SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 1/45 SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO Prof. Alessandro De Luca DIS, Università di Roma La Sapienza deluca@dis.uniroma1.it Lucidi tratti dal libro C. Bonivento, C. Melchiorri, R. Zanasi: Sistemi di Controllo Digitale Capitolo 2: Strumenti Matematici Si ringraziano gli autori

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 2/45 Equazioni alle differenze u k = f(e 0, e 1,...,e k ; u 0, u 1,...,u k 1 ) Se f( ) è lineare e la dipendenza è da un numero finito di valori passati (n m) Esempio di ordine n = 2 (m = 0): u k = a 1 u k 1... a n u k n + b 0 e k +... + b m e k m ponendo (per u k e, analogamente, e k ) u k = a 1 u k 1 a 2 u k 2 + b 0 e k u k = u k u k = u k u k 1 2 u k = u k u k 1 = u k 2u k 1 + u k 2 si ottiene infatti un equazione alle differenze u k = u k u k 1 = u k u k u k 2 = u k 2 u k + 2 u k a 2 2 u k (a 1 + 2a 2 ) u k + (a 2 + a 1 + 1)u k = b 0 e k

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 3/45 Equazioni alle differenze 1 Soluzione di equazioni alle differenze a coefficienti costanti u k = u k 1 + u k 2 k 2 con u 0 = u 1 = 1 35 o 30 25 20 o u(k) 15 o 10 o 5 o o o o o 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (serie di Fibonacci!)

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 4/45 Equazioni alle differenze 2 Soluzione elementare tipo z k (equivalente alla forma e st nel tempo continuo): cz k = cz k 1 + cz k 2 /cz k 2 z 2 z 1 = 0 z 1,2 = (1 ± 5)/2 quindi in generale la soluzione è della forma: u k = c 1 z k 1 + c 2 z k 2 con c 1, c 2 determinate dalle condizioni iniziali per k = 0, 1. Infine si ha u k = 1 + 5 2 5 ( 1 + ) k 5 + 1 + 5 2 2 5 ( 1 ) k 5 2 Andamento divergente il sistema è instabile Se tutte le radici dell equazione caratteristica sono dentro il cerchio unitario la corrispondente equazione alle differenze è asintoticamente stabile, cioè la sua soluzione convergerà a zero al crescere del tempo per ogni condizione iniziale limitata

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 5/45 Z-Trasformata 1 Sia data una sequenza di valori x k R, definita per k = 0, 1, 2,... e nulla per k < 0. La Z-trasformata (unilatera) della sequenza x k è la funzione di variabile complessa z definita come X(z) = Z[x k ] = x 0 + x 1 z 1 + + x k z k + = x k z k Nel caso in cui la sequenza di valori x k sia ottenuta campionando uniformemente con periodo T un segnale continuo descritto dalla funzione x(t), t 0, si avrà x k = x(kt) e X(z) = x(kt)z k L espressione estesa X(z) = x(0) + x(t) z 1 + x(2 T) z 2 + + x(k T) z k + implica la specificazione del parametro periodo di campionamento T, da cui dipendono i valori dei campioni della sequenza, cioè i coefficienti della serie

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 6/45 Z-Trasformata 2 Si scrive X(z) = Z[X(s)], intendendo X(z) = Z [{ L 1 [X(s)] t=kt }] Nelle applicazioni ingegneristiche la funzione X(z) assume in generale una espressione razionale fratta (o in forma poli/zeri) del tipo X(z) = b 0 z m + b 1 z m 1 + + b m z n + a 1 z n 1 = b 0(z z 1 )(z z 2 ) (z z m ) + + a n (z p 1 )(z p 2 ) (z p n ) (m n) che si può esprimere anche in potenze di z 1 (operatore di ritardo) X(z) = zn (b 0 z (n m) + b 1 z (n m+1) + + b m z n ) z n (1 + a 1 z 1 + + a n z n ) = b 0 z (n m) + b 1 z (n m+1) + + b m z n 1 + a 1 z 1 + + a n z n Esempio: X(z) = z(z + 0.5) (z + 1)(z + 2) = 1 + 0.5 z 1 (1 + z 1 )(1 + 2 z 1 ) = 1 + 0.5 z 1 (1 + 3z 1 + 2 z 2 )

