Matematica Propedeutica per la Fisica

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1 Matematica Propedeutica per la Fisica

2 INDICE 1. LE POTENZE DI 10 E LE PROPRIETÀ DELLE POTENZE Definizione di potenza: Proprietà delle potenze con stessa base: Espressioni con le potenze: NOTAZIONE SCIENTIFICA E ORDINE DI GRANDEZZA Scrittura dei numeri in notazione scientifica: esempi Ordine di grandezza Esercizi EQUIVALENZE CON LA NOTAZIONE SCIENTIFICA Il Sistema Internazionale di Unità Le equivalenze con la notazione scientifica Esercizi LE PERCENTUALI Calcolo di una percentuale di un numero dato Calcolo della percentuale corrispondente a un numero su un totale Calcolo del totale, noto un numero e la percentuale a cui corrisponde Calcolo della variazione percentuale Esercizi LE RAPPRESENTAZIONI DI UN FENOMENO ALCUNE RELAZIONI PARTICOLARI Relazione di Proporzionalità Diretta Relazione Lineare Relazione di Proporzionalità Quadratica Relazione di Proporzionalità Inversa Esercizi

3 1. LE POTENZE DI 10 E LE PROPRIETÀ DELLE POTENZE 1.1. Definizione di potenza: se l esponente è positivo, si ha n 10 = ( n volte) = (1 seguito da n zeri) se l esponente è 0, si ha se l esponente è negativo, si ha 10 0 = 1 n 1 10 = = 0, (1 preceduto da n zeri) n Proprietà delle potenze con stessa base: moltiplicazione: 10 m n m+ n 10 = 10 per esempio: = 10 6 ; = 10-2 ; = 10-4 divisione: m n = 10 m n per esempio: 10 5 /10 2 = 10 3 ; 10 3 /10 4 = 10-1 ; 10 2 /10-3 = 10 5 potenza di potenza: ( 10 m ) n =10 m n per esempio: (10 5 ) 3 = ; (10 2 ) -3 = 10-6 ; (10-2 ) -4 = 10 8 Inoltre può essere necessario svolgere addizioni e sottrazioni. In tal caso, occorre osservare l esponente delle due potenze con base 10: - se l esponente è uguale, si mantiene l esponente e si sommano i due coefficienti numerici. Per esempio: = (3 + 5) 10 = se l esponente è diverso, si riconducono le potenze all esponente più grande e poi si svolge la somma descritta per esponenti uguali. Per esempio: 1, , = 0, , = 1, , , = 2, , = 3, , , = 5, , = 4, , , = 8, , = 7, Espressioni con le potenze: Data la seguente espressione che contiene numeri compresi tra 0 e 10 (coefficienti) e potenze di

4 LE POTENZE DI 10 E LE PROPRIETÀ DELLE POTENZE ( ) ( ) (3 10 per svolgere i calcoli conviene fare prima le operazioni tra i coefficienti e poi quelle tra le potenze di 10, sfruttando le proprietà delle potenze. I singoli blocchi (separati da addizioni e sottrazioni) si possono calcolare separatamente: = (2 3) 10 = = = ( 3 10 ) = 3 (10 ) = 9 10 = 3 10 infine si calcola il valore dell espressione, riducendo tutto allo stesso esponente: = 0, = (0,6 0,03 + 9) 10 = 9, , ) 2 = = = 6

5 2. NOTAZIONE SCIENTIFICA E ORDINE DI GRANDEZZA A volte la misura delle grandezze fisiche è rappresentata da numeri molto grandi o molto piccoli per poter essere gestiti efficacemente nelle procedure matematiche. Ad esempio la massa di un atomo di idrogeno: oppure la massa della Terra: Per agevolare il calcolo durante lo svolgimento di problemi ed espressioni, si utilizza la NOTAZIONE SCIENTIFICA per rappresentare i numeri. Un numero N rappresentato in notazione scientifica si scrive come k N= n 10 quindi come prodotto di: una mantissa n, formata da un numero compreso tra 1 e 10 (1 compreso, 10 non compreso); una potenza di 10 elevato all esponente k, positivo o negativo Scrittura dei numeri in notazione scientifica: esempi numero maggiore di 10: ) 1560 è un numero intero, può essere scritto come un numero con la virgola dopo l ultima cifra a destra: 1560,0 2) si sposta la virgola dopo la prima cifra da sinistra diversa da 0: 1,56 3) si conta di quanti posti si è spostata la virgola per ottenere 1,56: 3 posti 4) si scrive il numero in notazione scientifica: N.B.: l esponente della potenza di 10 è POSITIVO quando il numero di partenza (in questo caso 1560) è maggiore di 1. numero minore di 1: 0, ) il numero è già provvisto di virgola; 2) si sposta la virgola dopo la prima cifra da sinistra diversa da 0: 1,65 3) si conta di quanti posti si è spostata la virgola: 6 posti 4) si scrive il numero in notazione scientifica: 7

