rcu namc el prmo e el secono orne www.e.ng.unbo./pers/masr/aca.hm ersone el -4-4 rcu elemenar el prmo orne rcuo el prmo orne: crcuo l cu sao è efno meane una sola arable a eermnazone ella rsposa rchee la rsoluzone un equazone fferenzale el prmo orne Esclueno cas egener, renrano n quesa caegora crcu che conengono un solo bpolo namco conensaore o nuore I cas pù semplc sono seguen rcuo rcuo
rcu elemenar el prmo orne S assume che sano no gl anamen egl ngress = granezze mpresse a generaor npenen: G e G per alor elle arabl sao per V I S oglono eermnare le rspose e crcu per Senza pera generalà c s può lmare a conserare l caso parcolare n cu e espresson elle enson e elle corren nel caso s possono oenere a quelle rcaae per sosueno con 3 rcuo elemenare KI: KV: omponen: c c G G G All equazone s ee assocare la conzone nzale V 4
5 rcuo elemenare KI: KV: omponen: All equazone s ee assocare la conzone nzale G G I G 6 Equazone fferenzale In enramb cas s è oenua un equazone fferenzale el po f granezza mpressa el generaore npenene cosane empo crcuo crcuo / G f X x x x [ [ [ [ [ [ [ [ [ T I Q V Q I V [ [ [ [ [ [ [ [ [ T V V I I
soluzone ell equazone fferenzale negrale generale ell equazone sao può essere espresso come x x x G H x H negrale generale ell equazone omogenea assocaa x soluzone parcolare ell equazone fferenzale er eermnare x H s rsole l equazone caraersca Qun l negrale generale ell equazone omogenea assocaa è x ke H 7 soluzone ell equazone fferenzale negrale generale ell equazone fferenzale x G x x ke x H a cosane k s eermna mponeno che x sosf la conzone nzale espressone ella soluzone per è x k x X k X X x e x x x 8
Soluzone parcolare ngresso cosane Se la ensone o la correne mpressa el generaore npenene è una cosane ncaa con F, l equazone ene x x F In queso caso è mmeao rconoscere che l equazone ammee la soluzone parcolare cosane x F 9 Soluzone parcolare - ngresso snusoale Se la ensone o la correne mpressa el generaore npenene è una funzone snusoale pulsazone f FM cos l equazone ammee una soluzone parcolare el po x X cos p M er rcaare X M e s sosusce x nell equazone fferenzale x x f S applca la rasformaa Senmez al prmo e al secono membro ell equazone fferenzale j F Sf FM e jx X F j X S x X e M
Soluzone parcolare - Ingresso snusoale S eermna l fasore x F X p j S anrasforma: FM X M X arg X arg F arg j arcg Qun la soluzone parcolare è X M x p cos arcg omponene ransora e componene regme x X x e x omponene ransora omponene regme Se Se l prmo ermne ene a zero per componene ransora la componene ransora pene sa all ngresso che allo sao nzale er la rsposa ene a enfcars con l secono ermne componene regme la componene regme pene solo all ngresso
sposa lbera e rsposa forzaa a rsposa con ngresso zero rsposa lbera è oua all energa mmagazznaa nel crcuo all sane nzale pene solo allo sao nzale ene a zero per se > a rsposa nello sao zero rsposa forzaa pene solo all ngresso ene alla componene regme per se > x X e x x e sposa con sposa nello ngresso zero sao zero 3 Espressone ella soluzone Se l ngresso è cosane la soluzone complea per è x X F e F Se l ngresso è snusoale s oene F cos M F cos M x X e oe arcg 4
sposa con ngresso cosane 5 osane empo a cosane empo è un nce ella elocà con cu la componene ransora ella rsposa ene a zero In un empo par alla cosane empo la componene ransora s ruce al 37% crca el suo alore nzale In un empo par a 5 s ruce a meno ell % el alore nzale In un empo par a 7 s ruce a meno ello.% el alore nzale 5.67 In praca s può assumere che componene ransora s annull n un empo ell orne 6.5 5-7 ole la cosane empo 7.9 3 4 / e..3679.353.498.83 6
