Bilanciamento dei carichi di lavoro

Transcript

1 Bilanciamento dei carichi di lavoro Dispensa per il modulo di Analisi e Ottimizzazione dei Processi di Produzione Università di Roma Tor Vergata a cura di Andrea Pacifici A.A Sommario Il problema denominato di Assembly Line Balancing 1 (ALB) consiste nell assegnare operazioni a stazioni di lavoro poste lungo una linea, minimizzando il costo di assiematura del singolo pezzo. I vincoli riguardano le relazioni di precedenza tra operazioni e la produttività della linea. Nella versione classica del problema, le stazioni di lavoro si suppongono tutte dello stesso tipo e, in particolare, con le stesse capacità e con lo stesso costo. Questo insieme restrittivo di ipotesi rende il modello poco utilizzabile nella pratica delle applicazioni industriali. In questa dispensa prendiamo in considerazione una generalizzazione del problema di Assembly Line Balancing che, pur consentendo di modellare situazioni più realistiche e complesse, non presenta un accresciuto costo computazionale. Più specificamente, consideriamo stazioni di lavoro di tipo diverso, con costi diversi e tempi di processamento diversi per ogni operazione. Inoltre mostriamo che nel caso di grafi di produzione stretti (p.es., alberi di assiematura con un limitato numero di foglie rispetto al numero complessivo di operazioni), esistono algoritmi di soluzione efficienti. 1 Introduzione Il modello di Assembly line balancing (ALB), presenta una limitata applicabilità pratica. In effetti, una delle caratteristiche principali di una linea di produzione flessibile, consiste nel fatto di avere macchine diverse, in grado di svolgere dei sottoinsiemi diversi di operazioni con tempi diversi di processamento e a costi diversi. La letteratura scientifica è ampiamente deficiente al riguardo. Questo è forse dovuto alla complessità del problema che, anche con un solo tipo di macchina, è già NP-difficile. D altra parte, la maggior parte degli algoritmi in letteratura sono stati sviluppati per grafi di produzione qualsiasi purché aciclici mentre, in realtà, la situazione più comune prevede che tale grafo sia un albero con un numero limitato di rami rispetto al numero totale di operazioni e/o alla profondità dell albero stesso ( alberi stretti). A titolo di esempio consideriamo il seguente Esempio 1 (Produzione di schede circuitali stampate) L impianto (di una compagnia italiana che produce componentistica elettronica per automobili) produce diversi tipi di centraline di controllo per motori a iniezione elettronica. La linea di produzione riceve i contenitori e le schede, assiema i componenti (chip, SMD, connesioni, cavi, etc.) sui due lati della scheda madre, effettua il collaudo, prepara l imballaggio per la spedizione. Le operazioni su ciascuna unità sono alquanto simili, sebbene il tempo richiesto da alcune stazioni possa differire a seconda del tipo di centralina. L albero di assiematura mostrato in figura 1 rende conto dell aggettivo stretto per questo tipo di alberi: in questo caso si hanno solo due diramazioni principali lungo le quali compaiono un numero limitato di foglie che rappresentano delle operazioni di pre-lavorazione, come per esempio Prepare components, Eprom programming, Heat-sink sub-assembly. Poiché questo tipo di 1 Letteralmente: Bilanciamento di linea di assiematura. 1