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 7/45 Z-Trasformate elementari 1 Impulso discreto unitario. Sia data la funzione (detta anche di Kronecker) δ 0 (t) x(t) = { 1 t = 0 0 t 0 X(z) = Z[x(t)] = x(kt)z k = 1 + 0 z 1 + 0 z 2 + 0 z 3 + = 1 Gradino unitario. Sia data la funzione gradino unitario x(t) = h(t) = { 1 t 0 0 t < 0 ovvero h(kt) = { 1 k = 0, 1, 2,... 0 k < 0 H(z) = Z[h(t)] = = h(kt)z k = 1 1 z 1 = z z 1 z k = 1 + z 1 + z 2 + z 3 + serie geometrica di ragione z 1 convergente per z > 1

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 8/45 Z-Trasformate elementari 2 Rampa unitaria. Sia data la funzione rampa unitaria x(t) = { t t 0 0 t < 0 Poichè x(kt) = kt, k = 0, 1, 2,..., la Z-trasformata è la serie converge per z > 1 X(z) = Z[t] = x(kt)z k = T k z k = T(z 1 + 2 z 2 + 3 z 3 + ) = Tz 1 (1 + 2 z 1 + 3 z 2 + ) = T z 1 (1 z 1 ) 2 = T z (z 1) 2

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 9/45 Z-Trasformate elementari 3 Funzione potenza a k. Sia data la sequenza di campioni x(k) = { a k k = 0, 1, 2,... 0 k < 0 con a costante reale o complessa. Dalla definizione di Z-trasformata si ha che X(z) = Z [ a k] = x(k)z k = a k z k = 1 + a z 1 + a 2 z 2 + a 3 z 3 + = 1 1 a z 1 = z z a la serie converge per z > a (si noti che per a = 1 si ha il gradino unitario)

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 10/45 Z-Trasformate elementari 4 Funzione esponenziale. Sia data la funzione x(t) = { e at t 0 0 t < 0 con a costante reale o complessa. Poichè x(kt) = e akt, k = 0, 1, 2,..., si ha X(z) = Z [ e at] = e akt z k = 1 + e at z 1 + e 2aT z 2 + e 3aT z 3 + = 1 1 e at z 1 = z z e at che converge per z > e Re(a)T (si noti che per a = 0 si ha il gradino unitario)

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 11/45 Z-Trasformate elementari 5 Funzione sinusoidale. Sia data la sinusoide x(t) = { sinωt t 0 0 t < 0 Dalle formule di Eulero è noto che X(z) = Z[sinωt] = 1 2j = 1 2j = sinωt = 1 2j (ejωt e jωt ) ( 1 1 e jωt z 1 1 1 e jωt z 1 (e jωt e jωt )z 1 1 (e jωt + e jωt )z 1 + z 2 (la serie sottintesa è convergente per z > 1) z 1 sinωt 1 2z 1 cosωt + z = z sinωt 2 z 2 2z cosωt + 1 )

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 12/45 Z-Trasformate elementari 6 Funzione cosinusoidale. Sia data la cosinusoide x(t) = { cosωt t 0 0 t < 0 X(z) = Z[cos ωt] = 1 2 ( 1 1 e jωt z + 1 1 1 e jωt z 1 ) = 1 2 2 (e jωt + e jωt )z 1 1 (e jωt + e jωt )z 1 + z 2 = = 1 z 1 cosωt 1 2z 1 cosωt + z 2 z(z cosωt) z 2 2z cosωt + 1 z > 1

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 13/45 Z-Trasformate elementari 7 Funzione cosinusoidale smorzata. Sia data la funzione x(t) = { e at cos ωt t 0 0 t < 0 X(z) = Z [ e at cosωt ] = 1 2 Z[ (e at e jωt + e at e jωt ) ] = 1 2 = 1 2 = ( 1 1 e (a jω)t z + 1 1 1 e (a+jω)t z 1 2 (e jωt + e jωt )e at z 1 1 (e jωt + e jωt )e at z 1 + e 2aT z 2 1 e at z 1 cosωt 1 2e at z 1 cos ωt + e 2aT z 2 ) = z(z e at cosωt) z 2 2e at z cos ωt + e 2aT z > e at

