ELEMENTI DI DINAMICA DEI FLUIDI

Corso di Fisic tecnic e mbientle.. 011/01 - Docente: Prof. Crlo Isetti ELEMENTI DI DINAMICA DEI FLUIDI 6.1 GENERALITÀ Il moto più semplice cui si f riferimento è in genere il moto stzionrio, che è crtterizzto dll costnz nel tempo delle proprietà del moto: tutte gli elementi di fluido che trnsitno per un punto P hnno in P l stess velocità; in ltri punti l velocità può essere divers. Le triettorie descritte dgli elementi di fluido sono definite linee di corrente. 6. VISCOSALITÀ Nello studio dei fluidi in movimento si prendono in considerzione, oltre lle già note forze normli superfici liquide, tipiche dell sttic dei fluidi, nche forze tngenzili (forze di ttrito) tr elementi o strti di fluido in moto reltivo tr loro. Questi fenomeni di ttrito interno o viscosità, sono dovuti lle forze di coesione intermolecolri l confine di strti fluidi in moto con differenti velocità o nche tr un prete solid lmbit d un fluido in moto. Si consideri un fluido rcchiuso tr due superfici pine molto estese, distnti h l'un dll'ltr, come rppresentto in figur. Si suppong, d esempio, che l superficie inferiore si ferm mentre l superficie superiore si trscint verso destr velocità costnte w o. L'esperienz dimostr che il fluido derisce lle due superfici in modo tle che l velocità di un sottile lmin di fluido, immeditmente dicente lle superfici suddette, può considerrsi null per y = 0 e pri w o per y = h. Si osserv, inoltre, che l velocità w(y) con cui si muovono gli strti intermedi di fluido tr le due superfici è proporzionle ll distnz y dll superficie inferiore, secondo l relzione: w(y) = w o y / h

Corso di Fisic tecnic e mbientle.. 011/01 - Docente: Prof. Crlo Isetti Per mntenere l lstr superiore in moto con w o = cost. e quindi per poter fr scorrere l'un reltivmente ll'ltr due lmine liquide, d esempio quell dicente ll lstr stess, l cui velocità coincide con w o, e quell contigu con velocità (w o - dw), è necessrio pplicre un forz estern F oppost ll forz d'ttrito F tr le due suddette lmine fluide. L' esperienz mostr che l forz d'ttrito F dipende dll superficie dell lstr A, dll'entità del rpporto dw/dy (grdiente di velocità), e d un grndezz crtteristic del fluido dett viscosità dinmic. Risult: - F = F = A dw / dy d cui le dimensioni dell viscosità, nel sistem S.I. sono [N s/m ] ovvero [P s]. 6.3 MOTO DEI FLUIDI NEI CONDOTTI Lo studio del moto dei fluidi ll'interno di condotti può prendere vvio d un'esperienz come quell qui sotto illustrt. Si consideri un tubo trsprente percorso, d esempio, d cqu con velocità medi w. Se per mezzo di un siring introducimo un piccol quntità di inchiostro nell corrente si osserv che, per velocità w bbstnz piccole, dll'go dell siring si diprte un line colort che mntiene l propri individulità nell corrente fluid. In tli condizioni il moto dell corrente fluid si svolge ordintmente o, come si dice comunemente, con filetti fluidi ordinti e non si verific, lmeno su scl mcroscopic, lcun mescolmento di elementi di fluido. Si può dire quindi che, in questi csi, sono trscurbili le componenti dell velocità ortogonli ll direzione del moto; le forze di ttrito viscose sono prevlenti sulle forze di ntur inerzile (legte più o meno brusche vrizioni del vettore velocità di singoli elementi di fluido). Tle condizione di moto è dett regime lminre. All'umentre dell velocità w dell'cqu notimo che l line colort tende d espndersi, mescolndosi più o meno rpidmente con l restnte prte del fluido: si verific cioè un più o meno netto mescolmento vorticoso e disordinto di elementi di fluido. Le componenti dell velocità ortogonli ll direzione dell corrente fluid non risultno quindi più trscurbili; le forze

Corso di Fisic tecnic e mbientle.. 011/01 - Docente: Prof. Crlo Isetti di ntur inerzile prevlgono sulle forze viscose. Quest condizione di moto è dett regime turbolento. L'esperienz insegn che il pssggio dl primo tipo di moto l secondo non dipende solo dll velocità medi w del fluido e dl dimetro del condotto, m nche dll densità del liquido e dll su viscosità. Sperimentlmente si constt (e ciò puo essere giustificto nche medinte considerzioni teoriche) che i comportmenti descritti possono essere clssificti sull bse di un numero dimensionle detto numero di Reynolds (Re). Re w D w D ove = viscosità cinemtic = [m /s]. In prticolre si h: regime di moto lminre per Re < 00; regime di trnsizione per 00 < Re < 3000; regime di moto turbolento per Re > 3000. Nel regime lminre il moto del fluido è controllto dlle forze viscose che, in un condotto circolre d esempio, forzno lmine fluide concentriche muoversi l'un reltivmente ll'ltr, ncor in modo ordinto e regolre. L distribuzione di velocità delle prticelle di fluido lungo un sezione del condotto risult di tipo prbolico, come rppresentto in figur.