6 NOTAZIONE SCIENTIFICA E ORDINE DI GRANDEZZA N.B.: l esponente della potenza di 10 è NEGATIVO quando il numero di partenza (in questo caso 0, ) è minore di 1. Di solito, non occorre scrivere in notazione scientifica i numeri maggiori o uguali a 1 e minori di Ordine di grandezza L ORDINE DI GRANDEZZA (o.d.g.) è la potenza di 10 che rappresenta il numero. k Dato un numero scritto in notazione scientifica N= n 10 : se n 5, il suo o.d.g. è la potenza 10 k+1 se n < 5, il suo o.d.g. è la potenza 10 k Ad esempio: NUMERO o.d.g. 1, (il numero è già in notazione scientifica) = (il numero deve essere scritto in notazione scientifica) = 4, = (il numero deve essere scritto in notazione scientifica) = 7, ,00083 = (il numero deve essere scritto in notazione scientifica) = 8, Esercizi Es.1: scrivi in notazione scientifica ciascun numero ed indicane l ordine di grandezza: NOTAZIONE DECIMALE NOTAZIONE SCIENTIFICA o.d.g , ,72 34,2 0,002 0, , , = 8

7 NOTAZIONE SCIENTIFICA E ORDINE DI GRANDEZZA = = = = = 48000= = = = = 0,00045= 0,0014= 0, = 0, = 0, = [ Not. Scientifica: 3, ; 4, ; 7, ; 3, ; ; 2, ; 5, ; 8, ; 9, ; 2, ; 4, ; 3, ; 1, ; 1, ; 2, ; 9, ; 3, ; 4, ; 7, ; ; 7, ; 8, ; 4, ; 1, ; 1, ; ; 5, ] [ o.d.g.: 10 5 ; 10-4 ; 1 ; 10 1 ; 10-3 ; 10-7 ; 10-4 ; ; ; 10 8 ; 10 5 ; 10 7 ; 10 8 ; 10 5 ; 10 7 ; 10 8 ; 10 9 ; 10 4 ; 10 6 ; 10 9 ; ; 10 9 ; 10-4 ; 10-3 ; 10-9 ; 10-8 ; 10-8 ] Es.2: scrivi in notazione decimale i seguenti numeri dati in notazione scientifica: NOTAZIONE SCIENTIFICA 1, , , , , , NOTAZIONE DECIMALE 9

8 NOTAZIONE SCIENTIFICA E ORDINE DI GRANDEZZA 3, , , , , , , , , Es.3: risolvi applicando le proprietà delle potenze e scrivendo il risultato in notazione scientifica: 4 5 a) 3, ,34 10 = -4-5 b) 3,2 10 1,34 10 = -4-5 c) 4,2 10 1,4 10 = d) 5,6 10 2,3 10 = e) 7, ,14 10 = f) ,2 10 :(1,4 10 ) = -7-7 g) 10 4, = 4,176 h) 8,7 10 : ( 9,34 10 ) = i) ,6 10 = 8,2 j) 7,16 10 : ( 2,14 10 ) = , ,14 10 k) = 18 7, , ,12 10 m) = 17 6, , ,13 10 o) = 18 7, , ,71 10 l) = 17 6, , , ,80 10 n) = 11 2 (1, , , ,11 10 p) = 11 2 (2,15 10 [ 1, ; 3, ; 4, ; 1, ; 7,3 ; ; ; 9, ; 7, ; 9, ; 3, ; 4, ; 9, ; 6, ; 1, ; 9, ; 4, ] ) ) 10

