Brevi appunti di Fondamenti di Automatica prof. Dipartimento di Informatica e Automazione Universitá degli Studi ROMA RE ROMA RE UNIVERSIÀ DEGLI SUDI 4 marzo 05 Rev. 0.
INDICE Indice La rasfomata di Laplace.0. Definizione............................................. Una trasformata elementare......................................... rasformate derivate da quella elementare........................... 3. Alcune proprietà............................................. 3.3 rasformata dell impulso......................................... 5.4 rasformate dei polinomi........................................ 5.5 Inversione della rasformata di Laplace................................ 6.5. Un esempio: il carrello...................................... 6.6 Andamento delle antitrasformate nel tempo.............................. 7.6. Parametri dei poli reali..................................... 7.6. Parametri dei poli complessi e coniugati............................ 7.6.3 Grafico complessivo....................................... 8.7 Applicazione delle rasformate di Laplace alle equazioni differenziali................ 8.8 Esempi di funzioni di trasferimento................................... Rev. 0. Appunti di Automatica di 3
Capitolo La rasfomata di Laplace.0. Definizione Si possono operare delle trasformazioni su segnali nel dominio del tempo (o dello spazio) in modo da: mettere in evidenza le caratteristiche periodiche o pseudoperiodiche del segnale (dominio della frequenza); facilitare alcune operazioni matematiche, quali l integrazione o la derivazione, rendendole puramente algebriche La trasformata di Laplace associa a funzioni di variabili reali funzioni di variabili complesse Definiamo come trasformata di Laplace unilatera sinistra il seguente integrale {f(t)} =. con s = σ + jω (dove f(t) = 0 per t < 0). Una trasformata elementare f(t)e st dt. = F (s) se {e pt } = e p t e s t dt = p s Re[s] > Re[p] = σ [e (p s) t] = s p Sostituendo s = jω ottengo: { e p t } = s p { e jωt } = s jω Il termine e s t accentua la convergenza dell integrale, in quanto tende a zero più velocemente di qualsiasi polinomio Ad esempio considerando s= avrà che: e t L s + Bisogna trovare le radici del polinomio (cioè i poli del sistema) per sapere se il segnale cresce o decresce. In questo caso è -, dunque converge; infatti la radice positiva mi fa divergere il segnale, mentre quella negativa lo fa convergere
.. rasformate derivate da quella elementare Gradino,step,funzione di Heaviside: è = 0 {Kδ (t)} = K s δ (t) = { t > 0 0 t < 0 Stiamo supponendo che la funzione sia nulla prima dello zero; ovviamente l ascissa di convergenza del gradino { e jω t e jω t } {sin (ω t)} = = j { e jω t + e jω t } {cos (ω t)} = = Re[s] = la funzione non diverge né converge. Alcune proprietà ω s + ω s s + ω Linearità Coniugazione {c f (t) + c f (t)} = c {f (t)} + c {f (t)} F (s ) = F (s) eorema del valore iniziale (non vale per funzioni che hanno impulsi nell origine) lim f(t) = lim sf (s) t 0 + s eorema del valore finale: solo se l ascissa di convergenza di F (s) è minore o uguale a zero: lim t f(t) = lim sf (s) s 0 Può essere utilizzata ad esempio per sapere dove converge il segnale Moltiplicazione per un eponenziale raslazione nel tempo Dimostrazione: dalla definizione posto τ = t a, ovvero t = τ + a: { e at f(t) } = e (s a)t f(t) dt = F (s a) {δ (t a)f(t a)} = e as F (s) δ (t a)f(t a)e st dt δ (τ)f(τ)e sτ e sa dτ = F (s)e as a Rev. 0. Appunti di Automatica 3 di 3
