che converge a 1+R; mentre il prezzo p R B converge a c : Da questo ricaviamo che R il rendimento istantaneo di un titolo irredimibile è R(t) = c. Investire in un titolo a lunga garantisce oltre al rendimento istantaneo R, p B (t) omettendo l indice temporale, un pro tto (o una perdita in conto capitale) per il fatto che, in caso il titolo venisse venduto, il suo prezzo è salito rispetto al periodo precedente, p 0 B > 0 (o viceversa p0 B < 0 se il suo prezzo è sceso). Per brevità d ora in poi indicheremo con un pallino sopra la variabile, cioè x; la variazione nel tempo della variabile x, ovvero x 0 (t): Il rendimento totale del titolo a lunga è allora dato dalla somma del suo rendimento istantaneo e dai guadagni (o perdite) in conto capitale: : c p + B (1) p B p B Dalla relazione tra prezzo del titolo a lunga e suo rendimento istantaneo possiamo ricavare il termine relativo ai guadagni in conto capitale. La derivata rispetto al tempo di p B è data da p B = d c = dt R poichè la cedola non varia nel tempo c = 0; sostituendo la de nizione di p prezzo del titolo p B si ottiene che : B R pb : = : : Tenendo conto del risultato R 3 cr R 2 Rc

appena trovato e sostituendo al posto del primo termine la de nizione di rendimento istantaneo, il rendimento di un titolo a lunga è dato da: R (2) R L equilibrio sul mercato dei titoli, in assenza di costi di transazione e con operatori neutrali al rischio, richiede che ogni opportunità di arbitraggio venga sfruttata. In equilibrio dunque i rendimenti dei titoli a breve e di quelli a lunga dovranno essere uguali. Si ricava dunque la seguente condizione di arbitraggio: : R R = R r (3) La condizione di arbitraggio è in realtà un equazione di erenziale che spiega la relazione tra i tassi di interesse a breve e i tassi di interesse a lunga. Riscriviamo la relazione tra i tassi di interesse come: : R R = r + Questa condizione ci dice che il rendimento dei titoli a lunga deve uguagliare quello dei titoli a breve ogni qualvolta il rendimento dei titoli a lunga, o il prezzo dei titoli a lunga, non varia. L ultimo termine va in realtà interpretato come variazione attesa del rendimento dei titoli a lunga. La relazione perciò può essere così interpretata: se non vi fossero guadagni attesi (o perdite attese) in conto capitale, allora il rendimento dei titoli a lunga deve coincidere con quello dei titoli a breve. Se invece ci si attende che il prezzo dei titoli a lunga salirà (diminuzione dei rendimenti in futuro) allora il rendimento istantaneo dei titoli a lunga sarà inferiore a quello dei titoli a breve. 2.2 Il modello IS-LM dinamico (di economia chiusa) Il modello IS-LM descrive il comportamento degli operatori sul mercato dei beni e della moneta. In particolare sul mercato dei beni la domanda aggregata y D è data dalla seguente funzione: : R R y D = cy R + g (4) dove y indica il reddito aggregato, R il tasso di interesse a lunga e g un indicatore della politica scale. Il primo termine rappresenta il consumo aggregato, mentre il secondo termine cattura l impatto del tasso di interesse sugli investimenti. Il tasso di interesse è quello di lungo periodo, perchè l orizzonte temporale delle decisioni di investimento è il 4

lungo periodo. In ne g è un indicatore dell impatto del disavanzo di bilancio pubblico sulla domanda aggregata. Sul mercato della moneta l equilibrio tra o erta e domanda di moneta, rappresentato dalla LM, è dato da: m p = ky hr (5) dove m rappresenta l o erta nominale di moneta, p il livello dei prezzi e r il tasso di interesse a breve. Il lato destro della LM si basa sull ipotesi che la domanda di moneta dipenda direttamente dal livello del reddito e inversamente dal tasso di interesse. Il tasso di interesse rilevante in questo caso è il tasso a breve, in quanto rappresenta il costo opportunità di tenere la propria ricchezza in forma liquida, per esempio su un conto corrente la cui remunerazione è legata ai tassi di interesse a breve. Per quanto riguarda il lato sinistro della LM invece di avere il rapporto tra o erta nominale di moneta e livello dei prezzi, abbiamo la forma logaritmica di tale rapporto. Questa variante sempli ca l analisi senza modi care i risultati. Dobbiamo ora introdurre la dinamica nel modello. Supponiamo che la produzione si aggiusti gradualmente agli eccessi di domanda aggregata, ovvero che y vari secondo la seguente equazione di erenziale: : y = (y D y) (6) Per quanto riguarda i tassi di interesse la loro dinamica è data dalla curva dei rendimenti (3) introdotta nel paragrafo precedente. A questo punto il modello IS-LM dinamico è composto dalle equazioni (3) - (6) che de niscono la dinamica dell economia nelle due variabili (y; R): Si noti che in questo modello y è la variabile predeterminata il cui comportamento futuro dipende unicamente dal comportamento passato del sistema economico, mentre R è la variabile essibile il cui comportamento dipende dalle aspettative sul futuro equilibrio del sistema. 2.3 Analisi gra ca della dinamica Passiamo ora all analisi del diagramma di fase de nito dalle due equazioni di erenziali ottenute risolvendo il sistema (3)-(6), ovvero: y = [g R (1 c)y] (7) R R = R k (m p) y + (8) h h 5