9 3. EQUIVALENZE CON LA NOTAZIONE SCIENTIFICA 3.1. Il Sistema Internazionale di Unità La fisica (dal greco physis, natura ) è una scienza che ha come scopo guardare, descrivere e tentare di comprendere il mondo che ci circonda. La fisica si propone di descrivere i fenomeni naturali in modo oggettivo, individuando relazioni tra i loro aspetti che possono essere espressi quantitativamente, attraverso delle misure. Le relazioni tra le misure sono espresse matematicamente e sono dette leggi fisiche. Un insieme di leggi fisiche è detta teoria fisica. La teoria fisica è valida, finché è sperimentalmente verificata. Qualsiasi aspetto di un fenomeno naturale che possa essere misurato è detto grandezza fisica. Misurare una grandezza fisica vuol dire confrontarla con un altra ad essa omogenea, ciò dello stesso tipo, detta unità di misura, scelta come campione di riferimento. Scopo della misura è determinare il rapporto tra la grandezza da misurare e l unità di misura. Esempio: se diciamo che una persona è alta 1,80 m, vuol dire che abbiamo scelto come unità di misura il metro. L altezza della persona è 1,80 volte la lunghezza del metro. La misura di una grandezza risulta perciò costituita da un valore numerico (1,80 nel nostro caso), seguito dall unità di misura, rappresentata da un simbolo (nel nostro esempio la lettera m, simbolo del metro). Le grandezze fisiche si possono suddividere in grandezze fondamentali e grandezze derivate. Un sistema di unità di misura fissa le grandezze fondamentali e le rispettive unità di misura, il sistema di unità di misura adottato per convenzione internazionale è chiamato Sistema Internazionale di Unità (SI). Il SI è costituito da sette grandezze fisiche fondamentali e le rispettive unità di misura (riportate nella tabella 1), da cui si ottengono le grandezze fisiche derivate come combinazione delle fondamentali. Tabella 1. Grandezze fisiche fondamentali. Esempi di grandezze derivate sono l area (misurata in m 2 ), il volume (m 3 ), la velocità... Per indicare i multipli/sottomultipli di una certa unità di misura si usano dei prefissi standard, che rappresentano la potenza di 10 per la quale viene moltiplicata quell unità. Nella tabella 2 sono riportati i prefissi più comuni con la rispettiva potenza di 10: 11

10 EQUIVALENZE CON LA NOTAZIONE SCIENTIFICA 12 Tabella 2. Prefissi nel SI. L unità di misura fondamentale non ha prefisso, ma la si può intendere come se fosse una potenza Le equivalenze con la notazione scientifica Per effettuare le equivalenze tra multipli e sottomultipli di una unità di misura è conveniente seguire, almeno all inizio, un metodo rigoroso per non incorrere in errori di distrazione. procedura per passare da un unità di misura a un altra: 4575 dm = km 1) trasformare la misura di partenza in notazione scientifica: 4575 dm = 4, dm 2) ricordarsi che 4, dm = 4, (1dm), occorre quindi trasformare 1 dm in 1 km 3) nella tabella dei prefissi, si guarda l esponente dell ordine di grandezza dei prefissi di partenza e di arrivo: il dm (prefisso deci) ha esponente 1, mentre il km (prefisso kilo) ha esponente 3. Si fa la differenza: d = esponente di partenza esponente di arrivo nel caso in esempio, d = 1 3 = 4 4) si moltiplica la misura in notazione scientifica per la potenza 10 d : 4, dm = 4, km 5) si sfruttano le proprietà delle potenze per ridurre il risultato a un unica potenza: 4, km = 4, km quindi il risultato finale dell equivalenza è: 4, dm = 4, km procedura per passare da un unità di misura di AREA a un altra: 4575 dm 2 = km 2 1) trasformare la misura di partenza in notazione scientifica: 4575 dm 2 = 4, dm 2 2) ricordarsi che 4, dm 2 = 4, (1dm 2 ), occorre quindi trasformare 1 dm 2 in 1 km 2 3) nella tabella dei prefissi, si guarda l esponente dell ordine di grandezza dei prefissi di partenza e di arrivo: il dm (prefisso deci) ha esponente 1, mentre il km (prefisso kilo) ha esponente 3. Si fa la differenza: d = esponente di partenza esponente di arrivo nel caso in esempio, d = 1 3 = 4 4) si moltiplica la misura in notazione scientifica per la potenza (10 d ) 2 : 4, dm 2 = 4, (10-4 ) 2 km 2