Corso di Fisic tecnic e mbientle.. 011/01 - Docente: Prof. Crlo Isetti Nel regime turbolento, ove elementi di fluido si mescolno disordintmente in modo più o meno netto, l distribuzione di velocità non risult più di form prbolic, m fortemente ppittit, come rppresentto in figur. Si può osservre che l condizione di moto in regime turbolento si ritrov poi nell mggiornz dei csi di interesse tecnico. Se il condotto è di form divers d quell circolre (e forme qudrt o rettngolre trovno, d esempio, vst ppliczione), qunto descritto conserv vlidità purchè per un pri velocità medi del fluido w, si definisc il numero di Reynolds medinte un opportuno dimetro equivlente D eq. 6.4 EQUAZIONE DI CONTINUITÀ Si consideri un condotto sezione costnte ove scorr un fluido; possimo idelizzre tle situzione si nel cso di regime lminre che turbolento nel modo rppresentto in figur, e cioè supporre, per semplicità, che l velocità delle prticelle di fluido w si costnte in ogni punto dell sezione stess. Ciò non present lcun difficoltà in qunto potrà sempre considerrsi un velocità medi opportun rppresenttiv del moto. Anzi d'or in vnti si intenderà sempre, per velocità di un fluido in un condotto, un opportun velocità medi. Considerndo l situzione semplifict in figur, il fronte fluido, che ll'istnte = 0 si trov nell posizione 1, dopo un intervllo di tempo d si srà spostto verso destr di un distnz pri ds = w d. Il volume del fluido che h ttrversto l sezione 1 del condotto srà, dunque: dv = A ds = A w d

Corso di Fisic tecnic e mbientle.. 011/01 - Docente: Prof. Crlo Isetti Si definisce portt volumetric ttrverso l sezione 1 il volume di fluido trnsitto nell'unità di tempo: q v dv d A w A w [m 3 /s] d d L portt in mss q m srà dt evidentemente d: q m = q v [kg/s] ove è l densità del fluido nell sezione 1. In un condotto, se non vi sono perdite o infiltrzioni di fluido e se in ogni punto l velocità del fluido è indipendente dl tempo, l mss di fluido che in ogni istnte ttrvers due sezioni è costnte. Qundo si verific quest condizione e cioè l portt in mss di fluido è costnte nel tempo, si dice che il regime è permnente; quest condizione è molto comune nei csi impintistici; in riferimento llor due generiche sezioni 1 e di un condotto, potrà scriversi: q m1 = q m [kg/s] e nche: A 1 w 1 1 = A w Se 1 = (cso di un fluido incomprimibile, d esempio cqu), risult nche: A 1 w 1 = A w Ossi, nche le portte volumetriche sono costnti. Nel cso in cui il condotto si sezione costnte, è evidentemente nche: w 1 w 6.5 EQUAZIONE DI BERNOULLI Un second equzione di grnde importnz per lo studio del moto dei fluidi in condotti, che esprime l conservzione dell'energi durnte il moto di un fluido, può ottenersi sull bse delle seguenti osservzioni. Si consideri un fluido in moto regime permnente lungo un condotto; si suppong che poss verificrsi, tr due sezioni di controllo 1 e, uno scmbio di lvoro con l'esterno trmite l'zione di un opportuno dispositivo meccnico, come rppresentto schemticmente in figur.

