Errata-Corrige al volume

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1 1 Errata-Corrige al volume M. Giaquinta, G. Modica, Note di Metodi Matematici per Ingegneria Informatica, Edizione 2007, Pitagora editrice, Bologna Malgrado le migliori intenzioni degli autori, il volume contiene imprecisioni ed errori. Qui di seguito sono elencati gli errori noti agli autori ad oggi e le correzioni da apportare al volume in oggetto. Saremo grati a quanti vorranno comunicarci ulteriori errori, imprecisioni o anche critiche agli indirizzi giaquinta@sns.it giuseppe.modica@unifi.it. Pisa e Firenze, 1 novembre 2012 Mariano Giaquinta Giuseppe Modica Pagina Errore 4 12 x 1 x 2.. x n Correzione x 1 x n x aventi avente 12 7,9,10 X R n n (3 volte) k 12 4 (x 1, x 2,..., x n ) (x 1, x 2,..., x n ) 12 4 (y 1, y 2,..., y n ) (y 1, y 2,..., y n ) x X x R n 20 6 le cui la cui 21 9,10 ϕ (5 volte) l Mostrare, mostrare z X di z X 27 6 e 1 := e 1 :=

2 e i, i = 1,...,n e j, j = 1,...,k n i=1 (2 volte) k i= ,n...,k (e 1, e 2,..., e n ) (e 1, e 2,..., e k ) 29 8 = n = n := dimx Sia X è uno Sia X uno 29 8 F := L(x)x F := L(x)x 32 7 n dimkerl dimx dimkerl 34 7 poiezione proiezione 34 6 dunqe dunque 34 3 di decompone si decompone L(y) := y w L. L(y) = y w L y X (x n w)..., (x m w) B = SAS 1 B = S 1 AS E d uso chiamare molteplicità di un autovalore la sua molteplicità algebrica autovalore... di A M n,n (K) autovalore di A M n,n (K) 42 6 A è simile ogni matrice associata ad A è simile Segue dalla... che Segue che quindi n k=1 dimv λ i = n. quindi dalla Proposizione n k=1 dimv λ i = n. 5.3 che 44 2 vettoriale... finita. vettoriale di dimensione n su K dimensione finita. dimensione n λ i, i = 1,...,n λ i, i = 1,...,k 45 2 [ e 1 1,1,e2 1,1,...,e1 1,2,e2 1,2,...,e1 2,1,e2 2,1,... ] [ e 1 1,1 e2 1,1... e1 1,2 e2 1,2... e1 2,1 e2 2,1... ] 47 9 x y y se e solo se (x P(x) P(z)) = 0 se e solo se x X (x P(x) P(z)) = autoggiunto autoaggiunto 51 4 (ii) Proposizione (iii) Proposizione (i) Essendo Essendo alla restrizioni alle restrizioni bxy +2bxy Se λ i Se λ j a u i a u j autoaggiunto sullo autoaggiunto e semidefinito positivo sullo 62 8 e siano µ 1, µ 2,..., µ n e µ 1, µ 2,..., µ n 64 8 x ǫ A y 2 x ǫ A y 67 2 complessa e complessa in z 0 e 68 2 λw λw w C 69 6 w 1 a w 2 w 1 e w Esercizio...z 2, Esercizio (La funzione z z 2 ) (2 volte) b a 76 6 un curva una curva

