Laboratorio di Matematica Computazionale A.A Lab. 7

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Alina Fiore
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1 Laboratorio di Matematica Computazionale A.A Lab. 7 Introduzione Toolbo Simbolico Il Toolbo Simbolico di MATLAB definisce un nuovo data type: gli oggetti simbolici, per rappresentare variabili simboliche, funzioni, espressioni, matrici etc., con le quali è possibile svolgere semplificazioni algebriche, operazioni di calcolo differenziale, integrale, etc. Gli esempi seguenti illustrano la differenza tra una variabile MATLAB standard e il corrispondente oggetto simbolico: >> a=sqrt() a = il comando sym converte una variabile MATLAB standard in un oggetto simbolico: >>a=sqrt(sym()) a = ^(1/) il comando double esegue l'operazione opposta: >> double(a)

2 1.414 il comando class restituisce il tipo dell'oggetto passato come argomento: >> class(a) sym Per generare una frazione come oggetto simbolico poniamo >> a=sym(3)/sym(4) a = 3/4 la somma di due frazioni definite come oggetti simbolici, ricorre alle note regole di calcolo aritmetico che fa ricorso alla determinazione del minimo comun denominatore, quindi posto >> b=sym()/sym(5) b = /5 >> a+b 3/0 si confronti il risultato con quello corrispondente al comando >> 3/4+/5 Esercizi Si definisca la seguente espressione simbolica

3 Si definisca la quantità come variabile simbolica e la si trasformi nella sua corrispondente quantità numerica Si definiscano le quantità e 3 come variabili simboliche, se ne esegua la somma e se ne valuti la corrispondente quantità numerica Si calcoli la quantità (il cui valore esatto è 1) >>=sym('1e-15'); ((1+)-1)/ e la si confronti con la quantità ottenuta con i comandi >>y=1e-15; ((1+y)-1)/y Come si interpreta questo risultato? Funzioni Simboliche Utilizzando i comandi >>syms a b c >>p=sym('a*^+b*+c') assegnamo l'espressione simbolica a + b + c alla funzione simbolica p, creando le variabili corrispondenti ai termini a, b, c,. Si possono eseguire operazioni su p (), quali differenzazione, integrazione, sostituzioni etc. Determiniamo le soluzioni dell equazione p ( ) = 0 con il comando >>solve(p) per meglio visualizzarle utilizziamo il comando

4 >>pretty(ans) Si può utilizzare il comando subs per sostituire i valori dei parametri a =, b=3, c=1 >> p1=subs(p, [a b c], [ 3 1]) p1 = *^+3*+1 Derivate, limiti ed integrali di funzioni simboliche Creiamo la funzione simbolica >> syms n >> f=^n Per calcolare la derivata utilizziamo il comando diff seguito dal comando simplify per visualizzare meglio la risposta >>der=diff(f) der = ^n*n/ >>simplify(der) ^(n-1)*n Con il comando int calcoliamo l'integrale definito di f tra a=1,b= >> int(f,1,) (-1+^(n+1))/(n+1)

5 oppure >> pretty(int(f,1,)) (n + 1) n + 1 Con il commando limit possiamo calcolare il limite per che tende a zero della funzione sin()/ >> syms >> limit(sin()/,0) 1 Definiamo la funzione simbolica cos() e disegnamone il grafico >>syms >>ezplot(cos()) >>ezplot(cos(),[0,pi]) Esercizi Si definiscano le funzioni simboliche polinomiali p = a + b + c e q = b e si calcoli: p + q e p q, posti a=, b=4, c=-1 si calcoli p q, posto inoltre = si calcoli p Calcolare le derivate rispetto ad delle seguenti funzioni, utilizzando, se necessario il comando simplify

6 = = sin( a + b) = ln 1 = e = e n Si consideri la seguente funzione di due variabili f ( ) = e si calcoli la derivata parziale di f rispetto ad, il gradiente di f nel punto (1,1), ed il punto critico (in cui entrambe le componenti del gradiente si annullano). y Usando opportunamente il comando limit calcolare i seguenti limiti n lim 1 + n n lim 0, lim + 0 Calcolare i seguenti integrali definiti ed indefiniti d 1 ln( )d π 0 ( 1 ) sin( ) d + 9 d 4 1

7 Si consideri la funzione g( ) = e sin usando il comando >>T=taylor(g,8,) si calcolino i primi 8 termini dello sviluppo in serie di Taylor di g(), in un intorno del punto =. Usando i comandi ezplot e subs si tracci il grafico di g() e del polinomio approssimante di Taylor nell intervallo [1. 3] Si studi la funzione 3 = Considerando i seguenti passi ( ) - definizione della funzione simbolica - grafico con il comando ezplot >> ezplot(f) (intervallo di default) >> ezplot(f, [a b]) (nell intervallo [a,b]) - calcolo degli asintoti orizzontali e verticali (comandi limit, solve) - calcolo dei punti estremali (comandi diff, solve) - calcolo dei punti di flesso (comandi diff, solve) Si generino le matrici di rotazione bidimensionale A e B >> syms a b >> A=[cos(a) sin(a); sin(a) cos(a)]

8 >> B=[cos(b) sin(b); sin(b) cos(b)] se ne calcoli il prodotto, si determini la matrice di rotazione finale associata ad una rotazione di 3 π e una successiva rotazione di 4 π

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