L equilibrio stazionario si trova imponendo y : = R : = 0: Dalla (7), quando : y = 0 si ottiene: y = 1 c R + 1 1 c g (9) Questa retta rappresenta la relazione tra reddito e tasso di interesse di lungo periodo per cui si ha equilibrio nel mercato dei beni, altrimenti nota come IS. La relazione tra reddito e tasso di interesse di lungo periodo è negativa e rispecchia l usuale relazione inversa tra tasso di interesse e domanda aggregata sul mercato dei beni, generata attraverso la componente degli investimenti. Un tasso di interesse minore comporta investimenti più elevati e dunque una domanda aggregata, a cui segue un livello di produzione, maggiore. Possiamo rappresentare questa relazione in un gra co tra R e y nella gura 1. Fig.1 Alla destra della retta stazionaria y : = 0 (che indichiamo d ora in avanti con IS), a parità di R; un reddito più elevato, corrisponde ad un : eccesso di o erta, e quindi la produzione si riduce nel tempo, y < 0: Viceversa alla sinistra della retta stazionaria y : > 0: Passiamo ora all equilibrio stazionario per il tasso di interesse. Quando : R = 0 (che indichiamo d ora in avanti con LM) dalla (3) ne consegue che R = r: Sostituendo nella (5) otteniamo una relazione diretta tra tasso di interesse a lunga e reddito, che rappresenta l usuale relazione positiva 6

sul mercato della moneta tra tasso di interesse e reddito, altrimenti nota come LM: R = k h y 1 (m p) (10) h Ad un tasso di interesse maggiore, che implica un costo opportunità maggiore di detenere moneta, deve corrispondere un reddito più elevato, capace cioè di generare una maggiore domanda di moneta. Possiamo quindi rappresentare sempre nella gura 1 la relazione stazionaria tra reddito e tasso di interesse sul mercato della moneta con una retta inclinata positivamente. Alla destra della LM, a parità di tasso di interesse un reddito più elevato genera una domanda di moneta più elevata e questo richiede un aumento del tasso di interesse a breve. : Dalla (3) però questo comporta che R < 0. La ragione è che un tasso di interesse a breve più elevato rende i titoli a lunga meno appetibili. A parità di R occorre che si generino aspettative di guadagni in conto : capitale, R < 0, a nchè i rendimenti dei due titoli siano uguali e non vi siano opportunità di arbitraggio non sfruttate. Viceversa alla sinistra : della retta stazionaria R > 0. Possiamo dunque sistemare le frecce nel diagramma di fase nella gura 1. Le traiettorie attraversano la retta stazionaria IS verticalmente, mentre attraversano la retta stazionaria LM orizzontalmente. Dallo studio delle frecce e delle traiettorie, si ricava che l equilibrio stazionario è un punto di sella attraversato da un unico sentiero stabile, che indichiamo con SS, la cui pendenza è positiva. 2.4 E etto di politiche economiche anticipate e non anticipate A questo punto è possibile studiare l impatto delle politiche economiche sulla produzione e sulla struttura dei tassi di interesse. Le politiche economiche entrano nel modello attraverso l o erta nominale di moneta m per quanto concerne la politica monetaria e attraverso l indice g per quanto riguarda la politica scale. Come già visto, le politiche economiche hanno un impatto distinto a seconda che la politica economica sia temporanea o permanente. Inoltre le politiche economiche possono essere previste dagli operatori, perchè anticipate mediante annunci di politica economica dalle autorità competenti, oppure non anticipate, perchè attuate senza preavviso. Vedremo esempi dei diversi tipi di politiche economiche iniziando dalla politica monetaria. Caso 1: Vediamo innanzitutto il caso di una politica monetaria restrittiva inattesa e permanente: supponiamo che al tempo t 0 la Banca Centrale riduca, senza preavviso, la base monetaria, provocando 7

una restrizione nell o erta di moneta nominale m < 0: Nella 2 l equilibrio iniziale è indicato con la lettera A. gura Fig.2 In seguito alla stretta monetaria, la curva LM si sposta in alto, diventando la curva LM. L equilibrio nale, che indichiamo con B, comporterà una riduzione di reddito e un rialzo dei tassi di interesse a breve, così come in un modello statico IS-LM. L elemento nuovo nell analisi è il processo di aggiustamento da un equilibrio all altro. Al tempo t 0, momento in cui la stretta monetaria si veri ca, il reddito non varia poichè abbiamo ipotizzato che si aggiusti lentamente nel tempo. La variabile che reagisce immediatamente è il tasso di interesse sui titoli a lunga. Poichè il tasso di interesse a breve è aumentato (lo si legge sulla LM a parità di reddito y o ) e inoltre in futuro sarà pari a r 1, ci si aspetta che anche il tasso di interesse sui titoli a lunga cresca. Di quanto aumenta al momento della stretta monetaria però dipende dalla dinamica dell aggiustamento. Il tasso di interesse a lunga salta verticalmente sul nuovo sentiero di sella SS, incontrandolo nel punto C, in modo da convergere in un tempo futuro t 0 al nuovo equilibrio B. Come si vede dal diagramma di fase, il rialzo del tasso di interesse a lunga al momento della stretta monetaria è superiore alla variazione attesa del tasso a breve nel lungo periodo, r = r 1 r 0 ; ma inferiore alla variazione del tasso a breve nel momento in cui viene attuata la stretta monetaria. Poichè al tempo t 0 ; r(t 0 ) > R(t 0 ); occorre infatti che si determinino aspettative di guadagni in conto capitale a nchè i rendimenti dei titoli 8

a breve e a lunga si equivalgano, ovvero che : R < 0. Ma un aspettativa di discesa dei tassi a lunga è giusti cabile solo se oggi R aumenta più che nell equilibrio di lungo periodo. Alternativamente, in seguito al rialzo del tasso a breve, poichè ci si attende che i tassi a breve diminuiscano nel lungo periodo, il tasso a lunga aumenta internalizzando questa aspettativa e dunque l aumento sarà inferiore a quello del tasso a breve. Esercizio 1 Si disegni la curva dei rendimenti in ogni istante successivo alla stretta monetaria, mostrando che la curva dei rendimenti ha un inclinazione negativa. Si abbia cura di indicare in un gra co a parte il livello dei tassi a breve e di quelli a lunga per ogni istante di tempo. Caso 2: Analizziamo ora una politica monetaria restrittiva permanente e anticipata. Supponiamo che la Banca Centrale annunci che al tempo t 1 intende ridurre la quantità o erta di moneta nominale di m < 0. Come cambia in questo caso la reazione dei tassi di interesse a lunga rispetto al caso precedente? L e etto di lungo periodo è identico, tuttavia il fatto che la stretta sia anticipata comporta un diverso impatto sulla struttura dei rendimenti, in particolare la curva dei rendimenti sarà inclinata positivamente anzichè negativamente per il periodo successivo all annuncio. Nella gura 3 rappresentiamo l equilibrio iniziale con la lettera A e quello nale con la lettera B. Fig.3 9