Corso di Fisic tecnic e mbientle.. 011/01 - Docente: Prof. Crlo Isetti Si osserv, per inciso, che se questo dispositivo oper in fse reiforme, esso è comunemente detto ventiltore o compressore, mentre, se oper su un fse liquid, è detto pomp o propulsore. In quest'ultimo cso non si utilizz più il termine condotto m tubzione. Si fissi l'ttenzione sull porzione di volume individut dlle preti del condotto e dlle sezioni 1 e, rispettivmente di entrt e di uscit. In bse questo modello, il fluido entr nel condotto con un velocità medi w 1 ttrverso l sezione 1 di re A 1, con bricentro ll quot z 1 ove è opernte l pressione locle P 1. Il fluido fuoriesce, con velocità w, vlle del propulsore, ttrverso l sezione, di re A, quot z con pressione locle P. Si suppong inoltre che il fluido (liquido o reiforme) poss considerrsi incomprimibile, e cioè che = 1 =. In condizioni ideli, ovvero in ssenz di dissipzioni di energi per ttrito "il lvoro compiuto dlle forze esterne genti sul sistem deve corrispondere ll vrizione di energi cinetic e potenzile del sistem" (principio di conservzione dell'energi meccnic). In prticolre si possono individure i seguenti termini, riferiti ll'unità di mss di fluido: lvoro di pulsione compiuto dlle forze esterne di pressione 1 per spingere ttrverso l sezione 1 un mss unitri di fluido: L p1 = P 1 A 1 x 1 / m = P 1 / 1 lvoro di pulsione compiuto dlle forze esterne nell sezione : L p = - P A x = - P / lvoro esterno L e per unità di mss scmbito medinte orgni meccnici di trsmissione [J/kg] e lvoro L sempre per unità di mss dissipto in ttito; Si può scrivere, in bse qunto detto: 1 L e - P / + P 1 / 1 - L = g (z - z 1 ) + w w [J/kg] 1 Nelle condizioni ipotizzte di regime permnente, e con = 1 =, si h: P P1 1 Nell'espressione così scritt, il termine L può essere espresso nell form: L = 1 L e = L + g (z - z 1 ) + w w [J/kg] [J/kg] ove h rppresent un'opportun ltezz [m] dett crico d'ttrito. Anche il termine energetico L e può esprimersi nell form: L e = p [J/kg] ove h p rppresent un'opportun ltezz [m], dett crico motore.

Corso di Fisic tecnic e mbientle.. 011/01 - Docente: Prof. Crlo Isetti Si noti che tli espressioni sono dimensionlmente corrette in qunto il termine () risult crtterizzto dlle dimensioni fisiche di un'energi per unità di mss, che può essere considert come un'energi potenzile specific: m /m = [J/kg]. Sostituendo nell'equzione che esprime l conservzione dell'energi meccnic, si ottiene l seguente relzione (equzione di Bernoulli): p P P w w 1 1 gz z1 [J/kg] Ess risult vlid, con le ssunzioni ftte, per liquidi e reiformi, per i quli si possibile considerre = 1 =. In quest espressione dunque, il termine energetico p [J/kg] rppresent il lvoro meccnico compiuto dl propulsore sull'unità di mss di fluido che lo ttrvers. Se l portt di fluido che ttrvers tle orgno è pri q m [kg/s], l potenz W ssorbit d un propulsore idele risult evidentemente: W = q m g h p [W] E' opportuno questo punto, prim di discutere qulche ppliczione di quest importnte relzione, prendere brevemente in esme il termine di ttrito, in qunto, per pplicre l'equzione di Bernoulli csi prtici, d esempio per progettre impinti ove fluidi si muovono ll'interno di condotti, è necessrio poter vlutre il termine h che rppresent l'entità delle resistenze di ttrito che si oppongono l moto, dette comunemente perdite di crico. L'esperienz mostr che il termine reltivo lle perdite di crico h può essere distinto in un termine h' di perdite di crico distribuite in modo uniforme lungo un condotto ed in h", reltivo perdite di crico concentrte in punti prticolri. Queste ultime sono loclizzte nell'intorno di quei punti dei condotti ove si verific un brusc vrizione di velocità o di direzione dell corrente fluid. Complessivmente può porsi: h = h' + h"