Convoluzione: se allora g(t) = f (t) f (t) = f (t τ)f (τ)dτ {g(t)} = {f (t)} {f (t)} t Dimostrazione: G(s) = = [ ] [ ] f (t τ)f (τ)dτ e st dt = f (τ) f (t τ)e st dt dτ = f (τ) F (s)e sτ dτ = F (s) f (τ)e sτ dτ = F (s) F (s) Derivazione { d dt f(t) } = sf (s) f( ) Dimostrazione: Notiamo che e quindi, integrando per parti, d dt ( f(t)e s t ) = df(t) e s t f(t)se s t dt { d dt f(t) } = df(t) 0 dt e s t dt = d ( f(t)e s t ) dt+ f(t)se s t dt = 0 dt = [ f(t)e s t] + sf (s) = f( ) + sf (s) Varranno inoltre e Integrazione { } d dt f(t) { } d 3 dt 3 f(t) = s F (s) sf( ) df dt = s 3 F (s) s f( ) s df dt { t } f(t) dτ = 0 s F (s) t= Dimostrazione: Dalla trasformata della convoluzione { t } f(τ)g(t τ)dτ = F (s) G(s) se poniamo g(t) = δ (t) { t } f(τ)δ (t τ)dτ { t } f(τ)dτ = F (s) s = F (s) s t= d f dt Rev. 0. Appunti di Automatica 4 di 3 t=
.3 rasformata dell impulso L impulso matematico di Dirac è il limite di una distribuzione ad area costante unitaria Data l uscita: y(t) = t x(τ)h(t τ)dτ 0 Se poniamo l ingresso pari ad un impulso avremo: In Laplace si ottiene: y(t) = t 0 δ 0 (τ)h(t τ)dτ = h(t) Y (s) = X(s)H(s) Definto con δ 0 (t) l impulso unitario, notiamo che la trasformata di Laplace dell impulso vale: {δ 0 (t)} = t δ 0 (τ)e st = [ e st] t=0 = Quindi Y (s) = H(s) e perciò H(s) è la trasformata di Laplace della risposta impulsiva Il limite dell impulso che porta alla definizione dell impulso non esiste nel senso delle funzioni, ma esiste nel senso delle distribuzioni.4 rasformate dei polinomi Definizione delle funzioni δ k (t) per k =,,... { 0 t < 0 δ k (t) = t k (k )! t 0 Proprietà di derivazione { } t k = { d (k )! s L t k } dt (k)! {δ (t)} = s (gradino) {δ (t)} = s (rampa) In generale oppure Polinomi per esponenziali Dimostrazione: { t (k ) e pt } = (k )! { } t k {δ k (t)} = = (k )! s k { t k } = k! s k+ { t (k ) e pt } = (k )! (s p) k t (k ) e pt (k )! e s t dt = t (k ) (k )! e (s p) t dt Rev. 0. Appunti di Automatica 5 di 3
posto s p = ξ t (k ) (k )! e ξ t dt = ξ k = (s p) k.5 Inversione della rasformata di Laplace.5. Un esempio: il carrello Dato un carrellino con attrito viscoso e forza applicata e dato l ingresso: f e = δ (t) F e = s Equazioni: M = f e (t) Dv M[sV (s) v(0)] = F e (s) DV (s) con V(0)=0 [sm + D] V (s) = F e (s) V (s) = Ms + D F e(s) = s + s Applicando il eorema del valore iniziale si otterrà, considernado M = e D = : V (s) = B s+ + A s = As+A+Bs (s+)s = s s+ lim s s 0 s + s = [ Quindi antitrasformando otterremo: v(t) = s s+ Sapendo che la trasformata della somma è la somma delle trasformate otterremo: [ ] [ ] + = δ (t)e t s s + Così abbiamo quindi risolto l equazione differenziale tramite un equazione algebrica Ma con v(o) = 0.5 dove il primo termine( s+ s V (s) = Ms + D F e(s) + v(0) Ms + D = s + s + 0.5 s + ] ) lo poniamo come A ed è la risposta forzata cioè ingresso + sistema; mentre il secondo termine( 0.5 s+ ) lo poniamo come B ed è la risposta libera cioè solo il sistema Polo della G(s): -; Polo della risposta libera: -; Poli della V (s): -,0. Dopo 5 secondi, la forza torna a 0; possiamo, quindi studiare la risposta all ingresso: δ (t) δ (t 5), oppure considerare l evoluzione libera da t=5. Si ottiene comunque: Se u(t) torna a zero il sistema torna a riposo e quindi è asintoticamente stabile. Rev. 0. Appunti di Automatica 6 di 3
