Michela Eleuteri ANALISI MATEMATICA. Funzioni di più variabili reali Calcolo integrale per funzioni di più variabili

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1 Michela Eleuteri ANALISI MATEMATICA Funzioni di più variabili reali Calcolo integrale per funzioni di più variabili

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3 A Giulia con la speranza che almeno nella matematica non assomigli al papà

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5 Indice Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali 5. Integrali doppi Integrale di una funzione limitata denita su un rettangolo Funzioni integrabili su domini non rettangolari Proprietà dell'integrale doppio Calcolo degli integrali doppi: metodo di riduzione Calcolo degli integrali doppi: cambiamento di variabili Integrali doppi: esercizi svolti Riduzione per domini semplici e regolari Cambiamenti di coordinate Svolgimento di integrali con considerazioni di simmetria Applicazioni siche Integrali tripli Integrazione per li Integrazione per strati Formula di cambiamento di variabili Integrali tripli: esercizi svolti Integrazione per li e per strati Cambiamenti di coordinate Calcolo di aree e volumi Applicazioni siche (integrali tripli Esercizi senza soluzione

6 INICE 4

7 CAPITOLO Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali.. Integrali doppi... Integrale di una funzione limitata denita su un rettangolo Sia f : [a, b] R una funzione di una variabile continua. l'integrale denito di f su [a, b] come limite delle somme di Cauchy-Riemann b a f(x dx lim n s n lim n n k In Analisi I abbiamo introdotto b a n f(ξ k dove l'intervallo [a, b] è stato diviso in n intervallini della stessa ampiezza b a attraverso una n partizione equispaziata e ξ k è un qualunque punto appartenente al k-esimo intervallino; il limite viene poi fatto all'inttirsi della partizione (per n La denizione di integrale attraverso le somme di Cauchy-Riemann si può dare anche per funzioni limitate. Se tale limite esiste nito, e non dipende dalla partizione e dai punti ξ k scelti, allora si dice che f è integrabile su [a, b]. L'idea di integrale doppio nasce come la naturale estensione di tali concetti. Sia f : [a, b] [c, d] R una funzione limitata denita su un rettangolo. partizione equispaziata dell'intervallo [a, b] in n intervallini di ampiezza b a n tale che x h a + h b a n h,,,... n x a < x < x < < x n b 5 Prendiamo una cioè sia

8 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali e allo stesso modo prendiamo una partizione equispaziata dell'intervallo [c, d] in n intervallini di ampiezza d c n cioè sia y k c + k d c n tale che k,,,... n y c < y < y < < y n d. Queste due partizioni inducono una partizione del rettangolo [a, b] [c, d] in n rettangolini che denomineremo ciascuno di area I hk [x h, x h ] [y k, y k ], I hk (b a(d c n h, k,,..., n Sia p hk (x hk, y hk un generico punto appartenente al generico I hk e consideriamo la somma di Cauchy-Riemann s n n h,k I hk f(p hk. (.. Nella somma precedente ogni addendo è il prodotto dell'area del rettangolo I hk per il valore che la funzione f assume sul punto p hk scelto a caso in I hk quindi rappresenta il volume del parallelepipedo di base I hk e altezza f(p hk. La somma di Cauchy-Riemann rappresenta quindi il volume di una certa regione tridimensionale che all'inttirsi della partizione ci si aspetta approssimi sempre meglio la regione tridimensionale che sta tra il graco di f e il piano xy. enizione... Si dice che la funzione f : [a, b] [c, d] R limitata è integrabile nel rettangolo R [a, b] [c, d] se esiste nito lim n s n con s n data da (.. e inoltre tale limite non dipende dalla scelta dei punti p hk. In tal caso tale limite si dice integrale doppio di f su R e si indica con R f(x, y dx dy lim n n h,k I hk f(p hk. Osservazione... Naturalmente come nel caso unidimensionale le variabili dentro il segno di integrazione sono mute, cioè ad esempio R f(x, y dx dy R f(u, v du dv Come già accennato, dunque, il signicato geometrico dell'integrale doppio è quello di volume della regione tridimensionale compresa tra il graco di f e il piano xy. Il problema ora è, in analogia al caso unidimensionale, cercare di individuare opportune classi di funzioni integrabili e poi trovare metodi per calcolare gli integrali doppi. Infatti è facile vedere che non tutte le funzioni sono integrabili, come mostra il prossimo esempio, che estende il caso unidimensionale. 6

9 . Integrali doppi Esempio... Consideriamo la funzione f : [, ] [, ] R così denita: { x Q f(x, y x R \ Q Se i punti p hk sono scelti con prima coordinata tra i razionali, allora presa una partizione equispaziata del rettangolo R : [, ] [, ] con rettangolini di area n si ha s n n h,k I hk f(p hk n h,k n n n h,k n n mentre se i punti p hk sono scelti con prima coordinata tra i reali non razionali allora s n. Quindi il limite dipende dalla scelta della partizione e perciò la funzione f non è integrabile. Vale invece il seguente teorema. Teorema..4. Se f : [a, b] [c, d] R è continua allora è integrabile. Quindi abbiamo individuato una classe di funzioni integrabili. Poniamoci ora il problema di calcolare in maniera eettiva l'integrale doppio. L'idea è quella di ridurlo a integrali iterati. Infatti, dal signicato geometrico di volume di una regione tridimensionale, sia R [a, b] [c, d]; consideriamo un piano verticale parallelo all'asse delle x che taglierà questa regione tridimensionale in una regione piana (funzione della sola y! di area data, supponiamo A(y. A questo punto allora il volume totale della regione tridimensionale si ricostruirà integrando poi nella variabile y, per y [c, d], cioè, indicando con V il volume di tale regione V d c A(y dy. Come si calcola l'area di A(y? Essa è un'area di una regione bidimensionale e quindi si calcola per mezzo dell'integrale unidimensionale della funzione x f(x, y con y ssato, cioè e dunque riassumendo Si ha dunque il seguente teorema. V A(y d c b a ( b a f(x, y dx. f(x, y dx dy. 7

10 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali Teorema..5. (di riduzione dell'integrale doppio su un rettangolo a integrali iterati Sia f : [a, b] [c, d] R continua, allora il suo integrale doppio su R : [a, b] [c, d] si può calcolare come integrale iterato nel modo seguente [a,b] [c,d] f(x, y dx dy b a ( d c f(x, y dy dx d c ( b a f(x, y dx dy Il signicato del teorema precedente è che di fatto si può ridurre il calcolo di un integrale doppio su un rettangolo a quello di due integrali semplici, di una variabile, in sequenza. Mentre si fa il primo integrale naturalmente la variabile rispetto alla quale non si sta integrando va trattata come una costante. Esempio..6. Si calcoli Poniamo y e xy dx dy [,] [,] I y e xy dx dy. [,] [,] Allora dal teorema di riduzione di un integrale doppio su un rettangolo a integrali iterati, si ha che I ( y e xy dy dx ( y e xy dx dy Mostriamo attraverso questo semplice esempio come scegliere una strada oppure l'altra può non essere equivalente, in termini di semplicità di risoluzione dell'integrale stesso (rimane ovviamente equivalente ai ni del risultato nale. Scegliamo dunque la prima via. Una primitiva di y e xy rispetto a y e tenendo x costante si può trovare integrando per parti, da cui y e xy dy y exy x x exy + C da cui I [ y x exy ] x exy dx ( x ex x ex + dx x Ora, saper calcolare x ex dx è purtroppo tutt'altro che banale. Allora possiamo osservare che (di nuovo per parti nel primo termine e integrando immediatamente i terzo termine ( x ex x ex + dx e x ( x x + e x x x ex dx x + C ex + C x 8

11 . Integrali doppi quindi (si tratta di un integrale generalizzato convergente ( x ex x ex + ( dx lim x ε x ex x ex + [ e x dx lim x ε x lim ε e Adesso calcoliamo l'integrale di partenza attraverso l'altra via. immediata ( I y e xy dx dy [e xy ] dy eε e e. ε ] Si ha in maniera molto più (e y dy [e y y] e e Osservazione..7. (funzioni a variabili separate Quando si integra su un rettangolo una funzione prodotto di due funzioni ciascuna in una sola delle variabili, per esempio f(x g(y allora è facile vedere che l'integrale doppio si calcola come prodotto di due integrali unidimensionali, ossia [a,b] [c,d] f(x g(y dx dy b e analogamente per l'altra integrazione. a ( d c f(x g(y dy dx ( d ( b g(y dy c a f(x dx b a ( d f(x g(y dy dx c ε Esempio..8. Si calcoli [,] [,] y e x dx dy Si ha [,] [,] ( y e x dx dy ( e x dx y dy [e x ] [ y ] (e.... Funzioni integrabili su domini non rettangolari Sia ora f denita non più su un rettangolo ma su Ω insieme qualunque del piano. Ci poniamo il problema di capire come denire l'integrale doppio di f su Ω. Si potrebbe pensare di considerare un rettangolo R Ω e calcolare f dx dy R dove f coincide con f in Ω e vale fuori da Ω. Tuttavia, in generale, senza nessuna ipotesi di continuità su Ω, f non risulterà integrabile, nemmeno se continua e limitata, come mostra il prossimo esempio. 9