osane empo a rea angene nel puno nzale alla cura che rappresena la rsposa raggunge l alore asnoco F per Dao che x X F e F equazone ella rea angene nel puno, X è x X F x X X Qun s ha x F per 7 sposa con ngresso snusoale Se, per abbasanza grane 5-7 cosan empo l anameno ella rsposa è pracamene snusoale a rsposa a regme è npenene al alore X 8
rcu con un solo conensaore Normalmene un crcuo formao a un conensaore e a componen ress può essere rconoo a un crcuo elemenare meane l eorema Théenn Qun l espressone ella ensone el conensaore per è V e eq 9 rcu con un solo conensaore Fa eccezone l caso parcolare n cu l bpolo resso equale a un generaore correne, e qun non ammee la rappresenazone equalene Théenn ma solo quella Noron con G eq In queso caso la ensone el conensaore s può oenere reamene negrano la correne el generaore cc V cc x x V
rcu con un solo nuore Normalmene un crcuo formao a un nuore e a componen ress può essere rconoo a un crcuo elemenare meane l eorema Noron Qun l espressone ella correne ell nuore per è I e eq rcu con un solo nuore Fa eccezone l caso parcolare n cu l bpolo resso equale a un generaore ensone, e qun non ammee la rappresenazone equalene Noron ma solo quella Théenn con eq In queso caso la correne ell nuore conensaore s può oenere reamene negrano la ensone el generaore I x x I
Espresson elle alre rspose rcuo : esseno noa s può sosure l conensaore con un generaore ensone rcuo : esseno noa s può sosure l nuore con un generaore correne e alre enson e corren possono essere eermnae rsoleno un crcuo resso Dao che l crcuo è lneare, ogn rsposa può essere scomposa n un ermne proporzonale a o e n un ermne proporzonale alle granezze mpresse e generaor npenen Ogn rsposa el crcuo ha un espressone per el po Y y e y y con la sessa cosane empo 3 Sablà Se l ermne esponenzale ene a zero per Il crcuo è asnocamene sable er ene a una conzone regme penene solo agl ngress Quesa suazone s erfca se paramer, e sono pos componen pass Se < l ermne esponenzale erge per Il crcuo è nsable Quesa conzone s erfca, a esempo, se <, come può accaere se rappresena la ressenza equalene un bpolo che conene generaor penen 4
Esempo - rsposa con ngress cosan per 5 onzon nzal In genere le conzon nzal non sono reamene sponbl, ma eono essere eermnae a parre a nformazon po erso Spesso è noo l comporameno el crcuo prma un sane nzale n corrsponenza el quale s ha una perurbazone oua alla commuazone uno o pù nerruor o a sconnuà elle granezze mpresse e generaor Inerruor 6
Dsconnuà All sane alcune enson o corren nel crcuo possono presenare una sconnuà prma spece coè un salo l loro alore per non è efno In queso caso s efnscono alor rela agl san e f f lm f lm f 7 Da nzal e conzon nzal Spesso, nello suo e crcu namc n conzon ransore è noo l comporameno el crcuo per sono no alor elle enson e elle corren all sane a nzal er eermnare la rsposa per occorrono alor elle funzon ncogne e elle loro erae, per crcu orne superore al prmo all sane conzon nzal All sane le enson e le corren e le loro erae possono essere sconnue alor a n genere non concono con quell a Occorre eermnare la relazone ra a nzal e le conzon nzal 8
onnuà elle arabl sao ropreà connuà Se la correne un conensaore è lmaa, la ensone è una funzone connua el empo Se la ensone un nuore è lmaa, la correne è una funzone connua el empo er un crcuo non egenere s può mosrare che, se le granezze mpresse e generaor sono lmae, anche le enson e le corren u la sono lmae enson o corren non lmae sono ncompabl con le equazon el crcuo Se gl ngress sono lma, le arabl sao un crcuo non egenere sono connue loro alor all sane concono con quell a sono efn alor elle arabl sao per 9 Deermnazone elle conzon nzal alcolo e alor a elle enson e corren Suano l crcuo per s eermnano alor per elle arabl sao All sane, esseno noe le enson e conensaor e le corren egl nuor, s possono sosure conensaor con generaor ensone gl nuor con generaor correne In queso moo s oene un crcuo resso, suano l quale s possono eermnare alor all sane elle alre enson e corren 3
