Controllo Statistico della Qualità (alcune note)

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1 Controllo Statistico della Qualità (alcune note) Prof.ssa Paola Vicard 1

2 Tecniche Statistiche per l Analisi della Qualità e della Soddisfazione 2

3 Le tecniche statistiche costituiscono (insieme ad altri strumenti) le basi tecniche per il controllo e il miglioramento della qualità. Per essere usate il più efficacemente possibile, queste tecniche devono essere concepite e realizzate all interno di un sistema di gestione che si concentra sul miglioramento della qualità. 3

4 La gestione della qualità comprende la corretta esecuzione delle attività: - Pianificazione della qualità: attività strategica vitale consistente nell identificazione dei clienti (sia interni sia esterni) dell azienda. Devono essere sviluppati i prodotti o i servizi che incontrino o superino le attese del cliente. - Assicurazione della qualità: insieme delle attività che garantiscono che la qualità dei prodotti e dei servizi siano mantenuti ad un livello adeguato. In questo è senso fondamentale lo sviluppo, mantenimento e controllo della documentazione. - Miglioramento della qualità: insieme delle attività destinate ad assicurare che i prodotti e i servizi soddisfino le richieste degli utilizzatori e siano migliorati in modo continuo. Le tecniche statistiche sono i migliori strumenti di controllo e miglioramento. Questo perché la variabilità è la causa principale di cattiva qualità. 4

5 Nell ambito della gestione della qualità, il processo è il mezzo per ottenere la qualità.... e il processo è regolato da controlli (sia interni sia esterni)

6 Nel processo di miglioramento la statistica interviene in vari punti ed esercita un ruolo importante. In questo contesto la statistica può essere vista come un insieme di metodologie per la raccolta, l analisi e l uso dei dati per identificare e risolvere problemi e per prendere decisioni. 6

7 I metodi statistici, se correttamente usati, consentono di raccogliere informazioni che aiutano a prendere decisioni e favoriscono un miglioramento più rapido dei processi (e dei prodotti). Da un punto di vista manageriale si potrebbe affermare che la statistica è lo studio della variazione. Infatti ogni fenomeno si manifesta con un maggiore o minore grado di variabilità. Le cause di variazioni sono molte (ad es. variazioni nei tempi di attesa di un Call Centre); solo alcune di esse influenzano pesantemente la qualità (e vengono dette vital few ). È importante identificare queste cause primarie per migliorare la qualità. 7

8 A tal fine occorre: Una mappatura (diagramma di flusso) del processo in esame e individuare in esso i punti problematici (sono sufficienti rappresentazioni grafiche semplici come diagrammi a barre o a torta). Identificare non conformità rispetto a standard dichiarati o carte di servizi (ad es. mediante verifica di ipotesi e carte di controllo) Individuare le cause sospette del problema mediante i diagrammi a spina di pesce. Identificare quali sono le maggiori cause di variabilità; ovvero quali, tra le cause sospette, sono i veri colpevoli del problema (modelli statistici per l analisi delle dipendenze/associazioni). 8

9 Il primo passo per conoscere il mondo esterno (ad es. il parere della clientela in merito ad un servizio erogato, il livello di qualità di un servizio) oppure per monitorare un processo produttivo (internamente all azienda) è dato dalla raccolta dati. 9

10 RACCOLTA DEI DATI Questa costituisce un momento cruciale per tutte le ricerche statistiche e si articola nelle seguenti fasi fondamentali: 1) definizione dell obiettivo dell indagine 2) pianificazione della raccolta dei dati (periodo di riferimento dell indagine e individuazione della lista delle unità) 3) raccolta dei dati (foglio di raccolta dati) Il punto 1) è importantissimo; è solo in base alla definizione dell obiettivo che si può predisporre il tipo di rilevazione più adatta. 10

11 Esempio: alla trasmissione TV Mi manda TeleLazio si ha il seguente Obiettivo: conoscere se i clienti dell area laziale di una compagnia di assicurazioni sono complessivamente soddisfatti del servizio. Popolazione: tutte le persone che vivono nel Lazio quando viene fatta la trasmissione e che hanno un contratto con l assicurazione in questione. E necessario fare un campione Come? Proposta: chiedere agli spettatori di telefonare e dire il loro parere. Questo è sicuramente un modo economico per ottenere un campione; ma il campione così ottenuto è rappresentativo??? NO! Il campione infatti non rappresenta tutta la popolazione in esame perché coloro che guardano la trasmissione sono un sottogruppo particolare con gusti comuni in merito alle trasmissioni TV. Inoltre coloro che hanno la pazienza di fare le telefonate sono certamente persone molto motivate e generalmente insoddisfatte a tal punto da telefonare. E molto più raro, invece, che si perda tempo per riportare impressioni positive. 11