.6 Andamento delle antitrasformate nel tempo.6. Parametri dei poli reali Conviene definire dei parametri pratici per caratterizzare gli andamenti Poli reali: y(t) = Re pt y. (0) = Rp bi s i Y t (s) = (s p)(...) dove R è l ampiezza del modo e τ = p costante di tempo Se il modo è convergente [p < 0] si può considerare estinto per t > 3τ y(3τ) y(0) = 5(inpercentuale).6. Parametri dei poli complessi e coniugati bi s i Y t (s) = (s + a s + a 0 )(...) Dove le radici sono: p = σ + jω e p ; mentre le radici sono: R R Con σ = 0 otterrà un seno ed un coseno Antitrasformata R = R e jϕ, R = R e jϕ ; con p = σ + jω y(t) = R e jϕ e (σ+jω)t + R e jϕ e (σ jω)t = R e σt [e j(ωt+ϕ) + e j(ωt+ϕ) ] = R e ωt cos(ωt + ϕ) erminologia (s p)(s p ) = s ωs + (ω + σ ) = s + ζω n s + ωn Dove ω n è la pulsazione naturale; e ζ è il coefficiente di smorzamento dove se ζ i poli del sistema sono reali poi se è proprio uguale a lo smorzamento è massimo e non ci sono oscillazioni se invece ζ < 0 il sistema diverge Se poi lo smorzamento è proprio pari a zero ho poli sull asse immaginario p, = ζω n ± ζ ωn ωn Posso poi determinare, attraverso la regola del segno se le radici sono solo a parte reale negativa, infatti: se c è una permanenza del segno ho radici negative, altrimenti nel caso in cui c è variazione del segno ho radici positive Rev. 0. Appunti di Automatica 7 di 3
.6.3 Grafico complessivo.7 Applicazione delle rasformate di Laplace alle equazioni differenziali rasformazione di una equazione differenziale lineare di ordine n dt n ] d n y a n dt n +... + a dy dt + a d m u 0y(t) = b m dt m +... + b 0u(t) [ L d n y(t) = s n Y (s) s n y(0) s n y(0)... y (n ) (0) = s n Y (s) n k=0 sn k y ( k)(0) (dove il termine con la sommatoria sono le condizioni iniziali) quindi: a n s n Y (s) +... + a sy (s) + a 0 Y (s) + CI (n ) y Risolvendo per Y (s) avrà : (s) = b m s m U(s) +... + b 0 U(s) + CI (m ) (s) u Y (s) = b ms m +... + b 0 a n s n +... + a 0 U(s) CIy(n ) (s) a n s n +... + a 0 + CI(m ) u (s) a n s n +... + a 0 dove il primo termine lo consideriamo come A il secondo come B e il terzo come C Inoltre notiamo come al denominatore compaiano in tutti gli addendi, questo è il polinomio dell equazione omogenea. Definizione dell evoluzione libera e della risposta forzata U(s) bis i ais i CI y B ais i CI u C ais i A I termini A e C sono nulli se u(t) = 0 quindi B rappresenta l evoluzione libera del sistema; in particolare C è nullo se u(t) = 0 per t 0. Visto che il denominatore di C e di B è lo stesso se converge l evoluzione libera converge anche C Il denominatore di A contiene i poli di B più quelli della trasformata dell ingresso quindi: I modi presenti nell uscita sono quelli propri del sistema più quelli dell ingresso Se i modi del sistema convergono a zero nel lungo periodo rimangono solo quelli dell ingresso e quindi IL SISEMA E SABILE Quindi intuitivamente possiamo dire che un sistema è stabile se basta azzerare l ingresso per riportare il sistema a riposo. Definizione della funzione di trasferimento e di sistema nel senso di Laplace La funzione di trasferimento del sistema descritto dall equazione differenziale è: bi s i G(s) = ai s i Un sistema è descritto quasi completamente (salvo cancellazioni) dalla sua funzione di trasferimento L analisi della G(s) ci permette di determinare facilmente: Rev. 0. Appunti di Automatica 8 di 3