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 14/45 Z-Trasformate elementari 8 Funzione sinusoidale smorzata. Data la funzione x(t) = { e at sinωt t 0 0 t < 0 si ottiene X(z) = Z [ e at sinωt ] = e at z 1 sinωt 1 2e at z 1 cosωt + e 2aT z 2 = e at z sinωt z 2 2e at z cosωt + e 2aT z > e at Le trasformate delle funzioni di maggior interesse sono solitamente riportate in tabelle

Tabella Z-Trasformate 1 (include quella modificata) Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 15/45

Tabella Z-Trasformate 2 (include quella modificata) Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 16/45

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 17/45 Uso delle Z-Trasformate elementari Esempio elementare X(s) = 1 s(s + 1) Prima tecnica: x(t) = L 1 [X(s)] = 1 e t, t 0 X(z) = Z [ 1 e t] = = 1 1 z 1 1 1 e T z 1 (1 e T )z 1 (1 z 1 )(1 e T z 1 ) = (1 e T )z (z 1)(z e T ) Seconda tecnica: X(s) = 1 s(s + 1) = 1 s 1 1 + s X(z) = 1 1 z 1 1 1 e T =... idem z 1

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 18/45 Cautela con la Z-Trasformata La Z-trasformata X(z) e la sua sequenza corrispondente x(k) sono legate da una corrispondenza biunivoca Questo non avviene in genere tra la Z-trasformata X(z) e la sua inversa x(t) Data una X(z) si possono in genere avere x(t) multiple che la generano Infatti, diverse funzioni a tempo continuo possono avere gli stessi valori campionati x(k), ad es. gradino unitario e sinusoide con ω = π/2, campionate con T = 4 s 2 1.8 1.6 1.4 1.2 y0, y1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 t (s) Questa ambiguità non sussiste se sono verificate le condizioni restrittive su T dettate dal Teorema di Shannon

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 19/45 Proprietà e teoremi della Z-Trasformata 1 Linearità x(k) = af(k) + bg(k) X(z) = af(z) + bg(z) Moltiplicazione per a k Sia X(z) la Z-trasformata di x(t), a una costante Z [ a k x(k) ] = X(a 1 z) Z [ a k x(k) ] = a k x(k)z k = = X(a 1 z) x(k)(a 1 z) k

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 20/45 Proprietà e teoremi della Z-Trasformata 2 Teorema della traslazione nel tempo Se x(t) = 0, t < 0 e X(z) = Z[x(t)], si ha per n = 1, 2,..., Z[x(t + nt)] = z n [X(z) Z[x(t nt)] = z n X(z) n 1 x(kt)z k ] (ritardo) (anticipo) Operativamente z 1 x(k) = x(k 1) z 2 x(k) = x(k 2) z x(k) = x(k + 1) e così via

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 21/45 Proprietà e teoremi della Z-Trasformata 3 Dimostrazione nel caso di ritardo Z[x(t nt)] = x(kt nt)z k = z n x((k n)t)z (k n) da cui, ponendo m = k n, Z[x(t nt)] = z n m= n x(mt)z m e poichè x(mt) = 0 per m < 0, allora si può scrivere Z[x(t nt)] = z n m=0 x(mt)z m = z n X(z) q.e.d.

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 22/45 Proprietà e teoremi della Z-Trasformata 4 Dimostrazione nel caso di anticipo Z[x(t + nt)] = x(kt + nt)z k = z n x((k + n)t)z (k+n) [ = z n x((k + n)t)z (k+n) + [ = z n x(kt)z k = z n [X(z) n 1 n 1 x(kt)z k ] n 1 m=0 x(kt)z k ] x(mt)z m q.e.d. n 1 x(kt)z k ]

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 23/45 Proprietà e teoremi della Z-Trasformata 5 Teorema del valore iniziale Se X(z) è la Z-trasformata di x(t) e se esiste il allora il valore iniziale x(0) di x(t) è dato da Infatti, si noti che lim X(z) z x(0) = lim z X(z) X(z) = x(k)z k = x(0) + x(1)z 1 + x(2)z 2 +