12 E allora che fare? Ad esempio un indagine telefonica o postale in cui i numeri telefonici vengono scelti a caso dall elenco degli assicurati del Lazio. Nota: dal momento che l obiettivo si prefigge solo di conoscere un parere del tutto generale, alla fine - si può solo individuare l eventuale problema di insoddisfazione - non è possibile capire se questo è specifico di certi gruppi di clienti o di certi tipi di contratti assicurativi. Conseguenza: quando si pianifica una rilevazione si deve avere chiaro l uso che si intende fare dei dati e le informazioni di cui si necessita. 12

13 Un tipo di campionamento molto utilizzato è il campionamento casuale semplice. Questo consiste nell estrazione casuale delle unità campionarie da una lista. Ogni unità statistica ha la stessa probabilità di entrare a fare parte del campione. Nota: con questo tipo di campionamento può accadere che una unità venga intervistata più di una volta. 13

14 In generale i risultati dell indagine sono tanto più precisi quanto maggiore è la numerosità del campione. D altro canto: 1) i campioni grandi sono molto costosi perché sono molte le interviste da effettuare (e cioè occorre pagare molti rilevatori); 2) le interviste sono meno accurate (perché è più difficile reperire intervistatori qualificati e cresce il carico di interviste per ciascuno di essi). 14

15 Qual è una possibile soluzione al problema? La stratificazione. La stratificazione consiste nel suddividere la popolazione di riferimento in sottopopolazioni (detti strati) quanto più possibile omogenee rispetto alla caratteristica oggetto di indagine. 15

16 Esempio: Supponiamo di rilevare la soddisfazione percepita dai fruitori di un determinato servizio. Supponiamo anche che precedenti indagini (e/o la conoscenza stessa del fenomeno) ci suggeriscano che la caratteristica soddisfazione sia legata per es. al livello di istruzione. In altre parole riteniamo che persone con il medesimo livello di istruzione tendano a dare risposte più omogenee (meno variabili) e che, quindi, il grosso della diversità sia tra utenti con diversa istruzione (cioè tra unità in strati diversi). In tale caso si procede estraendo un campione (in modo casuale) da ogni sottopopolazione (ossia gruppo di persone omogenee in quanto a livello di istruzione). In generale, gli strati possono essere determinati da più di una caratteristica (ad esempio all informazione sul livello di istruzione potremmo associare quella sull area geografica di appartenenza). In ogni caso, la scelta degli strati è frutto di una scelta ragionata. 16

17 Il processo di stratificazione è estremamente importante nel controllo della qualità industriale nel controllo e analisi della qualità di beni e servizi nell analisi della customer satisfaction. Perché? Perché è uno strumento fondamentale per conoscere, spiegare, dominare (almeno in parte) e quindi ridurre la variabilità della caratteristica di interesse. 17

18 Fogli di raccolta dati Per quanto riguarda la mera registrazione dei dati, è importante che questi siano aggregati in modo tale da facilitare la loro successiva elaborazione. In tal senso sono molto utili i fogli di raccolta dati. Il foglio di raccolta dati è un modulo adeguatamente progettato sul quale sono riportati appositi spazi che consentono la raccolta dei dati in maniera semplice e sintetica. Perché i fogli di raccolta dati? - per semplificare la raccolta delle informazioni (e quindi evitare errori nella fase di rilevazione, errori, cioè, di natura non campionaria e pertanto difficilmente individuabili in fase di analisi dei dati) - per dare la possibilità di aggregare i dati automaticamente e renderli disponibili per elaborazioni successive. 18

19 Esistono vari tipi di fogli di raccolta dati: per l analisi della distribuzione di un processo produttivo (si veda foglio del servizio ) per la raccolta dati per non conformità. Si supponga di studiare il processo relativo ad un help desk e di rilevare i reclami della clientela. Allora le non conformità sono date dai tipi di reclamo. Questo foglio dà informazioni importanti per il miglioramento del processo perché indica le diverse ragioni del reclamo. È difficile da usare però per decidere le azioni di rimedio (si consideri per esempio l ufficio reclami di una compagnia aerea: il foglio può rilevare solo la motivazione: ritardo, smarrimento bagaglio, overbooking, ecc.... e può non dare alcuna informazione, perché non rilevata, sul volo, sull aeroporto o sul counter a cui si riferisce il reclamo). 19