La stabilità asintotica: R e [p i ] < 0 Velocità di convergenza: maggiore se R e [p i ] minore Comportamento oscillatorio p i = p j complessi Valore per t dell uscita (regime): lim s 0 sg(s)u(s) spesso u(t) = δ U(s) = s rasfomata di Laplace della convoluzione e legame tra la trasformata di Fourier e quella di Laplace Data: allora: g(t) = f (t) f (t) = f (t τ)f (τ)dτ {g(t)} = {f (t)} {f (t)} t Dimostrazione: G(s) = = [ ] [ ] f (t τ)f (τ)dτ e st dt = f (τ) f (t τ)e st dt dτ = f (τ) F (s)e sτ dτ = F (s) Il valore di g(t) in t dipende dal passato Serie di Fourier: f(t) = F (t±k ) periodica di periodo f(t) = A0 + [ R= Ak cos πk t + B ksin πk t] A0 = A k = B k = f(t)dt [valore medio] f(t)cos πk tdt; f(t)sin πk tdt f (τ)e sτ dτ = F (s) F (s) Utilizzando i numeri complessi: dove: f(t) = Ω π F (kω) = k= F (kω)e jkωt f(t)e jkωt dt con Ω = π La serie è per i segnali periodici, un segnale qualsiasi può essere visto come periodico con periodo infinito Rev. 0. Appunti di Automatica 9 di 3
Se, Ω 0, kπ ω Allora: F (ω) = Ma proprio i casi più interessanti creano problemi Invece di trasformare f(t) trasformiamo: f(t)e jωt dt F (t) = F (ω)e jωt dω Pongo s = σ + jω δ (t)f(t)e σt e avrà : Quindi: F (σ + jω) = f(t)e σt e jωt dt 0 F (s) = f(t)e st dt 0 LAP LACE Vediamo quindi che esiste una diretta corrispondenza tra la serie di Fourier e la tra trasformata di Laplace. Definizione della risposta impulsiva come antitrasformata della funzione di trasferimento Data: Y (s) = G(s)U(s) Assumiamo U(s) = u(t) = δ(t) Impulso y(t) = g(t) RISPOSA IMPULSIVA Possiamo dire che l impulso ha area unitaria quindi: Ma anche con la convoluzione : y(t) = Inoltre se u(t) = δ (t) U(s) = s Gradino Y (s) = G(s) s t 0 δ 0 (t)dt = u(τ)g(t τ)dτ = y(t) = t 0 t 0 g(τ)dτ = g (t) Questa è la risposta indiciale cioè l integrale della risposta impulsiva δ(t)g(t τ)dτ = g(t) Rev. 0. Appunti di Automatica 0 di 3
Modi propri di un sistema L antitrasformata di: G(s) = bi s i ai s i è composta, o meglio, è combinazione lineare di: Esponenziali: e at, e at sin (ωt + ϕ) Polinomi del tempo: t 0 (che è una costante), t, t, t3 3! Polinomi(t) per esponenziali: te at Eventualmente impulsi nell origine al limite della causalità : δ 0 (t) Questi sono i MODI NAURALI del sistema, dove il loro numero è pari all ordine dell equazione differenziale(le sinusoidi contano ) Le caratteristiche del sistema si riflettono sulla posizione dei poli sul piano s (Re[s], Im[s]), infatti la convergenza dipende dalla loro parte reale che dovrà essere minore di 0. Definizione di stabilità asintotica Si può parlare di stabilità asintotica se R e [p i ] < 0 Nel caso del polo semplice lim t e pit 0; nel caso del polo doppio lim t te pit 0 comunque Ma cosa succede se R e [p i ] = 0? Se semplice, l evoluzione libera contiene una costante quindi il sistema è stabile ma non asintoticamente. Se invece è multiplo, contiene una rampa, una parabola quindi instabile. Per poli immaginari puri, si hanno sinusoidi nel caso