Al tempo t 0 in seguito all annuncio della Banca Centrale i tassi di interesse di lungo periodo aumentano, in previsione del rialzo dei tassi di interesse a breve al tempo t 1. Di quanto aumentano i tassi a lunga dipende dal processo di aggiustamento. Nel lungo periodo il tasso a lunga sarà r 1 : Nel breve il tasso a lunga, a parità di reddito y 0, balza al punto C per andare sulla traiettoria che porta al nuovo sentiero di sella SS, intersecandolo nel punto D al tempo t 1. Il tasso di interesse a lunga sconta in anticipo il rialzo dei tassi futuri aumentando, anche se meno che proporzionalmente, rispetto al tasso di interesse a breve. L e etto recessivo della stretta monetaria è dunque anticipato proprio per via del rialzo del tasso a lunga. Nonostante la stretta monetaria non sia ancora e ettiva in t 2 [t 0 ; t 1 ) il livello di produzione si riduce, come appare lungo il sentiero di aggiustamento da C a D. Esercizio 2 Si ricavi la dinamica della curva dei rendimenti per la stretta di politica monetaria annunciata qua sopra. In particolare si mostri come la curva dei rendimenti risulti inclinata positivamente. Caso 3: Vediamo ora l e etto di una politica monetaria restrittiva temporanea e inattesa. Al tempo t 0 la Banca Centrale restringe l o erta nominale di moneta di m < 0, ma annuncia anche che al tempo t 1 l o erta di moneta ritornerà al livello precedente. Il tasso di interesse di breve periodo dunque subisce un rialzo. Il tasso di interesse di lungo periodo però sconterà la temporaneità di questo rialzo. Ci attendiamo dunque che il tasso a lunga aumenti meno che proporzionalmente rispetto ai tassi a breve. Nella gura 4 mostriamo l e etto della stretta monetaria temporanea sul tasso a lunga. 10

Fig.4 Al tempo t 0 partendo dall equilibrio iniziale A, la LM si sposta in alto determinando una nuova intersezione virtuale (nel senso che quell equilibrio non viene mai raggiunto) nel punto B. La dinamica dell aggiustamento però dipende dal sistema IS-LM. Il tasso a lunga in particolare, dato che il livello di produzione è y 0 ; balza al punto C dove incontra una traiettoria che interseca il sentiero di sella SS nel punto D al tempo t 1, quando cioè la stretta monetaria non sarà più e ettiva. Come appare dal diagramma, il tasso di interesse a lunga aumenta al tempo t 0 ; di una misura inferiore rispetto al tasso a breve (il tasso a breve si legge sulla LM a parità di y 0 ) scontando cioè il futuro ribasso dei tassi di interesse a breve. Esercizio 3 Si determini la curva dei rendimenti nel caso sopra illustrato, mostrando come la curva risulti inclinata negativamente tra t 0 e t 1. Così come nel caso della politica monetaria è possibile applicare gli stessi strumenti di analisi per valutare l impatto dell altro strumento di politica economica, la politica scale. Caso 4: Possiamo per esempio analizzare l impatto di una politica scale restrittiva attesa e permanente: al tempo t 0 il Governo annuncia che in t 1 ridurrà il disavanzo scale di g < 0. Nella gura 5 indichiamo con A l equilibrio iniziale, mentre con B l equilibrio nale. 11

Fig. 5 Nel lungo periodo i tassi di interesse scenderanno così come il livello della produzione. Il tasso di interesse di lungo periodo diminuirà in anticipo, in previsione del ribasso dei tassi a breve. L ammontare della riduzione del tasso di interesse di lungo periodo però dipende dal processo di aggiustamento. In particolare il tasso a lunga si ridurrà no al punto C, a parità di reddito y 0, dell ammontare necessario a raggiungere la traiettoria che incrocia il sentiero di sella SS al tempo t 1 per poi convergere nel lungo periodo al tasso di interesse a breve r 1. E interessante osservare come l annuncio di una politica scale restrittiva produca un e etto espansivo nel breve periodo, ovvero come y aumenti tra C e D a causa di un ribasso del tasso di interesse a lunga. Esercizio 4 Dimostrate, nel caso sopra esposto, che la curva dei rendimenti è inclinata negativamente tra t 0 e t 1 poichè gli operatori si attendono un ribasso dei tassi di interesse a breve. Esercizio 5 Supponete che il Governo senza preavviso riduca il disavanzo di bilancio per un periodo limitato, annunciando che la manovra terminerà in t 1 : Discutete l impatto di tale politica scale restrittiva non anticipata e temporanea sulla curva dei rendimenti e sulla produzione. Esercizio 6 Supponete che il Governo annunci una politica scale restrittiva in futuro, accompagnata però da una politica monetaria espansiva al ne di neutralizzare l e etto recessivo della prima. Si mostri come 12

l impatto di tali politiche economiche possa creare un e etto espansivo nel breve periodo. 3 Modello di crescita (Solow) Ci occupiamo ora del modello di crescita di Solow: questo modello è un caso particolare di equazione di erenziale a cui possiamo applicare la tecnica dei diagrammi di fase per trovare la soluzione e e ettuare la statica comparata. 3.1 Modello di base La produzione totale di un paese può essere rappresentata mediante una funzione a due fattori (per produrre il bene nale Y occorre capitale K e lavoro L): Y = F (K; L) (11) La funzione F (:) ha rendimenti di scala costanti (moltiplicando tutti i fattori la produzione varia della stessa proporzione, ovvero F (K; L) = Y ) e rendimenti marginali decrescenti (ovvero variando uno solo dei fattori - qua pensando al lungo periodo variamo il capitale - si hanno delle ine cienze, ovvero F K (:; 1) > 0; ma ad un tasso decrescente F KK (:; 1) < 0). Assumiamo inoltre: lim F K(K; 1) = 1; lim F K(K; 1) = 0 K!0 K!1 che sono dette le condizioni di Inada. Dalla contabilità nazionale Y = C + I (12) con C = cy (funzione di consumo con propensione marginale esogena c) e I = K + K (13) (dove l investimento consente di aumentare lo stock di capitale dopo aver rimpiazzato lo stock di capitale che si deprezza al tasso ). Si noti che Y C = S = sy (14) Sostituendo la (13), la (14) e la (11) nella (4) si ottiene che è l equazione dinamica della crescita. K = sf (K; L) K (15) 13

