Tecnica delle Costruzioni Meccaniche

Transcript

1 Tecnica delle Costruzioni Meccaniche Stefano Miccoli Anno Accademico 2000/2001 (versione del 15 marzo 2001) 1

2 Materiale ad esclusivo uso degli studenti del corso di Tecnica delle Costruzioni Meccaniche tenuto presso il Politecnico di Milano, III Facoltà di Architettura Milano Bovisa e Como. Copyright c 2000 by Stefano Miccoli. This material may be distributed only subject to the terms and conditions set forth in the Open Publication License, v1.0 or later (the latest version is presently available at Distribution of substantively modified versions of this document is prohibited without the explicit permission of the copyright holder. Distribution of the work or derivative of the work in any standard (paper) book form is prohibited unless prior permission is obtained from the copyright holder. 2

3 Informazioni Utili Home page del corso: Modalità di esame: Prove in itinere 30 Novembre Febbraio Giugno 2001 Esame scritto con colloquio orale. Libri di testo E. Guagenti Grandori, F. Buccino, E. Garavaglia, G. Novati: Statica. Mc Graw - Hill, Milano, G. Belloni, G. Bernasconi: Sforzi deformazioni e loro legami. Edizioni Spiegel, Milano,

4 Programma Statica e cinematica del corpo rigido. Macchine semplici: leve, piano inclinato, pulegge. Dualità statica cinematica: principio dei lavori virtuali. Azioni interne in aste rettilinee. Azione normale, di taglio, momento flettente, momento torcente. Statica delle strutture 2D. Strutture ipostatiche, isostatiche, iperstatiche; labilità. Deformabilità delle strutture. Complementi di comportamento meccanico dei materiali. Sforzi e deformazioni. Cedimento del materiale. Criteri di resistenza. Cedimento delle strutture. 4

5 Statica Assenza di movimento Secondo la fisica antica (Aristotele) la quiete rappresenta lo stato naturale dei corpi. Secondo la fisica moderna (Galileo, Newton), in assenza di interazioni, un corpo permane in una stato di moto rettilineo ed uniforme rispetto ad un sistema di riferimento inerziale. Equilibrio delle forze esterne applicate ad un corpo: è fermo equilibrio il corpo si muove di moto uniforme 5

6 Leve A a b B a A B b A : B = b : a b B }{{} M B = a A }{{} M A 6

7 M A = a A M B = b B } M = MA + M B = 0 a A b B = 0 (Convenzione: momenti positivi se anti-orari) 7

8 Spiegazione classica /2 3/2 8

9 Piano inclinato l F G h F : G = h : l 9

10 F G R R F + G + R = 0 10

11 G R F l b h R l, G b GR = lb GFR lhb F : G = h : l 11

12 Spiegazione classica 12

13 G AB G BC = AB BC, F AB = F BC in fig. 20: F BC = G BC F AB = G BC F AB G AB = G BC G AB = BC AB F : G = h : l 13

14 Pulegge 14

15 Carrucola semplice d = 2r +O MO = 0 P r Q r = 0 P = Q P Q 15

16 Carrucola doppia + Q Q Q Q Q P 2Q P = 0 Q = P 2 16

17 Equazioni Cardinali della Statica Caso piano (2D) equilibrio alla traslazione equilibrio alla rotazione F = 0 M = 0 { Fx = 0 Fy = 0 17

18 Lavoro L = F u L = F u = F u F u F F u F u u 18

19 Prodotto scalare di due vettori u v = u v cos uv = u x v x + u y v y v u u u x u y v v x v y u v = = ( u x + u y ) ( v x + v y ) = u x v x + u x v y + u y v x + u y v y = u x v x + u y v y = u x v x + u y v y 19

20 Lavoro delle forze attive: Leve A a b B a sin θ A B b sin θ L A = A a sin θ L B = B b sin θ A B = b a L A = A L B B a sin θ b sin θ = b a sin θ a b sin θ = 1, L A = L B, L A + L B = 0 20

21 Lavoro delle forze attive: piano inclinato l F G h F G = h l } L F = F l, L G = G h L F L G = F G l h = h l l h = 1 L F = L G L f + L G = 0 21