11 EQUIVALENZE CON LA NOTAZIONE SCIENTIFICA 5) si sfruttano le proprietà delle potenze per ridurre il risultato a un unica potenza: 4, (10-4 ) 2 km 2 = 4, = -5 km 2 quindi il risultato finale dell equivalenza è: 4, dm 2 = 4, km 2 Per le conversioni di misure di VOLUME si effettua lo stesso procedimento, tranne che al punto 4, in cui in questo caso occorre moltiplicare per la potenza (10 d ) 3. Ad esempio: 4575 dm 3 = km 3 diventa 4575 dm 3 = 4, dm 3 = = 4, (10 4 ) 3 km 3 = = 4, km 3 = 4, km Esercizi Es.1: esegui le seguenti equivalenze in notazione scientifica: 250 mg = kg 0,0087 GL = dal 0,027 mm = dam 935 ng = g 3,25 ns = µs 0,0003mm Mm 8 d 3 h 7 min = s (con d si indica il giorno) 235 Mg = mg 42,80 ms = ns 0,0012 Kg = mg 700 hm = mm 0,04 cm = km dm 346 = km 2,3 = m 2978 = cm 3,23 = dm 0,389 = m 0,37 = km 7,85 = dam m hm m m mm dam 13

12 EQUIVALENZE CON LA NOTAZIONE SCIENTIFICA dm 549 = dg 197 = t 0,3 = q 36 = dag 0,32 = Mg 21 = hg 748 = kg 29,73 = q 2,1 = l 39,8 = dl 132 = hl 1,5 = cl 1256 = km hg kg hg dg g t t kg cl dal dl dal [ 2, ; 8, ; 2, ; 9, ; 3, ; ; 7, ; 2, ; 4, ; 1, ; ; ; 3,46 ; 2, ; 2, ; 3, ; 7, ; 5, ; 1, ; ; 3, ; 3, ; 2, ; 7, ; 2, ; 2, ; 3, ; 1,32 ; 1, ; 1, ] 2 m 3 = cm 3 0,0004 cm 3 = dm 3 0,027 dm 3 = pm 3 971,6 mm 2 = dam 2 41,5 hm 2 = Gm 2 0,0006 km 2 m dm 2 = mm dam 3 = km 3 2,3 m 2 = µm nm 3 = m 3 0,006 Mm 2 = hm 2 14

13 EQUIVALENZE CON LA NOTAZIONE SCIENTIFICA 3 mm 3 = dm cm 2 = m dm 2 = hm 2 4,5 m 2 = cm mm 2 = dam 2 5,7 hm 2 = dm mm 2 = dm 2 32 m 3 = dm cm 3 = m 3 1,2 hm 3 = km 3 26 dam 3 = m 3 2,792 m 3 = dm 3 4,72 dm 3 = m dm 3 = dam 3 1,3 mm 3 = cm 3 [ ; ; 2, ; 9, ; 4, ; ; ; 1, ; 2, ; ; ; 3,6496 ; 1, ; 4, ; 1, ; 5, ; 6, ; 3, ; 4, ; 1, ; 2, ; 2, ; 4, ; 1, ; 1, ] Es.2: sapendo che 1 L = 1 dm 3, esegui le seguenti equivalenze in notazione scientifica 0,0092 L = m cl = dam 3 0,03 dm 3 = ml 132,7 dl = dm 3 9,0 hm 3 = dal 47 cm 3 = L 0,5 hl = dm 3 57,21 cl = cm cm 3 = L 15

14 EQUIVALENZE CON LA NOTAZIONE SCIENTIFICA [ 9, ; 1, ; ; 1, ; ; 4, ; ; 5, ; 2,389 ] Es.3: scegli l opzione corretta: Lo spessore di un foglio di pellicola Domopak è pari a circa 7,8 µm. A quanti nm corrispondono? a) 7, nm b) 78 nm c) 7, nm d) 7, nm Quanto vale l area in dm 2 della capocchia di spillo sapendo che è di 0,7 mm 2? a) dm 2 b) dm 2 c) dm 2 d) dm 2 Il diametro dell asteroide Succi è pari a circa 86 km. Nella notazione scientifica, questo numero, espresso mm, si scrive a) 8, mm b) 8, mm c) 8, mm d) 8, mm Il diametro di un globulo rosso è di 8 µm. Espresso in metri usando la notazione scientifica tale diametro vale: a) m b) m c) m d) nessuno dei precedenti L universo è nato 14 miliardi di anni fa. Questo tempo, in secondi, espresso in notazione scientifica é: a) 4, s b) 4, s c) 4, s d) nessuno dei precedenti Le dimensioni di una scatola di scarpe sono uguali a 21,6 cm, 11,2 cm e 10,5 cm. Il volume della scatola in mm 3 è: a) 2, mm 3 b) 2, mm 3 c) 2, mm 3 d) 2, mm 3 A quanti quintali (1 q = 100 kg) corrispondono hg? a) 8, q b) 8, q q c) 8, q d) nessuno dei precedenti Il peso della torre Eiffel è di tonnellate (1 ton= 10 3 kg). A quanti mg corrispondono? a) mg b) mg c) mg d) nessuno dei precedenti A quanti cm 3 corrispondono 4 litri? Ricorda che 1 litro = 1 dm 3 a) 40 cm 3 b) 400 cm 3 c) 4000 cm 3 d) 4 cm 3 Es.4: esegui le seguenti addizioni: m 123 m cm dm =... m 32 dm + 1,24 m + 72,5 cm =... cm 27,89 dm 2 + 0,37 m 2 + 0,0038 km 2 =... m 2 8,05 hm 2 + 8,4 dam cm 2 =... dm 2 23 m dm 3 + 0,132 dam 3 =... dm 3 2,750 dam dm 3 + 0,012 hm 3 =... m 3 [ A ; C ; A ; B ; D ; A ; C ; B ; C ] 16