Deermnazone elle conzon nzal - Esempo er < l crcuo rappresenao n fgura è n conzon regme All sane l nerruore passa alla poszone A alla poszone B S oglono eermnare alor negl san e + :,,,,,, 3 3 4.5 F.5 H V G V 3 Deermnazone elle conzon nzal - Esempo Deermnazone e alor all sane Il crcuo è n conzon regme sazonaro S esegue un anals n connua A V VG 3 A VG 3 3 A 3 3 6 A VG 3 6 V 3 3
Deermnazone elle conzon nzal - Esempo Deermnazone e alor all sane 6 V 6 A 3 A 3 3 3 A 3 5 A 3 3 3 3 4 V 3 8 A 33 Anals crcu el orne Meoo reo a rsposa un crcuo el prmo orne a parre a un sane nzale Y y e y y è eermnaa a re nformazon l alore al sane + : Y la cosane empo: la soluzone parcolare: y In mol cas neresse praco es. crcu con ngress cosan o ngress snusoal quese nformazon possono essere rcaae reamene, qun la rsposa può essere oenua senza fare uso elle equazon fferenzal 34
Anals crcu el orne Meoo reo Deermnazone Y Meane un anals per s eermna l alore nzale ella arable sao o Se la rsposa y che s uole eermnare non conce con la arable sao, s calcola Y y analzzano l crcuo resso oenuo sosueno l conensaore con un generaore ensone l nuore con un generaore correne Deermnazone S calcola la ressenza equalene ella pare ressa el crcuo con generaor npenen azzera, qun s pone eq per crcu / eq per crcu 35 Anals crcu el orne Meoo reo 3 Deermnazone ella soluzone parcolare Ingress cosan S esegue un anals n connua el crcuo nella confgurazone per, coè con gl eenual nerruor nella poszone successa alla commuazone che aene all sane nzale Nell anals n connua l conensaore è sosuo a un crcuo apero l nuore è sosuo a un corocrcuo Ingress snusoal S analzza l crcuo nella confgurazone per con l meoo smbolco 36
rcu egener S conserano cas lme n cu nel crcuo elemenare G / nel crcuo elemenare In quese conzon crcu sono egener e la arable sao o conce con l ngresso G o G, qun l crcuo non ha arabl sao npenen orne 37 Grano unaro S consera l caso n cu l ngresso è una funzone el po f per per per er, la funzone f ene alla funzone grano unaro U U per per 38
Impulso Drac a correne nel conensaore e la ensone ell nuore sono f f a eraa ell ngresso è rappresenaa a un mpulso reangolare uraa e ampezza / e qun area unara per f p per per 39 Impulso Drac Inuamene, l lme per p è un mpulso area unara aene uraa nulla e ampezza nfna Il lme è rappresenao all mpulso Drac,, caraerzzao alle seguen propreà sngolare per per area unara Quese propreà non possono essere sosfae a una funzone ornara per una funzone ornara la prma propreà mplca che l negrale su un qualunque nerallo sa nullo non è una funzone ornara ma è una srbuzone o funzone generalzzaa 4
4 Impulso Drac negrale ell mpulso Drac è l grano unaro Qun, formalmene, s può porre mpulso Drac è la eraa generalzzaa el grano unaro non s può parlare semplcemene eraa, perché U non è erable n senso ornaro, esseno sconnua U per per U 4 Impuls correne e ensone In un conensaore a una sconnuà ella ensone corrspone un mpulso correne correne non lmaa In un nuore a una sconnuà ella correne corrspone un mpulso ensone ensone non lmaa G G U U G G U U
43 rcu elemenar el secono orne rcu el secono orne: crcu conenen ue bpol namc a eermnazone ella rsposa rchee la rsoluzone un equazone fferenzale el secono orne rcuo sere rcuo parallelo 44 rcuo sere KI: KV: omponen: G G
45 rcuo sere All equazone s eono assocare le conzon nzal relae al alore all sane ella ensone e ella sua eraa Ques ulma conzone può essere oenua a parre a alor nzal elle arabl sao nfa s ha I V I 46 rcuo parallelo KI: KV: omponen: G G
