TEORIA DEI SEGNALI. Introduzione. La Comunicazione

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1 TEORIA DEI SEGNALI Introduzione L obiettivo principale di un servizio di telecomunicazione è il trasferimento dell'informazione emessa da una sorgente agli utenti cui è destinata, nell'ambito di una particolare applicazione. Il trasferimento richiede l'accesso da parte degli utenti ad una rete di telecomunicazione, definita come il complesso di mezzi che, attraverso opportune risorse tecniche ed operative, consente ai suoi utenti il trasferimento dell'informazione. FIGURA 1 - Rete di Telecomunicazione. La Comunicazione Nel senso più generale, la parola comunicazione indica la trasmissione di informazione da un luogo ad un altro attraverso un mezzo. Con il termine segnale si denomina una grandezza fisica, di solito variabile nel tempo e che contiene l'informazione e la cui natura può essere diversa: acustica, ottica, elettrica,. I segnali possono essere rappresentati in molti modi, ma l'informazione è sempre contenuta nelle variazioni di una o più grandezze in qualche dominio: ad esempio il segnale può essere costituito dalle variazioni di una grandezza nel tempo o nello spazio. Per trasmettere un'informazione, e di conseguenza il segnale che la contiene, da un luogo all'altro si usa un sistema di comunicazione: la cui funzione è di raccogliere l'informazione dalla sorgente che l ha generata e la consegna al destinatario, situato in un punto distinto dalla sorgente. Nello studio dei sistemi di telecomunicazione le tre entità fondamentali cui si fa riferimento, come mostrato in Fig.2, sono: 1

2 1. Il Messaggio, che rappresenta l oggetto della comunicazione. 2. La Sorgente del messaggio. 3. Il Destinatario del messaggio. FIGURA 2 - Sorgente di messaggio, canale di comunicazione e destinatario di messaggi. Il segnale Per segnale s intende una qualunque grandezza fisica variabile cui sia associata un informazione di un qualche interesse. I segnali che riguardano le comunicazioni elettriche sono spesso il risultato della trasduzione della grandezza fisica da osservare, ad esempio la pressione prodotta da uno strumento musicale, in una grandezza elettrica come la tensione o la corrente. Ha, quindi senso parlare di segnali elettrici. Un segnale si definisce monodimensionale quando rappresenta la variazione di una grandezza in funzione di una variabile indipendente. La variabile indipendente nella maggior parte dei casi è il tempo e in questo caso si parla di segnale temporale f(t). Una grandezza generica x descritta da un segnale può essere reale, come ad esempio una tensione, o complessa, come ad esempio l impedenza. Sistema di comunicazione Un sistema di comunicazione ha lo scopo di trasferire l informazione generata da una sorgente verso una destinazione posta, genericamente, a una certa distanza. L informazione è contenuta in un segnale elettrico. 2

3 Il sistema di comunicazione di Fig. 2 è costituito da: a) Il trasmettitore: è un blocco che elabora il segnale d ingresso per produrre un segnale trasmesso che sia adatto alle caratteristiche del canale di trasmissione. b) Il canale trasmissivo: è un blocco che propaga il segnale trasmesso fino al ricevitore. Può essere costituito da una coppia di fili, da un cavo coassiale, da un tratto atmosferico in cui viaggiano onde elettromagnetiche, da una fibra ottica, ecc. Ogni canale reale, purtroppo, attenua in qualche misura il segnale che lo attraversa, la cui potenza si riduce progressivamente man mano che si allontana dal trasmettitore. c) Il ricevitore: è un blocco che elabora il segnale all uscita del canale per consentire al destinatario di recuperare nel miglior modo possibile l informazione generata dalla sorgente. Infatti, oltre agli effetti negativi dovuti all attenuazione, sono sempre presenti effetti indesiderati dovuti al rumore, che altera il segnale lungo tutto il sistema di comunicazione, in particolare lungo il canale trasmissivo. Lo schema di Fig. 3 ricalca quello di fig. 2: FIGURA 3 - Percorso Sorgente-Destinazione di un messaggio con presenza di rumore indesiderato. È possibile entrare un po più nel merito sul funzionamento dei blocchi di fig.3. La funzione principale di un trasmettitore è di modificare il segnale elettrico al suo ingresso, chiamato segnale utile, nella forma più adatta alla trasmissione nel canale. Questa modifica può essere ottenuta con un'elaborazione del segnale oppure con un processo chiamato modulazione, che consiste nel far variare alcuni parametri, come l ampiezza, la frequenza e la fase di un'onda portante (che porta il segnale), in accordo alle variazioni del segnale originale, cioè del segnale utile. L'elaborazione del segnale nel trasmettitore ha la funzione di condizionare la sorgente per eseguire una trasmissione più efficiente. In un sistema analogico l'elaboratore di segnale può semplicemente essere un filtro passa-basso che restringe adeguatamente la banda del segnale in ingresso. In un sistema ibrido analogico-digitale, l'elaboratore può essere un convertitore analogico-digitale, ADC, che produce una parola in codice rappresentativa di un campione del segnale analogico d'ingresso. In questo caso l'adc svolge la funzione di codifica di sorgente. L'elaboratore aggiunge alla parola digitale alcuni bit addizionali, attuando così la funzione di 3