15 EQUIVALENZE CON LA NOTAZIONE SCIENTIFICA 73,8 dal + 0,27 dl + 0,73 L =... cl 17,89 L + 27,39 dal cl =... hl 12,5 hg + 32,7 kg + 1,023 q =. kg 2,35 q kg Mg =.. t [ 139,82 ; 516,6 ; 3800, ; ; 23134,25 ; 73875,7 ; 4,1179 ; 136,25 ; 2140,36 ] 17

16 4. LE PERCENTUALI La percentuale è un rapporto che ha come denominatore % = = 0, il simbolo n% rappresenta una frazione con numeratore pari a n e denominatore pari a Calcolo di una percentuale di un numero dato Su un totale di 1200 persone, il 30% ha gli occhi azzurri. Quante persone hanno gli occhi azzurri? 30 30% di 1200 = 1200 = Calcolo della percentuale corrispondente a un numero su un totale In una classe di 25 studenti, 20 hanno il tablet. Qual è la percentuale di ragazzi che hanno il tablet? su 25 = 100 = 0,8 100 = 80% Calcolo del totale, noto un numero e la percentuale a cui corrisponde Quest anno sono caduti 40 mm di pioggia, che sono il 25% rispetto a un anno fa. Quanti mm di pioggia sono caduti l anno scorso? mm = 25% dei N mm di un anno fa, quindi N = 100 = 160mm Calcolo della variazione percentuale In una palestra nel 2017 si sono iscritte 365 persone. L anno successivo, gli iscritti erano 445. Di quanto è aumentato in percentuale il numero degli iscritti? In questo caso, si richiede di calcolare a quale percentuale corrisponde la variazione del numero degli iscritti rispetto all anno 2017, quindi variazione percentuale = 100 = 0, = 22% 365 che è un valore positivo, in accordo con l aumento degli iscritti. La variazione percentuale può assumere anche valori negativi, nel caso si abbia una diminuzione rispetto al valore iniziale: se gli iscritti nell anno successivo fossero stati 260, la variazione percentuale sarebbe stata variazione percentuale = 100 = 0, = 29% 4.5. Esercizi Es.1: di ciascun valore, calcola le percentuali indicate con la calcolatrice: 19