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 24/45 Proprietà e teoremi della Z-Trasformata 6 Teorema del valore finale Siano tutti i poli di X(z) interni al cerchio unitario, con al più un polo semplice per z = 1 (nel qual caso, si ponga X(z) = X (z)/(z 1)). Allora [ lim x(k) = lim (1 z 1 )X(z) ] [ ] z 1 = lim X(z) k z 1 z 1 z Infatti x(k)z k e quindi [ x(k)z k lim z 1 x(k 1)z k = X(z) z 1 X(z) ] x(k 1)z k = [x(k) x(k 1)] = [x(0) x( 1)] + [x(1) x(0)] + [x(2) x(1)] + = lim k x(k) { = x( ) = X (1) se presente polo semplice in z = 1 = 0 else

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 25/45 Proprietà e teoremi della Z-Trasformata 7 Esempio: Si consideri la trasformata di un segnale x(t), campionato con T, data dalla X(z) = Tz(z + 1) 2(z 0.5)(z 1) ( X (z) = ) Tz(z + 1) 2(z 0.5) Il valore iniziale della sequenza x(kt) è quindi dato da (usando due volte de L Hospital) mentre il valore finale è dato da x(0) = lim z X(z) = T 2 lim x(kt) = lim (1 Tz(z + 1) k z 1 z 1 ) 2(z 0.5)(z 1) = lim z 1 T(z + 1) 2(z 0.5) = 2T (= X (1))

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 26/45 Proprietà e teoremi della Z-Trasformata 8 Differenziazione (nel dominio complesso) Z[k m x(k)] = Z[k x(k)] = z d d z X(z) ( z d ) m X(z) (la (...) va intesa come operatore) d z Esempio: Essendo la Z-trasformata del gradino unitario Z[h(k)] = 1 1 z 1 ( = z ) z 1 per ottenere la trasformata del segnale rampa unitaria Z[kT h(k)] = Tz d d z x(k) = kt, k = 0, 1, 2,... ( 1 1 z 1 ) = T z 1 (1 z 1 ) 2 ( = T ) z (z 1) 2

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 27/45 Proprietà e teoremi della Z-Trasformata 9 Integrazione (nel dominio complesso) Si consideri la sequenza g(k) = x(k) k dove x(k)/k è finito per k = 0, e sia Z[x(k)] = X(z) La Z-trasformata di x(k)/k è data da [ ] x(k) Z = k z X(ζ) x(k) dζ + lim ζ k 0 k

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 28/45 Proprietà e teoremi della Z-Trasformata 10 Teorema della convoluzione (nel dominio reale, ossia del tempo) Siano date due funzioni x 1 (t), x 2 (t), con x 1 (t) = x 2 (t) = 0, t < 0, e relative Z-trasformate X 1 (z), X 2 (z). Allora [ k ] X 1 (z)x 2 (z) = Z x 1 (ht)x 2 (kt ht) h=0 Per la dimostrazione, si noti che [ k ] k Z x 1 (h)x 2 (k h) = x 1 (h)x 2 (k h)z k = h=0 h=0 x 1 (h)x 2 (k h)z k h=0 in quanto x 2 (k h) = 0, h > k. Definendo m = k h, si ha [ k ] Z x 1 (h)x 2 (k h) = x 1 (h)z h x 2 (m)z m h=0 h=0 m=0 q.e.d.

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 29/45 Proprietà e teoremi della Z-Trasformata 11 Teorema della convoluzione (nel dominio complesso, ossia della trasformata Z) Siano date due successioni x 1 (k), x 2 (k), nulle per k < 0. Siano X 1 (z) e X 2 (z) le trasformate delle due successioni e R 1, R 2 i rispettivi raggi di convergenza. Allora la Z-trasformata del prodotto x 1 (k)x 2 (k) è data da Z[x 1 (k)x 2 (k)] = 1 2πj C ζ 1 X 2 (ζ)x 1 (ζ 1 z)dζ, Teorema di Parseval Nelle stesse ipotesi precedenti, se z = 1 verifica ( ), allora si ha dover 2 < ζ < z /R 1 ( ) [Z[x 1 (k)x 2 (k)]] z =1 = x 1 (k)x 2 (k) = 1 2πj C ζ 1 X 2 (ζ)x 1 (ζ 1 z)dζ Per x 1 (k) = x 2 (k) = x(k), si ottiene x 2 (k) = 1 2πj C ζ 1 X(ζ)X(ζ 1 )dζ = 1 2πj C z 1 X(z)X(z 1 )dz