12 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali Esempio..9. Sia e si consideri Ω : {(x, y [, ] [, ] : x Q} dx dy. Ω Allora estendendo la funzione integranda (che è costantemente uguale a a zero fuori da Ω otteniamo la stessa funzione del primo esempio del capitolo, che sappiamo già non essere integrabile. Sulla base di questo semplice esempio (si noti che la funzione costante è continua e limitata! ci si convince che occorre individuare condizioni sul dominio Ω che garantiscano l'integrabilità (almeno di una funzione continua e limitata. In questo capitolo analizzeremo alcune classi di insiemi che soddisfano i nostri requisiti: insiemi semplici, regolari e misurabili. Insiemi semplici e regolari enizione... Un insieme E R si dice y-semplice se è del tipo E {(x, y R : x [a, b], g (x y g (x} con g, g : [a, b] R funzioni continue. Geometricamente un insieme y-semplice è tale che se si taglia E con una retta del tipo x c con c [a, b], si ottiene un segmento che varia con continuità al variare della retta. enizione... Un insieme E R si dice x-semplice se è del tipo E {(x, y R : y [c, d], h (y x h (y} con h, h : [c, d] R funzioni continue. Geometricamente un insieme x-semplice è tale che se si taglia E con una retta del tipo y k con k [c, d], si ottiene un segmento che varia con continuità al variare della retta. enizione... Un insieme E R si dice semplice se è y-semplice e x-semplice; si dice regolare se è unione di un numero nito di insiemi semplici. Esempio... I rettangoli e i quadrati sono domini sia x-semplici che y-semplici; i triangoli sono domini semplici (al massimo se nessuno dei lati è parallelo agli assi sono domini regolari. L'insieme E {(x, y R : x, x y }

13 . Integrali doppi è sia x-semplice che y-semplice. L'insieme E {(x, y R : x + y 4, x y} non è un dominio né y-semplice né x-semplice, ma può essere decomposto in domini semplici (dunque è regolare. Osservazione..4. Un insieme semplice per denizione è anche chiuso e limitato, quindi lo stesso vale per un insieme regolare. In particolare una funzione denita su un insieme regolare, dal Teorema di Weierstrass, ha sempre massimo e minimo, dunque è limitata. Vale il seguente importante teorema. Teorema..5. Sia Ω R un dominio regolare e f : Ω R continua. integrabile in Ω. Allora f è Insiemi misurabili Abbiamo visto che il signicato geometrico dell'integrale doppio è quello di rappresentare il volume del sottograco di una supercie cioè il volume della parte di spazio compresa tra il graco di f e il piano xy. 'altra parte il concetto di integrale doppio permette anche di dare senso al concetto di area di una gura piana. enizione..6. (insieme misurabile Un insieme limitato Ω R si dice misurabile (secondo Peano-Jordan se la funzione costante è integrabile in Ω. In tal caso chiameremo misura (o area di Ω (e la denoteremo con Ω il numero Ω dx dy. Per i risultati precedenti, ogni insieme regolare è misurabile (perché la funzione costante è continua; tuttavia come mostrato in precedenza esistono anche insiemi non misurabili. Ω... Proprietà dell'integrale doppio Siano Ω R un insieme limitato e misurabile. Siano f e g integrabili su Ω e sia c R. Allora valgono le seguenti proprietà dell'integrale doppio. linearità dell'integrale [f(x, y + g(x, y] dx dy f(x, y dx dy + g(x, y dx dy Ω Ω Ω

14 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali positività e monotonia Ω f g in Ω f(x, y c c f(x, y dx dy c Ω f in Ω Ω Ω Ω c dx dy c Ω Ω f(x, y dx dy f(x, y dx dy f(x, y dx dy f(x, y dx dy Ω Ω g(x, y dx dy f(x, y dx dy c Ω Valgono altre proprietà di additività e monotonia dell'integrale rispetto al dominio di integrazione; valgono altresì diverse proprietà dell'integrale nel caso specico di funzioni continue...4. Calcolo degli integrali doppi: metodo di riduzione Vale il seguente importante teorema. Teorema..7. (riduzione per domini semplici Sia f : Ω R una funzione continua e sia Ω un dominio x-semplice, cioè Ω {(x, y R : y [c, d], h (y x h (y} con h, h : [c, d] R funzioni continue. Allora l'integrale doppio ( d h (y f(x, y dx dy f(x, y dx dy. Ω c h (y Analogamente se Ω un dominio y-semplice, cioè Ω {(x, y R : x [a, b], g (x y g (x} con g, g : [a, b] R funzioni continue. Allora l'integrale doppio ( b g (x f(x, y dx dy f(x, y dy dx. Ω a g (x Se Ω è sia x-semplice che y-semplice, valgono entrambe le formule.

15 . Integrali doppi Esempio..8. Si calcoli con A { A x dx dy (x, y R : x, y }, x 4 + y Il dominio A è, per esempio, y-semplice. Allora possiamo riscriverlo come { } A (x, y R : x, y x 4 da cui A x dx dy x 4 x dy / x x 4 dx [ ( 8 / ] 4 x dx ( x dx 8 + x 4 / ( x 4 4 Esempio..9. Calcolare l'area dell'insieme E {(x, y R : x y x }, x, y x La gura descritta dall'insieme E è un triangolo delimitato dalle rette x r : y x r : y x r : y x L'insieme non è né x-semplice né y-semplice ma è regolare, quindi può essere decomponibile in domini semplici. Per esempio: decomponiamolo in domini y-semplici. Ad esempio si ha E E E con E { (x, y R : x y x }, 9 4 x 4 e E {(x, y R : x y x }, 4 x Allora E E /4 9/4 dx dy /4 9/4 ( x + x + dx + ( ( x/ ( dy x /4 dx + /4 ( x x dx 4 ( ( x/ dy dx x x /4 9/4 + x /4 9/4 8 x /4

16 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali Supponiamo ora di volerlo decomporre in domini x-semplici. esempio E E E 4 con E { (x, y R : y x y }, 9 4 y 4 In tal caso si può vedere ad e E 4 {(x, y R : y x y }, 4 y allora E E dx dy /4 9/4 ( y/ dx y dy + /4 ( y/ dx dy y che non è altro che l'integrale di prima con le variabili scambiate...5. Calcolo degli integrali doppi: cambiamento di variabili Abbiamo visto nel caso unidimensionale la formula di cambiamento di variabili per gli integrali b f(x dx φ (b a φ (a f(φ(t φ (t dt con x φ(t derivabile e monotona, da φ ([a, b] [a, b]. Il procedimento analogo nel caso di due dimensioni consiste nell'eettuare una trasformazione di coordinate nel piano (più precisamente un dieomorsmo globale, come abbiamo introdotto nel paragrafo relativo. Sia dunque da calcolare f(x, y dx dy e sia T : una trasformazione di coordinate tale che (x, y T(u, v cioè che trasforma le nuove coordinate nelle vecchie, dove { x g(u, v y h(u, v In questo modo f(x, y diventa f(g(u, v, h(u, v. Il problema è: come si trasforma l'integrale doppio? Qual è l'analogo bidimensionale per il termine φ (t? 4

17 . Integrali doppi La risposta è data dal seguente teorema. Teorema... (formula di cambiamento di variabili Sia R un dominio regolare, f : R una funzione continua, e T : una trasformazione di coordinate, più precisamente un dieomorsmo globale tra e, con (x, y T(u, v e { x g(u, v y h(u, v Allora dove f(x, y dx dy f(g(u, v, h(u, v detjt(u, v du dv ( JT(u, v g u g v h u h v indica la matrice Jacobiana della trasformazione. costituiscono un insieme di misura nulla. I punti singolari della trasformazione enizione... Il determinante della matrice Jacobiana della trasformazione T tale che (x, y T(u, v si dice jacobiano della trasformazione e si indica per esempio con la notazione J T. Osservazione... Si può dimostrare che se T è una trasformazione di coordinate tale che (x, y T(u, v e T è la trasformazione inversa, cioè tale che (u, v T (x, y, allora si ha che JT J T cioè le matrici Jacobiane associate a trasformazioni inverse sono l'una l'inversa dell'altra. Questo avrà importanti conseguenze, come mostra l'osservazione..5. Esempio... Si calcoli l'integrale doppio (y + dx dy, ove è la parte dell'ellisse {(x, y R : x + 4 y } contenuta nel secondo quadrante. escriviamo l'ellisse attraverso il seguente cambio di coordinate x ρ cos θ y ρ sin θ 5

18 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali con le seguenti limitazioni per le variabili ρ e θ ρ θ [ π, π ]. Calcoliamo il determinante della matrice Jacobiana della trasformazione. Si ha x x J ρ θ cos θ ρ sin θ y y ρ θ sin θ ρ cos θ da cui det J ρ cos θ + ρ sin θ ρ. Quindi + (y + dx dy ( ( π ρ dρ d θ π/ 8 π d ρ dθ ( π/ ρ 4 ρ sin θ + 8 ρ 4 4 ( θ sin θ cos θ π π/ ( + Esempio..4. (trasformazione più generale Si calcoli x y dx dy dove E è l'insieme delimitato dalle curve E ( π ρ dρ sin θ dθ π/ ρ π θ π 8 + π π. π/ y x y x y x y x L'insieme E può essere convenientemente descritto nel seguente modo E {(x, y R : < xy <, < x y < } È dunque naturale pensare di operare il seguente cambiamento di coordinate per ridurre l'insieme E (che non è semplice anche se a fatica può essere descritto come unione di insiemi semplici ad un rettangolo { xy u x y v da cui si deduce x v u y u v 6

19 . Integrali doppi A questo punto la matrice Jacobiana della trasformazione diventa v u u quindi JT(u, v u v detjt v u v e quindi il modulo del determinante della matrice Jacobiana è detjt v (essendo v visto che siamo in E e dunque si ha < v <. Concludendo dunque E x y dx dy u du v dv u log v log Osservazione..5. all'osservazione.. e dal Teorema di Binet, possiamo concludere che J T detjt detjt. J T I calcoli possono essere quindi semplicati, come mostra il prossimo esercizio. Esempio..6. Calcolare l'area della regione piana compresa nel primo quadrante e limitata dalle curve xy 4, xy 8, xy 5, xy 5. Per disegnare il dominio si consiglia di confrontare preventivamente i graci di y x e y x ; per calcolare l'ìntegrale doppio si consiglia di eseguire un cambiamento di variabili. Il cambiamento di variabili { u xy v xy trasforma il dominio dato nel rettangolo R {(u, v : 4 u 8, 5 v 5}. La trasformazione che ci serve per la sostituzione delle variabili nell'integrale doppio è l'inversa di questa (e ci permetterà di esprimere x e y in funzione di u e v, ma dall'osservazione..5 possiamo semplicemente calcolare u det x v x u y v det y x xy v y xy y 7