22 Lavoro delle forze attive: carrucole + u 2 G F u F = G 2 L F = F u L G = G u, 2 L F + L G = G 2 u G u 2 = 0 22

23 Macchine semplici e lavoro L F > 0 L G < 0 lavoro delle forze motrici lavoro delle forze resistenti L F + L G = 0 Il lavoro delle forze motrice è uguale in modulo ma opposto in segno al lavoro delle forze resistenti. Le macchine semplici servono a moltiplicare le forze ma non possono creare lavoro (principio di conservazione dell energia.) 23

24 Relazione tra L = 0 ed equilibrio del punto materiale F1 F3 F2 Le equazioni cardinali della statica per un punto materiale si riducono a F = 0 nell ipotesi di forze attive costanti ciò è equivalente a L = 0, u del punto materiale 24

25 Fi u = }{{} L F! Fi u i } {{ } R L F = 0, u R u = 0, u R = 0 dato che u è arbitrario. 25

26 Equilibrio e stabilità P P P eq. indifferente eq. stabile eq. instabile L P = 0 L P < 0 L P > 0 l equilibrio è una proprietà locale la stabilità dell equilibrio è una proprietà non-locale per verificare l equilibrio con la formula L = 0 devo applicare spostamenti piccolissimi (infinitesimi), cioè confondere l arco con la tangente. 26

27 Richiami di matematica: derivata e differenziale di una funzione df dx = lim x 0 f(x + x) f(x) x df dx = f (x) df(x) = f (x) dx 27

28 Richiami di matematica: integrale indefinito di una funzione f (x) dx = f(x) + C df(x) = f(x) + C 28

29 Richiami di matematica: regole di differenziazione d(f(x) + g(x)) = d dx (f(x) + g(x)) dx = f (x) dx + g (x) dx Il differenziale segue le stesse regole della derivazione; in particolare d(f + g) = df + dg d(αf) = α df α costante d(f g) = df g + f dg 29

30 Lavoro delle forze attive per una rotazione rigida c +O a F c +O F a Si consideri una rotazione finita θ intorno all origine. a a (r, 0) (r cos θ, r sin θ) c c (0, r) ( r sin θ, r cos θ) L F a(θ) = r(1 cos θ) F a L F c(θ) = r sin θ F c 30

31 ( d dθ cos θ = sin θ, d dθ sin θ = cos θ ) dl F a(θ) = r sin θ dθ F a dl F c(θ) = r cos θ dθ F c (θ = 0) dl F a = 0 dl F c = r F c }{{} Mc dθ In generale, per una rotazione rigida di un corpo rigido intorno ad un polo O, il differenziale del lavoro delle forze attive è pari alla somma dei momenti moltiplicata dθ: dl = ( M O ) dθ 31

32 Equazioni cardinali della statica e lavoro delle forze attive Caso della rotazione rigida MO = 0 dl = 0, dθ (M 0 momento attorno ad O, dl differenziale del lavoro delle forze attive per una rotazione attorno ad O.) 32

33 Differenziale del lavoro per traslazioni rigide c + O a F c + O F a Essendo il moto una traslazione rigida, u O = u a = u c L = F a u a + F c u c = ( F a + F c ) u O = ( F) uo dl = ( F) d uo 33

34 Equazioni cardinali della statica e lavoro delle forze attive Caso della traslazione rigida F = 0 dl = 0, d u0 ( F risultante delle forze attive, dl differenziale del lavoro delle forze attive per una generica traslazione rigida u O.) 34

35 Principio dei Lavori Virtuali PLV eq. cardinali della statica dl = 0, rototraslazione rigida infinitesima 35

36 Richiami di matematica l integrazione è l inversa della differenziazione d f(x) dx = f(x) dx df(x) = f(x) + C 36

37 Una generalizzazione del concetto di lavoro Forze non costanti Se le forze attive F non sono costanti, ma funzioni del punto, il lavoro è definito come L A B = F( x) d u Il differenziale del lavoro è dunque A B dl = F( x) d u Per testare con il PLV l equilibrio in una configurazione A, si possono considerare le forze costanti e farle lavorare per il differenziale dello spostamento. 37

38 Atto di moto differenziale dello spostamento spostamento infinitesimo atto di moto sono concetti equivalenti. 38

39 Cinematica del Corpo Rigido nel piano Atto di moto Si considerano solo spostamenti infinitesimi, si ha dunque un atto di moto. Traslazione rigida d u R : tutti i punti del corpo rigido hanno lo stesso spostamento. d u( x) = d u R Rotazione rigida dθ intorno ad O: ogni punto P subisce uno spostamento d u che è in direzione perpendicolare a P O, ed in intensità pari a P O dθ. Il verso è stabilito dalla convenzione che le rotazioni positive sono quelle anti-orarie. Rototraslazione rigida: il generico atto di moto può essere concepito come una rotazione rigida intorno ad un polo O seguita da una traslazione rigida. 39