3 (9.2) (9.3) le successione le successioni 80 7 x 2k+1 2k+1 dt+ x 2k+1 2k k 2 k h n (r t 89 8 assoutamente assolutamente dal bordo di B dal bordo B di B per ogni intero n per ogni intero n B(z 0,ρ) B(z 0,r) w j w j palti lati 109 1,3 s n (w)dw s n (w) 1 w dw antioriario antiorario Se Siano è tale che tali che Sono stime. Sono stime f k=j k! (z z 0 ) j f (j) j=k j! (z z 0 ) j H(Ω)) H(Ω) H(Ω\{z 0 } se H(Ω\{z 0 }) se indentità identità una aperto un aperto h m (z) := g m (z) := f(z f(z) dx dx = y n il secondo y n è il secondo p j (2 volte) m j laprocedura la procedura δ hk δ h [n/2] k= [n/2] n k= n ) n [n/2] k=0 [n/2] k= logaritmmo logaritmo La Sezione 23.g è segnata da vari errori ed imprecisioni. Qui di seguito riportiamo la sua sostituzione. 23.g. Un sistema di ODE: piccole oscillazioni Siano dati N punti materiali x 1, x 2,..., x N in R 3 aventi masse rispettivamente m 1, m 2,..., m N non nulle. e si supponga che le suddette masse interagiscano fra loro con forze soddisfacenti la legge di Hooke. Indichiamo con x i (t) la legge oraria del moto dell i-esimo punto. La forza di richiamo esercitata dalla massa in x j su x i è dunque proporzionale al vettore x j x i f ij := k ij (x j x i ), j i, k ij 0.

4 4 Si pone k ij = 0 se non c è alcuna forza di richiamo diretta tra i e j. Per il principio di azione e reazione, la forza esercitata da x i su x j è uguale e opposta, f ji = f ij e le costanti elastiche k ij, i j, soddisfano la relazione di simmetria k ij = k ji. La forza totale agente sulla massa in x i è la somma delle forze esercitate dagli altri punti, i.e., f i = j i k ij (x j x i ) = ( k ij x j k ij )x i := j i j i n k ij x j se si ha cura di porre k ii := j i k ij. Le equazioni della dinamica danno quindi luogo ad un sistema di 3N equazioni accoppiate m i x i = f i = k ij x j, i = 1,...,N. Tuttavia, l accoppiamento è tale che la j-esima componente della forza dipende solo dalle coordinate j-esime dei punti materiali. Il sistema si divide dunque in 3 sistemi di N equazioni del secondo ordine, uno per coordinata m i (x 1 i) (t) = k ij x 1 j(t), m i (x 2 i ) (t) = k ij x 2 j (t), m i (x 3 i ) (t) = k ij x 3 j (t), i = 1,...,N, i = 1,...,N, i = 1,...,N. Siano M := diag(m 1, m 2,..., m N ), K := (k ij ) M N,N (R) la matrice simmetrica delle costanti elastiche (dove si è posto per ogni i, k ii := j i k ij) e sia X(t) = X j (t) R N il vettore colonna delle j-esime coordinate dei moti dei punti x 1,...,x N X(t) = X j (t) := (x j 1 (t),...,xj N (t))t, x i (t) =: (x 1 i(t),x 2 i(t),x 3 i(t)). Allora X(t) verifica il sistema di N equazioni X (t) = M 1 KX(t). e quindi la mappa a valori matrici N 3 data da t X(t) := [X 1 (t) X 2 (t) X 3 (t)] verifica il sistema X (t) = M 1 KX(t) t R. La matrice M 1 K non è in generale simmetrica (pur essendolo le matrici M e K). Tuttavia si osserva quanto segue. La mappa bilineare (x,y) (x y) = Mx y := N i=1 m ix i y i è un prodotto scalare su R N, la cui matrice di Gram è M.

