ATWDL - UNITÀ 1 - SOLUZIONE ESATTA DI TRAVI DI LUNGHEZZA FINITA SECONDO LA TEORIA DI E. WINKLER

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1 ATWDL - UNITÀ 1 - SOLUZIONE ESATTA DI TRAVI DI LUNGHEZZA FINITA SECONDO LA TEORIA DI E. WINKLER L'unità ha lo scopo di esporre la teoria della risoluzione esatta della trave di lunghezza finita su suolo elastico modellato secondo le ipotesi di E. Winkler, mettendo brevemente in luce la complessità dal punto di vista matematico. Si evidenziano inoltre le variazioni delle grandezze proprie della trave che possono essere riscontrate lungo lo sviluppo longitudinale della stessa. Tali variazioni possono riguardare caratteristiche geometriche quali base, altezza e momento d'inerzia della sezione, o caratteristiche riguardanti il sottofondo in presenza di una eventuale discontinuità nel valore del coefficiente. Trave su suolo elastico In questo capitolo sarà trattata la teoria della trave su suolo elastico modellato secondo le ipotesi di E. Winkler. Il problema sarà spiegato nella forma più generica, introducendo dapprima le ipotesi alla base della trattazione, fino ad ottenere l equazione differenziale della linea elastica. Il passo finale sarà la risoluzione del problema per la trave di lunghezza finita. L origine e le ipotesi alla base della teoria di Winkler Nella trattazione a seguire l analisi del momento flettente delle travi su fondazione elastica è sviluppata sull assunzione secondo cui la reazione della fondazione sia proporzionale in ogni punto all inflessione della trave in quel punto 1. Tale assunzione fu introdotta nel 1867 da E. Winkler e formò le basi per lo studio di H. Zimmermann, pubblicato nel 1888, sui binari della ferrovia. Le prime ricerche riguardarono l identificazione del suolo come mezzo di supporto; fu successivamente scoperto che c erano altri campi di applicazione in cui i concetti di Winkler erano applicabili in maniera più rigorosa. Due di questi campi di applicazione ulteriore vennero identificati come campi di particolare importanza. 1 M. Hetényi, Beams on elastic foundation, Michigan 1971, cap I-II-III ATWDL - Unità 1 - Soluzione esatta di travi di lunghezza finita secondo la teoria di E. Winkler 1

2 Uno di essi riguarda il reticolo di travi, elemento caratteristico di costruzioni come navi, edifici e ponti; l altro fa riferimento invece alle piastre sottili, includendo elementi come recipienti a pressione, caldaie e contenitori. La teoria delle travi su fondazione elastica è impiegata per la maggior parte delle situazioni menzionate precedentemente, dunque la sua applicazione appare di notevole interesse. Le proprietà fisiche del suolo sono ovviamente di natura molto più complessa di quel che è possibile rappresentare attraverso una semplice relazione matematica come quella assunta da Winkler. Ci sono in ogni caso alcuni punti che possono essere evidenziati, a sostegno dell applicabilità di questa teoria nelle fondazioni sul suolo. Sotto determinate condizioni, l elasticità del suolo è innegabile; è possibile osservare ad esempio come in esso si possano propagare le onde. Inoltre in secondo luogo, punto più dibattuto della teoria di Winkler, si assume che la fondazione si deformi solo lungo la porzione che si trovi direttamente sotto il carico; questa ipotesi, a partire dall esperimento di A. Föppl, è stata riscontrata essere valida per una grande varietà di terreni. Viste queste considerazioni, la teoria di Winkler può essere considerata valida, nonostante la sua semplicità, e rappresentare le condizioni del suolo al di sotto della fondazione in maniera più accurata rispetto ad alcune analisi sviluppatesi negli ultimi anni, dove la fondazione è considerata come un corpo elastico isotropo. Il modulo della fondazione L assunzione p = ky. implica che il mezzo di supporto sia elastico; in altre parole il materiale di cui è formato segue la legge di Hooke. Pertanto la sua elasticità può essere caratterizzata da una forza che, distribuita per unità di area, causi un abbassamento unitario. La costante del mezzo di supporto è chiamata modulo della fondazione. Si assume che la trave considerata abbia una sezione trasversale uniforme e che la dimensione sia costante per tutto il suo viluppo longitudinale. Una deformazione unitaria della trave causerà una reazione pari a bk 0 nella fondazione; L equazione differenziale della linea elastica Si consideri una trave rettilinea sorretta per l intera lunghezza da un mezzo elastico e soggetta a forze verticali agenti nel piano principale della sezione di simmetria longitudinale. A causa di queste forze la trave s inflette, producendo una reazione uniformemente distribuita nel mezzo che la sostiene. Si assume che l intensità di tali forze reattive sia, punto per punto, proporzionale all inflessione del punto stesso, ovvero: p = ky. Le reazioni vengono assunte verticali, agenti in direzione opposta a quella dell inflessione della trave. Dunque nel momento in cui l abbassamento è rivolto verso il basso, assumendo tale direzione come positiva, ci sarà una compressione nel mezzo a supporto della trave; quando invece l inflessione sarà negativa, essa produrrà uno stato di sforzo di trazione; al momento si suppone ATWDL - Unità 1 - Soluzione esatta di travi di lunghezza finita secondo la teoria di E. Winkler 2