Possiamo riscrivere tutto il modello in termini pro-capite. Supponiamo che la popolazione cresca al tasso n. 2 Possiamo riscrivere la funzione di produzione in (11) in termini di capitale pro-capite k K come L y = F (k; 1) f(k) dove y rappresenta la produzione pro-capite y Y usando la proprietà L dei rendimenti di scala costanti della funzione di produzione. L unico punto su cui fare attenzione è quando calcoliamo il tasso di accumulazione del capitale in termini pro-capite, ovvero 0 1 K k = @ K L K A K = nk L L L L L da cui sostituendo nella (15) dopo aver diviso tutto per L si ottiene la seguente equazione dinamica k = sf(k) ( + n)k (16) Possiamo rappresentare l equazione di erenziale (16) con un diagramma di fase. Fig. 6 2 Se l intera popolazione N costituisce tutta la forza lavoro e solo la forza lavoro (non ci sono disoccupati, altrimenti N = L + U) allora possiamo dire che anche la forza lavoro cresce al tasso n: 14

Alla sinistra di k il capitale aumenta nel tempo (poichè sf(k) ( + n)k = k > 0), mentre alla destra si riduce nel tempo. Questo implica che E è uno stato stazionario stabile: il valore di k è dato implicitamente dalla seguente espressione f(k ) k = + n s Partendo da un livello di capitale iniziale k 0 in un intorno di k il capitale nel tempo converge a k : Si noti come anche k = 0 sia uno stato stazionario, ma instabile. Il tasso di crescita del PIL pro-capite è dato dalla seguente condizione y = f 0 (k ) k (17) Per de nizione di stato stazionario k = 0 e dunque y = 0: Ma questo comporta che il PIL pro-capite cresca allo stesso tasso dello stock di capitale pro-capite, e dunque che numeratore e denominatore di K L crescano nel tempo allo stesso tasso n: Quindi il PIL aggregato cresce al tasso n, ma il PIL pro-capite non cambia nel tempo. Conclusione, non si spiega la crescita del PIL pro-capite. Esercizio 7 Supponete che per un cambiamento nelle preferenze dei consumatori la propensione marginale al risparmio s aumenti. Dite quale impatto ha questa variazione sul tasso di crescita del PIL procapite sia transitorio (sul sentiero di aggiustamento) sia permanente (sull equilibrio stazionario). Esercizio 8 Considerate la funzione di produzione Cobb-Douglas F (K; L) = K L 1 : Dopo aver ricavato l equazione dinamica del capitale, calcolate il valore di equilibrio del capitale pro-capite nello stato stazionario. 3.2 Modello con progresso tecnico Introduciamo ora il progresso tecnico come un miglioramento costante che sposta la frontiera produttiva continuamente verso l alto a parità di fattori produttivi. L ipotesi che viene fatta nel modello di Solow è che il progresso tecnico consenta di risparmiare il fattore lavoro mano a mano che il tempo passa. Formalmente si tratta di sostituire nella funzione di produzione al posto del fattore lavoro L una nuova variabile de nita come produttoria di L e del progresso tecnico A (che si suppone crescere nel tempo al tasso g); questa nuova variabile è detta "unità di lavoro e ettivo" AL: In altre parole la funzione di produzione è Y = F (K; AL) 15

Dividendo la (15) non più per L ma per AL, cioè per "unità di lavoro e ettive" si ottiene la seguente equazione dinamica K AL = s Y AL K AL (18) Usando la proprietà di rendimenti di scala costanti della funzione di produzione, otteniamo Y K AL = F AL ; 1 che possiamo sostituire nella equazione dinamica. Inoltre è facile ricavare che K K K = (g + n) AL AL AL Se ride niamo tutte le variabili minuscole come rapporto tra la variabile e le unità di lavoro e ettivo, si ottiene la seguente equazione dinamica del processo del capitale per unità di lavoro e ettivo k = sf(k) ( + n + g)k (19) La rappresentazione gra ca della dinamica mediante il diagramma di fase non cambia se non per la retta che ha ora una pendenza pari a ( + n + g): Lo stock di capitale pro-capite nello stato stazionario stabile è dato implicitamente dall espressione f(k ) k = + n + g s La dinamica del PIL per unità di lavoro e ettivo è dato da (17) come prima. Nello stato stazionario y = 0 poichè k = 0: Questo comporta che il PIL per unità di lavoro e ettivo cresca allo stesso tasso dello stock di capitale per unità di lavoro e ettivo, e dunque che numeratore e denominatore di crescano nel tempo allo stesso tasso n + g: Quindi anche K AL se il PIL aggregato cresce al tasso n + g, il PIL per unità di lavoro e ettivo è stazionario. Il tasso di crescita del PIL pro-capite Y è dato dalla L di erenza tra il tasso di crescita del numeratore e quello del denominatore, ovvero (n + g) n: il PIL pro-capite cresce al tasso g: Dunque il progresso tecnico esogeno spiega un tasso di crescita del PIL pro-capite diverso da zero in equilibrio (nello stato stazionario). Il modello di Solow prevede dunque che il motore della crescita sia il progresso tecnico, ma non spiega perchè in alcuni paesi il progresso tecnico è maggiore rispetto 16