2 operazioni devono essere eseguite insieme alle operazioni successive, si possono rappresentare come singoli nodi. Assembly board A Assembly board B Assembly into the box Part preparation and feed Place barcode Screen print Part preparation and feed Place SMD (PLC) Reflow Cleaning (freon) Insert IC Insert axial Dispense Epoxy glue Cure Epoxy Attach connector Prepare components Place SMD (PLC) Reflow Dispense Epoxy glue Cure Epoxy Eprom programming Attach connector Heat-sink sub-assembly Robot components insertion Place power device tools and manual insert Eprom programming Cleaning Wave soldering Remove power device tools and visual inspection In circuit Self testing PCB coating Remove tabs Place power device Wave soldering In circuit PCB coating Remove tabs PCB assembly PCB assembly Burn ing Cold module Cold test Heat module Hot test Ceck gasket crimp cover Place label Pack Place box label Figura 1: L albero di assiematura. 2 Formulazione Il problema generalizzato di bilanciamento di una linea di assiematura (GALB) assegna elementi atomici di lavoro (operazioni) a stazioni di lavoro o macchine. Tali stazioni di lavoro devono essere disposte lungo una linea (flow line) in modo che le parti in movimento su di essa possano essere trasferite soltanto dalla macchina in posizione k alla macchina seguente in posizione k +1. L obiettivo consiste nella minimizzazione del costo totale della linea, dato dal costo di tutte le stazioni necessarie a completare la totalità delle operazioni. I vincoli riguardano le relazioni di precedenza tra operazioni e il tempo di ciclo della linea. Qui di seguito diamo un enunciato formale del problema. Dati di ingresso Grafo (aciclico) delle operazioni Ricordiamo, coerentemente con quanto definito nei capitoli precedenti, la definizione di G(N, A). N è l insieme delle n operazioni di assiematura. Esiste un arco diretto (i, j) se l operazione i precede l operazione j. Ogni operazione deve essere eseguita esattamente da una stazione e non può essere interrotta (operazioni non-preemptive). Assumiamo inoltre che non esistano archi ridondanti, cioè se esiste un cammino diretto di lunghezza non unitaria da i a j allora (i, j) A. Distinguiamo un nodo speciale senza archi uscenti che chiamiamo radice. Insieme dei tipi di macchina M. Assumiamo esistano m tipi di stazioni di lavoro flessibili multipurpose M = {1, 2,..., m}, nel seguito denominate tipo-macchina per distinguerle dalle singole stazioni di lavoro poste sulla linea. Ogni tipo-macchina può eseguire tutte le operazioni con tempi diversi di processamento ed è disponibile in un numero illimitato di copie. Sia p ik il tempo richiesto per l esecuzione dell operazione i sul tipo-macchina k. Sia inoltre c k il costo del tipo-macchina k. Si assume che una stazione non possa eseguire più di una operazione alla volta. Tempo di ciclo della flow line W. Ogni tipo-macchina deve produrre una parte ogni W unità di tempo. Le specifiche di produzione richiedono P unità di prodotto per unità di tempo su una singola linea. Per soddisfare questa domanda ogni macchina deve eseguire un insieme di operazioni il cui tempo complessivo non deve eccedere W = 1/P. Pertanto W è il massimo carico di lavoro ammissibile per ogni stazione della flow line. Si noti che è possibile modellare l incompatibilità di un tipo-macchina k con l operazione i (ovvero l impossibilità da parte di k di effettuare l operazione i) ponendo p ik > W. In definitiva GALB consiste in: 2

3 1. Assegnare ad ogni posizione della linea un dato tipo-macchina (chiaramente a posizioni diverse si può assegnare uno stesso tipo-macchina); 2. Assegnare le operazioni alle stazioni della linea soddisfacendo i vincoli: (a) Precedenza tra le operazioni: se (i, j) A e i è assegnata alla stazione in posizione k, non è possibile assegnare l operazione j alla stazione in posizione h < k. (b) Massimo carico di lavoro: la somma dei tempi di processamento delle operazioni N assegnate ad una generica stazione di tipo k non deve eccedere una quantità fissata W: p ik W (1) La funzione obiettivo è data dalla somma dei costi delle stazioni impiegate sulla flow line. i N Osservazione 2 Se m = 1 (esiste un singolo tipo-macchina) GALB si riduce al problema di Assembly Line Balancing. 