40 Composizione di atti di moto È possibile comporre gli atti di moto: C = A + B La composizione degli atti di moto è commutativa A + B = B + A 40

41 Centro di Istantanea Rotazione La scelta del polo O intorno alla quale si fa ruotare il corpo rigido è arbitraria. È possibile scegliere un polo qualsiasi. Cambiando polo la rotazione dθ rimane invariata, ma cambia il valore u R : O O u R u R Se dθ 0 è possibile trovare un polo O per il quale si ha u R = 0. Questo polo si chiama centro di istantanea rotazione (CIR). 41

42 Gradi di libertà (GDL) del corpo rigido Il corpo rigido nel piano ha 3 gradi di libertà: le due componenti di d u il valore di dθ. Infatti è possibile dimostrare che fissato il punto O questi parametri sono tra loro indipendenti, e sufficienti a definire tutti i possibili moti del corpo rigido. In alternativa i tre GDL possono essere concepiti come le due coordinate del CIR, il valore di dθ. 42

43 Commenti sull equivalenza tra PLV e equazioni cardinali della statica Si noti che il numero delle equazioni cardinali della statica è uguale al numero dei GDL. Questo fatto è una immediata conseguenza del fatto che le equazioni cardinali sono equivalenti al PLV. Infatti il PLV, dl = 0 è una equazione scalare che deve valere per ogni rototraslazione rigida infinitesima, dunque è equivalente ad un numero di equazioni pari ai GDL. 43

44 Espressione algebrica della rototraslazione rigida Per brevità di scrittura si indica con θ (e non dθ) l ampiezza dell atto di rotazione rigida. Consideriamo tre punti O (x O, y O ), P (x P, y P ), Q (x Q, y Q ). u P x = θ(yp y O ) + u O x u P y = θ(xp x O ) + u O y u Q x = θ(yq y O ) + u O x u Q y = θ(xq x O ) + u O y Sottraendo membro a membro u P x uq x = θ(yp y Q ) u P y uq y = θ(xp x Q ) u P x = θ(yp y Q ) + u Q x u P y = θ(xp x Q ) + u Q y 44

45 Ricerca algebrica del CIR 0 = θ(y C y O ) + u O x 0 = θ(x C x O ) + u O y y C = y O + uo x θ x C = x O uo y θ Il CIR è determinato, in senso proprio, se e solo se θ 0. Nel caso in cui θ = 0 (traslazione rigida) si dice che il CIR è un punto improprio o all infinito in direzione perpendicolare al moto rigido stesso. 45

46 L asta come corpo rigido L asta, o trave, può essere considerata come un particolare corpo rigido, nel quale due dimensioni sono trascurabili rispetto ad una terza. Normale il simbolo grafico adottato per rappresentare un asta è una linea, coincidente con la linea dei baricentri. La cinematica dell asta coincide con la cinematica del corpo rigido. 46

47 Vincoli a terra nome simbolo GDV reazioni cerniera 2 R x R y carrello 1 R n manicotto 2 pattino 2 incastro 3 47

48 Tipo di vincolamento a terra Il vincolo a terra si dice ipostatico, isostatico, iperstatico a seconda che GDV GDL 48

49 Proprietà del vincolamento a terra Un corpo rigido vincolato ipostaticamente ha ancora dei gradi di libertà residui, (si può muovere). L equilibrio è possibile solo se le forze attive soddisfano una equazione di equilibrio. (Esempio: la leva). Un corpo rigido vincolato isostaticamente non ha più gradi di libertà residui, quindi non può muoversi. L equilibrio è comunque assicurato dalle reazioni vincolari, che possono essere determinate in basa ad equazioni di equilibrio o il PLV. Un corpo rigido vincolato iperstaticamente non può muoversi ma le reazioni vincolari non possono essere calcolate in base a semplici considerazioni di equilibrio. 49

50 Labilità In realtà non è sufficiente verificare aritmeticamente il numero di GDV per stabilire se una struttura è isostatica. Occorre eseguire anche la cosiddetta analisi cinematica per escludere problemi di labilità. Una struttura è labile quando, pur avendo un un numero di vincoli pari al numero di gradi di libertà sono ancora possibili atti di moto. Per le strutture labili non è possibile calcolare le reazioni vincolari con considerazioni di equilibrio. 50