ad altri proprio perchè lo assume esogeno rispetto al sistema economico. In realtà il livello del progresso tecnico dipende dai comportamenti degli attori economici coinvolti, ad esempio dalle scelte delle imprese in materia di Ricerca e Sviluppo (R&S), dal sistema legislativo che protegge le innovazioni, dal sistema educativo che forma i ricercatori e dalla disponibilità di fondi per la ricerca. Studiare gli incentivi di questi attori rende il progresso tecnico una variabile endogena del modello economico e aiuta a spiegare perchè il progresso tecnico è diverso da paese a paese. Per esempio il modello di Aghion-Howitt spiega perchè i diversi attori del sistema economico scelgano di avviare il processo di innovazione da cui scaturisce il progresso tecnico. Il progresso tecnico non viene trattato come una "manna dal cielo", ma come il risultato delle scelte compiute da parte di imprese che, bilanciando costi e guadagni attesi, decidono di investire in R&S. Il comportamento degli attori implicati (imprese, ricercatori e istituzioni) è dettato quindi da motivi di opportunismo economico. L obiettivo del modello è di spiegare da cosa dipende il tasso di crescita del progresso tecnico e perchè di erisce tra paesi. 4 Modello con sentiero di consumo ottimale (Ramsey) Nel modello di Solow la funzione del consumo è estremamente semplice: gli individui consumano una porzione ssa del proprio reddito corrente che non varia a seconda della fase della vita (ipotesi implicita nella propensione marginale a consumare costante c 2 (0; 1) e di conseguenza nella propensione al risparmio costante s 1 c). In questa sezione discutiamo innanzitutto le implicazioni del modello di Solow per la scelta del livello di consumo massimo nello stato stazionario, per poi confrontarlo con il risultato del modello di Ramsey dove il consumo è scelto in maniera ottimale come sentiero dinamico. 4.1 Golden rule Calcoliamo ora quale è il livello di consumo massimo nel modello di Solow, ovvero quale valore della propensione al risparmio massimizza il consumo nello stato stazionario. Il problema non è triviale perchè consumare di più oggi comporta una sottrazione di risorse all accumulazione di capitale (si risparmia e si investe di meno in beni produttivi e quindi lo stock di capitale domani risulta inferiore) che si ripercuote su un minor livello di PIL domani: il risultato è che domani si consuma di meno. Scegliere un maggior consumo oggi, signi ca sacri care il consumo di domani. Per arrivare a determinare il livello di consumo massimo, compat- 17

ibile con l equilibrio stazionario, si parte dalla de nizione di consumo implicito nella curva stazionaria k = 0, ovvero: c = f(k) (n + + g)k Il livello di consumo massimo deve soddisfare la seguente condizione del primo ordine f 0 (k GR ) = n + + g Questa condizione è detta "Golden rule". Dice che il livello di capitale in equilibrio deve essere tale per cui la remunerazione del capitale (che in mercati competitivi corrisponde alla produttività marginale del capitale) sia pari al tasso di crescita della popolazione più il tasso di deprezzameno e il tasso di progresso tecnico. Se rappresentiamo questa condizione abbiamo che il consumo è massimo nel punto in cui la pendenza della funzione di produzione è uguale a quella della retta che rappresenta il tasso di crescita del capitale necessario per mantenere inalterato il rapporto tra capitale e unità di lavoro e ettivo. Fig. 7 4.2 Golden rule modi cata La funzione del consumo del modello di Solow implica che il consumo (e di conseguenza il risparmio) è funzione del solo reddito corrente e quindi soggetto a shock del reddito: se vinco una lotteria consumo di più in quel 18

periodo e non successivamente, così come se rimango disoccupato rinuncio a consumare no a quando non percepirò un reddito! Chiaramente questa ipotesi non cattura il comportamento dei consumatori (e dunque dei risparmiatori) che cercano invece di mantenere un tenore di vita il più uniforme possibile, accantonando in alcuni periodi e decumulando i propri risparmi in altri. Questo ci porta al modello di Ramsey dove il pro lo di consumo è de nito ottimale da un punto di vista intertemporale, cioè si sceglie quanto consumare in ogni periodo compresi i periodi futuri, tenendo conto del reddito complessivo nell arco di una vita e rendendo così il tenore dei consumi il meno variabile possibile. La funzione di risparmio ha l obiettivo di trasferire reddito da un periodo all altro proprio per questo scopo. La parte del modello relativa alla produzione e all accumulazione del capitale è quella del modello di Solow con crescita demogra ca n e assenza di deprezzamento del capitale = 0, per cui la dinamica del capitale pro-capite è data da k t = f(k t ) c t nk t (20) Per quanto riguarda il consumo invece si suppone che il comportamento dei consumatori possa essere riassunto dalle scelte di un individuo rappresentativo che vive all in nito 3. L utilità di questo individuo è funzione del suo consumo in ogni periodo u(c t ): Inoltre assumiamo che la funzione sia di erenziabile, che u 0 (c t ) > 0 e u 00 (c t ) < 0 e che valgano le condizioni di Inada lim c u0 (c t ) = 1, t!0 lim c u0 (c t ) = 0; t!1 L utilità complessiva nel periodo iniziale t = 0 è data dalla somma dell utilità in tutti i periodi futuri, scontati per il tasso di sconto intertemporale 2 [0; 1] : Questo parametro cattura la preferenza per il consumo presente a discapito di quello futuro: se = 0 non c è alcuna preferenza per il consumo presente, mentre se > 0 il consumo futuro ha un peso decrescente nella funzione di utilità. U 0 = Z 1 0 u(c t )e t dt (21) Il problema viene risolto secondo il punto di vista del consumatore rappresentativo. Si tratta di un problema di controllo ottimo, dove occorre 3 In questo modello non c è alcuna fonte di incertezza, nè sul reddito futuro nè tantomeno sul momento nale della vita che renderebbe l orizzonte temporale del problema nito (si veda in Blanchard-Fischer (1996) per una trattazione dello stesso problema con orizzonte nito). 19