20 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali da cui J T v. i conseguenza l'integrale cercato risulta dx dy J T du dv R du 5 dv v log. Esempio..7. (coordinate polari per domini generali Calcolare il volume del cilindroide a generatrici verticali determinato dalla funzione f(x, y x x + y avente per base il trapezio compreso tra le rette x, x, y, y x. Eseguire l'integrazione una prima volta in coordinate cartesiane e poi in coordinate polari, confrontando il risultato. La funzione integranda è sempre positiva o nulla; il trapezio di base può essere espresso nel seguente modo: dunque il volume richiesto vale V π 4 T {(x, y : x, y x} x x x dy dx x + y [ ( y x x arctan dy dx x] [ x ] 8 π. + ( y dy dx x x arctan dx Alternativamente, usando le coordinate polari, si ha { T (ρ, θ : θ π 4, cos θ ρ } cos θ dove, per trovare le limitazioni su ρ è suciente sostituire le espressioni delle coordinate polari nelle rette x e x. A questo punto il volume richiesto diventa V π/4 cos θ cos θ ρ ρ cos θ ρ dρ dθ π/4 cos θ ( 4 cos θ π/4 dθ cos θ dθ 8 π. Esempio..8. Calcolare il volume del solido delimitato dal graco di f(x, y x, dal piano z e dalle condizioni x, y, x 4 + y. 8

21 . Integrali doppi: esercizi svolti La richiesta coincide con il calcolo dell'integrale doppio x dx dy, dove A { A (x, y R : x, y }, x 4 + y. A questo punto si può procedere come nell'esempio..8; oppure alternativamente, possiamo risolvere l'esercizio usando le coordinate polari. seguente cambio di coordinate x ρ cos θ y ρ sin θ. Allora il dominio A si trasforma nel seguente dominio { T (ρ, θ : π θ π }, sin θ ρ ata la simmetria del problema usiamo il dove la limitazione su ρ si è ottenuta sostituendo y ρ sin θ. A questo punto allora, ricordando che il modulo del determinante della matrice Jacobiana della trasformazione è ρ si ottiene che l'integrale di partenza coincide con il seguente integrale doppio π/ π/ π/ π/ π/ sin θ [ 8 cos θ 4ρ cos θ(ρ dρ dθ ρ ] sin θ [ ] 8 cos θ π/ 8 sin dθ θ 8 [sin θ]π/ π/ [ ] sin π/ θ π/ ( 8 [ + 4 ] 8. dθ.. Integrali doppi: esercizi svolti... Riduzione per domini semplici e regolari Esercizio... 9

22 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali Calcolate l'integrale di xy + x y sul rettangolo [, ] [, ]. soluzione. Il dominio è sia x semplice che y semplice. Si ha dunque I ( (x y + x y dy dx [ ] x + x Esercizio... [ x y ] y + x dx (x + x dx Si calcoli l'integrale della funzione f(x, y x y esteso al triangolo di vertici (,, (, π, (π,. Sia T il triangolo dato dal problema. Il dominio T è sia x semplice che y semplice. Ad esempio può essere descritto nel modo seguente allora x y dx dy T π π Esercizio... π T : {(x, y R : x π y π x} dx π x x dx π dy x y π π5 6 π5 4 + π5 π5 6. π [ y x x dx + π ] π x π x 4 dx π x (π x dx [ x ] π [ x 4 π 4 ] π + [ x 5 5 ] π Calcolare dove f(x, y x + y e E f(x, ydxdy, E { (x, y R : x + y 4, y } { (x, y R : x + y 4, xy }.

23 . Integrali doppi: esercizi svolti Osserviamo che E non è semplice, però è regolare. Infatti, detti E { (x, y R : x + y 4, x, y } E { (x, y R : x + y 4, y, x } E { (x, y R : x + y 4, x, y }, allora possiamo scrivere E E E E, e poiché questi tre insiemi sono x-semplici, abbiamo che E è regolare. Inoltre, E, E e E si intersecano vicendevolmente solo sul bordo (quindi E i E j ha area nulla. Perciò, grazie a una proprietà dell'integrale doppio, f(x, ydxdy E f(x, ydxdy + E f(x, ydxdy + E f(x, ydxdy. E Notiamo subito che, per simmetria, f(x, ydxdy f(x, ydxdy : E E infatti, E ed E sono simmetrici rispetto all'origine, mentre f è dispari; ovvero: (x, y E ( x, y E f(x, y f( x, y. Ne consegue che i due integrali sono opposti. Perciò è suciente calcolare E f(x, ydxdy E f(x, ydxdy. Per calcolare l'integrale su E scomponiamo ulteriormente questo dominio in E E E, dove E {(x, y R : x, y } 4 x E {(x, y R : x, x y 4 x }. A loro volta questi due insiemi sono semplici e si intersecano solo sul bordo; quindi E f(x, ydxdy f(x, ydxdy + E E f(x, ydxdy.

24 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali Ora, E f(x, ydxdy 4 x (x + ydydx 4 x (xy + y dx (x 4 x + 4 x ( (4 x / + x x 6 5 6, dx mentre E f(x, ydxdy 4 x x (x + ydydx 4 x (xy + y dx x ( (4 x / + ( x / + x 5 6. (x 4 x x x + 4 x + x dx Quindi f(x, ydxdy f(x, ydxdy E E E f(x, ydxdy + E f(x, ydxdy. N.B.: alternativamente si poteva pensare di descrivere E attraverso le coordinate polari. Si avrebbe E { (ρ, θ : ρ, π } θ π.

25 . Integrali doppi: esercizi svolti unque (molto più brevemente! si avrebbe f(x, y dx dy E π π/ [ ρ ρ (cos θ + sin θ dρ dθ π ρ dρ ] π/ (cos θ + sin θ dθ [(sin θ cos θ] π π/. Esercizio..4. Si calcoli l'integrale della funzione f(x, y x y e x+y y esteso al triangolo di vertici (,, (, π (π,. Il triangolo dato dal problema (che d'ora in poi chiameremo T può essere visto come dominio x semplice o y semplice. Si ha T (x y e x+y y dx dy I + II. Si ha π x+π π I dx x y dy x dx π π x ( π x dx π (π x π x x5 dx π x y dy π x dx y x [ π π x + 4 x ] dx π x4 4 π π π 8 6 π4 π π5 + [ π6 π ] x 5 5 π π6. x 6 6 π π x

26 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali 'altra parte II π π T π + [e x ] π e x+y y dx dy e x [(y e y ] π x π x π e x e y y dy dx e {[y x e y ] π {[ e x π ] } x e π x + (e (π x+π x x + e x dx (π π e π+ x x dx π π e π+ x dx π x e x dx (π e π e x π + eπ [(x e x ] [e y ] π π x (π e π (e π + e π [( π e π + ] e π + e π + π e π +. I conti risultato più semplici se vediamo II come integrale su un dominio x semplice. Si ha infatti π (π y π e x+y y dx dy e x e y y dx dy e π e y y dy + [(y e y ] T e π [ (y + e y ] π + (π e π + e π [(π + e π ] + (π e π + e π + π e π +. π } Quindi riassumendo Esercizio..5. T (x y e x+y y dx dy 5 π6 e π + π e π +. Calcolare il seguente integrale doppio [,] [, π ] y sin(xy dx dy Si ha π/ [,] [, π ] y sin(xy dx dy π/ ( y sin(xy dx dy ( cos y + dy [ sin y + y] π/ + π. π/ [ cos(xy] dy 4

27 . Integrali doppi: esercizi svolti Esercizio..6. Calcolare il seguente integrale doppio con T (x + sin y dx dy T {(x, y : < x < ; < y < x}. Il triangolo T è un dominio sia x semplice che y semplice. y semplice si ottiene (x + sin y dx dy T ( x + sin y dy dx + ( x [ x [ cos( x + ] dx Esercizio..7. (x + sin y dy dx x( x dx + x ] Interpretandolo come dominio x dx x [ cos y] x dx dy (x x dx + [sin( x] + sin sin Calcolare il seguente integrale doppio [,] [,] xy dx dy x + y In questo caso la funzione non è continua no al bordo del quadrato - nell'origine è discontinua - tuttavia è limitata (perché? e integrabile. Si ha [,] [,] xy dx dy x + y ( x y [ x + y dy dx x log(x + y x log ( + x dx [ x log x ( log(x + log x dx x ( x + dx x 4 log + log log. Esercizio..8. ] dx ( + x ] x x + dx 4 log + 4 [log(x + ] 5

28 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali Calcolare il seguente integrale doppio [,] [,] x y dx dy Vale la stessa osservazione dell'esercizio precedente. iterando nei due ordini diversi. Si provi qui a calcolare l'integrale Integrando prima nella variabile x e poi nella variabile y si ottiene x y dx dy [,] [,] Scambiando l'ordine di integrazione si deduce invece [ ] x y+ dy log. y + x y dx dy [,] [,] [ x y log x ] dx x log x dx che non si riesce ad esprimere in termini di funzioni elementari. Esercizio..9. Calcolare il seguente integrale doppio [,] [,π] x sin y dx dy Si ha [,] [,π] x sin y dx dy Esercizio... π x sin y dy dx x dx[ cos y] π x dx [x ]. Calcolare il seguente integrale doppio {(x,y:<x<, <y<x} x sin y dx dy 6