4 codifica di canale. In questo modo, l'elaboratore di segnale gemello, presente nel ricevitore, può rilevare e correggere eventuali errori di trasmissione. Il canale di comunicazione può essere una linea di trasmissione, una fibra ottica, l'atmosfera terrestre, lo spazio libero, nel quale un'onda elettromagnetica contenente il segnale viene irradiata. Durante la propagazione lungo il canale, il segnale trasmesso viene distorto: Le cause possono essere le più svariate: a) non linearità e/o delle imperfezioni nella risposta in frequenza del canale; b) presenza di sorgenti di degradazione come il rumore; c) interferenze incontrate dal segnale durante la trasmissione. La funzione principale del ricevitore è di ricreare il segnale utile originale dalla versione degradata del segnale trasmesso attraverso il canale, presente all'uscita di quest'ultimo. Questa rigenerazione viene attuata usando un'opportuna elaborazione del segnale ricevuto e un procedimento noto come demodulazione, che è il complementare della modulazione operata dal trasmettitore. Questi aspetti verranno ripresi successivamente sempre nel corso di Telecomunicazioni. Il principale problema di un sistema di telecomunicazioni è di riuscire ad ottenere un segnale perfettamente identico al segnale originario, questo a causa della presenza inevitabile del rumore, di eventuali interferenze e soprattutto della non conoscenza del segnale utile originario da parte del ricevitore. Lo scopo di un progetto è quindi quello di realizzare un sistema di comunicazione che minimizzi la degradazione dell'informazione rispettando alcune specifiche (vincoli ) progettuali, come la potenza in trasmissione, la larghezza di banda e il costo. Per i sistemi digitali la misura più diffusa e più semplice della fedeltà o, se vogliamo, della degradazione, è la probabilità di errore (Pe) chiamata anche tasso d'errore o Bit-Error- Rate (BER) sui dati ricostruiti. Per i sistemi analogici le prestazioni sono quantificate attraverso il rapporto segnale-rumore (Signal to Noise Ratio, SNR) all'uscita del ricevitore. Da quanto sopra illustrato risulta evidente che per studiare i meccanismi che intervengono nella "elaborazione" dell'informazione, dal momento della sua emissione da parte della sorgente al momento del suo arrivo all'utente finale, occorre fare ricorso a dei modelli matematici. FIGURA 4 - Schema a blocchi di un sistema di comunicazioni di tipo elettrico. 4

5 Tipologia dei segnali La Teoria dei segnali ha lo scopo di sviluppare metodi matematici idonei a rappresentare, riconoscere e analizzare i segnali fisici. I segnali fisici si possono classificare in due grandi categorie: a) segnali determinati o deterministici; b) segnali aleatori. Si definisce determinato o deterministico un segnale di cui è noto l'andamento nel tempo e rappresentabile con funzioni matematiche che ne individuano l'andamento istante per istante. In questa categoria di segnali possono allocarsi i segnali trattati dal trasmettitore. Si definiscono aleatori quei segnali per i quali istante per istante esiste un grado di indeterminazione riguardo all'effettivo valore che possono assumere, cioè non se ne può predire il valore in anticipo. Di questi segnali è possibile conoscere soltanto alcune grandezze statistiche e quindi si possono rappresentare solo con modelli probabilistici. I segnali aleatori, tuttavia, possono essere caratterizzati, invece che da una singola funzione del tempo, con un insieme di funzioni dove resta indeterminata la funzione che descrive il segnale coinvolto nelle operazioni del sistema. Si parla in tal caso di processo aleatorio o stocastico. Tra questi segnali sono riconoscibili quelli presenti in ricezione, dove la mancanza di informazione relativa al segnale trasmesso, tra quelli che il sistema può emettere, rende applicabile la modellizzazione sopra menzionata. Un altro esempio di segnale aleatorio è il generico disturbo che si sovrappone nel canale o nella generica catena ricevente al segnale trasmesso: di esso non conosciamo né la natura né l'andamento temporale. Il segnale aleatorio si può caratterizzare mediante le sue proprietà statistiche, come la potenza media, la distribuzione spettrale della potenza media, ecc. Un altro tipo di classificazione è quello che divide i segnali in: 1) segnali tempo continui o analogici; 2) segnali discreti nel tempo o tempo-discreti; 3) segnali numerici o digitali. Si consideri la trasmissione della voce attraverso una linea telefonica. L'informazione da trasmettere è un'onda sonora che viene trasformata in segnale elettrico dal microfono (trasduttore) e ripristinata in forma di suono all'auricolare (trasduttore) del telefono ricevente. la trasmissione a distanza avviene totalmente per via elettrica. Il segnale elettrico utilizzato è una funzione del tempo. 5