51 Calcolo reazioni vincolari Il calcolo delle reazioni vincolari procede svincolando da terra la struttura e mettendo in luce le corrispondenti reazioni vincolari. Strutture isostatiche: i vincoli impediscono il moto della struttura. La struttura è comunque in equilibrio. Il numero delle componenti incognite delle reazioni vincolari (GDV) è pari ai GDL della struttura e dunque al numero di equazioni cardinali della statica. Le reazioni vincolari sono determinate univocamente. 51

52 Strutture ipostatiche: i vincoli non sono in grado di impedire il moto della struttura. Si ha equilibrio solo se le forze esterne ( attive ) soddisfano opportune equazioni (PLV o equazioni cardinali della statica). Se le forze attive sono equilibrate, le reazioni possono essere calcolate come al punto precedente. Infatti le componenti incognite delle reazioni sono in numero minore rispetto ai GDL e alle equazioni cardinali della statica, ma l equilibrio è stato comunque soddisfatto a priori dall opportuna condizione sulle forze attive. Le reazioni vincolari sono determinate univocamente. Strutture iperstatiche: i vincoli impediscono il moto della struttura ma GDV >GDL. La struttura è comunque in equilibrio. Le equazioni cardinali della statica (GDL) non sono sufficienti a determinare le reazioni vincolari. Le reazioni vincolari possono essere determinate in base a considerazioni elastiche. 52

53 Calcolo delle reazioni vincolari con il PLV Strutture isostatiche: eliminare 1 GDV in modo da evidenziare 1 componente di reazione incognita. La struttura è diventata ipostatica e quindi si tratta di applicare le tecniche già note per l equilibrio delle macchine semplici. Strutture ipostatiche: se la struttura è in equilibrio è possibile aggiungere vincoli sufficienti a renderla isostatica senza modificarne il regime statico. A questo punto si possono applicare le tecnica vista sopra. 53

54 Labilità e iperstaticità interna Il caso delle strutture labili ha alcuni caratteri delle strutture ipostatiche e alcuni di quelle iperstatiche. Non è garantito l equilibrio. Non è possibile calcolare le reazioni vincolari in base alle sole equazioni di equilibrio. Infatti si ha labilità ogni qual volta che due, o più, vincoli impediscono lo stesso GDL. Si ha dunque una sorta di iperstaticità interna. 54

55 Differenza tra strutture vincolate in modo iperstatico o isostatico Una struttura isostatica crolla se si ha rottura di un vincolo. Una struttura iperstatica invece può ancora resistere anche se alcuni vincoli (in numero non superiore al grado di iperstaticità) si rompono. Una struttura isostatica non è caricata da cedimenti vincolari o deformazioni imposte. Una struttura iperstatica al contrario è caricata da cedimenti vincolari o defromazioni imposte. 55

56 Strutture articolate, o vincoli interni nome simbolo GDV cerniera a n aste 2(n 1) carrello interno 1 manicotto interno 2 pattino interno 2 incastro interno 3 56

57 Analisi cinematica delle strutture articolate Arco a tre cerniere 2GDV 3GDL 2GDV 3GDL 2GDV 6 GDL = 6 GDV 57

58 Individuazione del CIR + CIR 1 CIR CIR 2 CIR 2 : CIR asta 2, nel centro della cerniera a terra. CIR 12 : CIR asta 1 rispetto asta due (come se asta 2 fosse ferma), nel centro della cerniera interna. CIR 1 : CIR asta 1 assoluto, sulla congiungente CIR 2 CIR

59 Condizione di labilità CIR CIR 2 Si ha labilità se CIR 2 CIR 12 passa per la cerniera a terra dell asta 1. 59

60 Equivalenza cinematica di biella e carrello + CIR 1 + CIR 1 CIR CIR

61 Calcolo delle azioni interne con il principio dei lavori virtuali + T N M x In generale per calcolare le azioni interne si spezza l asta in un punto e si mettono in evidenza le azioni interne che si scambiano le due parti. 61