29 . Integrali doppi: esercizi svolti Si ha {(x,y:<x<, <y<x} x x sin y dx dy x cos x dx {[x sin x] x[ cos y] x dx } sin x dx sin [ cos x] sin + cos + + cos sin. x( cos x dx Esercizio... Calcolare il seguente integrale doppio come integrale iterato opportuno oppure mediante opportune considerazioni di simmetria y dx dy dove Q è il quadrilatero di vertici (,, (,, (,, (,. Q Il quadrilatero Q è composto dal triangolo limitato dalle rette y x +, y x +, y e dal triangolo limitato dalle rette y, x, y x +. Quindi l'integrale dato si scompone nella somma dell'integrale di y su e di quello su. Possiamo vedere come dominio x semplice e come dominio y semplice, cioè : {(x, y : y, y x y} : {(x, y : x, } x y dunque y dx dy y y y dx (4y y dy [y ] [y ] 4. 'altra parte y dx dy x y dy dx ( x x x 4 dx [ ] x x. Alternativamente, volendo descrivere come dominio x semplice : {(x, y : y, y x } e y dx dy y dy y dx y dy. 7

30 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali Esercizio... Calcolare dove xe y dx dy R R {(x, y : x ; y x }. Si ha xe y dx dy R ( x x e y dy dx x e x dx [x e x xe x + e x ] (e. x [ ye ] y x dx dove abbiamo usato il fatto che x e x dx x e x xe x + e x + C. Esercizio... Sia z f(x, y una funzione continua positiva denita per ogni (x, y R e sia un dominio tale che f(x, y dx dy x 4 dx f(x, y dy + x isegnare il dominio nel piano cartesiano R ed esprimere f(x, y dx dy scambiando l'ordine di integrazione. ( x dx f(x, y dy. x 4 In gura si osservi il dominio, che può essere visto come unione di due domini y semplici: : {(x, y : x, x y x 4 } : {(x, y : x, x 4 y ( x } 8

31 . Integrali doppi: esercizi svolti oppure come unione di domini x semplici: E : {(x, y : y, x y + 4} { E : (x, y : y, y x } y + 4 E : {(x, y : y, 4 y x y}. 4 5 Quindi scambiando l'ordine di integrazione si ottiene f(x, y dx dy + dy dy y+4 y 4 y f(x, y dx + f(x, y dx. dy y+4 y/ f(x, y dx Esercizio..4. Calcolare dove I x y dx dy {(x, y : x ; x y }. Si ha dove I (y x dx dy + (x y dx dy {(x, y : x, x y }; {(x, y : x, x y x}. 9

32 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali unque I (y x dx dy + (x y dx dy Esercizio..5. x (y x dx dy + (x y dx dy x x [ ] y ] x xy dx + [xy y dx x x ( x x + x dx + ( x + x x + x4 (x x x + x4 dx dx Sia z f(x, y una supercie denita per ogni (x, y R e positiva. T è un dominio per cui risulta T f(x, y dx dy x dx f(x, y dy + x /4 x dx f(x, y dy. /4 /(x Scrivere f(x, y dx dy con un diverso ordine delle variabili di integrazione. Si ha T f(x, y dx dy y dy f(x, y dx + dy y /4 /( 4y 4y f(x, y dx.... Cambiamenti di coordinate Esercizio..6. Si calcoli l'integrale doppio (x + dx dy, ove è la parte dell'ellisse {(x, y R : x + 4 y } contenuta nel primo quadrante. escriviamo l'ellisse attraverso il seguente cambio di coordinate x ρ cos θ y ρ sin θ

33 . Integrali doppi: esercizi svolti con le seguenti limitazioni per le variabili ρ e θ ρ θ [, π ]. Calcoliamo il determinante della matrice Jacobiana della trasformazione. Si ha x x J ρ θ cos θ ρ sin θ y y ρ θ sin θ ρ cos θ da cui det J ρ cos θ + ρ sin θ ρ. Quindi + (x + dx dy ( d ρ π/ ( π/ ρ dρ d θ ρ 4 4 dθ ρ (ρ cos θ + ( θ + sin θ cos θ ( π/ ( π/ ρ dρ cos θ dθ + ρ θ π/ π + π 8 5 π. Come appendice ricordiamo due modi di calcolare la primitiva di cos θ. primo modo. cos θ dθ cos θ cos θ dθ cos θ sin θ + sin θ dθ cos θ sin θ + ( cos θ dθ da cui cos θ dθ θ + cos θ sin θ. secondo modo. + cos(θ cos θ dθ dθ θ + cos(θ dθ θ + 4 sin(θ θ + sin θ cos θ. Esercizio..7. Calcolare ove ( x y x dxdy, A A {(x, y R : x + y 4, y x, x }.

34 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali Parametrizziamo l'insieme A per mezzo delle coordinate polari. Si ha A {(ρ, θ [, + [, π : ρ [ θ π/4 7/4 π θ π]} ma data la periodicità delle funzioni sin θ e cos θ possiamo senz'altro scrivere che A {(ρ, θ : ρ π/4 θ π/4}. Il determinante della matrice Jacobiana della trasformazione vale ρ. unque si ha (ricordando che in A si ha x dunque x x π/4 ( x y x dx dy dθ A ( ρ5 5 π/4 ( π/4 ρ 4 dρ cos θ sin θ dθ π/4 sin θ π/4 π/4 ρ sin θ π/4 π/4 dρ ρ ρ cos θ sin θ π/4 π/4 ( ( π/4 ρ dρ cos θdθ π/4 [ 5 ] ( 5 ρ cos θ dρ dθ ρ [ 8 ] Esercizio..8. ati gli insiemi A, B, C R, deniti da A {(x, y R : x + (y 9, x }, B {(x, y R : x + (y 4, y }, C A B, calcolare C x dx dy. L'insieme A è la parte di cerchio di centro (, e raggio contenuto nel primo quadrante; l'insieme B è la parte esterna al cerchio di centro (, e raggio contenuta nel semipiano y ; l'insieme C dunque è un quarto di corona circolare. La cosa migliore è passare a coordinate polari. Si ha C {(ρ, θ [, + [, π : ρ θ [/ π, π]}.

35 . Integrali doppi: esercizi svolti Figura.: Esercizio.: Insieme A. Il determinante della matrice Jacobiana della trasformazione vale ρ. unque si ha C x dx dy ρ sin θ π π /π / π 9. ρ ρ cos θ dρ dθ ρ dρ π / π cos θ dθ Esercizio..9.

36 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali Calcolare il seguente integrale doppio (x + 8y + x + 6y dx dy, C dove C {(x, y R : x + 8y }. Parametrizziamo l'ellisse attraverso il seguente cambio di variabili: x ρ cos θ θ [, π] ρ. y ρ sin θ Si verica facilmente che il determinante della matrice Jacobiana della trasformazione di coordinate vale 4 ρ. Quindi π 4 4 ρ4 4 (x + 8y + x + 6y dx dy C π ( ρ cos θ + ρ sin θ + ρ cos θ + 6 ρ ρ sin θ 4 ] ρ dρ dθ + 4 ( ( π ρ dρ dθ Esercizio... π + 4 ρ π + 4 [sin θ cos θ] ρ [ cos θ + sin θ ( π dθ dρ dρ dθ ( π ρ dρ (cos θ + sin θ dθ π [] π 8. Calcolare A ( x y x dxdy, ove A {(x, y R : x + y 9, y x, x }. Parametrizziamo l'insieme A per mezzo delle coordinate polari. Si ha A {(ρ, θ [, + [, π : ρ [ θ π/4 7/4 π θ π]} ma data la periodicità delle funzioni sin θ e cos θ possiamo senz'altro scrivere che A {(ρ, θ : ρ π/4 θ π/4}. 4

37 . Integrali doppi: esercizi svolti Il determinante della matrice Jacobiana della trasformazione vale ρ. unque si ha A ( ρ5 5 ( x y x dx dy π/4 π/4 ( π/4 ρ 4 dρ cos θ sin θ dθ π/4 sin θ π/4 π/4 ρ Esercizio... sin θ π/4 π/4 dθ dρ ρ ρ cos θ sin θ π/4 π/4 ( ( π/4 ρ dρ cos θ dθ π/4 [ 4 5 ] ( 5 ρ cos θ dρ dθ ρ [ 9 ] Calcolare il seguente integrale A (xy + x dx dy, dove A { (x, y R : x + y 4, y x, x }. Parametrizziamo l'insieme A per mezzo delle coordinate polari. Si ha A {(ρ, θ [, + [, π : ρ [ θ π/4 7/4 π θ π]} ma data la periodicità delle funzioni sin θ e cos θ possiamo senz'altro scrivere che A {(ρ, θ : ρ π/4 θ π/4}. Il determinante della matrice Jacobiana della trasformazione vale ρ. unque si ha A ( ρ5 5 (xy + x dx dy π/4 π/4 dθ ( π/4 ρ 4 dρ cos θ sin θ dθ π/4 sin θ π/4 π/4 Esercizio... + ρ sin θ π/4 π/4 dρ ρ ρ cos θ sin θ + π/4 π/4 ( ( π/4 + ρ dρ cos θdθ π/4 [ 5 ] ( + 5 ρ cos θ dρ dθ ρ [ 8 ] 4. 5

38 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali Si calcoli il seguente integrale doppio y x + y x + y dx dy dove è il dominio denito dalle condizioni x, y, r x + y R. Passando a coordinate polari si ha y x + y dx dy x + y π/ R r ( π/ ρ sin θρ ρ dρdθ ρ ( R sin θ dθ r ρ dρ R r π. Esercizio... Sia il dominio denito come { (x, y R : x, Calcolare x } y x, 4x + y 4. x y dx dy. Usiamo il seguente cambiamento di coordinate: x ρ cos θ y ρ sin θ dove ρ perché stiamo descrivendo parametricamente l'ellisse di semiassi e ; per determinare la variabilità di θ si osserva che sulla retta y x/ si ha, sostituendo le nuove coordinate tan θ e dunque θ arctan(/4 mentre sulla retta y x si ha θ arctan 4 π/4. Si osservi poi che arctan(/4 arcsin(/ 7 arccos(4/ 7. unque π/4 x y dx dy ρρ cos θρ sin θ dρdθ 4 5 arctan(/4 ] π/4 [ cos θ arccos(4/ 7 [ ( + [ ] 4 5 ρ5 ( 4 7 ] Si verichi che lo stesso risultato si ottiene passando in coordinate cartesiane. 5. 6