6 Segnali a tempo continuo o analogici. Un segnale si dice a tempo continuo o analogico quando la variabile indipendente, il tempo, assume con continuità tutti i valori compresi in un certo intervallo (a,b), che può anche essere illimitato. FIGURA 5 - Segnale a tempo continuo. Ad esempio, possono essere segnali elettrici derivanti da una velocità, una pressione, un umidità, una temperatura,. In fig. 5 è mostrato un altro tipo di segnale analogico: FIGURA 6 - Altro segnale a tempo continuo o analogico. I segnali analogici sono segnali che riproducono l'andamento di grandezze del mondo fisico e con esse in stretta analogia. 6

7 Segnali a tempo discreto. In molti casi i segnali che rappresentano il fenomeno fisico sotto studio non sono rappresentabili come funzioni di variabile continua oppure tali funzioni sono note solo per determinati valori della variabile su cui sono definite. Si pensi, ad esempio, alle moderne reti telefoniche che utilizzano la tecnica PCM (pulse-code modulation, che letteralmente significa modulazione codificata di impulsi): il segnale elettrico analogico viene campionato ad intervalli di tempo predeterminati, producendo in tal modo una sequenza di numeri che rappresenta il segnale vocale. Un segnale si definisce a tempo discreto, quando la grandezza osservata è nota solo in istanti fissati, cioè per determinati valori discreti della variabile tempo. In altre parole, quando all interno dell intervallo di tempo considerato la grandezza in esame può assumere un numero finito di valori. In termini matematici definiamo come segnale a tempo discreto, indicato con g[n], una sequenza di numeri reali o complessi, definita per valori interi di n, che rappresenta il tempo discreto ( nt, T periodo di campionamento). FIGURA 7 - Segnale a tempo discreto. Rappresentazione di una sequenza. Esempi tipici possono essere i segnali elettrici generati da un sistema numerico, una luce presente o assente, un insieme di interruttori aperti o chiusi,. Segnali numerici e digitali. Un segnale si definisce digitale o anche numerico se soddisfa le seguenti condizioni: 1) è a tempo discreto, cioè è definito solo per un insieme numerabile di istanti temporali (sequenza di numeri); 2) è quantizzato, cioè può assumere solo un numero finito di valori distinti; 7

8 3) è codificato, cioè l'insieme dei valori che esso può assumere, viene espresso mediante parole; in altri termini con associazioni di simboli di un codice opportuno, dove ciascun simbolo è espresso fisicamente mediante un predeterminato segnale elementare. Ad esempio l'uscita di un computer è un segnale di tipo numerico. Naturalmente un segnale analogico può essere convertito in uno numerico operando separatamente campionamento, quantizzazione e codifica. FIGURA 8 - Segnale numerico o digitale. Differenze tra segnali analogici e segnali discreti. a) Un segnale analogico, caratterizzato da un andamento continuo della grandezza elettrica in funzione del tempo, comporta quasi sempre una circuiteria di una certa complessità. b) Un segnale discreto, caratterizzato solo da un numero finito di valori della grandezza elettrica dipendente dal tempo, è generalmente associato ad una circuiteria più semplice di quella del segnale analogico. c) Il segnale discreto è il più usato nei moderni sistemi di elaborazione e trasmissione dati; infatti, nella sua rappresentazione più semplice a soli due stati consente di realizzare un sistema binario, avente come unità di misura della quantità di informazione il BIT (Binary digit). A completamento della classificazione dei segnali trattata è necessario introdurre alcune definizioni. 1) Segnale Periodico: È un segnale che si ripete esattamente ad intervalli regolari di tempo. La durata di questi intervalli è chiamata Periodo T e la sua unità di misura è il secondo [ s ]. Per questi segnali vale sempre la relazione: y(t) = y( t + T ) per t 8