3 Algoritmi di soluzione In questa sezione diamo una descrizione di un algoritmo di soluzione esatto per il problema generale e mostriamo come tale algoritmo abbia un costo computazionale polinomiale per una classe di istanze di GALB rilevanti per le applicazioni industriali. In particolare, dapprima affrontiamo, a scopo esemplificativo, il caso più semplice di un grafo di assiematura G consistente in una semplice catena, successivamente introdotto il concetto di ampiezza di un grafo esaminiamo il caso in cui G è un albero per così dire stretto e infine, il caso generale in cui G è un grafo aciclico generico. Mostriamo inoltre che l algoritmo è esatto in generale e polinomiale una volta fissata l ampiezza di G. Definizione 3 Definiamo ampiezza di un grafo di assiematura G il minimo numero di cammini diretti tali che ogni nodo in G appartiene ad almeno un cammino. Un insieme minimale di tali cammini è chiamato insieme delle catene ricoprenti. L ampiezza di un grafo è quindi uguale alla cardinalità di un insieme di catene ricoprenti che, in generale, non è un insieme unico. Esempio 4 Se G è un albero, la sua ampiezza è pari al numero delle foglie, e l insieme delle catene ricoprenti è unico e dato da tutti i cammini che vanno dalle foglie alla radice. Chiaramente, l ampiezza di un grafo di assiematura è uguale a 1 se e solo se è una singola catena. (Per un grafo aciclico generico tale condizione diventa se e solo se contiene un cammino che spazza tutti i nodi ). In un grafo aciclico, dei nodi si dicono incomparabili se non sussistono relazioni di precedenza tra di essi. Un risultato di Dilworth del 1950, ci permette di affermare che l ampiezza di G è pari al massimo numero di nodi incomparabili di G. Inoltre, è possibile calcolare l ampiezza di un grafo aciclico in tempo polinomiale risolvendo un istanza ausiliaria di massimo matching su grafo bipartito, con un numero di nodi pari a 2 N e un numero di archi pari a A, come mostrato in un lavoro dovuto a Ford e Fulkerson. 3.1 Algoritmi per grafi ad ampiezza unitaria Consideriamo dapprima, a scopo di esempio, il caso in cui il grafo di assiematura G(N, A) sia un semplice cammino, ovvero N = {1, 2,... n} e A = {(i, i + 1), i = 1,..., n 1}. Come si è fatto osservare, un grafo siffatto ha ampiezza unitaria e l unica catena ricoprente coincide con il grafo stesso. Ricordiamo ancora che ogni operazione i può essere eseguita su ogni tipo-macchina k il cui costo è c k in tempo p ik e per ogni macchina esiste il vincolo 1 di massimo carico di lavoro W. Se i tipi-macchina hanno tutti lo stesso costo (c k = 1 k M), il problema consiste nella minimizzazione del numero di stazioni impiegate per l esecuzione di tutte le operazioni. In tal caso, una soluzione ammissibile prevede che se l operazione i è assegnata alla posizione h, allora l operazione i + 1 potrà 3

4 essere assegnata in posizione h o h + 1. Così facendo il problema si riduce a trovare un insieme di interi 0 = j 0 < j 1 < j 2 <... < j M = n tali che, per ogni h = 1,..., M esista k M tale che il vincolo j h i=j h 1 +1 p ik W. sia soddifatto con M minimo. Una conseguenza diretta di quanto sopra è che una soluzione ottima del problema è immediatamente individuabile assegnando alla posizione h, a partire da h = 1 fino a M, il tipo-macchina k tale che j h è massimizzato, mantenendo valido il vincolo sul carico di lavoro. Se le macchine hanno costi diversi, il problema può essere ancora risolto con una tecnica di programmazione dinamica, utilizzando cioè una formulazione di cammino minimo su un grafo aciclico G (N, A ) che chiamiamo grafo degli stati. In particolare N = {0, 1,..., n}, dove i N \ {0} rappresenta il completamento della i-esima operazione, ed esiste l arco (i, j) A di peso c k, se esiste k M tale che c k = min h M { c h : j s=i+1 p sh W Di fatto, (i, j) appartiene ad A se esiste un tipo-macchina in grado di eseguire le operazioni {i + 1, i + 2,..., j} soddisfacendo il vincolo sul carico di lavoro, e il peso di (i, j) è pari al costo del tipo-macchina più economico. Osserviamo che