39 . Integrali doppi: esercizi svolti Esercizio..4. Calcolare I xy dx dy x + y dove è il dominio (interno all'arco di spirale espresso in coordinate polari da {ρ < θ, < θ < π }. Si noti che in questo caso il dominio espresso in coordinate polari non è un rettangolo; di conseguenza l'integrale doppio in polari diventa un eettivo integrale iterato e non semplicemente il prodotto di due integrali. Passando in coordinate polari si ottiene (integrando due volte per parti Esercizio..5. I 4 4 π π π θ dθ ρ ρ cos θ sin θ dρ ρ ( θ cos θ sin θ θ sin(θdθ [ θ cos(θ 9 π + 4 ] π ρdρ dθ + 4 [ θ sin(θ π ] π 8 θ cos(θdθ π 9 π + 6 [cos(θ] π 9 π 8. sin(θdθ Calcolare I xy dx dy x + y dove è la regione descritta in coordinate polari da {(ρ, θ : π < θ < π, ρ < θ}.} 7

40 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali Passando in coordinate polari si ottiene (integrando per parti volte Esercizio..6. I π θ π π π π ρ ρ cos θ sin θ dρdθ ρ ( θ ρ dρ cos θ sin θ dθ (θ sin(θ dθ 6 π [ θ cos(θ ] π + π 4 7 π + 4 π π π π θ sin(θ dθ [θ cos(θ] dθ 7 π + (θ cos(θπ π π π. Calcolare il seguente integrale doppio usando le coordinate polari xy dx dy x +y < Usando le coordinate polari { x ρ cos θ y ρ sin θ con le limitazioni ρ, θ π, l'integrale richiesto si trasforma in π xy dx dy ρ ρ 4 cos θ sin θdθdρ x +y < ( ( π ρ 5 dρ sin θ cos θ dθ Esercizio..7. [ ρ 6 6 ] [ sin 4 θ 4 ] π. Sia il quarto di corona circolare con centro nell'origine, raggi e e angolo variabile tra π 4 e 4 π. Calcolare: x y dx dy. 8

41 . Integrali doppi: esercizi svolti Si ha x y dx dy (/4π π/4 [ cos θ ( (/4π ( ρ ρ cos θρ sin θdρdθ cos θ sin θdθ ] (/4π π/ π/4 ρ 4 dρ Alternativamente si può osservare che la funzione data è dispari nella y e il dominio è simmetrico rispetto all'asse y pertanto, detta la parte di corona circolare contenuta nel primo quadrante e la parte di corona circolare contenuta nel secondo quadrante, si ha x y dx dy x y dx dy e dunque x y dx dy x y dx dy. Si verichi per esercizio che si ottiene lo stesso risultato. Calcolare: i [,] [,] x y dx dy x e ii + y [,] [,] x y dx dy. x + y i Proviamo a passare in coordinate polari. obbiamo descrivere il dominio di integrazione (il quadrato di lato in termini delle coordinate polari. ividiamo in due il dominio attraverso la bisettrice del primo quadrante. Si ha Q Q Q dove { Q (ρ, θ : θ π 4, ρ } { Q (ρ, θ : π cos θ 4 θ π, ρ } sin θ dove la limitazione superiore per ρ in Q è stata ottenuta sostituendo le coordinate polari nell'equazione x mentre la limitazione analoga in Q sostituendo le coordinate polari in y. A questo punto dunque [,] [,] π/ π/4 π/ π/4 sin θ [ cos(θ x y dx dy x + y cos θ sin θ π/4 cos θ ρ 4 cos θ sin θ ρ ρ dρdθ ] π/4 sin θ dθ 4 + π/4 π/4 ρ 4 cos θ sin θ ρ dρdθ ρ cos θ sin θ cos θ dθ sin(θ dθ + π/ ( tan θ sin θ dθ π/4 [log sin θ ]π/ π/4 + [cos θ]π/ π/4 8 log. 9

42 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali ii [,] [,] x y dx dy x + y perché si tratta di un integrale di una funzione dispari rispetto a entrambe le variabili su un dominio simmetrico rispetto all'origine. Esercizio..8. Calcolare: x +4y < y dx dy con un opportuno cambiamento di variabili. Siccome la funzione integranda è pari rispetto alla variabile y, l'integrale può essere calcolato come il doppio dell'integrale sulla semiellisse contenuta nel primo e secondo quadrante. unque si ha, usando il seguente cambio di coordinate x ρ cos θ y ρ sin θ (che porta il determinante della matrice Jacobiana della trasformazione uguale a ρ si ottiene x +4y < Esercizio..9. π y ρ dx dy 4 sin θ ρ dρdθ π sin θ dθ 4 ρ dρ π. Calcolare l'integrale doppio dove x y dx dy, + (x + y {(x, y R : x + y, x y } Operiamo il seguente cambio di variabile u x + y v x y da cui si ricava x u + v y u v 4

43 . Integrali doppi: esercizi svolti quindi la matrice Jacobiana della trasformazione risulta J e pertanto il modulo del determinante della matrice Jacobiana della trasformazione risulta. A questo punto il dominio si trasforma in e pertanto ( Esercizio... {(u, v : u, v } x y dx dy du + (x + y ( + u du v dv [ ( ] u arctan v + u dv 5 5 arctan [ v ( du + u 5π. ] Integrare f(x, y xy su {(x, y R : x > y, y > x }. (Non è necessario svolgere il conto nale. Proviamo ad usare le coordinate polari. Occorre esprimere anche il dominio in coordinate polari. Le due curve y x e x y si intersecano in (, e (, per i quali punti passa la bisettrice del primo quadrante. Tale bisettrice taglia il dominio in due regioni: la prima (visto che le due curve hanno rispettivamente tangente orizzontale e tangente verticale è per θ π/4 e la variabilità su ρ si ottiene sostituendo le coordinate polari nella disequazione x > y che porta a ρ cos θ > ρ sin θ e dunque ρ < cos θ sin θ. La seconda regione è per π/4 θ π/ e per ottenere la variabilità di ρ basta sostituire le coordinate polari nella disequazione y > x che porta a ρ sin θ > ρ cos θ e dunque ρ < sin θ cos θ. Riassumendo xy π/4 π/4 5 sin θ cos θ ρ 4 cos θ sin θ dρdθ + π/ π/4 π/ cos θ sin θ dθ sin 5 θ 5 cos θ + π/4 { π/4 sin 7 θ π/ cos 9 θ dθ + cos 6 θ π/4 sin 8 θ dθ cos θ sin θ ρ 4 cos θ sin θ dρdθ cos 5 θ 5 sin θ cos θ sin θ dθ }. 4

44 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali Esercizio... Calcolare x y dx dy x + y dove è l'intersezione del settore circolare { π < θ < π } con la corona circolare con centro 6 nell'origine e raggi e. Passando in coordinate polari si ha Esercizio... x y dx dy x + y 5 4 π/ π/6 ρ ρ4 cos θ sin θ ρ dρdθ ( ( π/ ρ dρ cos θ sin θ dθ [ cos θ 4 ] π/ π/6 π/6 5 6 [ ] 5 6. Si calcoli l'integrale doppio 9 (x + y dx dy dove {(x, y R : x + y x, y }. Osserviamo che la disequazione x + y x si può scrivere come ( x + y 9 4 che quindi rappresenta il cerchio di centro (/, e raggio /. Il dominio rappresenta dunque il semicerchio situato nel semipiano y. Proviamo a passare in coordinate polari. Sostituendo nella precedente equazione si ottiene x ρ cos θ y ρ sin θ ρ ρ cos θ ρ cos θ 4

45 . Integrali doppi: esercizi svolti quindi l'insieme di integrazione diventa T {(ρ, θ R : θ π, ρ cos θ }. Allora 9 (x + y dx dy 9 ρ ρ dρ, dθ π/ [ cos θ π/ 9 [ π/ π/ cos θ [ 9 cos θ cos θ Esercizio... ρ ] 9 ρ dρ dθ ( ρ ] 9 ρ dρ dθ [ (9 ρ /] cos θ (sin θ dθ 9 ] π/ T dθ π/ + 9 π π. π/ [ (9 9 cos θ / 9 /] dθ ( cos θ sin θ dθ + 9 π Calcolare l'area della regione del piano xy descritta dalle seguenti disuguaglianze: y, x + y 4, (x + y 4, y /x. Usando il seguente cambio di coordinate x ρ cos θ y ρ sin θ si ha detjt 4ρ e { (ρ, θ : ρ cos θ, θ π } 6 da cui Area ( π/6 Esercizio..4. dx dy 4 (4 cos θ dθ 4 ρρdρdθ 4 π/6 π/6 cos θ cos(θ dθ + ρ dρ dθ 4 π/6 π/6 dθ + π. [ ρ ] cos θ 4

46 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali Si calcoli y dx dy, x + y dove è la regione limitata di piano compresa nel primo quadrante, delimitata dall'asse x, dalla retta x, dalla bisettrice del primo quadrante e dalla circonferenza di centro l'origine e raggio. In coordinate polari il dominio si trasforma nel dominio { (ρ, θ : ρ cos θ, θ π } 4 da cui π/4 y π/4 x + y dx dy cos θ ρ sin θ ρ dρ dθ ρ π/4 ( 4 sin θ cos θ dθ 4 + [cos θ]π/ cos θ cos θ sin θ ρ dρ dθ Esercizio..5. Calcolare dove T T xy dx dy {(ρ, θ : θ π 4, ρ 4 + (sin θ }. Passando in coordinate polari si ha T xy dx dy 4 π/4 π/4 4 +(sin θ ρ cos θρ sin θρ dρ dθ π/4 sin 4 θ cos θ dθ [sin5 θ] π/ (sin θ ρ dρ dθ Esercizio