9 Un altro parametro molto importante caratteristico di un segnale periodico è la Frequenza f, che rappresenta il numero di periodi contenuti nell unità di tempo. La frequenza è legata al periodo dalla seguente relazione: FIGURA 9 - Relazione frequenza - periodo. La frequenza è l inverso del periodo. L unità di misura della frequenza è l Hertz : 1 Hz = 1 s -1 Si dice che un segnale ha la frequenza di 1 Hz quando compie una sola oscillazione in 1 secondo. Si definisce pulsazione il prodotto di 2 per f: radiante/secondo. = 2 f. La sua unità di misura è il In Fig. 10 è mostrato l andamento di un tipico segnale sinusoidale: FIGURA 10 - Segnale periodico. Un altro segnale periodico è mostrato in Fig.11. 9

10 FIGURA 11 - Segnale periodico. 2) Segnale Non Periodico È un segnale privo di periodo e quindi ha la prerogativa di svilupparsi nel tempo nel modo più generale possibile. Un segnale non periodico è tipicamente gestito da sistemi di acquisizione dati. 3) Segnale Alternato La grandezza elettrica, che rappresenta il segnale, assume valori sia positivi che negativi, producendo un fenomeno bidirezionale. Il segnale alternato può essere periodico o non periodico. I segnali di Fig.10 e di Fig.11 sono un tipico esempio di segnale alternato. 4) Segnale Impulsivo Un segnale impulsivo è un segnale di durata temporale molto breve e la grandezza che rappresenta può assume valori decisamente elevati. Un segnale impulsivo può assumere solo valori positivi oppure solo valori negativi e ciò comporta la unidirezionalità del sistema. Ovviamente il segnale impulsivo può essere periodico o non periodico. Un esempio di segnale impulsivo è la Delta di Dirac: FIGURA 12 - A sinistra un segnale impulsivo e a destra una Delta di Dirac. 10

11 Lo studio dei segnali. Lo studio di un segnale, qualunque sia il tipo e qualunque sia la sua forma d onda, si effettua sempre secondo due direttrici: 1) nel dominio del tempo; 2) nel dominio della frequenza. Sono due modi di rappresentare la stessa entità, lo stesso segnale. Il legame che esiste tra i due domini è costituito da precise relazioni matematiche, che rende le due rappresentazioni perfettamente interscambiabili. Tali rappresentazioni vengono così definite: Dominio del tempo: lo studio nel dominio del tempo consente di determinare: La forma d onda, cioè il modo in cui un segnale varia nel tempo; da essa si ricavano l ampiezza, il valore efficace, il periodo, il valore medio, ecc del segnale. Matematicamente si esplicita una funzione del tempo con la scritta: y = f(t) La durata del segnale, cioè l intervallo di tempo in cui il segnale assume valori significativi. Dominio della frequenza: lo studio nel dominio della frequenza consente di determinare: Lo spettro (o trasformata) di un segnale, cioè la rappresentazione delle frequenze che compongono il segnale stesso. Lo spettro viene indicato con la lettera maiuscola ed una dipendenza dalla frequenza. Ad esempio S (f)=... La banda che rappresenta l intervallo delle frequenze in cui lo spettro del segnale assume valori significativi. Altro parametro caratteristico è l estensione del segnale: a) nel dominio del tempo l estensione prende il nome di durata, cioè è un intervallo di tempo; b) nel dominio della frequenza l estensione prende il nome di banda, cioè è un intervallo di frequenza. Sistemi in regime sinusoidale. Nello studio dell Elettrotecnica si è appreso che il funzionamento di una rete elettrica costituita da componenti passivi (resistori, induttori, condensatori) ed attivi (generatori), può essere descritto attraverso un modello matematico costituito da un sistema di equazioni differenziali i cui termini noti rappresentano le cause che generano le correnti che attraversano la rete. Il sistema di equazioni che si ottiene dipende dalla forma del circuito e le equazioni sono ricavabili dai principi di Kirchhoff. Sotto opportune ipotesi (linearità e tempo invarianza dei componenti) tale equazione è lineare e a coefficienti costanti. Allora, se le cause forzanti (generatori) sono tutte sinusoidali isofrequenziali, tale è anche il termine noto, e, una soluzione particolare dell equazione, sarà anch essa sinusoidale isofrequenziale con le cause forzanti. 11

