Lezione 5. Ricapitolando. De Bruijn graph. Koorde. de Bruijn graph. de Bruijn graph

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1 Lezioe 5 Ricapitolado. Sistemi PP puri Sistemi Uiformi Sistemi No uiformi Abbiamo detto abbastaza Neighbor of Neighbor routig (NON) E u protocollo chord like rig cosistet hashig per mappare le chiavi ei odi De Bruij graph APL O(log ) co grado costate APL O(log / log(log )) co grado O(log ) U ha u odo per ogi umero biario di b bits Ogi odo ha due archi usceti, i particolare il odo m ha u lik al odo m mod b ; u lik al odo m+1 mod b ; I altre parole dato u odo m per otteere i suoi due vicii basta fare lo shift a siistra della codifica biaria di m (elimiado il bit più sigificativo) e poi aggiugere 0 e 1; Es.: suppoiamo di voler cooscere i vicii del odo allora facciamo lo shift a siistra di e otteiamo 0; elimiiamo il bit più sigificativo e otteiamo ; i due vicii soo quidi: + 0 = + 1 = Deotiamo co m 0 0 il primo vicio di m m 1 1 il secodo vicio di m Routig Suppoiamo di voler passare dal odo s=(s 0,s 1,,s,s b-1 ) al odo t=(t 0,t 1,,t,t b-1 ) passo 1: s s 1 = s ts 0 s 1 =(s 1,s,,t,t 0 ) passo : s 1 s = s 1 t 1 s =(s,,, t 0,t 1 ) passo 3: s s 3 = s t s 3 =(,, t 0,t 1,t ) passo b: s b-1 s b = s b-1 t b-1 s b =(t 0,t 1,,, t b-1 )=t b passi diametro = b = log 1

2 Routig Es.: vogliamo passare dal odo al odo Passo 1: da a Passo : da a Passo 3: da a t=m topbit(ks ks) (k,ks ks<<1) La prima chiamata è k) m odo sorgete k odo destiazioe Routig ottimizzato Calcolo la dimesioe j del più grade suffisso del odo sorgete s che è ache prefisso del odo destiazioe t. Il routig iizia al passo j+1 Es.: vogliamo passare dal odo s= al odo t= Passo : da a Passo 3: da a t=m topbit(ks ks) (k,ks ks<<1) La prima chiamata è k <<j) m odo sorgete k odo destiazioe E difficile da guardare figuriamoci da implemetare E se maca u odo? E se e macao tati? b è di solito 160 (SHA) 160 Gli idirizzi IP soo 3 primo vicio secodo vicio La maggior parte delle applicazioi usa u umero di odi effettivo molto più piccolo di b. Evitare collisioi ell assegare chiavi; I geerale il sistema deve poter evolversi ( deve poter variare).

3 , : m Cosideriamo ora u rig o completo Il odo m ha due lik ai odi immagiari: m mod b m+1 mod b Aggiugiamo due ulteriori lik per ogi odo: U lik al successore ell aello U lik al predecessore di m mod b Lik a odi effettivi La uova procedura di routig, ivece di attraversare i odi del grafo di de Bruij e attraversa i predecessori; fasi Cerca il predecessore di s i Passa al uovo odo s i+1 d( Abbiamo raggiuto la destiazioe? t=m topbit topbit(ks) (k,ks<<1) Abbiamo raggiuto il predecessore del odo immagiario? if k (m, ] retur successor if i (m, retur d.lookup(k, d è il lik al predecessore di m mod.successor.lookup(k, b 1 if k (m, ] retur successor if i (m, 3 retur d.lookup(k, 4 5.successor.lookup(k, Passiamo al uovo odo del grafo di de Bruij Cerchiamo il predecessore del odo immagiario? Il passo 3 viee eseguito al massimo b volte Quate volte eseguiamo il passo 5, vale a dire quato impieghiamo per trovare il predecessore di u odo immagiario? Lemma Il umero medio di passi, durate ua operazioe di lookup i è 3b Prova Ogi hop su u grafo Nel passare dal odo immagiario di i al de Bruij odo si traduce i ua path i koorde. immagiario i topbiti topbit(ks), ci muoviamo Quato dal è luga odo questa m=predecessor(i) al odo m.d (predecessor path i media? m mod b ) e poi ci spostiamo usado i successor poiter fio a raggiugere il predecessor del odo immagiario i topbit(ks), Le frecce gialle soo b Quate soo le frecce verdi? d ( x y ) i+1 i m I odi attraversati fra due frecce gialle soo i odi che si trovao fra m e i+1 Quati odi ci soo ell itervallo I =(m,i+1)? I =(i-m)/( m)/( b /) Sapedo che il valore atteso di i-m i b / I ( b / )/( b /) = I totale duque per ogi freccia gialla media frecce verdi I totale 3b passi gialla vi soo i Distaza media fra due odi b / m i 3

4 1 if k (m, ] retur successor if i (m, 3 retur d.lookup(k, 4 5.successor.lookup(k, Claim La distaza fra m e il suo successore è co alta probabilità maggiore di b / Prova (Sketch) Poiché m è resposabile di tutti i odi immagiari che vao da m e m.successor è possibile migliorare ulteriormete l algoritmo. La distaza fra m e il suo successore è co alta probabilità maggiore di b / Distaza media b / Distaza b / Fissato u odo la probabilità che u altro odo qualsiasi sia più vicio di b / è( b / )/ b = 1/. La probabilità che essuo degli altri -1odi sia più vicio di b / è (1-1/ ) -1 >1-1/. Abbiamo dimostrato che la distaza fra m e il suo successore è co alta probabilità maggiore di b / Questo sigifica che il odo m è resposabile di odi immagiari co tutte le possibili combiazioi degli ultimi log( b / )= b-log bit. Scegliedo come odo immagiario iiziale il odo che ha gli ultimi b-log bit uguali a i primi b-log del odo destiazioe, dobbiamo effettuare alla fie soltato (b-(b- log))*3 passi = 6log passi circa. d ( (base ) Ha APL O(log ) co grado costate Si può dimostrare che ache il diametro è co alta probabilità (WHP) O(log ). (base k) Utilizziamo i grafi di de Bruij base k Scegliamo k = log d ( base k Per ogi k, i u grafo di de Bruij base k, ogi odo m è coesso a altri k odi: km mod k b km+1 mod k b km+(k (k-1) mod k b Esempio k=4,, =k b =64 e m=31 4 = 57 Il primo vicio è 10 4 =36 Il secodo vicio è 4 =37 Il terzo vicio è 1 4 =38 Il quarto vicio è 13 4 =39 Diametro O(log k ) k= base k Esempio, b=, =k b = b= 0 4

5 base k k+1 uovi lik Il lik al successore ell aello k lik ai predecessori dei vicii E possibile fare routig co grado k e APL O(log k ) 0 10 b= 1 1 d ( 0 base k Scegliedo k = O(log ): Grado = O(log ) O(log / log (log( )) Svataggi Bisoga stimare a priori; No è possibile cambiare il grado i u sistema attivo; E molto complicato stabilizzare la rete; 0 10 b= Ricapitolado. Sistemi PP puri Sistemi Uiformi Sistemi No uiformi Neighbor of Neighbor routig (NON) 5