47 . Integrali doppi: esercizi svolti Calcolare dove y x log y dx dy, 4 x { (x, y : y x, y } x. Si consiglia di usare un opportuno cambio di coordinate. Il cambiamento di variabili u y x v y x trasforma il dominio dato nel rettangolo R {(u, v : / u, / v }. trasformazione che ci serve per la sostituzione delle variabili nell'integrale doppio è l'inversa di questa (e ci permetterà di esprimere x e y in funzione di u e v, dunque la trasformazione da cui x u det y u i conseguenza l'integrale cercato risulta dx dy Esercizio..7. R J T du dv x u T v y u v x v det y v / / v u v u v u v u v. log v dv du [v log v v] / 5 4 log 4. La Sia il parallelogramma di verici A (,, B (,, C (, 6, (, 5. Eseguendo un opportuno cambiamento di variabili, calcolare l'integrale e 4x y (x y dx dy. + (x y La retta AB ha equazione y x cioè x y ; la retta C ha equazione x y ; la 45

48 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali retta A ha equazione 4x y e inne la retta BC ha equazione 4x y 6. Poniamo quindi da cui JT. J T Allora e 4x y (x y + (x y dx dy Esercizio..8. { T x y u : 4x y v 6 e v u dv + u du 6 (e6 e [log( + u ] 6 (e6 e log. Sia {(x, y : x, x + y } un dominio piano. Calcolare x dx dy e y dx dy. Si ha che y dx dy perché la funzione f(x, y y è tale che f(x, y f(x, y, mentre ( π [ ] ρ x dx dy ρ cos θ dρ dθ [sin θ] π π (. Esercizio..9. π Calcolare dove x + y dx dy x + y {(x, y R : x + y, x, y }. Il dominio di integrazione è la corona circolare di raggi e contenuta nel primo quadrante. Pertanto in coordinate polari il dominio di integrazione si trasforma nel rettangolo { (ρ, θ : ρ, θ π } 46

49 . Integrali doppi: esercizi svolti quindi in coordinate polari l'integrale dato diventa x + y ρ cos θ + ρ sin θ dx dy ρ dρ dθ I x + y ρ I avendo posto ρ I : ρ (cos θ + sin θ dρ dθ I da cui e I ρ ρ [ π ρ + log I Esercizio..4. π (cos θ + sin θ dθ dρ [sin θ cos θ] π ] ( ρ + ρ + ρ ρ dρ dθ [θ] π [ log(ρ ρ dρ dθ ρ ( + ( 6 log 6 + ] π 4 log 5. dρ ρ Si calcoli il seguente integrale doppio: x dx dy, (x + y dove {(x, y R : (x + y, y (x, x }. Attraverso il seguente cambio di variabili x + ρ cos θ y ρ sin θ il dominio viene trasformato nel dominio { (ρ, θ : ρ cos θ, θ π } quindi in coordinate polari l'integrale dato diventa x dx dy ρ ρ cos θ dρ dθ (x + y ρ π ( π cos θ cos θ dθ π/ ( cos θ dθ π. cos θ cos θ dρ dθ 47

50 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali... Svolgimento di integrali con considerazioni di simmetria Esercizio..4. Calcolare il seguente integrale doppio mediante opportune considerazioni di simmetria xy dx dy x +y < Sia C : {(x, y : x + y < } e sia A i i,,, 4 le intersezioni di C con i quattro quadranti nell'ordine. Allora valgono le seguenti considerazioni, dovute alla simmetria del problema: siccome xy è dispari rispetto a x, l'integrale di xy su A è opposto all'integrale su A e l'integrale su A è opposto all'integrale su A 4. Oppure, visto che la funzione xy è anche dispari rispetto a y si ha che l'integrale di xy su A è opposto all'integrale su A e l'integrale su A è opposto all'integrale su A 4. 'altra parte, visto che xy è simmetrica rispetto all'origine, l'integrale di xy su A è uguale all'integrale su A e quello su A 4 è uguale a quello su A. Concludendo l'integrale proposto fa zero. Esercizio..4. Calcolare il seguente integrale doppio mediante opportune considerazioni di simmetria (x + 5 dx dy con T {(x, y : x, y x }. (Non occorre calcolare integrali! T Il dominio è simmetrico rispetto all'asse y e la funzione x è dispari, quindi l'integrale di x sulla parte del triangolo contenuta nel primo quadrante è opposto all'integrale di x sulla parte di triangolo contenuta nel secondo quadrante. Pertanto si ha Esercizio..4. T (x + 5 dx dy T x + 5area(T

51 . Integrali doppi: esercizi svolti Sfruttando opportune simmetrie, calcolare l'integrale doppio + x log(x 4 + y dx dove è il rettangolo [, ] [, ]. Il dominio è simmetrico rispetto all'asse y e la funzione integranda è la somma di + una funzione dispari rispetto alla variabile x, pertanto l'integrale di tale funzione sulla parte di dominio contenuta nel primo quadrante è opposta all'integrale sulla parte di dominio contenuta nel secondo quadrante. Quindi l'integrale dato coincide con il doppio dell'area del dominio, che essendo un rettangolo ha area uguale a base per altezza cioè ha area 4. L'integrale totale vale dunque 8. Esercizio..44. Sia f(x, y (x + y sin(x + y e sia {(x, y R : 4x + y 9}. imostrare che f(x, y. Si tratta di una funzione simmetrica rispetto all'origine integrata su un dominio centrato nell'origine. In particolare, se denotiamo con A i, i,,, 4 i quarti di ellisse contenuti nei rispettivi quadranti si ha f(x, y dx dy (x + y sin(x + y dx dy A A (x + y sin( x y dx dy A f(x, y dx dy A e analogamente si dimostra che f(x, y dx dy A f(x, y dx dy A 4 dunque l'integrale proposto fa zero. Esercizio

52 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali Calcolare x + y x y dx dy. Si tratta del quadrato centrato nell'origine e con i lati (di lunghezza paralleli alle bisettrici dei quattro quadranti. Si tratta quindi di integrare una funzione pari su un dominio simmetrico. unque per simmetria del problema si ha x + y x y dx dy 4 Q x y dx dy 4 ] x x ( x y dy dx [ y 4 x dx 4 (x x + x 4 x 5 dx 4 ( Esercizio..46. Facendo eventualmente considerazioni sulle simmetrie, integrare la funzione f(x, y y(x 4 + y 4 + xy x + y sul dominio {(x, y R : x, 4 x + y 9}. Si osserva immediatamente che y(x 4 + y 4 dx dy perché la funzione è dispari nella variabile y e il dominio è simmetrico rispetto all'asse x. 'altra parte la funzione xy x +y è dispari nella variabile x ed essendo il dominio simmetrico rispetto all'asse x, detta A la parte di contenuta nel quarto quadrante e detta B la parte di contenuta nel primo quadrante si ha A xy dx dy x + y B 5 xy x + y

53 . Integrali doppi: esercizi svolti per cui riassumendo y(x 4 + y 4 + A π/ [ sin θ Esercizio..47. ] π/ xy dx dy + x + y ρ cos θ sin θ ρ dρ dθ ρ [ ] ρ A π/ xy dx dy x + y ρ cos θ sin θ dρ dθ Con opportuni ragionamenti, dimostrare che è nullo l'integrale doppio sin(y cos(x + (y dx dy dove è il quadrato di vertici (/,, (, /, (/,, (, /. Il dominio di integrazione è simmetrico rispetto alle rette x e y. Eseguendo la traslazione del piano X x, Y y ed essendo l'elemento di area dxdy dxdy si ottiene I sin Y cos(x + + Y dxdy visto che si ha f(x, Y f( X, Y...4. Applicazioni siche Esercizio..48. Calcolare il centroide del quarto di cerchio usando le coordinate polari. x + y < R, x >, y > Le formule delle coordinate del controide sono x x dx dy ȳ 5 y dx dy

54 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali quindi essendo da considerazioni geometriche (πr /4, si ottiene x 4 π/ ( R ρ cos θdρdθ 4 π/ ( R cos θ dθ ρ dρ 4R πr πr π. Analogamente ȳ 4 πr Esercizio..49. π/ R ( ρ sin θdρdθ 4 π/ ( R sin θ dθ ρ dρ 4R πr π. Calcolare il baricentro di una lamina omogenea a forma di un quarto di corona circolare: { (ρ, θ : r < ρ < R; < θ < π }. Le coordinate del baricentro sono date dalle formule x x dx dy ȳ Per la geometria del problema si calcola immediatamente che 4 (πr πr quindi per esempio passando in coordinate polari si ha π/ R x r 4 R r π(r r π/ ρ cos θdθdρ 4 R + rr + r π R + r y dx dy. R cos θdθ ρ dρ r e visto che π/ cos θ dθ si ottiene con conti analoghi che ȳ x. Esercizio..5. π/ sin θ dθ Calcolare il momento di inerzia di una lamina omogenea di massa M a forma di corona circolare di raggi r, R, rispetto all'asse passante per il centro e perpendicolare al piano della corona. 5