12 Ciò significa che, estinta la fase transitoria che si ha all avvio del suo funzionamento, tutte le grandezze che interessano la rete (tensioni e correnti), saranno sinusoidali ed isofrequenziali con le cause forzanti. Si dice allora che nella rete si è instaurato un regime sinusoidale permanente. Una grandezza, il cui andamento nel tempo è rappresentabile con la funzione y (t), come mostrato in Fig. 13, si dice periodica di periodo T se risulta: y (t) = y (t+nt) = Y M sin(ωt+φ) in altre parole, se ad intervalli di tempo uguali, assume valori uguali. Valore istantaneo Il valore assunto dalla grandezza in un istante di tempo stabilito t, viene detto valore istantaneo della grandezza in quell istante e si calcola sostituendo quel valore del tempo nell'equazione che descrive quella funzione del tempo. Valore Massimo Si chiama valore massimo o valore di picco il più elevato tra i valori istantanei assunti dalla funzione. FIGURA 13 - Segnale periodico. Valore medio, valore massimo, valore istantaneo. 12

13 Valore Medio Il valor medio rappresenta l ordinata di compenso, cioè il livello tale che, in un periodo, la somma delle aree sottese dal diagramma della funzione che si trovano al di sopra di tale livello, uguaglia la somma delle aree che si trovano al di sotto come mostrato in Fig. 13. La definizione di valore medio può essere estesa ad una frazione qualsiasi t del periodo: FIGURA 14 - Valore medio di un segnale periodico. Si definisce valor medio il prodotto dell inverso del periodo per l integrale di y(t) in dt calcolato tra i valori del tempo che vanno da 0 a T, chiamati estremi di integrazione. La definizione di valore medio si può estendere anche ad una parte del periodo. Il valore medio su un periodo non dipende dagli estremi d integrazione, mentre viceversa il valore calcolato su una parte del periodo dipende dagli estremi d integrazione. Valore efficace Si definisce valore efficace della grandezza periodica rappresentata dalla funzione y (t), la quantità calcolata con la relazione di Fig. 15: FIGURA 15 - Valore efficace di un segnale periodico. Per definire fisicamente il valore efficace di una grandezza periodica, si supponga di avere una corrente elettrica la cui forma d onda sia una sinusoide: il valore efficace di una corrente sinusoidale è quella intensità di corrente continua che, in pari tempo, produce i medesimi effetti termici della corrente sinusoidale. In altre parole: è quel particolare valore che dovrebbe assumere una corrente continua circolante nell identico circuito (ad esempio con una resistenza) per creare, in un medesimo intervallo di tempo, lo stesso effetto termico. 13

14 Grandezze alternate Una grandezza periodica di periodo T, rappresentata dalla funzione y(t), si dice alternata se il suo valore medio è nullo. FIGURA 16 - Valore medio di un segnale periodico alternato. Ciò significa che il diagramma di questa funzione, in un periodo, deve essere composto di due aree delle stesso valore: una nel primo quadrante ed una nel quarto, come mostrato in Fig. 17. FIGURA 17 - Valore medio di un segnale periodico alternato. Non necessariamente una funzione periodica è una grandezza alternata; lo è soltanto se il suo valor medio è nullo. Grandezze sinusoidali Tra le grandezze periodiche, assumono particolare importanza le grandezze sinusoidali, rappresentate da funzioni del tipo mostrato in Fig

15 FIGURA 18 - Funzione matematica di una grandezza sinusoidale. I valori istantanei di una funzione sinusoidale sono suscettibili di un interpretazione geometrica, mostrata in Fig. 19. Tali valori corrispondono alle proiezioni sull asse delle ordinate di un segmento di lunghezza OP, che ruota intorno ad un punto O con velocità angolare, costante, che compie un intero giro nel periodo T. La grandezza, che già scritto, si chiama pulsazione e si misura in rad/s. L argomento t +, rappresenta un angolo ed è la fase istantanea della grandezza. L angolo si chiama fase iniziale (o semplicemente fase) e rappresenta la fase della sinusoide calcolata per t = 0. La funzione sinusoidale è una funzione periodica alternata. FIGURA 19 - Interpretazione geometrica di una grandezza sinusoidale. Il vettore rotante nel tempo è chiamato fasore. 15

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