62 Per esempio si può spezzare l asta in due parti, A e B, P A T N M M N T B P le azioni M, N e T possono essere facilmente determinate scrivendo le equazioni cardinali della statica per la parte B. Come già osservato più volte le equazioni cardinali della statica risultano equivalenti al PLV scritto per un corpo rigido non vincolato (3 GDL 3 equazioni). Nel caso in figura spezzando la struttura si hanno due corpi rigidi: A completamente vincolato, B libero. (Per questo motivo risulta particolarmente facile determinare le azioni interne.) 62

63 Si può osservare che in generale il numero di azioni interne evidenziato è pari al numero di svincoli introdotti, dunque in strutture isostatiche il PLV è sempre sufficiente a determinare le azioni interne. Può risultare comodo calcolare un solo valore delle azioni interne alla volta introducendo degli svincoli parziali : 63

64 Il concetto di sforzo Consideriamo una barretta a sezione circolare sottoposta ad una trazione semplice (forza diretta come l asse della barretta e applicata nel suo baricentro): F F F F È evidente che, se si riferiscono le azioni interne all asse baricentrico, in ciascuna sezione della barretta si ha solo una azione normale N = F. Se dividiamo a metà la sezione, appare logico immaginare che, per la simmetria del problema, anche l azione normale N si divida in parti uguali sulla sezione: N N 2 N 2 64

65 In generale, dividendo la sezione in p parti uguali a ciascuna compete un aliquota di azione normale N pari a N/p. Per descrivere in modo intrinseco il cimento a cui è sottoposto il materiale è utile definire la forza normale specifica o sforzo normale σ = N A Infatti: σ = N A = N/p A/p 65

66 Data una sezione (o una parte di essa) S, di area A S, sollecitata da uno sforzo normale N di trazione semplice si ha σ = N S A S N S = A S σ Per la trazione semplice il valore di σ non dipende dalla porzione di sezione che si considera: la σ è costante su tutta la sezione. 66

67 Definizione di sforzo normale In generale non si può affermare che ogni parte di una sezione è sollecitata in modo eguale. (La trazione semplice è un caso particolare.) Dunque non è vero che σ = N S A S è indipendente da S. È possibile, con un processo di limite, definire lo sforzo in un punto x: se x S. σ(x) = lim A S 0 N S A S, 67

68 68

69 Provino a trazione semplice R40 25 φ 8 φ

70 K Curva di trazione "! #$ %&'(!& )* & %&+)(, ).-0/21&35476 LMONPN0Q z tyx q qw np v tu qsr monp 8 9;:=<?>=@A@;BDC 8 9;:=<?>=@A@;BFE 8 9;:=<?>=@A@;BHGJI R2STSVU WYX Z NH[ W]\_^a`b[ ced [Wf\gUbZSh[jilk 70

71 Allungamento percentuale L allungamento medio è definito come ɛ = L L La sua definizione, come per la σ nasce dalla necessità di trovare una misura della deformazione indipendente dalla lunghezza del provino. 71

72 Ripasso: equilibrio di un punto materiale su un piano inclinato F G = F G R R Su un punto appoggiato su un piano liscio agiscono le forze esterne ( F e G in questa figura) e la reazione vincolare R. Quest ultima è nota in direzione (perpendicolare al piano per l ipotesi di piano liscio) ma incognita in intensità. 72

73 Le equazioni cardinali della statica F + G + R = 0 corrispondono a due equazioni scalari. Nel caso in figura si hanno due incognite, R (intensità di R) e F/G (rapporto fra le intensità delle forze esterne): dunque a meno di casi degeneri (piano inclinato verticale o orizzontale) il sistema ammette soluzione. Per trasformare questa equazione vettoriale in due equazioni scalari è necessario scriverne le componenti rispetto ad un sistema di riferimento fissato. La scelta del sistema di riferimento è arbitraria, ma alcune scelte sono più comode di altre. Per esempio se si sceglie un sistema di riferimento con un asse parallelo al piano stesso, una delle due equazioni non contiene l incognita R. 73

74 Il concetto di allungamento medio Consideriamo nuovamente una barretta a sezione circolare, inizialmente di lunghezza l, sottoposta a trazione semplice: F F F F Per effetto della forza applicata la barretta si allunga della quantità l. F l F F l F l + l l + l 74

75 Se si spezza la barretta in due segmenti, di lunghezza l/2, per simmetria si può attribuire a ciascun segmento l allungamento l/2: F F F F l/2 l/2 (l + l)/2 (l + l)/2 Per estensione, dividendo la barretta in n segmenti, a ciascun segmento di lunghezza l/n compete un allungamento di l/n. Si noti che l allungamento medio, definito come l l = l/2 l/2 = l/n l/n è lo stesso per ogni segmento in cui è suddivisa la barretta. 75