Corso di Fisic tecnic e mbientle.. 011/01 - Docente: Prof. Crlo Isetti 6.6. PERDITE DI CARICO DISTRIBUITE Si consideri un condotto orizzontle rettilineo sezione circolre, percorso d cqu velocità costnte e si suppong di misurre le pressioni P e P 1 in corrispondenz lle sezioni 1 e, come schemtizzto in figur. Sperimentlmente si osserv che P 1 > P. Applicndo l'equzione di Bernoulli questo cso, con w 1 = w, z 1 = z, e p = 0, si ottiene subito: P P 1 e cioè essendo h = h' > 0 è nche P 1 > P. Si h cioè un correlzione tr l cdut di pressione P 1 - P ed il termine di perdit di crico distribuit h'. Sull bse di un grn numero di esperienze è stto possibile vlutre l dipendenz di h' dlle grndezze influenznti il fenomeno. In prticolre può scriversi l seguente espressione: ' w L h g D Il fttore è detto fttore d'ttrito e risult dipendere dl numero di Reynolds e dll più o meno ccentut ruvidità delle preti interne del condotto, che viene usulmente crtterizzt medinte un termine definito scbrezz reltiv. Ess è definit come il rpporto tr l'ltezz medi delle irregolrità e dell superficie intern del condotto e il dimetro D dello stesso. Se il numero di Reynolds crtterizznte il moto del fluido è Re < 00 e cioè nel cso di moto lminre il fttore non dipende dll scbrezz e vle, come si può dimostrre: ' = 64 / Re. Per Re > 3000, il moto è turbolento e, non essendo possibile un'nlisi teoric semplice, è necessrio ricorrere d informzioni di origine sperimentle. Il vlore di può ricvrsi dl digrmm di Moody in funzione del numero Re e del rpporto = e / D dl digrmm di Moody.

Corso di Fisic tecnic e mbientle.. 011/01 - Docente: Prof. Crlo Isetti In molti csi prtici si h che fre sempre con lo stesso fluido (d esempio cqu cld nel cso di impinti di riscldmento o ri per gli impinti di condizionmento) per il qule si individuno crtteristiche fisiche medie signifctive quli densità e viscosità, si possono utilizzre, per l vlutzione delle perdite di crico, digrmmi che riportno direttmente l cdut di pressione per unità di lunezz in funzione dell portt e dell velocità del fluido o del dimetro del condotto.

Corso di Fisic tecnic e mbientle.. 011/01 - Docente: Prof. Crlo Isetti 6.7 PERDITE DI CARICO CONCENTRATE Il termine h", reltivo d un trtto di tubzione ove si presente un resistenz loclizzt, può essere vlutto sull bse dell seguente espressione: " w h i g ove i ssume un vlore diverso in relzione l tipo di resistenz (curv, restringimento di sezione, presenz di vlvole, srcinesche etc). Ovvimente se lungo un trtto di un circuito, sono presenti, come indicto in figur, diverse perdite loclizzte h", il termine h rppresenttivo delle totli perdite di crico distribuite e loclizzte presenti tr le sezione 1 e risulterà pri : ' " w L h h h i g [m] D i 6.8 ESEMPI DI APPLICAZIONE DELL'EQUAZIONE DI BERNOULLI In bse qunto detto sull'equzione di Bernoulli, è possibile esminre il semplice cso del moto di un fluido in un condotto che present un restringimento di sezione. E' interessnte esminre il comportmento dell pressione e dell velocità in corrispondenz delle sezioni 1 e indicte in figur. Innnzitutto pplicndo l'equzione di continuità dell portt (fluido incomprimibile) si h che: A 1 w 1 = A w

Corso di Fisic tecnic e mbientle.. 011/01 - Docente: Prof. Crlo Isetti E, quindi: w / w 1 = A 1 / A ossi, risult che le velocità sono inversmente proporzionli lle sezioni del condotto. Applicndo l'equzione di Bernoulli, ( p = 0 in qunto non vi è lcun propulsore; z = z 1, condotto orizzontle), si h che: P P w 1 dll qule si può dedurre che, essendo l velocità mggiore nell sezione ristrett, i due termini secondo membro dell'equzione sono entrmbi positivi: l conclusione è che l pressione nell sezione risult inferiore quell nell sezione 1. Anche se il condotto fosse sezione costnte (e cioè A 1 = A e w 1 = w ) si vrebbe sempre un diminuzione di pressione tr le due sezioni del condotto dovut lle perdite di crico. w 1 6.9 PREVALENZA DI UN PROPULSORE Si consideri or un propulsore (e cioè un pomp) inserit in un tubzione come rppresentto in figur. Si considerino due sezioni di controllo, un monte (spirzione, sez.1), l'ltr vlle (mndt, sez.) dell pomp, ttrverste d fluido con velocità w 1 = w (quest condizione è evidentemente sempre rispettt se le sezioni 1 e dell tubzione sono identiche). Si può scrivere, essendo in questo cso z 1 = z P P1 p 1, Se non vi fossero fenomeni di ttrito srebbe evidentemente 1, = 0. Ovvimente ciò srebbe possibile solo nel cso di un propulsore idele che richiderebbe un lvoro teorico pt pri : P P pt 1 Nel cso di un propulsore rele, invece, 1, 0, per cui si dovrà scrivere: p pt 1,