55 . Integrali doppi: esercizi svolti etto I il momento d'inerzia richiesto dal problema si ha I M (δ(x, y dx dy dove δ è la distanza dall'asse, cioè δ(x, y x + y. unque, passando in coordinate polari, si ha I M π(r r Esercizio..5. π R r ρ dρdθ M (R r (R4 r 4 M (R + r. Calcolare il momento di inerzia di un disco omogeneo di massa M e raggio R, rispetto a un asse perpendicolare al suo piano e passante per un punto posto sulla circonferenza. Suggerimento: l'equazione polari della circonferenza di raggio R passante per l'origine è: ρ R cos θ, θ [ π, π ]. Per risolvere il problema occorre centrare la circonferenza nell'origine, in modo che l'origine sia il punto dove passa l'asse; in tal modo la distanza dall'asse diventa δ(x, y x + y e dunque passando in coordinate polari I M πr 8 M π R π/ R cos θ π/ [ sin θ sin θ ρ dρ M πr ] π/ π/ π/ π/ M 9 π R, 8 R cos θ dθ dove abbiamo usato il fatto che cos θdθ cos θ(cos θ dθ Esercizio..5. cos θ( sin θdθ sin θ sin θ + C Calcolare il centroide del quarto di cerchio: usando le coordinate cartesiane. x + y < R, x >, y >. Le coordinate del centroide sono date dalle formule x x dx dy ȳ 5 y dx dy

56 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali quindi nel nostro caso si ha R x x R ( 4 R πr πr R 4 π R. x dx dy 4 R x dx R πr x x R x dx πr [ (R x / / ] R 'altra parte ȳ ( R R x y dy dx 4 R πr (R x dx πr (R R 4 π R. Esercizio..5. Calcolare il centroide del quadrilatero di vertici (,, (,, (,, (,. Le coordinate del centroide sono date dalle formule x x dx dy ȳ y dx dy. Q Q L'area del quadrilatero è la somma delle aree dei due triangoli Q e Q di vertici rispettivamente (,, (,, (, e (,, (,, (, quindi si calcolano immediatamente con considerazioni geometriche e Q. A questo punto allora, x [ ] x dx dy + x dx dy Q Q 4 4 y y x dx dy + x (( y (y dy + (8 4y dy + [x ] x dy dx x dx

57 . Integrali doppi: esercizi svolti 'altra parte ȳ [ ] y dx dy + y dx dy Q Q y y y dx + (4y y dy + [ x [y ] [y ] + 4 x x y dy dx ( x dx ]. Esercizio..54. Calcolare il baricentro della lamina rettangolare [, 4] [, ] di densità superciale ρ(x, y + x + y. Le coordinate del baricentro di una lamina non omogenea (a densità variabile sono x xρ(x, y dx dy ȳ M M yρ(x, y dx dy dove la massa della lamina non omogenea (a densità variabile è data da M ρ(x, y dx dy. unque calcoliamo prima M ( + x + y dx dy + [ ] x 4 [ y ] 4 x dx dy + 4 y dx dy A questo punto x x( + x + y dx dy [ 4 4 x dx dy + x dx dy + 8 [ ] ] xy dx dy

58 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali 'altra parte Esercizio..55. ȳ [ 4 y( + x + y dx dy y dx dy [ ]. x y dx dy + 4 ] y dx dy Calcolare il momento di inerzia di una lamina circolare omogenea di massa M e raggio R rispetto all'asse passante per il centro e perpendicolare al cerchio. In tal caso la distanza dall'asse risulta δ(x, y x + y da calcolare è (passando in coordinate polari I M δ (x, y dx dy M πr Esercizio..56. M πr π R ρ dρdθ MR. dunque il momento di inerzia (x + y dx dy Sia la regione piana delimitata dall'asse x e dall'arco di parabola y 4 x con x. Calcolare le coordinate del baricentro di supponendo la densità costante. Le coordinate del baricentro sono x x dx dy ȳ y dx dy. Per la simmetria del problema si vede immediatamente che x. 'altra parte 4 x ] dy dx (4 x dx [4x x. A questo punto, di nuovo per la simmetria del problema ȳ 4 x y dx dy [ ] y 4 x dx 6 [6 8x + x 4 ] dx [6x 8 x + x5 5 ] [ + ]

59 . Integrali tripli.. Integrali tripli Tutto quanto detto nora si generalizza anche a dimensioni superiori. particolari in dimensioni. Vediamo alcuni casi... Integrazione per li Sia Ω {(x, y, z R : g (x, y z g (x, y, (x, y } con dominio regolare e g, g : R continue. Allora se anche f : Ω R è una funzione continua e integrabile su Ω allora l'integrale triplo si può calcolare mediante la formula ( g (x,y f(x, y, z dx dy dz f(x, y, z dz dx dy Ω g (x,y... Integrazione per strati Sia ora Ω {(x, y, z R : h z h, (x, y Ω(z} con z [h, h ] e Ω(z un dominio regolare nel piano. Allora se f : Ω R continua e integrabile su Ω allora l'integrale triplo si può calcolare tramite la formula Ω f(x, y, z dx dy dz h h ( f(x, y, z dx dy dz Ω(z 57

60 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali... Formula di cambiamento di variabili Teorema... (formula di cambiamento di variabili negli integrali tripli Sia R un dominio regolare, f : R una funzione continua, e T : una trasformazione di coordinate, più precisamente un dieomorsmo globale tra e, con (x, y, z T(u, v, w e x x(u, v, w y y(u, v, w z z(u, v, w Allora f(x, y, z dx dy dz f(x(u, v, w, y(u, v, w, z(u, v, w detjt(u, v, w du dv dw dove JT(u, v, w indica la matrice Jacobiana della trasformazione. Esempio... Si calcoli il volume della regione V {(x, y, z R : x + y, z x + y } Si può ad esempio calcolare questo volume integrando per li da cui ( x +y dx dy dz dz dx dy V x +y x +y x + y dx dy a questo punto si può utilizzare nell'ultimo integrale (che diventa un integrale doppio un cambio di coordinate, per esempio le coordinate polari, dunque dx dy dz x + y dx dy V x +y π ρ dρ dθ π Si può giungere allo stesso risultato usando direttamente le coordinate cilindriche come cambio di coordinate nell'integrale triplo di partenza, per cui usando la trasformazione x ρ cos θ y ρ sin θ z t che ha determinante della matrice Jacobiana uguale a ρ, si riscrive V {(ρ, θ, z R : ρ, θ π, z ρ} 58

61 .4 Integrali tripli: esercizi svolti per cui V dx dy dz π ρ ρ dz dρ dθ π ρ dρ dθ π.4. Integrali tripli: esercizi svolti.4.. Integrazione per li e per strati Esercizio.4.. Calcolate il volume della regione interna al cilindro di equazione x + y 4 e compresa tra i piani z x e z x. Si ha che Allora si ponga e min{x, x} x x. A {(x, y : x + y 4, x } B {(x, y : x + y 4, x } Allora V (C x A x dx dy + x B x dx dy ( x + (x : I + II. A B Prima di tutto si ha Poniamo I : A ( x area (A A x dx dy A {(x, y : x, x y x} e A : A \ A. Allora è chiaro che l'area di A è l'area di A che è / π 4 unita all'area di A che è (essendo un triangolo /. 'altra parte II : B (x dx dy x area (B. B 59

62 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali Ora analogamente a prima l'area di B è l'area del settore circolare sotteso a un angolo di gradi (che chiameremo S che è /π 4 a cui si toglie l'area del triangolo A cioè. Riassumendo V (C x + x + area (A area(b A B ( 8 x x + x x + A A S A π + ( 4 π x 4 x + x + 8 A A S π + 4. A questo punto parametrizzo A e S con coordinate polari; si ha [ π A {(ρ, θ : ρ, θ, 5 ] π } e [ S {(ρ, θ : ρ, θ, π ] [ ] 5 π, π } Quindi, essendo il determinante della matrice Jacobiana della trasformazione uguale a ρ, si ha 5/π 5/π x dx ρ cos θdθdρ ρ sin θ 6. A Inoltre Inne x dx S 4 x 4 A π/ π/ ρ x x sin θ ρ cos θdθdρ + π/ x dx dy 4 + sin θ π 5/π π 5/π 6 π/ ρ cos θ dρ dθ. x dx 8 x 8. Alternativamente A può essere descritto in coordinate polari nel seguente modo: { A (ρ, θ : π θ π, ρ } cos θ dove la maggiorazione su ρ è stata individuata dalla relazione x scrivendo x in coordinate polari. unque in questo caso si avrebbe 4 x dx dy 4 A π/ π/ cos θ π/ 4 cos θ π/ ρ cos θ dρ dθ [ ρ ] cos θ 4 π/ π/ 4 [tan θ]π/ π/ 4 [ ] 8. 6 cos θ dθ

63 .4 Integrali tripli: esercizi svolti In ogni caso riassumendo Esercizio.4.. V (C π π. Calcolate il volume del solido V limitato dal cilindro ellittico di equazione x 4 + y e dai piani di equazione z x y e z. Si ha che min{ x y, } y x quindi ponendo A {(x, y R : B {(x, y R : x 4 + y y x} x 4 + y y x} si ha V (C A x y dz dx dy + dz dx dy B x y ( x y dx dy + ( x + y dx dy. A B ata la simmetria del dominio di integrazione e considerato che la funzione integranda è simmetrica rispetto all'origine si ha che pertanto B ( x + y dx dy ( x + y dx dy A V (C ( x + y dx dy. A A questo punto passiamo in coordinate polari: si pone x ρ cos θ e y ρ sin θ con ρ e θ [, π], da cui A {(ρ, θ : ρ, θ 6 [ ] 5 π, 6 6 π }.