scegliere il pro lo di consumo fc t g per ogni periodo (variabile di stato) allo scopo di massimizzare l utilità totale (21), data la variabile di costato k t la cui dinamica è determinata in (20) e dato il livello di capitale iniziale k 0 : Dal punto di vista matematico, scriviamo la funzione obiettivo per ogni periodo t H t = u(c t )e t + t [f(k t ) c t nk t ] (22) dove t rappresenta il moltiplicatore della variabile di co-stato. 4 La soluzione richiede di imporre le seguenti condizioni del primo ordine @H t = 0 () u 0 (c t )e t @c t = 0; (23) t @ t @t = @H t () @k t = [f 0 (k t ) n] t (24) t e la seguente condizione lim k t t = 0 t!1 detta "condizione di trasversalità", che impone uno stock di capitale nell ultimo periodo nullo a nchè tutto il reddito dell ultimo periodo sia consumato. E comodo ride nire il moltiplicatore come t t e t : Sostituendo in (23) si ottiene u 0 (c t ) = t (25) Si noti che derivando rispetto al tempo la nuova de nizione di moltiplicatore si ottiene che t = t e t t e t : Sostituendo la derivata precedente e la nuova de nizione di moltiplicatore in (24) si ottiene: t = [f 0 (k t ) (n + )] t Usando la (25) si giunge nalmente ad un equazione dinamica nel consumo c t = 1 c t (c t ) [f 0 (k t ) (n + )] (26) dove (c t ) è una misura della curvatura della funzione di utilità (elasticità dell utilità marginale del consumo). In ne sostituendo la nuova de nizione del moltiplicatore nella condizione di trasversalità otteniamo lim k tu 0 (c t )e t = 0 (27) t!1 u00 (c)c u 0 (c) 4 Si rimanda ai testi come Intriligator M. "Mathematical Optimization and Economic Theory", Prentice Hall, 1991 per i riferimenti matematici. 20

che, date le condizioni di Inada, impone che c t > 0: Il sistema di equazioni di erenziali che de nisce la dinamica economica è dato dalle due equazioni (20) e (26). Possiamo rappresentare gra camente il sistema mediante un diagramma di fase. Le due curve stazionarie sono così de nite: c = 0 : c (c) [f 0 (k) (n + )] = 0 (28) k = 0 : f(k) nk c = 0 (29) Nel diagramma qua sotto si mostra che la curva c = 0 è una retta verticale che non dipende dal consumo, mentre la curva k = 0 è una curva concava con due intersezioni con l asse orizzontale. Fig. 8 L equilibrio stazionario è dato dall intersezione delle due curve stazionarie. In quel punto la condizione che si veri ca è f 0 (k ) = n + con k < k GR poichè il tasso di preferenza intertemporale, qualora > 0; fa preferire il consumo presente al consumo futuro, questo comporta un 21

minor accumulo di capitale rispetto a quello richiesto dalla Golden Rule. Come conseguenza in equilibrio il livello di consumo è c = f (k ) nk < c GR cioè minore di quello che massimizza i consumi. Studiamo ora la dinamica dell aggiustamento. Prendiamo la curva stazionaria c = 0 : essendo il lato sinistro dell equazione (28) decrescente nel capitale, alla sinistra della retta verticale, cioè per k < k ; il consumo cresce nel tempo e viceversa alla destra della retta. Per quanto riguarda la curva stazionaria k = 0 : essendo il lato sinistro dell equazione (29) decrescente nel consumo, sotto la curva il capitale cresce e viceversa sopra la curva. Il sentiero stazionario che attraversa il punto in cui le due curve stazionarie si intersecano è inclinato positivamente. Si tratta di un punto di sella dove partendo da un livello di capitale iniziale k 0 si raggiunge l equilibrio stazionario dove il PIL cresce allo stesso tasso di crescita del modello di Solow (in questo caso ad un tasso nullo, non essendoci progresso tecnico). 5 Modello a generazioni sovrapposte Un modo alternativo per spiegare come gli individui risparmino (e dunque consumino) durante la loro vita è quello di immaginare che non ci sia un consumatore rappresentativo che vive all in nito, ma che ogni individuo viva un numero nito di periodi attraversando diverse fasi nella sua vita (la fase lavorativa e quella da pensionato) e che in queste fasi il comportamento in termini di risparmio cambia. L idea è di derivare la funzione di risparmio ottimale in un modello dove convivono generazioni diverse: questo tipo di modello si chiama "overlapping generations" (OLG), cioè a generazioni sovrapposte. 5.1 Il modello di Diamond In questa sezione presentiamo un modello in cui gli individui vivono per due periodi e in ogni periodo convivono due età i "giovani" e i "vecchi": mentre i giovani lavorano e guadagnano, i vecchi vivono dei loro risparmi. Possiamo rappresentare la sovrapposizione delle generazioni nel diagramma qua sotto. Indichiamo con "1" la variabile riferita ai giovani e con "2" la variabile se riferita ai vecchi. Il consumo dei giovani al tempo t è dunque c 1t, mentre quello dei vecchi è c 2t. Per il resto l economia è esattamente quella del modello di Solow senza progresso tecnico e con crescita demogra ca. Supponiamo infatti che i giovani al tempo t siano n in più rispetto ai vecchi al tempo t-1, ovvero che i giovani siano L t = (1 + n)l t 1 dove L t 1 è la numerosità dei vecchi nati al tempo t-1. 22

Scriviamo ora l utilità del consumo della generazione nata nel periodo t, nell ipotesi sempli catrice che sia separabile nei due periodi u(c 1t ) + 1 1 + u(c 2;t+1) (30) dove 2 [0; 1) misura il saggio di preferenza intertemporale (soggettivo ma uguale per tutti gli individui 5 ) tra consumo al tempo t e consumo al tempo t+1: se = 0 l individuo è indi erente tra consumare in t o in t+1, mentre quanto maggiore è tanto maggiore è la preferenza dell individuo a consumare nel presente a discapito del consumo futuro. Il vincolo di bilancio è dato dal consumo massimo raggiungibile nel periodo t date le risorse disponibili: c 1t = w t s t (31) dove w t rappresenta il reddito da lavoro quando l individuo è giovane, mentre s t è il risparmio che può essere investito per generare un reddito nel periodo successivo quando l individuo è in pensione e non ha un reddito da lavoro; nel periodo successivo dunque il vincolo di bilancio è dato da c 2;t+1 = s t (1 + r t+1 ) (32) Il tasso di interesse generato dal risparmio è r t+1 : si suppone infatti che il risparmio venga usato per costituire lo stock di capitale del periodo successivo e contribuire quindi alla produzione del periodo t+1. Come vedremo in seguito, la produttività marginale del capitale è posta uguale al tasso di interesse, quando i mercati dei fattori sono concorrenziali. Il sentiero del consumo ottimo, ovvero la scelta di c 1;t e c 2;t+1 che massimizzano l utilità in (30) sotto i vincoli (31) e (32) può essere semplicemente ricondotta alla scelta del livello di risparmio dopo aver sostituito i due vincoli nella funzione di utilità. Si ottiene pertanto una 5 Potrebbe tuttavia essere diverso dal tasso di preferenza intertemporale di un social planner, ovvero il del modello di Ramsey. Infatti il social planner non vive per due soli periodi, ma ha a cuore tutte le generazioni future essendo il suo orizzonte in nito. Discutiamo in seguito le di erenze tra il modello OLG con orizzonte nito e la soluzione del modello di Ramsey. 23