rcuo parallelo All equazone s eono assocare le conzon nzal relae al alore all sane ella correne e ella sua eraa Ques ulma conzone può essere oenua a parre a alor nzal elle arabl sao V I nfa s ha V 47 rcu el secono orne I crcu el orne sono escr a equazon fferenzal el po y y y Y y Y y f coeffcene smorzameno crcuo sere crcuo parallelo pulsazone naurale crcuo sere e parallelo,,, 48
sposa un crcuo el secono orne Inegrale generale ell equazone fferenzale y y H + y y H negrale generale ell equazone omogenea assocaa y soluzone parcolare ell equazone fferenzale er eermnare y H s rsole l equazone caraersca S snguono re cas caraerzza a alore poso, nullo o negao el scrmnane caso sorasmorzao: caso con smorzameno crco: caso soosmorzao: 49 aso sorasmorzao equazone caraersca ha ue soluzon real sne, Se,, ao che <, rsula, < Il crcuo è asnocamene sable Inegrale generale ell equazone omogenea assocaa: y H ke ke Espressone ella rsposa: y ke ke y p k e k s eermnano mponeno le conzon nzal 5
sposa un crcuo el secono orne aso sorasmorzao Ingresso cosane 5 sposa un crcuo el secono orne aso sorasmorzao Ingresso cosane 5
Smorzameno crco equazone caraersca ha ue soluzon real concen Anche n queso caso se >, le soluzon sono negae Inegrale generale ell equazone omogenea assocaa: y k e k e H Espressone ella rsposa: y ke ke y p k e k s eermnano mponeno le conzon nzal 53 sposa un crcuo el secono orne Smorzameno crco Ingresso cosane 54
sposa un crcuo el secono orne Smorzameno crco Ingresso cosane 55 aso soosmorzao equazone ha ue soluzon complesse conugae, j j Inegrale generale ell equazone omogenea assocaa: y H k e j k e j Affnché y H sa reale occorre che sa * k k S pone A k e j A,, A k A e j 56
aso soosmorzao Ulzzano la formula Eulero s oene j j y k e k e H A e Ae Ae j e e cos j j Espressone ella rsposa: y Ae cos y e A e p j e j j Anche n queso caso s eono eermnare ue cosan real A e mponeno le conzon nzal 57 sposa un crcuo el secono orne aso soosmorzao Ingresso cosane 58
aso senza pere, Queso caso corrspone all assenza componen n grao sspare energa sere sere parallelo parallelo 59 aso senza pere In quese conzon l equazone fferenzale è y y f equazone caraersca ha ue soluzon mmagnare conugae j negrale generale ell equazone omogenea è una funzone snusoale pulsazone yh Acos non s annulla per ma rmane lmaa n queso caso l crcuo è semplcemene sable espressone ella rsposa complea è y Acos y 6
sposa un crcuo el secono orne aso senza pere Ingresso cosane 6 Oscllaore armonco Se l ngresso è nullo, crcu sere e parallelo s rucono al crcuo seguene onserano per esempo l equazone n s oene VM cos V Qun s ha anche VM sen V a ensone e la correne sono snusoal con pulsazone 6
Oscllaore armonco Energa accumulaa nel conensaore w VM cos V Energa accumulaa nell nuore w VM sen VM sen Energa oale wt w w VM VM I M energa oale è cosane e conce con alor massm assun a w e a w w è massma quano w s annulla e ceersa S ha uno scambo connuo energa, senza pere, ra l conensaore e l nuore 63 Oscllaore smorzao S nsersce un ressore ressenza s n sere a e oppure un ressore conuanza G p n parallelo a e A parre alla conzone s oppure G p s aumena l alore s o G p Aumena l alore che ne ue cas è s o G p 64
Oscllaore smorzao Inzalmene l crcuo è soosmorzao a causa ella sspazone nel ressore l energa accumulaa nel crcuo ene a zero per l ampezza elle oscllazon ecresce come e la pulsazone mnusce all aumenare s o G p Aumenano s raggunge la conzone smorzameno crco per s Gp n quese conzon la pulsazone è uguale a zero a parre a queso puno le rspose el crcuo non hanno pù anameno oscllane Aumenano ulerormene l crcuo ene sorasmorzao al crescere una elle soluzon ell equazone caraersca ene a menre l alra ene a zero per la rsposa ene a zero sempre pù lenamene 65 uogo elle soluzon ell equazone caraersca 66