3 conseguentemente l intensità della reazione distribuita (per unità di lunghezza della trave) sarà pari a che il mezzo di supporto della trave non sia in grado di assorbire tali forze di trazione. p = bk 0 y. Per brevità si utilizzerà la dicitura k per indicare il prodotto bk 0 ; si tenga conto che tale fattore includa gli effetti dell intera larghezza della trave e che sia uguale a k 0 a livello dimensionale, considerando una trave di larghezza unitaria. Nell inflessione della trave, è possibile che oltre alle reazioni verticali ci siano delle forze orizzontali di attrito, originate sulla superficie di contatto fra la trave e la fondazione. Nella trattazione che seguirà, i possibili effetti di tali forze orizzontali non saranno considerati, le reazioni della fondazione vengono assunte verticali in ogni sezione trasversale della trave stessa. Figura 1: Trave su mezzo elastico Si consideri un elemento infinitesimo della trave racchiuso fra due sezioni trasversali a distanza dx una dall altra (per far questo si assume che la deformazione è tale da poter considerare verticali le sezioni trasversali a deformazione avvenuta. Ovviamente tale approssimazione non potrebbe essere impiegata qualora venissero considerati gli effetti di eventuali forze assiali applicate alla trave). Si assume inoltre che l elemento faccia parte di una trave su cui agisca un carico distribuito q. Le forze esercitate sull elemento sono mostrate in figura 2. La forza tagliante verticale Q, agente sulla sezione trasversale di sinistra, è considerata positiva, così come viene assunto positivo il corrispondente momento flettente M, coppia oraria agente sull elemento (momento generato dalla forza Q). Queste direzioni di Q e M verranno assunte come positive per tutta la trattazione. Figura 2: Forze agenti su elemento dx Si consideri l equilibrio alla traslazione verticale dell elemento nella figura 2; valutando la sommatoria delle forze verticali agenti si ottiene: da cui Utilizzando la relazione Q ( Q +dq )+ kydz qdx = 0, dq = ky q. dx Q = dm dx, ATWDL - Unità 1 - Soluzione esatta di travi di lunghezza finita secondo la teoria di E. Winkler 3

4 è possibile scrivere Utilizzando ora l equazione differenziale delle trave inflessa differenziandola due volte si ottiene Con le opportune sostituzioni di ottiene infine Questa è l equazione differenziale della linea elastica di una trave su una fondazione elastica. Sulle porzioni di trave su cui non agisce il carico distribuito, l equazione appena riportata diventa dq dx = d 2 M = ky q. dx 2 d 2 y EJ dx 2 = M, EJ d 4 y dx = M 4 d2 dx. 2 EJ d 4 y = ky +q. 4 dx EJ d 4 y dx = ky. 4 È sufficiente considerare solo l integrale generale associato a questa equazione differenziale, a cui verrà sommato un integrale particolare nel caso in cui il valore del carico q sia diverso da 0. È possibile scrivere la soluzione nella forma più conveniente: y = e λx (C 1 cosλx +C 2 sinλx )+e λx (C 3 cosλx +C 4 sinλx ). Questa espressione rappresenta la soluzione generale della linea elastica di una barra prismatica rettilinea sorretta da una fondazione elastica e soggetta a forze trasversali e flettenti, senza un carico q applicato. Nel caso in cui la barra fosse soggetta anche ad un carico distribuito, occorrerebbe inserire un termine aggiuntivo. Sapendo che dy dx = tanθ, EJ d 2 y dx = M, 2 EJ d 3 y dx =Q, 3 è possibile ottenere l espressione generale delle leggi di variazione di rotazione, momento flettente e taglio. L intensità della pressione viene valutata sempre considerando p = ky. Applicando queste equazioni, o le corrispondenti nelle quali sia stata valutata la presenza del carico q, occorre determinare il valore delle costanti C 1, C 2, C 3, C 4. Tali costanti d integrazione dipendono dalla maniera in cui la trave è caricata e rimangono costanti nelle porzioni di Il fattore λ Si osserva come il fattore λ contenga la rigidezza flessionale della trave, così come l elasticità del mezzo di supporto; è inoltre un importante fattore che influenza la forma della linea elastica. Per questo motivo esso è chiamato caratteristico del sistema ed essendo a livello dimensionale una lunghezza -1, il termine λx, adimensionale, prende il nome di lunghezza caratteristica. ATWDL - Unità 1 - Soluzione esatta di travi di lunghezza finita secondo la teoria di E. Winkler 4

