Capitolo 4. Funzioni: proprietà globali

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Matteo Castaldo
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1 Capitolo 4 Funzioni: proprietà globali Niente la soddisfa mai, eccetto le dimostrazioni; le teorie non dimostrate non fanno per lei, non le accetta. E questo lo spirito giusto, lo ammetto: mi attrae, ne sento l influenza; se stessi di più con lei, penso che l adotterei anch io. Diario di Adamo, Il diario di Adamo ed Eva di Mark Twain Fino ad ora abbiamo studiato le proprietà locali delle funzioni, che dipendono solamente dal comportamento della funzione in un intorno del punto

2 CAPITOLO 4. FUNZIONI: PROPRIETÀ GLOBALI Se 2

3 4.1. TEOREMA DELLE FUNZIONI MONOTONE La dimostrazione del teorema delle funzioni monotone Proviamo il teorema per i limiti sinistri di funzioni crescenti. Inoltre, studiamo il caso

4 CAPITOLO 4. FUNZIONI: PROPRIETÀ GLOBALI Ripetiamo che il teorema delle funzioni monotone non richiede che il dominio sia un intervallo. Esso vale per funzioni definite su un qualsiasi insieme, purché i limiti da destra e/o da sinistra possano studiarsi. In particolare, vale per le successioni. Nel caso delle successioni, il teorema delle funzioni monotone può enunciarsi come segue: Teorema 107 Se

5 4.2. IL TEOREMA DI BOLZANO-WEIERSTRASS Ovviamente,

6 CAPITOLO 4. FUNZIONI: PROPRIETÀ GLOBALI la sottosuccessione

7 4.3. IL TEOREMA DI WEIERSTRASS Esista un punto

8 CAPITOLO 4. FUNZIONI: PROPRIETÀ GLOBALI La dimostrazione del Teorema di Weierstrass Premessa: nella dimostrazione useremo il Teorema di Bolzano Weierstrass e le proprietà seguenti: A) se

9 4.4. TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI Passo 2: se

10 CAPITOLO 4. FUNZIONI: PROPRIETÀ GLOBALI Per provare l esistenza di soluzioni, si può ragionare così: la funzione

11 4.4. TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI Il teorema dei valori intermedi dipende dalla proprietà di completezza dei numeri reali, e richiede in modo essenziale che il dominio della funzione sia un intervallo. Dimostrato il teorema dei valori intermedi, possiamo anche estendere in vari modi le considerazioni da cui siamo partiti. Per esempio: Corollario 114 Se

12 CAPITOLO 4. FUNZIONI: PROPRIETÀ GLOBALI La dimostrazione del teorema dei valori intermedi Nella dimostrazione useremo la proprietà seguente, conseguenza del teorema di permanenza del segno per le funzioni continue: Osservazione: supponiamo che la funzione

13 4.4. TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI La proprietà A) dell Osservazione mostra che

14 CAPITOLO 4. FUNZIONI: PROPRIETÀ GLOBALI (l uguaglianza non può aversi perché la funzione è iniettiva). Consideriamo prima di tutto i tre punti

15 4.5. FUNZIONI DERIVABILI SU INTERVALLI Dim. Se la funzione è costante, la sua derivata è nulla in ogni punto e quindi un qualsiasi punto di

16 CAPITOLO 4. FUNZIONI: PROPRIETÀ GLOBALI è continua nei punti di

17 4.5. FUNZIONI DERIVABILI SU INTERVALLI se la funzione è derivabile su

18 CAPITOLO 4. FUNZIONI: PROPRIETÀ GLOBALI La formula (4.10) si chiama seconda formula degli incrementi finiti o anche formula della media La formula della media si scrive anche

19 4.5. FUNZIONI DERIVABILI SU INTERVALLI Conseguenza 2) Se

20 CAPITOLO 4. FUNZIONI: PROPRIETÀ GLOBALI 4.6 Le primitive Siano

21 4.6. LE PRIMITIVE il colore rosso è stato usato per sottolineare il fatto che

22 CAPITOLO 4. FUNZIONI: PROPRIETÀ GLOBALI indicherà quella particolare primitiva che si annulla in

23 4.6. LE PRIMITIVE

24 CAPITOLO 4. FUNZIONI: PROPRIETÀ GLOBALI Esempio 131 La tabella delle derivate non aiuta a calcolare le primitive di

25 4.6. LE PRIMITIVE In questo caso, si calcola

26 CAPITOLO 4. FUNZIONI: PROPRIETÀ GLOBALI Sostituendo

27 4.6. LE PRIMITIVE Dunque, integrando funzioni razionali si possono trovare funzioni più complicate ; si possono trovare logaritmi ed arcotangenti. Proviamo ora che funzioni razionali, logaritmo ed arcotangente bastano ad integrare tutte le funzioni razionali. Osservazione sulla notazione Le primitive devono essere definite su intervalli. Dunque,

28 CAPITOLO 4. FUNZIONI: PROPRIETÀ GLOBALI Poli reali semplici E il caso in cui

29 4.6. LE PRIMITIVE Esempio 134

30 CAPITOLO 4. FUNZIONI: PROPRIETÀ GLOBALI In generale, ad ogni polo

31 4.6. LE PRIMITIVE Il caso generale In generale, il denominatore avà anche zeri non reali. Noi ci limitiamo al caso in cui gli zeri non reali sono semplici 10. Il prototipo è il caso

32 CAPITOLO 4. FUNZIONI: PROPRIETÀ GLOBALI Primitive generalizzate Supponiamo che

33 4.7. ALCUNI ESERCIZI Si noti che la

34 CAPITOLO 4. FUNZIONI: PROPRIETÀ GLOBALI 3. (

35 4.7. ALCUNI ESERCIZI 13. Le due funzioni

36 CAPITOLO 4. FUNZIONI: PROPRIETÀ GLOBALI 19. Rolle ( ) enuncia il suo teorema nel suo libro Traité d algebre del 1690, limitandosi a considerare funzioni algebriche, ossia funzioni espresse mediante polinomi. Con linguaggio moderno, l enunciato di Rolle è il seguente: tra due zeri reali consecutivi della derivata di una funzione algebrica si trova al più uno zero della funzione stessa. Si provi che questo enunciato è vero usando la formulazione moderna del Teorema di Rolle, ossia l enunciato del Teorema Si calcolino le primitive

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