17 LE PERCENTUALI 20% di 4,55 = 69% di 2544 = 6% di 9422 = 34% di 6800 = 1,3% di 1,521 = 30% di 477 = 55% di 688 = 90% di 400 = 85% di 990 = 15% di 700 = [ 0,91 ; 565,32 ; 0, ; 378,4 ; 841,5 ; 1755,636 ; 2312 ; 143,1 ; 360 ; 105 ] Es.2: rispondi alle seguenti domande: a) La cifra di 34 euro a quale percentuale corrisponde di 238 euro? [14,3%] b) Un certo tipo di pianta vive in media 80 anni: qual è la percentuale di vita che in media le resta da vivere se sono passati 35 anni da quando è stata seminata? [56,25%] c) Una persona ha seguito una dieta e in due mesi è passata da 70 kg a 58 kg: qual è la percentuale di perdita di peso? [-17,1%] d) La signora Frola vuole depositare i suoi La banca Banchetti le offre un tasso di interesse annuo del 2 % per una cifra depositata fino a euro e del 3% per il denaro oltre a questa cifra. Quanti soldi si ritroverà la signora Frola alla fine dell'anno? [46350 ] e) Se si aumenta la lunghezza della base di un rettangolo del 50% e quella dell'altezza del 20%, l'area aumenterà del? [80%] f) Un rettangolo ha i lati che misurano rispettivamente 10 cm e 15 cm. Se si aumenta il lato minore del 10% e si diminuisce il maggiore del 10%, di quanto varia in percentuale l'area? [-1%] g) Un quadrato viene fotocopiato, e si imposta la fotocopiatrice in modo che la superficie del quadrato subisca una riduzione del 75%. Di quanto risulta ridotto in percentuale ciascun lato? [13%] h) Una famiglia ha risparmiato Il capofamiglia decide di destinare il 40% della somma che ha a disposizione per un viaggio e il 25% del rimanente per un frigorifero nuovo. Quanto resta alla famiglia dei suoi risparmi? [1575] i) La signora Felicita approfitta dei saldi di fine stagione e compra un vestito per il marito, che costava 122 a prezzo pieno, con lo sconto del 30%. Compra anche una gonna per sé che costava 77 e al cui prezzo è applicato lo stesso sconto del 30%. Quanto spende in tutto? [139,3] j) Il prezzo di un autoradio è di 340 IVA inclusa. Sapendo che l IVA è del 22%, qual è il suo prezzo al netto dell IVA? [265,2] k) Il diametro di un recinto di forma circolare viene aumentato del 10%; di quanto aumenta la circonferenza? E l area del cerchio? [10%; 21%] 20

18 LE PERCENTUALI l) Un contenitore cilindrico di area di base 12,54 cm 2 è riempito di olio fino all altezza di 8,5 cm dal fondo. L olio viene versato in un secondo recipiente cilindrico di diametro doppio rispetto al precedente, ma il 15% rimane nel primo contenitore. Qual è l altezza del liquido nel secondo contenitore? [1,8 cm] m) L acciaio inossidabile è una lega costituita da ferro (85%), cromo (13%) e carbonio (2%). In un oggetto di acciaio inossidabile di massa pari a 1,25 kg, qual è la massa rispettivamente del ferro, del cromo e del carbonio contenuti? [ 1,1 kg ; 0,16 kg ; 0,025 kg ] Es.3: rispondi alle domande relativamente a ciascun grafico: a) Devi costruire un diagramma a torta per illustrare la seguente tabella, relativa alla spesa mensile della mensa scolastica, spesa che in totale è di 3000,00 euro. Completa la tabella con le percentuali mancanti e utilizza il diagramma a torta disegnato di seguito (suddiviso in dieci parti uguali) per realizzare quello relativo all'esercizio. Scrivi i simboli corretti (P, FV...) a fianco di ciascun settore [ FV = 30% ; CP = 20% ; POF = 10% ] b) Il grafico a destra si riferisce all'esito di una prova di fisica in una classe di 30 studenti.. Quale delle seguenti affermazioni sono vere? A. Il 60% degli studenti ha preso un voto minore di 6 B. Circa il 36% ha preso un voto maggiore di 6 C. Due terzi della classe ha avuto la sufficienza D. Circa l 11% degli alunni ha preso 8 E. La percentuale di chi ha preso almeno 8 è superiore al 15% [ F ; V ; F ; V ; V ] 21

19 5. LE RAPPRESENTAZIONI DI UN FENOMENO Un fenomeno può essere rappresentato con una tabella, con un grafico o con una formula. Ad esempio, consideriamo il fenomeno di un recipiente che viene riempito da un rubinetto da cui esce un flusso d acqua costante. Rappresentazione mediante tabella: la quantità di acqua accumulata nel recipiente dipende dall intervallo di tempo trascorso: dove tempo rappresenta il tempo trascorso, quantità è il volume di acqua accumulata dopo il tempo corrispondente. La tabella fornisce però una visione del fenomeno limitata solo ad alcuni istanti di tempo. Rappresentazione mediante formula: in questo caso si utilizza una formula matematica che metta in relazione la quantità Q di liquido accumulato e il tempo t trascorso. Sapendo che per ogni minuto escono 2L di acqua, allora Q = 2 t dove Q è la quantità (volume) di acqua versata misurato in litri, t è il tempo trascorso misurato in minuti e 2 rappresenta la quantità di acqua fuoriuscita al minuto, quindi si misura in L/min ed è un valore costante. La formula matematica fornisce una rappresentazione più completa del fenomeno in quanto è possibile applicarla anche in istanti di tempo non campionati nella tabella per fare previsioni sulla quantità di acqua Q versata. Rappresentazione mediante grafico: su un piano cartesiano riportiamo la variazione delle due grandezze fisiche (tempo e quantità). Sull asse delle ascisse mettiamo la grandezza indipendente, che in questo caso è il tempo, mentre sull asse delle ordinate sistemiamo la variabile dipendente, che in questo caso è la quantità Q. Quale delle due grandezze è quella indipendente e quale quella dipendente lo stabilisce la formula matematica: notiamo che la quantità Q si può 23