ogni arco in un cammino diretto di G (N, A ), dal nodo 0 al nodo n, corrisponderà ad un sottoinsieme di operazioni assegnate a una stessa macchina (quella più economica) e quindi l intero cammino rappresenterà un assegnamento ammissibile della totalità delle operazioni a tipi-macchina opportuni e, in definitiva, alle stazioni della linea. La lunghezza di un tale cammino fornisce il costo totale delle macchine impiegate e in particolare, se è di lunghezza minima eguaglia il costo ottimo. Chiaramente, tutte le soluzioni ammissibili non corrispondenti a cammini diretti del grafo degli stati hanno, per costruzione, un costo non inferiore a quello di un cammino su G. Il calcolo di un cammino minimo su grafo aciclico richiede un tempo O(n 2 ), mentre il costo di costruzione del grafo degli stati richiede un tempo O(mn 3 ). Abbiamo così dimostrato il seguente: Teorema 5 Se il grafo di assiematura G(N, A) ha ampiezza unitaria, GALB è risolvibile in tempo O(mn 3 ). 3.2 Un algoritmo per grafi aciclici In questa sezione illustriamo un approccio di programmazione dinamica per la risoluzione di GALB. Proviamo successivamente che l algoritmo proposto trova una soluzione ottima. Sia S N; indichiamo con G S il sottografo di G indotto da S, con M(S) l insieme delle macchine j tali che i S p ij W. Definizione 6 Un insieme S N si dice iniziale rispetto G = (N, A) se 1. esiste un tipo-macchina j M(S). 2. non esistono operazioni i (N \ S), l S tali che (i, l) A. Osserviamo che, in ogni soluzione ammissibile di GALB, l insieme di operazioni assegnate alla prima macchina è iniziale. Definizione 7 Un insieme iniziale S N si dice massimale se non esiste un tipo-macchina j tale che siano soddisfatte entrambe le seguenti condizioni. 1. c j = min h M(S) {c h }, cioè j è un tipo-macchina a costo minimo in grado di eseguire tutte le operazioni in S. } 4

5 2. esiste un insieme iniziale S di G, S S, tale che j M(S ), cioè il tipo-macchina j può eseguire almeno un altra operazione oltre a quelle di S. Con I(S) indichiamo l insieme degli insiemi iniziali massimali sul grafo G N\S. Procedura mcl 1. \ Costruzione del grafo degli stati \ (a) Inizializza D ponendo P = {p }, B =, J = ; (b) Per ogni S I(J), esegui le seguenti: i. P := P {p J S } e B := B {(p J, p J S )}. Il peso dell arco (p J, p J S ) sia pari al costo del tipo-macchina più conveniente, in grado di eseguire tutte le operazioni di S. ii. Se J S N ripeti il passo (b) sul grafo G J\S e poni J := J S. 2. \ Shortest path computation \ Restituisci il cammino minimo su D(P, B) dal nodo p al nodo p N. Figura 2: Programmazione dinamica per GALB In figura 2 è illustrato un algoritmo per minimizzare i costi di linea (mcl). La procedura costruisce dapprima un grafo degli stati D = (P, B), (un nodo p J P rappresenta l insieme J N delle operazioni già eseguite) e successivamente trova una soluzione ottima per mezzo del calcolo di un cammino minimo su D, dallo stato iniziale (in cui nessuna operazione è stata eseguita) allo stato finale (tutte le operazioni sono state eseguite.) Il cammino minimo così calcolato D dà una soluzione ottima di GALB: le operazioni assegnate a ogni macchina sono date dalla differenza tra gli insiemi che corrispondono agli estremi di archi del cammino minimo. Teorema 8 Data un istanza di GALB, esiste sempre una soluzione ottima tale che le operazioni assegnate alla macchina k appartengono a I(J), dove J è l insieme di operazioni assegnate alle prime k 1 macchine. Prova. Consideriamo una soluzione ottima Z di GALB. Indichiamo con J e J(k) l insieme di operazioni assegnate alle prime k 1 macchine e alla macchina k-esima, rispettivamente. Sia k la prima macchina tale che J(k) non appartiene a I(J), se esiste. Se una tale macchina non esiste, allora segue la tesi. Altrimenti, deve esistere un insieme iniziale massimale S N \ J, con J(k) S, che può essere eseguito sia sulla