Corso di Fisic tecnic e mbientle.. 011/01 - Docente: Prof. Crlo Isetti per cui risult sempre: p > pt In genere si introduce un rendimento del propulsore pri : pt 1 p P P1 per cui si può scrivere: pt p L differenz di pressione P - P 1 = H è dett prevlenz dell pomp: ess rppresent l differenz di pressione tr l mndt e l'spirzione del propulsore (ovvimente durnte il suo funzionmento). Moltiplicndo l diseguglinz p > pt per l portt di fluido q m che ttrvers l pomp, si verific immeditmente che l potenz effettivmente consumt W è mggiore dell potenz teoric W t : W > W t Il rendimento del propulsore rppresent pertnto nche il rpporto tr l potenz teoric e l potenz effettivmente necessri per il funzionmento dell pomp: Wt W Le ziende produttrici forniscono usulmente l'ndmento dell prevlenz H e del rendimento in funzione dell portt q m. Per semplicità si può ssumere pprossimtivmente = cost. pt p 1 6.9.1 Esempio Un pomp prelev un portt d'cqu q m = 1.4 [kg/s] d un pozzo l fine di limentre un serbtoio. L tubzione h dimetro D = 3.5 [cm] ed è lung complessivmente L = 15 [m]. Determinre l potenz dell pomp (rendimento dell pomp = 0.75, viscosità cinemtic dell'cqu (T = 35[ C]) = 7.510-7 [m /s], rugosità intern del tubo e = 0.1 [mm]. In questo sistem scorre un fluido incomprimibile, per cui si può pplicre l legge di Bernoulli, nell form prim descritt, l fine di vlutre l potenz del propulsore:

Corso di Fisic tecnic e mbientle.. 011/01 - Docente: Prof. Crlo Isetti W = W t / = q m g h pt / Innnzitutto occorre scegliere le sezioni di ingresso e di uscit 1,, che possono essere rbitrrie: in genere si preferisce scegliere due sezioni per le quli lcuni dei termini dell relzione sono noti, possono essere eliminti oppure fcilmente determinti. In figur sono indicte le sezioni considerte in questo esempio: esse presentno le seguenti prticolrità. Innnzitutto si osservi che nell sezione 1, in prossimità del pelo libero dell'cqu, l velocità w 1 può essere pprossimtivmente considert null o comunque trscurbile, se confrontt con l velocità w ll'uscit del tubo, in qunto, prità di portt, l're dell sezione 1 risult molto mggiore dell. Inoltre nell sezione 1 l pressione p 1 può essere considert pri ll pressione tmosferic e ltrettnto per l pressione p nell sezione. Scrivendo l equzione di Bernoulli: w w1 p p1 p g( z z1) si osserv che il termine è rppresenttivo di tutte le perdite di crico distribuite e concentrte comprese tr le sezioni 1 e, comprese, quindi, nche quelle del propulsore. Usulmente si preferisce ipotizzre in un prim fse l presenz di un propulsore privo di ttriti interni e, quindi, idele e si preferisce scrivere l'equzione di Bernoulli nell form: w w1 p p1 pt g( z z1) dove il termine rppresent le perdite di crico del circuito, propulsore escluso; con il termine pt si indic il crico motore clcolto in tle situzione. Si può vlutre quindi l potenz corrispondente W t. In un second fse si può vlutre l potenz effettiv W del propulsore, tenendo conto, medinte il rendimento, delle perdite di crico reltive d esso. Dlle considerzioni ftte, inoltre, si può scrivere: w 1 0; p 1 p si ottiene, quindi: w pt g( z z1) L velocità w nell sezione è pri ll velocità del fluido w lungo tutt l tubzione e può essere determint dll conoscenz dell portt del fluido (A = re dell sezione del condotto): q m q m wa w w 1.45 ( m / s) A L differenz di quot è, come riportto in figur, pri (z - z 1 ) =10 [m]. Le perdite di crico totli sono: ' " w L i D

Corso di Fisic tecnic e mbientle.. 011/01 - Docente: Prof. Crlo Isetti Per clcolre occorre determinre prim il numero di Reynolds: wd Re 67666 Essendo l scbrezz reltiv del tubo = e / D = 0.1 / 35 = 0.009, dl digrmm di Moody, come schemtizzto nell seguente figur si ottiene = 0.07. Si suppong di ver determinto i = 34.3, per cui il termine è: ' " w L w (Re) i D 1.45 15 1.45 0.07 34.3 1.1 36 48.6 J / kg 0.035 w 1.45 pt g( z z1) 48.6 9.8110 147.7 J / kg L potenz dell pomp è: P q m pt 147.7 / 1.4 76 ( W).75