5 trave in cui la legge della linea elastica e delle sue derivate sono continue. Tali valori vengono ricavati dalle condizioni presenti ai due estremi di ogni porzione continua. Delle quattro grandezze che caratterizzano un estremo (y, θ, M, Q), due sono quelle note in ciascuna estremità, da cui è possibile ricavare i dati per la determinazione delle costanti C. Quando una trave è soggetta a diversi carichi, la legge della linea elastica è determinata suddividendo la stessa in porzioni continue. Sebbene in questo modo il problema sia completamente risolto dal punto di vista matematico, la procedura risulta essere abbastanza laboriosa. La risoluzione di una trave di lunghezza finita la risoluzione di una trave su suolo elastico alla Winkler genericamente caricata, può seguire diverse strade. La motivazione riguarda innanzitutto la possibilità di effettuare delle ipotesi alla base del problema e di ottenere una soluzione con un certo grado di approssimazione. Il metodo di sovrapposizione prevede che l applicabilità risieda nel confronto fra la luce della trave e la lunghezza caratteristica della stessa. Data la luce effettiva, l assimilazione a trave indefinita è tanto più vicina al vero quanto più piccola è la grandezza 2π/λ, e cioè quanto più grande è k (suolo molto rigido) e quanto più piccolo è J (trave molto flessibile). In sostanza, la trave viene assimilata ad una trave di lunghezza indefinita caricata allo stesso modo, e le leggi di variazione delle caratteristiche della sollecitazione sono ottenute come sovrapposizione di effetti. Il metodo delle condizioni iniziali valuta la trave nella sua interezza e perviene al calcolo delle grandezze interessate in funzione delle condizioni di vincolo a cui la trave è soggetta. Il metodo risulta abbastanza intuitivo ed efficace. Sebbene permetta di risolvere travi sottoposte a qualsiasi condizione di carico, è impossibile da utilizzare in presenza di discontinuità di qualsiasi di genere. La soluzione esatta è infine quella che, oltre a soddisfare l equazione differenziale della linea elastica, soddisfa inoltre le condizioni statiche e cinematiche presenti in entrambi gli estremi. Nel caso in cui la trave presenti una qualsiasi forma di discontinuità lungo il proprio sviluppo (variazione di larghezza e/o costante di sottofondo del terreno ad esempio), la risoluzione dell equazione differenziale della linea elastica avviene per tratti. Attraverso le condizioni al contorno sugli estremi e sui punti di raccordo dei tratti in cui è stata suddivisa la trave, si ricavano le costanti d integrazione necessarie per scrivere le leggi di variazione di abbassamento, rotazione, momento flettente e taglio di ogni singolo tratto. Questo metodo necessita della risoluzione di un sistema formato da un gran numero di equazioni, crescente con il numero di tratti in cui la trave risulta suddivisa. Il metodo risulta svantaggioso dal punto di vista della complessità matematica; tuttavia è l unico che permette di affrontare problemi che presentino numerose discontinuità. ATWDL - Unità 1 - Soluzione esatta di travi di lunghezza finita secondo la teoria di E. Winkler 5