76 Concetto di deformazione di una fibra Dividendo a metà la sezione della barretta A A 2 A 2 i ragionamenti precedenti, invocando un argomento di simmetria, continuano ad essere validi. (Si ricordi che siamo nel caso particolare di trazione semplice.) È dunque naturale attribuire la misura di deformazione a ciascuna fibra della sezione. ɛ = L L Per fibra si intende un elemento della barretta con sezione di area infinitesima. 76

77 Sforzi e deformazioni: legame costitutivo L utilità principale dei concetti di sforzo σ e deformazione ɛ consiste nella capacità di descrivere i risultati di una prova di trazione semplice in modo indipendente dalla geometria della barretta, ma dipendente solo dal materiale di cui essa e costituita. Infatti quando si fa una prova di trazione semplice, si possono misurare la forza F = N e l allungamento l. Diagrammando N in funzione di l si ottengono curve diverse per ogni diversa geometria del provino. Se invece si rappresenta un diagramma con σ = N/A in funzione di ɛ = l/l, questo è indipendente dalle dimensioni del provino, ma dipende solo dal materiale. 77

78 Diagramma forza spostamento A B C forza normale [N] A A 25mm 2 100mm B 30mm 2 50mm C 50mm 2 150mm l allungamento [mm] 78

79 Diagramma sforzo deformazione sforzo [N/mm^2] deformazione [mm/mm] 79

80 Criteri di resistenza In prima approssimazione la resistenza di un elemento strutturale dipende solo da sforzi e deformazioni e non dalle dimensioni (fattore di scala). σ RC < σ < σ RT ɛ RC < ɛ < ɛ RT 80

81 Dualità sforzi deformazioni Lo sforzo è associato ad un elemento (infinitesimo) di area, la deformazione ad una fibra. cioè Si può sfruttare questo fatto per ottenere la seguente relazione notevole: F l = F l (A l), }{{} A }{{} l }{{} =V =σ =ɛ F l = σ ɛ V F l è il lavoro virtuale delle forze esterne per gli spostamenti. σ ɛ è la densità volumetrica di lavoro virtuale delle forze interne. 81

82 Ripasso: analisi cinematica In termini un po imprecisi una struttura è ipostatica se i vincoli non sono sufficienti ad impedirne il movimento, isostatica se i vincoli sono appena sufficienti ad impedire il movimento, iperstatica se i vincoli sono sovrabbondanti. Dal punto di vista statico una struttura è ipostatica se l equilibrio è garantito solo quando le forze esterne soddisfano particolari condizioni, isostatica se l equilibrio è comunque garantito e le azioni interne possono essere determinate in base a pure considerazioni di equilibrio, iperstatica se l equilibrio è garantito ma le azioni interne non possono essere determinate solo in base all equilibrio. 82

83 Calcolo di gradi di vincolo e gradi di libertà Lo strumento principale per discriminare tra strutture ipo-, iso- e iper-statiche è il conto di GDL e GDV: GDL > GDV GDL = GDV GDL < GDV struttura ipostatica struttura isostatica struttura iperstatica Tuttavia questo semplice conto non è sufficiente perché possono esistere casi degeneri (labilità). 83

84 Casi degeneri Nell imporre la disequazione GDL GDV si suppongono tutti i GDV indipendenti, la qual cosa non è sempre vera: A B u u A: il carrello è indipendente dalla cerniera perchè vincola il GDL libero u. B: il carrello vincola lo spostamento ortogonale ad u, già impedito dalla cerniera 84

85 Strutture labili Una struttura si dice labile quando, pur essendo GDL = GDV, alcuni vincoli non sono indipendenti. Questo comporta che la struttura presenti sia le caratteristiche delle strutture ipostatiche (sono possibili atti di moto) che iperstatiche (le sole equazioni di equilibrio non sono sufficienti per determinare tutte le componenti delle azioni interne) Situazioni analoghe si possono presentare anche quando GDL > GDV oppure GDL < GDV 85

86 Sforzo normale e deformazione assiale non uniformi stato uniforme: σ = N A σ ɛ = N L A L ɛ = L L = L V N A σ = lim A 0 A = dn da stato non uniforme σ ɛ = dn d( L) da dl ɛ = lim L 0 ( L) L L = dl dv = d( L) dl 86