64 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali Quindi, ricordando che il determinante della matrice Jacobiana della trasformazione è ρ, si ha Esercizio π V (C ρ ( ρ cos θ ρ sin θ dρ dθ 5 6 π 6 π ρ ( ρ cos θ ρ sin θ dρ dθ 5 6 [ π 4 ρ 6 π ] dρ cos θ dθ 6ρ 6 π dρ sin θ dθ 5 6 π 5 6 π 4 ρ 6 π sin θ (ρ 6 ( cos θ π π 6 π [ 4 ] ( +. Assegnati il paraboloide di equazione z x + y ed il piano di equazione z 4x y si calcoli il volume racchiuso dalle due superci. Sia S il volume racchiuso dalle due superci considerate. Si ha 4x y Vol(S dz dx dy dove A x +y A {(x, y R : 4x y x + y } {(x, y R : (x + (y + 6 4} Quindi si ha Vol(S Faccio il seguente cambio di coordinate: A (4x y x y dx dy. x ρ cos θ y + 6 ρ sin θ con le limitazioni ρ 4 e θ [, π]. Il determinante della matrice Jacobiana della trasformazione è ρ, dunque si ha Vol(S (4x y x y dx dy π A ( ρ ρ π π(8 4 8π. (4 ρ ρ dρ dθ 6

65 .4 Integrali tripli: esercizi svolti Esercizio.4.4. Se C {x + y z, z 4} quale delle seguenti condizioni implica che f(x, y, z dx dy dz? C (af(x, y, z f(x, y, z; (bf(x, y, z f(x, y, z; (cf( x, y, z f(x, y, z; (df( x, y, z f(x, y, z Si ha C {primo ottante} C {(x, y, z C; x, y }; C {secondo ottante} C {(x, y, z C; x,, y }; C {terzo ottante} C {(x, y, z C; x, y }; C {quarto ottante} C 4 {(x, y, z C; x, y }. Allora C f dx dy dz f dx dy dz + f dx dy dz C C + f dx dy dz + f dx dy dz. C C 4 Se f( x, y, z f(x, y, z allora f dx dy dz f dx dy dz C C e quindi f dx dy dz C 4 f dx dy dz C C f dx dy dz. Infatti, per esempio, C e C sono simmetrici rispetto all'asse y (ribaltamento da x a x e f è dispari rispetto a x e quindi cambia di segno, ma resta uguale in valore assoluto tra (x, y, z e il suo simmetrico rispetto all'asse y che è ( x, y, z. Se ne deduce che ciò che integro di f su C è l'opposto di ciò che integro su C. Consideriamo il cambiamento di variabili ϕ : C C (x, y, z ( x, y, z 6

66 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali con C ϕ (C. Allora detj ϕ (x, y, z. Quindi f(x, y, z dx dy dz f(ϕ(x, y, z detj ϕ (x, y, z dx dy dz C ϕ (C f( x, y, z dx dy dz f(x, y, z dx dy dz C C N.B.: la terna (x, y, z C gioca il ruolo della terna (u, v, w, nuove coordinate nell'usuale formulazione del cambiamento di variabili. Qui abbiamo mantenuto lo stesso nome (x, y, z per semplicità. Esercizio.4.5. Sia V { (x, y, z : z ( x } + y, z x. Calcolate V z dx dy dz Prima di tutto osserviamo che ( x + y x 4 x + y 4 x + y 4, quindi la condizione sulla z diventa ( x + y z x. Poniamo A {(x, y : x + y 4 } Osserviamo che dalla condizione su z si deduce che deve essere x, che va bene in A. Allora si ha V z dx dy dz A x (x +y z dz dx dy A ( 4 4 x y dx dy. Passiamo in coordinate polari ponendo x ρ cos θ y ρ sin θ ρ, θ [, π 64

67 .4 Integrali tripli: esercizi svolti Tenendo conto che il determinante della matrice Jacobiana della trasformazione è deduce V z dx dy dz Esercizio π ρ ( ρ dρ dθ 8 π ( ρ ρ4 4 ρ, si π. Sia A {(x, y R : x, y e x x} e sia V il solido generato dalla rotazione di A intorno all'asse x; a disegnate gli insiemi A e V ; b determinate il volume di V ; c calcolate l'integrale su V della funzione z + y x. x Se poniamo f(x e x x si ha f(, f( /e, f (x e x ( Volume di V : f +( +, f (x > < x <. vol(v V dx dy dz ( dy dz dx, S x x x dunque ma S x {(y, z : y + z e x x} è un cerchio di raggio e x x quindi ha area πxe x, da cui vol(v πxe x dx [ ( x πe x + ] π 4 4 π 4e. Invece per l'integrale, usando su S x le coordinate polari (in y e z si ha y + z ( V x dx dy dz x x z + y x dy dz dx S x [ ( π e x ] x x ρ ρ dρ dθ dx x ( xe x x x π ρ dρ dx x x π [ π e x dx π ] 9 e x π 9 ( e. [ ρ ] xe x dx 65

68 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali.8.6 y x Figura.: Insieme A. Esercizio.4.7. Sia A {(x, y, z R : x, y x, z (x }; a disegnate A; b determinate il volume di A; c degli spigoli di A, ve n'è uno che non giace su alcuno dei piani coordinati; trovatene una parametrizzazione e determinate la retta tangente a tale spigolo nel punto corrispondente a x. L'insieme A sta sotto alla supercie z (x e a sinistra di y x. Vol(A x (x dz dy dx x (x dx x 4 x + x dx. Una parametrizzazione dello spigolo richiesto dal testo è (x, x, (x, quindi il vettore tangente è (, x, x, che per x vale (,,. Poiché il unto corrispondente a x è (,, la retta è (,, + t(,,. Esercizio.4.8. Sia C {(x, y, z R : x, y, z, x + y + z }. isegnate C e determinatene il volume. Si ha il cubo [, ] [, ] [, ] al quale è stata tolta l'intersezione con la sfera unitaria 66

69 .4 Integrali tripli: esercizi svolti Figura.: Insieme V. di centrata nell'origine (cioè un ottavo di sfera. Il volume si calcola con facili integrali oppure semplicemente scrivendo V 8 ( 4 π 8 π 6. Esercizio.4.9. ato l'insieme T {(x, y, z R : x + y 4, z x + y }, disegnatelo e descrivetelo a parole, quindi calcolate T x z dx dy dz. x + y 4 è il cilindro di asse l'asse z e R. Invece z x + y è il cono circolare 67

70 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali Figura.4: Insieme A. di vertice l'origine. T è il cilindro (con z al quale si toglie il cono. T x +y [ ] z x z dx dy dz dx dy x z dz x x +y dx dy x +y 4 x +y 4 x (x + y x + y π ( ρ 6 cos θ dx dy d ρ dθ x +y 4 [ ρ 7 7 ] π cos θ dθ 8 [ ] π (θ + sin θ cos θ 8 π. Esercizio

71 .4 Integrali tripli: esercizi svolti Figura.5: Lo spigolo che non appartiene ad alcun piano coordinato. Sia E il sottoinsieme di R denito da E {(x, y, z : y, z 4 x }. Calcolate: a il volume di E; b l'integrale di f(x, y, z x( y su E. Infatti [,] [,] Volume di E area di base altezza E 4 x x( y dx dy f(x, y, z dx dy dz. (4 x dx h. ( ( dz x(4 x dx ( y dy ( [ ] x x4 4 ( [ ] y y. 69

72 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali Figura.6: Insieme C. Esercizio.4.. Sia T il triangolo contenuto nel piano xy, con vertici (,, (,, (,. Calcolare il volume del solido S interno al prisma retto di base T e compreso tra le superci di equazioni z x e z. Prima di tutto vediamo quando x. Questo accade quando x cioè x. 'altra parte, il triangolo T è un dominio y-semplice che può essere descritto come T {(x, y R : x x y x + } 7

73 .4 Integrali tripli: esercizi svolti Quindi si ha (integrazione per li V (S S x x dx dy dz x x ( x dx dy + ( x ( x dx + x x (4 x 4x + x dx + (4x x 4 x + x4 + x dz dy dx + (x dx dy (x ( x dx x x (4x x 4 + x dx ( 4 x x4 4x + x x dz dy dx Esercizio.4.. Se C {(x, y, z R : x + y z, z 4} quale delle seguenti condizioni implica che f(x, y, z dx dy dz? C (af(x, y, z f(x, y, z (bf(x, y, z f(x, y, z (cf( x, y, z f(x, y, z (df( x, y, z f(x, y, z Si ha che C è il cono con z 4. dispari in x oppure in y, quindi l'unica risposta corretta è la (c. Anché l'integrale di f su C sia, devo avere f.4.. Cambiamenti di coordinate Esercizio.4.. 7

74 Calcolo integrale per funzioni di più variabili reali Sia A {(x, y, z R : x + y, z x + y }; a disegnate l'insieme A; b determinare il volume di A; c calcolate l'integrale su A della funzione z ( + x + y x + y a L'insieme A è costituito da un cilindro (di equazione x + y a cui è stato tolto il dominio di R occupato da un cono circolare retto di vertice nell'origine (e di equazione z x + y. b Si ha Vol A A dx dy dz. ata la simmetria del problema operiamo un cambio di coordinate. Passiamo a considerare le coordinate cilindriche x ρ cos θ y ρ sin θ z z. L'insieme A viene allora descritto nel seguente modo nelle nuove coordinate A {(ρ, θ, z [, + [, π] R : ρ, z ρ} mentre il determinante della matrice Jacobiana della trasformazione è ρ. Si ha allora π ρ Vol A dx dy dz ρ dz dθ dρ π A ρ [z] ρ dρ π c Invece (di nuovo passo a coordinate cilindriche z A ( + x + y dx dy dz x + y π + ρ [ z ] ρ dρ 9 π ρ dρ π. π ρ ρ + ρ dρ 9 π 9 π 9 π [arctan ρ] 9 π( arctan 9π ( π 4. z ρ dz dθ dρ ( + ρ ρ ( dρ + ρ 7

75 .4 Integrali tripli: esercizi svolti Figura.7: Insieme A..4.. Calcolo di aree e volumi Esercizio.4.4. Calcolare l'area dell'ellisse e il volume dell'ellissoide x x a + y b a + y b + z c in forma canonica attraverso il cambio di coordinate x aρ cos θ y bρ sin θ. (determinante della matrice Jacobiana della trasformazione abρ. Per l'ellisse si ha area(e dx dy π E abρ dρdθ a b π. 7