6 La possibili discontinuità presenti sulla trave di fondazione Figura 3: Trave di fondazione su sottosuolo alla Winkler con k variabile lungo l asse della trave L obiettivo del corso è lo studio di una trave di lunghezza finita su suolo elastico alla Winkler nell ipotesi più generica possibile. La trave deve poter essere studiata ed analizzata in modo da poter presentare discontinuità di qualsiasi tipo dal punto di vista dei carichi applicati su di essa, della forma della sezione e delle costanti di sottofondo del terreno di fondazione. Quest ultimo punto può essere considerato il cardine delle trattazione, in quanto è frequente il caso in cui le caratteristiche del terreno e quindi il valore di abbiano significative variazioni nella direzione dell asse della trave. Nel caso in cui il sottofondo sia uniforme, i valori dei momenti flettenti che si generano nella trave, per i carichi applicati su di essa, non variano apprezzabilmente. Se invece la variazione si verifica lungo tratti di lunghezza più o meno ampia della trave, l andamento ed i valori massimi del momento flettente ne risultano profondamente modificati, come si osserva nella figura 3. 2 Lo studio di tale variazione può dunque riguardare ad esempio la presenza casuale di scavi localizzati riempiti con materiali di riporto più deformabili dei terreni naturali. Dunque sia per la presenza di queste numerose discontinuità lungo lo sviluppo della trave, sia per l impossibilità di conoscere a priori la classificazione della trave a seconda della propria rigidezza in funzione della lunghezza caratteristica, si è deciso di impiegare il metodo della soluzione esatta nello studio della stessa. Questo metodo permette di poter valutare qualsiasi discontinuità sulla trave, in accordo con gli obiettivi prefissati, a discapito di una serie molto onerosa di calcoli matematici da fare. Si ricorda infatti che nel caso in cui la lunghezza totale della trave sia minore o uguale della lunghezza caratteristica, una qualunque azione applicata in un estremo della trave fa risentire i 2 C. Viggiani, Fondazioni, 1999, pag ATWDL - Unità 1 - Soluzione esatta di travi di lunghezza finita secondo la teoria di E. Winkler 6

7 suoi effetti, per quanto modesti, anche nell altro estremo. In caso contrario, poiché gli effetti di una qualunque azione applicata in un estremo della trave sono invece praticamente nulli nell altro, si può adottare il principio di sovrapposizione degli effetti, risolvendo preliminarmente sommandone i risultati. 3 travi di lunghezza infinita ciascuna soggetta ad uno solo dei carichi, e Si è scelto di operare una suddivisione della trave di lunghezza L in un numero di tronchi n di lunghezza l. Risulta dunque Sebbene questo primo passaggio possa risultare poco significativo, è invece fondamentale per poter ottenere un modello fedele rispetto al problema reale che si intende studiare. l = L n. Figura 4: La suddivisione della trave in n tronchi di lunghezza l A livello dimensionale le grandezze e sono delle lunghezze, espresse preferibilmente in metri, una grandezza adimensionale. è invece Tutti i tronchi j-esimi della trave hanno una stessa lunghezza, tuttavia per ogni singolo tronco sarà possibile definire un valore di larghezza della base di fondazione e di sottofondo, e caricare gli estremi di ogni tronco con una forza e/o con una coppia. Così facendo si ottiene una variabilità pressoché infinita di possibili discontinuità. È possibile inoltre ottenere una variazione separata delle grandezze in questione, senza che una influenzi in qualche modo l altra. Come si osserva nella figura 5 infatti, la larghezza della trave è uguale a tratti per i primi tre tronchi e per gli ultimi quattro; la costante di sottofondo è uguale per i primi due, per i successivi quattro e per l ultimo; i carichi sono invece presenti su diversi punti, come mostrato. Da questo esempio si comprende chiaramente come la fase della suddivisione della trave in tronchi di lunghezza debba essere eseguita in maniera tale da tener conto di tutte le variazioni presenti sulla trave stessa. I carichi applicati sulla trave Nella trattazione si è fatta un ulteriore scelta sulla tipologia di carichi che possono essere applicati sulla trave. Essa prevede che su di essa gravino esclusivamente forze verticali e coppie concentrate, in qualsiasi punto. Non è stata prevista la presenza di un carico distribuito in quanto lontano da quanto si verifica realmente nella progettazione di una trave di fondazione. Su di essa infatti i pilastri della sovrastruttura imprimono forze e coppie, così come previsto. Nel caso in cui si volesse estendere la condizione di carico ed aggiungere la presenza di un carico distribuito che gravi sulla trave, basterebbe sommare la soluzione dell integrale particolare alla trattazione. 3 F. Beninato, Fondazioni: Progetto e Calcolo, Bari 2010 ATWDL - Unità 1 - Soluzione esatta di travi di lunghezza finita secondo la teoria di E. Winkler 7