di poli semplici o divergenti polinomialmente nel caso di poli multipli. Definizione di regime transitorio e di regime permanente Dato un sistema stabile la risposta forzata può essere composta dal periodo di tempo prima dell estinzione dei modi naturali del sistema dove l uscita si assesta detto REGIME RANSIORIO, mentre il periodo di tempo che lo segue dove rimane solo la parte con i poli dell ingresso è detto REGIME PERMANENE. Risposta al permanente di un sistema asintoticamente stabile.8 Esempi di funzioni di trasferimento Risposte tipiche: impulsiva e indiciale La risposta impulsiva è di scarso interesse pratico perché gli impulsi non esistono fisicamente ma è importante perché consente di vedere tutti e soli i modi del sistema. Infatti le risposte canoniche si ricavano integrando quella impulsiva. La risposta al gradino, detta anche risposta indiciale, si ottiene integrando quella impulsiva; mentre la risposta alla rampa si ottiene integrando quella indiciale. ra l altro è proprio sulla risposta al gradino che si definiscono le specifiche di progetto nel dominio del tempo. Rev. 0. Appunti di Automatica di 3
Sistemi del primo ordine: il carrellino (Fd+C.I.) Date le condizioni per cui il sistema si trova a riposo My.. + Dy. = f(t) y(0) = 0, y. (0) = 0 e considerando D = M = f a = Dx. Y (s) [ Ms + F s ] = F (s) ; f(t) = δ (t) Y (s) = avrà un doppio polo nell origine quindi: s(ms + D) s = s (Ms + D) Ora vado ad effettuare il calcolo dei residui: R () d = lim s 0 ds R () = lim s s 0 s (s+) = R = lim (s + ) s s (s+) = Quindi: e R () s [ ] s (s+)s = lim s 0 (s+) = + R() s + R s + Y (s) = s + s + s + y(t) = δ (t) [ + t + e t] Vediamo quindi che il sistema non è asintoticamente stabile e quindi il transitorio non si annulla!! Sistemi del secondo ordine: massa-molla-smorzatore Date: f(t) = δ (t) e date le stesse condizioni per cui il sistema si trova a riposo: y(0) = 0 e y. (0) = 0 In questo caso invece consideriamo: M =, D =, K = 0 My.. (t) + Dy. (t) + Ky(t) = f(t) Ms Y (s) + DsY (s) + KY (s) = F (s) Risolviamo quindi per Y(s) ottenendo così : Y (s) = Ms + Ds + K F (s) = s + s + 0 s = N D con p = 0, p = 0j, p 3 = p Anche in questo caso calcoliamo i residui: R = lim s 0 s N D = 0 δ (t) R = R 3 = R lim (s + + 0j) N s 0j D = j 00 Rev. 0. Appunti di Automatica di 3
R s++0j + R3 s+ 0j = s+ 0(s +s+0) Ora dobbiamo antitrasformare: s+ 0(s +s+0) I poli sono complessi quindi usiamo: e σt sin (ωt) e σt cos (ωt) ω ω (s+σ) +ω = s +σs+(σ +ω ) s+σ s +σs+(σ +ω ) da cui σ = ω = 0 e possiamo risolvere: A(s + σ) + Bω = (s + ) A =, B = 0. E quindi l antitrasformata sarà: Quindi avrà : ( e t cos 0t e t 0 sin 0t) y(t) = ] [δ (t) (e t cos 0t e t sin 0t) 0 0 dove δ (t) è simile all ingresso ed il termine (e t cos 0t e t 0 Se il sistema è asintoticamente stabile in uscita ci ritroviamo l ingresso Coincidenza di poli sull asse immaginario sin 0t) è il transitorio legato all ingresso. Nel paragrafo 3.6. abbiamo parlato dei parametri dei poli complessi e coniugati e abbiamo introdotto il coefficiente di smorzamento(ζ). Dopo di che ci siamo soffermati cosa succedeva al sistema nel caso che ζ è < 0 oppure ; vedendo poi che nel caso in cui fosse stato proprio pari a 0 siamo in presenza di poli sull asse immaginario. Rev. 0. Appunti di Automatica 3 di 3