k-ma macchina di Z sia su un tipo-mcchina diverso con lo stesso costo. Chiaramente la soluzione Z, ottenuta da Z sostituendo J(k) con S e aggiornando gli insiemi di operazioni assegnati alle macchine rimanenti, è ammissibile e con un costo complessivo non maggiore di quello di Z, quindi Z è ottima. Applicando la stessa procedura alla soluzione Z, otteniamo in conclusione una soluzione ancora ottima che soddisfa la tesi. Il teorema che segue prova la correttezza della procedura mcl. Teorema 9 La procedura mcl trova una soluzione ottima. Prova. La tesi segue direttamente dal teorema 8. Infatti, basta osservare che mcl trova la migliore soluzione tra tutte le possibili soluzioni costituite da soli insiemi iniziali massimali. Finalmente, diamo un risultato di complessità per la procedura descritta. Teorema 10 La procedura mcl trova una soluzione ottima di GALB in tempo polinomiale per fissati valori dell ampiezza del grafo delle operazioni G. Prova. Sia k l ampiezza di G e consideriamo un insieme di k, di lunghezza l 1, l 2,..., l k rispettivamente, ricoprenti tutti i nodi di G. Allo scopo di costruire il grafo degli stati D = (P, B), dobbiamo enumerare 5

6 tutti i nodi possibili in P, dove un nodo p J P rappresenta l insieme J N delle operazioni che sono state già eseguite. È facile vedere che la cardinalità di P non può eccedere la quantità (l 1 + 1) (l 2 + 1)... (l k + 1). Infatti, questo è il massimo numero di sottoinsiemi ammissibili di N di operazioni già eseguite. La cardinalità di B è quindi O((l 1 + 1) 2 (l 2 + 1) 2... (l k + 1) 2 ). Per ogni arco in D dobbiamo calcolare il suo peso, cioè il tipo-macchina a costo minimo, se esiste, in grado di eseguire tutte le operazioni dell insieme iniziale in considerazione, e questo ha costo O(mn). La complessità di costruzione del grafo è pertanto O(mn 2k+1 ). La seconda fase dell algoritmo consiste nel calcolo del cammino minimo sul grafo degli stati D = (P, B); questo può essere fatto in tempo O( B ), perché il grafo è aciclico. In definitiva, la complessità di mcl è O(mn 2k+1 ). Nella pratica è spesso verificato il caso di zoning restrictions, cioè di coppie di operazioni che devono essere eseguite sulla stessa macchina, o al contrario, che devono essere eseguite su macchine diverse. Ciò si deve o a problemi di set-up (se, per esempio, una parte deve essere spostata da una macchina a un altra, si dovrà impiegare una certa quantità di tempo per posizionare correttamente la parte), o a problemi logistici (per esempio, una operazione di preparazione-kit deve essere effettuata sulla stessa macchina che assiema i componenti del kit.) Questo tipo di limitazioni sono facilmente gestite dall algoritmo mcl, dal momento che si possono tenere in considerazione rendendo inammissibili alcuni nodi di D. Inoltre, sebbene la complessità di mcl nel caso peggiore è O(mn 2k+1 ), nella pratica questa eventualità si verifica raramente. In effetti la flessibilità limitata delle macchine, per cui solo ristretti sottoinsiemi di operazioni possono essere eseguiti su macchine differenti, fa sì che il numero di insiemi massimali iniziali sia molto contenuto, riducendo drasticamente la complessità dell algoritmo. 4 Conclusioni Sebbene in letteratura esistano molti metodi di programmazione dinamica per la soluzione dell Assembly Line Balancing, l algoritmo presentato in questa dispensa generalizza molti degli approcci noti a una classe più ampia di problemi di Assembly Line Design, prendendo in considerazione il trade-off tra il costo della macchina e le sue prestazioni. I principali contributi del modello consistono quindi in: Contributo modellistico: si generalizza il problema di bilanciamento di linea considerando macchine con costi e prestazioni diverse. Caratterizzazione di complessità : si mostra che, se l ampiezza del grafo è fissata, il programma dinamico gira in tempo polinomiale. 6