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 30/45 Proprietà e teoremi della Z-Trasformata 12 Trasformazione di funzioni periodiche Sia data una successione x p (k) periodica di periodo pt e sia x(k) la successione dei campioni del primo periodo e nulla per k > p x(k) = { xp (k) k = 0,...,p 0 k > p Se X(z) è la Z-trasformata di x(k), allora vale X p (z) = Z[x p (k)] = zp z p 1 X(z) = 1 1 z px(z)

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 31/45 Antitrasformata Z Permette di passare da una Z-trasformata X(z) alla corrispondente sequenza x k e possibilmente alla funzione continua x(t) cui corrisponde per campionamento la sequenza x k X(z) x(k) x(t) biunivoca non biunivoca Se è soddisfatto il Teorema di Shannon sul campionamento, la funzione continua x(t) può essere univocamente determinata a partire dalla sequenza x k Diversi metodi per antitrasformare una funzione X(z) 1. Metodo della lunga divisione 2. Metodo computazionale 3. Metodo della scomposizione in fratti semplici 4. Metodo dell integrale di inversione

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 32/45 Antitrasformata Z: Metodo della lunga divisione 1 Poiché la X(z) è espressa come serie di potenze X(z) = x(kt)z k = x(0) + x(t)z 1 + x(2t)z 2 +... si divide il polinomio N(z) a numeratore di X(z) per il polinomio D(Z) a denominatore con la nota regola (di Eulero) da cui si ricava che X(z) = N(z) D(z) = b 0 + b 1 z + + b m z m a 0 + a 1 z + + a n z n = q 0 + q 1 z 1 + q 2 z 2 +... x(0) = q 0, x(t) = q 1, x(2 T) = q 2,...

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 33/45 Antitrasformata Z: Metodo della lunga divisione 2 Esempio: X(z) = 3 (1 z 1 ) 2 (1 0.5 z 1 ) = 6 N(z) 2 5 z 1 + 4 z 2 = z 3 D(z) = q h z h h=0 N(z) = 6 D(z) 6 15z 1 +12z 2 3z 3 3 = q 0 R 0 (z) = +15z 1 12z 2 +3z 3 +15z 1 37.5z 2 +30z 3 7.5z 4 7.5 = q 1 R 1 (z) = +25.5z 2 27z 3 +7.5z 4 +25.5z 2 63.75z 3 +51z 4 12.75z 5 12.75 = q 2 R 2 (z) = +36.75z 3 43.5z 4 +12.75z 5...... trovando i quozienti q i in sequenza e procedendo con la divisione dei resti R i (z), si ottiene X(z) = 3 + 7.5 z 1 + 12.75 z 2 + 18.375 z 3 +... x(0) = 3, x(1) = 7.5, x(2) = 12.75, x(3) = 18.375,...

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 34/45 Antitrasformata Z: Metodo computazionale Valori numerici ottenuti in successione da un programma di calcolo. Esempio: X(z) = 3 0.5z 3 + 2z 2 2.5z 1 + 1 X(z) = 3 0.5z 3 + 2z 2 2.5z 1 + 1 U(z) ( U(z) = 1 impulso discreto unitario) X(z) ( 1 2.5z 1 + 2z 2 0.5z 3) = 3 U(z) x(k) = 2.5 x(k 1) 2 x(k 2) + 0.5 x(k 3) + 3 u(k) Posto u(0) = 1 e u(k) = 0 per k > 0, ed essendo x( 1) = x( 2) = x( 3) = 0, si ha in modo ricorsivo (equazione alle differenze) x(0) = 3 x(1) = 2.5 x(0) = 7.5 x(2) = 2.5 x(1) 2 x(0) = 12.75 x(3) = 2.5 x(2) 2 x(1) + 0.5 x(0) = 18.375...