8 Alla luce di quanto esposto, le discontinuità che possono essere riscontrate sulla trave sono: l a r g h e z z a d i b a s e. S i prevede che la trave possa subire una variazione di larghezza lungo la direzione d e l p r o p r i o a s s e, a d Figura 5: Le possibili discontinuità presenti nella trave esempio in presenza di pilastri o di setti. Questa variazione comporta conseguentemente una modifica nel calcolo dell inerzia della sezione e del parametro λ presente nell equazione differenziale. La valutazione della larghezza della base della trave prescinde tuttavia quella dell inerzia della sezione. Essa deve infatti essere sempre definita a prescindere dalla forma della sezione trasversale, in quanto è necessaria per il calcolo di λ. La larghezza della trave è identificata come una lunghezza a livello dimensionale, e sarà preferibile esprimerla in m. Essendo il problema posto in maniera generica si prevede che possa variare in ogni tronco della trave stessa, anche se ragionevolmente questo non accadrà; inerzia della sezione trasversale. La trave di fondazione può avere sezione trasversale diversa a seconda delle esigenze progettuali: rettangolare o a T rovescia per citare due esempi. È possibile inoltre che la sezione vari lungo lo sviluppo longitudinale della trave; questo accade ad esempio quando occorre una maggiore area per distribuire i carichi provenienti dalla sovrastruttura. L inerzia della trave è valutata come lunghezza alla quarta potenza a livello dimensionale, espressa dunque in m 4 ; coefficiente di sottofondo. Discorso analogo deve essere sviluppato per la costante di sottofondo del terreno di fondazione. Per questo parametro, punto focale della trattazione, si prevede tuttavia che esso abbia una variazione molto più sistematica, talvolta anche puntuale. Sarà proprio tale variazione a fornire una serie di dati utili per operare un confronto a livello di sollecitazioni e di progettazione successiva. La variazione puntuale di questa grandezza potrebbe condurre a sconvolgimenti rilevanti del diagramma del momento flettente, influendo notevolmente sulla progettazione delle armature presenti nella trave. A livello dimensionale deve essere espressa in kn/m 3, osservando che talvolta in letteratura tale valore viene espresso anche in kg/cm 3 ; in questo caso occorrerà effettuare una semplice equivalenza ricordando che 1 kg/cm 3 = 1000 kn/m 3. Anche in questo caso per la genericità del problema, si prevede in prima istanza che la grandezza k possa variare in ogni j-esimo tronco di trave. parametro λ dell equazione differenziale. Sul parametro λ può essere effettuato un discorso del tutto analogo a quello del momento d inerzia J. La variazione di è dovuta alla variazione di k, B, J. Viene ritenuto invece costante il valore E del modulo elastico del calcestruzzo. La ATWDL - Unità 1 - Soluzione esatta di travi di lunghezza finita secondo la teoria di E. Winkler 8

9 grandezza λ è dimensionalmente pari all inverso di una lunghezza, dunque generalmente espresso in m -1 ; carichi applicati. Come esposto precedentemente, si è deciso di operare una semplificazione per quanto concerne questo punto. Sarà possibile caricare la trave solo con forze verticali e coppie concentrate. Questi carichi possono essere applicati su qualsiasi punto della trave e dunque dei relativi tronchi in cui essa è stata suddivisa, compresi gli estremi finali della trave. Si ipotizza inizialmente che tutti i punti della trave siano caricati, salvo poi identificare solo i carichi effettivi e porre pari a 0 tutte le altre forze. A livello dimensionale le forze sono espresse in kn e le coppie in knm. Per quanto riguarda il verso, le forze sono considerate positive se rivolte verso il basso, mentre le coppie risultano positive se antiorarie. Le leggi di variazione di ogni j-esimo tronco Il passo successivo è impostare il sistema di equazioni lineari per la determinazione delle costanti d integrazione, necessarie per scrivere tutte le leggi di variazione. Si ricorda come per ogni j-esimo tronco di trave siano necessarie 4 costanti. In totale, essendo la trave formata da n tronchi, dovranno ricercarsi 4n costanti. Tali valori si determinano attraverso un sistema di 4n equazioni lineari in 4n incognite. Il sistema è formato da 4 condizioni al contorno nelle sezioni d estremità della trave (2 per ogni estremo) e 4 condizioni per ogni sezione d estremità di ciascun tronco. Più in particolare per le sezioni di estremità della trave tali condizioni sono di tipo statico e riguardano momento e taglio, mentre per ciascuna sezione di ogni tronco esse sono sia di tipo cinematico che di tipo statico. Il sistema deve essere impostato in maniera generica, per garantire qualsiasi situazione di carico. Per questo motivo si immaginano in prima istanza che tutti i punti della trave siano caricati da una forza e una coppia, se successivamente dalla definizione dei carichi alcuni valori saranno nulli, il sistema deve essere modificato. Una volta note tutte le costanti di integrazione, sono quindi noti sia l andamento della deformata e della rotazione della trave che tutte le caratteristiche della sollecitazione in ogni sezione. Si ricorda che tale metodo di soluzione è sempre valido, a prescindere che la lunghezza totale della trave risulti maggiore o minore della lunghezza caratteristica. ATWDL - Unità 1 - Soluzione esatta di travi di lunghezza finita secondo la teoria di E. Winkler 9