20 LE RAPPRESENTAZIONI DI UN FENOMENO calcolare conoscendo il tempo; quindi Q è la variabile dipendente (perché il suo valore dipende dal valore di t attraverso un espressione matematica) mentre t è la variabile indipendente (il suo valore non dipende da nessuna operazione matematica). La rappresentazione del fenomeno in via grafica è rappresentata in figura. Ad ogni punto del grafico corrisponde una coppia ordinata di valori (t,q) e viceversa. La rappresentazione in via grafica è sintetica e immediata rispetto alle precedenti e permette di visualizzare in maniera immediata particolari relazioni tra due grandezze fisiche. 24

21 6. ALCUNE RELAZIONI PARTICOLARI 6.1. Relazione di Proporzionalità Diretta Due grandezze x e y sono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante (ad esclusione del valore x = 0): y = k dove k è la costante di proporzionalità x ne consegue che y = k x. Ad esempio, massa M e volume V di un oggetto sono legate da una relazione di proporzionalità diretta M = d V, dove d è la costante di proporzionalità che si chiama densità. Esempio: consideriamo un cubo di ferro, il cui volume aumenta come indicato in tabella Dalla tabella si può osservare che all aumentare del volume, la massa aumenta in modo costante e si può calcolare la densità del ferro d = M/V = 7,8 g/cm 3. La curva corrispondente sul piano cartesiano è una retta passante per l origine Relazione Lineare Se y e x sono variabili correlate linearmente, la funzione che descrive la correlazione è del tipo y = mx + q dove m è il coefficiente angolare e q l ordinata all origine Esempio: relazione che sussiste tra il tempo e la quantità di acqua versata in un recipiente che al tempo t = 0 (all inizio del fenomeno) era già parzialmente pieno (c erano già 3 L di acqua al suo interno). Perciò al trascorrere del tempo si hanno le quantità di acqua riportate in tabella. 25

22 ALCUNE RELAZIONI PARTICOLARI e la curva sul piano cartesiano è una retta non passante per l origine come rappresentato in figura 3. A B valore di q Nel grafico, q rappresenta il valore di y del punto in cui la retta interseca l asse y (q = 3) mentre m rappresenta la sua pendenza. La pendenza si calcola considerando due punti a scelta, ad esempio A e B, e facendo il rapporto in questo caso m = y x A A y x 7 9 L m = = 2 L / min 2 3 min B B 6.3. Relazione di Proporzionalità Quadratica Se y e x sono variabili legate da proporzionalità quadratica, vale una formula del tipo: 2 y = kx dove k rappresenta la costante di proporzionalità quadratica Esempio: la relazione che sussiste tra il raggio r di un cerchio e la sua area A: 2 A = πr (π è una costante matematica 3,14159), rappresentata in tabella: e la rappresentazione grafica è un ramo di parabola in questo caso il raggio non può assumere valori negativi, ma altre grandezze fisiche sull asse x possono assumerli e il grafico diventa una parabola con vertice nell origine: 26

23 ALCUNE RELAZIONI PARTICOLARI 6.4. Relazione di Proporzionalità Inversa Se y e x sono variabili inversamente proporzionali, il loro prodotto si mantiene costante: x y = k Esempio: in una bilancia a bracci uguali, se la massa su un braccio è fissa, la massa equilibrante e la sua distanza dal fulcro sono inversamente proporzionali: se la massa raddoppia, la distanza dimezza, Come illustrato in tabella: La distanza non può assumere valori negativi, quindi la curva è un ramo di iperbole equilatera. Se fossero stati presenti i valori negativi per la variabile x, il grafico sarebbe stato costituito da due rami, come sotto illustrato: k > 0 k < Esercizi Es.1: il grafico qui sotto è stato costruito in base ai dati sulla caduta di un oggetto all interno di un tubo dove era stato fatto il vuoto. Con un sonar, lo sperimentatore ha registrato a intervalli regolari di tempo le distanze d percorse dall oggetto: Qual è l ultimo istante in cui è stata effettuata una registrazione? [1s] Qual è la massima distanza misurata dal sonar? [5m] Compila una tabella corrispondente al grafico. Quale delle quattro relazioni descritte 27