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 35/45 Antitrasformata Z: Metodo della scomposizione in fratti semplici X(z) = b 0z m + b 1 z m 1 + + b m 1 z + b m (z p 1 )(z p 2 ) (z p n ), m < n (perché se m = n,... ) Caso 1: Se tutti i poli sono semplici, si pone X(z) = c 1 z p 1 + c 2 z p 2 + + c n z p n = n i=1 c i z p i dove i coefficienti c i, detti residui, vengono calcolati come c i = [(z p i )X(z)] z=pi Se inoltre nella espressione di X(z) compare almeno uno zero nell origine, si utilizza la funzione X(z)/z e quindi X(z) = c 1 + + c [ n c i = (z p i ) X(z) ] z z p 1 z p n z z=p i Quando sono presenti poli complessi coniugati, i coefficienti c i sono anch essi complessi e si ricorre alle formule di Eulero per ottenere funzioni trigonometriche. L espressione finale cercata è allora n x(k) = c i p k i i=1

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 36/45 Antitrasformata Z: Metodo della scomposizione in fratti semplici Esempio: Antitrasformare la funzione X(z) = 2z2 1.6z z 2 1.6z + 0.6 = z(2z 1.6) (z 1)(z 0.6) ( o anche = 2 + ) 1.6z 1.2 (z 1)(z 0.6) Si ha che da cui e dalle tabelle X(z) z = c 1 z 1 + c 2 z 0.6 = 1 z 1 + 1 z 0.6 X(z) = z z 1 + z z 0.6 x(k) = 1 + 0.6 k x(0) = 2, x(1) = 1.6, x(2) = 1.36,... Allo stesso risultato si sarebbe ovviamente arrivati dividendo e lavorando con il resto (funzione razionale strettamente propria)

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 37/45 Antitrasformata Z: Metodo della scomposizione in fratti semplici Caso 2: Se X(z), ovvero X(z)/z, ha h poli p i ognuno di molteplicità r i 1, con r j > 1 per almeno un indice j {1,...,h} e h i=1 r i = n allora si può porre X(z) = B(z) A(z) = b 0z m + b 1 z m 1 + + b m 1 z + b m (z p 1 ) r 1 (z p2 ) r 2 (z ph ) r h X(z) = h i=1 r i k=1 dove i residui generalizzati c ik si calcolano come c ik = [ 1 (k 1)! c ik (z p i ) r i k+1 d k 1 ] dz k 1(z p i) r i X(z) z=p i i = 1,...,h; k = 1,...,r i

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 38/45 Antitrasformata Z: Metodo della scomposizione in fratti semplici Esempio di scomposizione: Si consideri la funzione X(z) = 1 z 4 + 6z 3 + 13z 2 + 12z + 4 = 1 (z + 2) 2 (z + 1) 2 Si ha X(z) = c 11 (z + 2) 2 + c 12 z + 2 + c 21 (z + 1) 2 + c 22 z + 1 c 11 = [(z + 2) 2 X(z)] z= 2 = 1 c 12 = [ ] d dz (z + 2)2 X(z) z= 2 = 2 c 21 = [ (z + 1) 2 X(z) ] z= 1 = 1 c 22 = [ ] d dz (z + 1)2 X(z) z= 1 = 2

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 39/45 Antitrasformata Z: Metodo della scomposizione in fratti semplici Esempio: Antitrasformare la funzione X(z) = z 2 1 2.1z 1 + 1.2z 2 0.1z 3 = z z 3 2.1z 2 + 1.2z 0.1 = z (z 0.1)(z 1) 2 Si ha che c 1 = c 21 = quindi e dalle tabelle [ (z 0.1) X(z) z [ ] (z 1) 2 X(z) z ] X(z) z = c 1 z 0.1 + c 21 (z 1) 2 + c 22 z 1 z=0.1 = 1 0.81 = 1.234567 z=1 = 10 9 = 1.111111 c 22 = [ ] d X(z) (z 1)2 dz z z=1 X(z) = 1.234567z z 0.1 + 1.111111z (z 1) 2 1.234567z z 1 x(k) = 1.234567 ( (0.1) k 1 ) + 1.111111 k = 1 0.81