funzione da massimizzare rispetto a s t u(w t s t ) + 1 1 + u [s t(1 + r t+1 )] da cui discende la condizione del primo ordine u 0 (c 1t ) = 1 + r t+1 1 + u0 (c 2;t+1 ) (33) Questa condizione ci dice quante unità di consumo futuro aggiuntive occorrono perchè si rinunci ad un unità di consumo oggi: rinunciare al consumo oggi signi ca una riduzione di utilità misurata dalla derivata u 0 ; a fronte di questa rinuncia l aumentata utilità di un consumo futuro potrebbe controbilanciare questo costo, ma occorre tener conto del rendimento del risparmio al netto del tasso di sconto sul futuro dato da : Solo se = r t+1 si ha un perfetto bilanciamento tra rinuncia oggi e consumo futuro, altrimenti se > r t+1 il sacri cio richiede un incremento più che proporzionale del consumo futuro. Scegliamo una forma funzionale speci ca per la funzione di utilità, ovvero u(c) = log c per poter ottenere una soluzione analitica del modello. In questo caso la condizione del primo ordine diventa c 1t = 1 + 1 + r t+1 c 2;t+1 (34) Sostituendo il livello di consumo nei due periodi dai vincoli stringenti (31) e (32), si ricava la funzione di risparmio ottimale s t = w t 2 + (35) dove la propensione marginale a risparmiare varia tra zero e 0.5. Sostituendo la funzione di risparmio ottimale nei due vincoli stringenti di cui sopra, ricaviamo il sentiero di consumo ottimale c 1t = 1 + 2 + w t; c 2;t+1 = 1 + r t+1 2 + w t da cui si ricava che il sentiero del consumo individuale è uniforme solo se = r t+1 : Aggregando su tutti gli individui dell economia, poichè il risparmio viene investito nell acquisto di capitale necessario per la produzione al tempo t+1, lo stock di capitale di cui l economia dispone è dato da S t = K t+1 24

dove le variabili maiuscole si riferiscono alle variabili aggregate, ottenute cioè facendo la somma per tutti gli individui. Dividendo entrambi i lati per il numero di giovani al tempo t, L t, e dopo aver moltiplicato numeratore e denominatore del lato destro per L t+1 ; otteniamo l equazione dinamica s t = (1 + n)k t+1 (36) dove le lettere piccole rappresentano le variabili in termini pro-capite. Ora consideriamo il lato produttivo del sistema economico rappresentato da una generica funzione di produzione F (K t ; L t ) dove K t è lo stock di capitale generato dal risparmio della generazione di giovani al tempo t-1 e L t è la forza lavoro che corrisponde al numero di individui in età di lavoro al tempo t (anche qui come nel modello di Solow si suppone che tutti i giovani siano occupati). Trattiamo il sistema economico come un unica impresa che massimizza i pro tti t = F (K t ; L t ) w t L t r t K t Usando la proprietà di rendimenti di scala costanti nella produzione possiamo riscrivere la funzione di pro tto come t = L t f(k t ) w t L t r t K t La condizione per l impiego ottimale dei fattori produttivi in mercati concorrenziali, richiede che l impresa massimizzi i pro tti prendendo come dati i prezzi dei fattori produttivi, ovvero che le seguenti condizioni di primo ordine siano soddisfatte @ = f (k t ) @L t f 0 (k t )k t w t = 0 (37) @ = f 0 (k t ) @K t r t = 0 (38) L equilibrio del sistema economico è caratterizzato dalla soluzione al sistema di equazioni (35), (36),(37) e (38). Anche qui per ottenere una soluzione analitica dell equilibrio dinamico, scegliamo una forma funzionale speci ca per la funzione di produzione, ovvero la funzione Cobb-Douglas f(k t ) = Ak t con 2 (0; 1): In questo caso speci co sostituendo nelle due condizioni del primo ordine otteniamo Akt 1 = r t (39) (1 )Akt = w t (40) 25

Figure 1: Fig. 9 Sostituiamo la (40) nella funzione di risparmio (35) e otteniamo s t = A(1 ) 2 + k t A questo punto basta sostituire l espressione ottenuta nella (36) e si ottiene un equazione alle di erenze del capitale che esprime la dinamica del sistema economico k t+1 = (1 ) (2 + )(1 + n) Ak t Possiamo rappresentare gra camente l equazione alle di erenze nel diagramma sottostante. L equilibrio stazionario per cui k t+1 = k t, la cui esistenza è garantita dalla condizione dk t+1 dk t < 1; che nel nostro caso risulta essere sempre soddisfatta 6, implica un livello di capitale pari a (2 + )(1 + n) k = (1 )A 1 1 6 Occorre dimostare che dkt+1 (1 ) dk t = (2+)(1+n) f 0 (k t ) < 1: Se entrambi sono minori di 1, il risultato consegue. Per quanto riguarda il primo multiplo, basta mostrare che (1 ) < (2 + )(1 + n): Questo è senz altro vero per = 0 e dunque a maggior ragione per un > 0: Per il secondo termine, poichè il prodotto marginale del capitale è uguale al tasso di interesse, esso è per de nizione minore di uno. 26