24 ALCUNE RELAZIONI PARTICOLARI precedentemente potrebbe meglio rappresentare i dati? [prop. quadratica] Calcola la costante di proporzionalità utilizzando i dati del grafico. [k = 5m/s 2 ] Es.2: la massa di un raccoglitore ad anelli aumenta col numero di fogli inseriti. La tabella seguente registra una serie di dati della massa: Traccia il grafico corrispondente a questa tabella e stabilisci che tipo di relazione c è tra la massa e il numero di fogli. [relazione lineare] Qual è il rapporto tra l aumento della massa del raccoglitore e il numero di fogli? Si tratta di un rapporto costante? [5 g/foglio; è un rapporto costante] Qual è la formula matematica che lega la massa m del raccoglitore e il numero n dei fogli? [m = 5n+300] Es.3: il grafico seguente rappresenta la crescita del numero di persone nel mondo che hanno accesso a Internet. Qual era il numero di queste persone nel 2001? E nel 2003? [400; 600 milioni] Qual è stato in percentuale l aumento degli utenti di Internet fra il 1999 e il 2003? [50%] Se questa percentuale di aumento si mantenesse costante, quante persone dovrebbero avere accesso a Internet nel 2007? [1350 milioni] Questa previsione è confermata dal grafico? [NO, nel 2007 risultano circa 1100 mln] Es.4: il grafico a destra mostra l altezza media dei ragazzi e delle ragazze olandesi nel A partire dal 1980, l altezza media delle ragazze di 20 anni è aumentata di 2,3 cm arrivando a 170,6 cm. Qual è stato l aumento percentuale dell altezza media delle ragazze dal 1980 al 1998? [1,4%] A quali età ragazzi/e raggiungono 1,70 m di altezza? Spiega in che modo il grafico mostra che, in media, la crescita delle ragazze è più lenta dopo i 12 anni. 28

25 ALCUNE RELAZIONI PARTICOLARI A quali età i ragazzi e le ragazze hanno la stessa altezza? In base al grafico, in che periodo della vita le ragazze sono, in media, più alte dei maschi della stessa età? Es.5: il grafico a destra rappresenta la velocità di un automobile in frenata. La pendenza è positiva o negativa? Calcolane il valore. [-0,3 m/s 2 ] Che tipo di relazione potrebbe meglio rappresentare la curva nel piano cartesiano? [rel. lineare] Esprimi la legge matematica che lega la velocità v allo spazio percorso s. [v = 12-0,3s] Crea una tabella a partire dai dati del grafico. Dopo quanti metri dall inizio della frenata la velocità risulta 6 m/s? Es.6: considera il grafico in figura: calcola la pendenza della retta; [2,5] esprimi la relazione matematica che rappresenta la curva; [y = 2,5x] sul grafico, trova approssimativamente il valore di y che corrisponde a x = 3 verifica il valore trovato applicando la formula. Es.7: sapendo che la grandezza y è legata da una proporzionalità quadratica alla grandezza x, scrivi la legge matematica che lega y e x e completa la tabella inserendo i valori mancanti. Che tipo di grafico ci si aspetta di ottenere? [ramo di parabola; y=5x 2 ] Es.8: un appezzamento di terreno rettangolare ha un area di 600 m 2. Se x e y sono le misure dei suoi lati, quale relazione lega y a x? Trovane l espressione matematica e completa la tabella. Quale grafico ci si aspetta di ottenere? [prop. inversa; y = 600/x; ramo di iperbole] Es.9: la pressione p di un gas varia in funzione del volume V come mostrato in tabella. costruisci il grafico cartesiano e trova la relazione matematica che lega p a V. 29

26 ALCUNE RELAZIONI PARTICOLARI [p.inversa; p=10/v] Es.10: le formule sottostanti rappresentano alcune leggi della Fisica. Scrivi accanto a ogni legge che tipo di relazione sussiste tra le due variabili richieste, come nell esempio della prima riga della tabella, considerando le altre lettere come valori costanti: FORMULA GRANDEZZE RICHIESTE TIPO DI RELAZIONE P = m g P e m proporzionalità diretta F = k x P = p 0 + k T A = π r 2 PV = n R T S = ½ g t 2 S = v t S = s 0 + v t V = v 0 a t A = L 2 F e x P e T A e r P e V S e t S e v S e t V e t A e L U = G M m r U e r 30