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 40/45 Antitrasformata Z: Metodo dell integrale di convoluzione Inversione basata sull integrale di convoluzione (il metodo formale più generale) x(kt) = 1 2πj C X(z)z k 1 dz, k = 0, 1, 2,... Si può applicare il teorema dei residui (C = curva che racchiude tutti i poli di X(Z)) 1 m X(z)z k 1 dz = k i 2πj Per poli (di X(z)z k 1 ) semplici C i=1 k i = lim z pi [ (z pi )X(z)z k 1] Per poli (di X(z)z k 1 ) aventi molteplicità r i k i = 1 (r i 1)! lim z p i d ri 1 dz r i 1 [ (z pi ) r i X(z)z k 1] È un metodo conveniente se X(z)z k 1 non ha poli nell origine

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 41/45 Antitrasformata Z: Metodo dell integrale di convoluzione Esempio 1 (poli semplici): Calcolare x(kt) da X(z) = z(1 e at ) (z 1)(z e at ) x(kt) = dove i residui sono X(z)z k 1 = (1 e at )z k (z 1)(z e at ) 2 [ residuo di i=1 (1 e at )z k ] (z 1)(z e at ) in z = p i [ (1 e at )z k ] k 1 = lim (z 1) z 1 (z 1)(z e at ) k 2 = lim z e at = 1 = k 1 + k 2 [ (z e at (1 e at )z k ] ) (z 1)(z e at = e akt )

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 42/45 Antitrasformata Z: Metodo dell integrale di convoluzione Esempio 2 (poli multipli): Calcolare x(kt) da X(z) = z 2 (z 1) 2 (z e at ) X(z)z k 1 = z k+1 (z 1) 2 (z e at ) x(kt) = 2 [ residuo di i=1 z k+1 ] (z 1) 2 (z e at ) in z = p i = k 1 + k 2 k 1 = lim z e at k 2 = 1 (2 1)! lim z 1 [ (z e at ) d dz z k+1 ] (z 1) 2 (z e at = e a(k+1)t ) (1 e at ) 2 [(z 1) 2 z k+1 (z 1) 2 (z e at ) ] = k + 1 1 e at 1 (1 e at ) 2

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 43/45 Antitrasformata Z: Metodo dell integrale di convoluzione Esempio 3 (assenza di zeri in z = 0): Antitrasformare la funzione X(z) = 10 (z 1)(z 2) Si noti che ora la funzione X(z)z k 1 = 10z k 1 (z 1)(z 2) per k = 0, ha 3 poli (semplici) in z = 0, z = 1, z = 2 X(z)z k 1 = 10 z(z 1)(z 2) mentre per k > 0, ha solo 2 poli in z = 1, z = 2 Questi due casi vanno quindi considerati separatamente

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 44/45 Antitrasformata Z: Metodo dell integrale di convoluzione Esempio 3 (continua) Caso k = 0. Si ottiene x(0) = dove i residui valgono 3 [ residuo di i=1 ] 10 z(z 1)(z 2) nel polo z = p i [ k 1 = lim z z 0 ] 10 z(z 1)(z 2) = 5 k 2 = [ ] 10 lim (z 1) = 10 z 1 z(z 1)(z 2) k 3 = [ ] 10 lim (z 2) = 5 z 2 z(z 1)(z 2) e quindi x(0) = k 1 + k 2 + k 3 = 5 10 + 5 = 0

Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 45/45 Antitrasformata Z: Metodo dell integrale di convoluzione Esempio 3 (continua) Caso k > 0. Si ottiene ora 2 [ x(k) = residuo di i=1 10z k 1 ] (z 1)(z 2) nel polo z = p i dove i residui valgono [ 10z k 1 ] k 1 = lim (z 1) = 10 z 1 (z 1)(z 2) e quindi [ k 2 = lim (z 2) z 2 10z k 1 (z 1)(z 2) ] = 10(2 k 1 ) x(k) = k 1 + k 2 = 10 + 10(2 k 1 ) = 10(2 k 1 1) In definitiva, si ottiene x(k) = { 0 k = 0 10(2 k 1 1) k = 1, 2, 3,...