Se sostituiamo questo livello di capitale nella condizione (39) si ottiene il tasso di interesse nell equilibrio stazionario r = (2 + )(1 + n) (1 ) E facile vedere che questo tasso di interesse non soddisfa la Golden Rule perchè r 6= n: Ricordiamo che il livello di capitale della Golden rule soddisfa la condizione f 0 (k GR ) = n ed è dato dal livello che garantisce il massimo livello di consumo a tutte le generazioni nello stato stazionario. In generale possono veri carsi due casi: r > n : si tende a consumare troppo e ad accumulare poco capitale per cui il livello di capitale in equilibrio è minore di quello della Golden rule; r < n : si tende a risparmiare troppo e ad accumulare troppo capitale per cui il livello di capitale di equilibrio è maggiore di quello della Golden rule. Le soluzioni sono diverse nei due casi. Nel primo caso, poichè k < k GR la prima generazione dovrebbe incominciare a risparmiare di più per consentire alle generazioni future di raggiungere un livello di consumo maggiore. La rinuncia della prima consente alle altre generazioni di aumentare il loro benessere: tuttavia non essendo una redistribuzione Pareto e ciente (ovvero che bene cia tutte le generazioni) non sarà il mercato ad arrivarci da solo. Occorre una politica economica che induca (forzatamente) la generazione presente a risparmiare di più a favore delle generazioni future (ad esempio l introduzione di un sistema di contribuzione "a capitalizzazione"). Nel secondo caso, siccome k > k GR (si dice che l equilibrio sia connotato da "ine cienza dinamica") basta che la prima generazione cominci a consumare di più, rinunciando a risparmiare, che favorisce un aumento del consumo anche delle generazioni future. In questo caso la soluzione è una redistribuzione Pareto e ciente (che avvantaggia tutte le generazioni senza esclusioni) che può essere indotta da una politica economica che obblighi la prima generazione a ridurre i propri risparmi (ad esempio attraverso l emissione di debito pubblico o l introduzione di un sistema di previdenza sociale "a ripartizione"). 5.2 Modello con eredità Vediamo ora cosa succede nel modello OLG quando i genitori si preoccupano del benessere dei propri gli lasciando loro un eredità. Anticipiamo il risultato che, essendo l eredità un trasferimento intergenerazionale, questo comporta il raggiungimento senza l intervento pubblico 27

dell equilibrio e ciente (in questo caso della Golden rule modi cata). La funzione di utlità della generazione nata al tempo t è data da V t = u(c 1t ) + 1 1 + u(c 2;t+1) + 1 1 + V t+1 (41) La di erenza rispetto alla utilità originaria in (30) è l ultimo termine che rappresenta l utilità della generazione immediatamente futura, ponderata per il tasso di preferenza : se = 0 i genitori attribuiscono lo stesso peso all utilità dei gli rispetto alla loro utilità; viceversa se! 1 ai genitori non importa del benessere dei gli e torniamo al caso originario. Ritardando di un periodo l espressione in (41) abbiamo V t+1 = u(c 1t+1 ) + 1 1 + u(c 2;t+2) + 1 1 + V t+2 e sostituendola nella (41) si ottiene V t = u(c 1t )+ 1 1 + u(c 2;t+1)+ 1 u(c 1t+1 ) + 1 2 1 1 + 1 + u(c 2;t+2) + V t+2 1 + (42) Il massimo consumo raggiungibile dai giovani nati in t nel primo periodo è c 1t = w t s t + b t dove b t è l eredità dei genitori ai gli: i genitori lasciano b t (1 + n) in totale, eredità che viene divisa equamente tra i gli; mentre nel secondo periodo c 2;t+1 + (1 + n)b t+1 = (1 + r t+1 )s t dove (1 + n)b t+1 è l eredità destinata ai gli. Il problema ora si complica perchè oltre a scegliere il livello di risparmio, gli individui devono decidere quanto lasciare in eredità. Le scelte sono di due tipi quindi: un problema di allocazione intertemporale dei consumi per la stessa generazione (scelta del livello di risparmio), e un problema di scelta di redistribuzione dei consumi tra generazioni (scelta dell ammontare dell eredità). Mentre la soluzione al primo problema è dato dalla condizione del primo ordine (33), ovvero u 0 (c 1t ) = 1 + r t+1 1 + u0 (c 2;t+1 ) 28

la soluzione al secondo problema richiede di scegliere b t+1 che massimizza (42) dato il vincolo sui consumi dei giovani nati al tempo t+1 c 1t+1 = w t+1 s t+1 + b t+1 La condizione del primo ordine per la scelta dell ammontare dell eredità è 1 + n 1 + u0 (c 2;t+1 ) = 1 1 + u0 (c 1;t+1 ) qualora b t+1 > 0. Nello stato stazionario i giovani consumano tutti lo stesso ammontare, ovvero c 1;t = c 1;t+1. Combinando allora le due condizioni del primo ordine si ottiene 1 + n 1 + u0 (c 2;t+1 ) = 1 1 + r 1 + 1 + u0 (c 2;t+1 ) da cui discende che (1 + n)(1 + ) = 1 + r Eseguendo la moltiplicazione dei due fattori nel lato sinistro si ottiene 1 + n + + n: Quando e n sono numeri piccoli minori di 1, possiamo trascurare il termine di secondo ordine. Si ottiene pertanto la condizione della Golden rule modi cata per cui r = n +. La conclusione è che se nel modello OLG a orizzonte nito si include l opzione di lasciare un eredità ai propri gli, l equilibrio è quello della Golden Rule modi cata del modello di Ramsey; in altre parole se individui che hanno un orizzonte nito possono internalizzare l utilità dei loro discendenti, il sentiero di consumo ottimale è equivalente a quello che sceglierebbe un individuo con orizzonte in nito. 5.3 Sistemi di previdenza sociale Vediamo ora quali conseguenze hanno i sistemi di previdenza sociale a capitalizzazione e a ripartizione sull equilibrio stazionario nel modello OLG a due periodi in cui ogni generazione si preoccupa solo del suo benessere e non di quello dei gli. Un sistema di previdenza sociale implica che vi sia una redistribuzione tra giovani e vecchi. In particolare i giovani vengono obbligati a versare d t nella loro fase lavorativa, a bene cio di quando saranno vecchi e percepiranno b t+1 in aggiunta al frutto dei propri risparmi. Il modo in cui viene fatta questa redistribuzione tuttavia ha un impatto diverso sui risparmi e sul livello di capitale accumulato in equilibrio. I vincoli di bilancio della generazione nata in t cambiano entrambi. La disponibilità di reddito dei giovani sarà ridotta dell ammontare del contributo d t ; ovvero c 1t = w t s t d t (43) 29