5 5 Le colonne di M 1/2, 1/ m M 1/2 0 1/ m = / m N formano una base di R N ortonormale per il prodotto scalare ( ). La mappa x M 1 Kx è autoaggiunta per il prodotto scalare ( ). Infatti x,y R N (M 1 Kx y) = Kx y = x Ky = x MM 1 Ky = Mx M 1 Ky = (x M 1 Ky). Equivalentemente, la matrice M 1/2 (M 1 K)M 1/2 = M 1/2 KM 1/2 è simmetrica; infatti, (M 1/2 KM 1/2 ) ij = k ij 1 mi mj In particolare, M 1 K ha N autovalori reali λ 1, λ 2,..., λ N se contati con la loro molteplicità. Gli autovalori della matrice M 1 K sono tutti non positivi. Infatti si osserva che la matrice M 1 K è una Q-matrice: per i j e (M 1 K) i j = N h=1 1 m i δ ih K h j == 1 m i k ij 0 (M 1 K) i j = 1 N k ij = 0. m i Pertanto, cfr. Lemma 23.19, tutti gli autovalori di M 1 K sono contenuti in un cerchio chiuso B( q,q) con q 0, in particolare sono non positivi. PoichéM 1 Kèautoaggiuntaconautovaloriλ 1, λ 2,..., λ N tuttinonpositivi,inumeri λ 1,..., λ N sono i valori singolari della matrice M 1 K. Si possono pertanto calcolare concretamente con l algoritmo di decomposizione secondo i valori singolari. 0 è un autovalore di M 1 K e (1,1,...,1) T è un suo autovettore. Infatti (M 1 K(1,1,...,1) T ) i = (M 1 K) i j = 0. Si può dimostrare che se i punti sono tra loro connessi, o, come si dice, se la matrice K è irriducibile, allora 0 è un autovalore di molteplicità 1, e tutti gli altri autovalori sono strettamente negativi λ N λ N 1 λ 2 < λ 1 = 0. Pertanto dal teorema spettrale, esiste una base u 1, u 2,..., u N di R N ortonormale per il prodotto scalare ( ) formata da autovettori di M 1 K. Se λ s denota l autovalore relativo a u s e S := [u 1 u N ] è la matrice che ha in colonna s le coordinate di u s, allora M 1 K = Sdiag(λ 1, λ 2,..., λ N )S 1 e quindi la mappa a valori matrici N 3 definita da

6 6 verifica t Y(t) := S 1 X(t) Y (t) = S 1 X (t) = diag(λ 1, λ 2,..., λ N )Y(t) Per ogni s = 1,...,N, indichiamo con y s (t) R 3 il punto avente come coordinate la riga s-esima della matrice Y. Allora (y s ) (t) = λ s y s (t) i.e., le coordinate di y s sono tutte soluzioni dell equazione y (t) = λ s y(t) i.e., si muovono o di moto rettilineo uniforme se λ s = 0 o con moto armonico semplice di periodo λs se λ s < 0. Pertanto, per ogni s = 1,...n se λ s = 0, la curva t y s (t) è un moto rettilineo uniforme. In particolare, se si prende come autovettore di norma 1 relativo all autovalore nullo il vettore u 1 := 1 M (1,,1)T con M := N i=1 m i, allora il punto y 1 (t) = 1 m i x i (t), M i.e., il baricentro del sistema, si muove di moto rettilineo uniforme. se λ s < 0, allora y s (t) = cos(ω s t)y(0)+ sin(ω s)t ω s (y s ) (0) i=1 dove ω s := λ s. La traiettoria descritta da y s (t) è un ellisse centrata in 0 nel piano generato da y s (0) e (y s ) (0). I numeri λs ν s := 2π, λ s < 0, si chiamano frequenze proprie del sistema. Infine, ciascun punto x i descrive un moto che è una combinazione lineare dei moti dei punti y i essendo X(t) = SY(t) Lemma. Sia A una matrice N N a coefficienti complessi. Per ogni i = 1,...N siano x i := A i i e r i := j i Ai j e indichiamo con B i la palla chiusa di centro x i e raggio r i, B i := {z C z x i r i }. Allora gli autovalori di A appartengono a i=1,...,n B i. Dimostrazione. Sia λ C un autovalore di A e sia z = (z 1, z 2,..., z N ) C N un autovettore non nullo relativo all autovalore λ, Az = λz. Sia h = h(λ) l indice tale che z h = max i z i. Allora λ x h z h = (Az) h A h h zh = j ha h j zj ( A h j )max z i r h z h. i j h Pertanto λ x h r h, i.e., λ B h.