20 Foglio di raccolta dati per causa della non conformità. Possiamo prendere l esempio precedente e supporre che venga anche rilevato il volo, l aeroporto e/o il counter a cui si riferisce il reclamo. Oppure, ancora, possiamo prendere ad es. un processo relativo alla produzione di documenti e rilevare non solo il tipo di errore presente nei documenti ma anche l operatore che ha prodotto tali documenti. Quelli riportati sopra sono solo alcuni esempi di fogli di raccolta dati. È fondamentale che i fattori di stratificazione vengano opportunamente inseriti nel foglio di raccolta dati....un po di terminologia e di simbologia (richiami)... 20

21 Su ogni unità statistica si rilevano una o più informazioni di interesse (caratteri). Il modo in cui un carattere si manifesta in un unità statistica è detto modalità. È importante che ad ogni unità si possa associare una sola modalità del carattere; le modalità elencate rappresentino tutti i possibili stati che il carattere assume nel collettivo statistico. Esistono varie tipologie di caratteri. I due grandi raggruppamenti sono: Caratteri qualitativi (le modalità sono delle denominazioni qualitative) Caratteri quantitativi (le modalità sono delle misure o dei conteggi) La distinzione tra tipi di caratteri è fondamentale anche nell analisi della qualità e della soddisfazione perché gli indicatori statistici e le tecniche da usare sono molto diverse a seconda che la caratteristica rilevata sia qualitativa oppure quantitativa. 21

22 DISTRIBUZIONE DI UN CARATTERE (richiami) Terminata la fase di acquisizione dei dati, iniziamo a vedere come rappresentarli e sintetizzarli. Il primo risultato della rilevazione dei dati è una lista delle modalità con cui ognuno dei caratteri si presenta in ciascuna unità del collettivo. Possiamo quindi immaginare una lista con tante righe quante sono le unità. Questa altro non è che la distribuzione del collettivo secondo i caratteri considerati. Dal momento che per ogni unità indichiamo la modalità con la quale ciascun carattere si manifesta, si parla di distribuzione unitaria (o per unità). La distribuzione unitaria è semplice se si riferisce ad un solo carattere, è multipla se si riferisce a due o più caratteri. Esempio. A n=20 utenti della metropolitana di Roma viene chiesto di esprimere un parere complessivo sulla qualità del servizio di trasporto. Il carattere rilevato è il giudizio che supponiamo assumere valori tra 0 e 10. Indichiamo con x 1 la modalità manifestata dal cliente 1, con x 2 la modalità manifestata dal cliente 2,, con x 20 la modalità manifestata dal cliente 20. In generale indichiamo con x 1,...x n le modalità associate alle unità 1,..n. La distribuzione per unità è la seguente 22

23 cliente giudizio cliente giudizio Nota: Quando i dati vengono riportati in forma di distribuzione per unità, è disponibile l informazione riguardante l associazione unità-modalità, cioè data una modalità possiamo sapere esattamente quale/quali unità la presentano. Svantaggio: mancanza di sintesi soprattutto se il collettivo è molto numeroso e su di esso vengono rilevati caratteri che possono assumere un elevato numero di modalità. 23

24 Scopo: estrarre informazioni dai nostri dati, informazioni che siano rilevanti per l obiettivo della nostra indagine. Per ottenere una maggiore sintesi si costruisce la distribuzione di frequenze. Anche in questo caso si parla di distribuzioni di frequenza semplice se questa è riferita ad un solo carattere; altrimenti si parla di distribuzione doppia se si riferisce a due caratteri, e in generale multipla se si riferisce a più caratteri. Consideriamo una distribuzione di frequenze semplice. Per ogni modalità distinta assunta dal carattere nel collettivo in esame si registra: - il numero di unità che presentano tale modalità. Questo numero viene detto frequenza assoluta della modalità, cioè il numero di volte che la modalità viene osservata nel collettivo. - la frazione, sul totale delle unità del collettivo, di unità che presentano tale modalità. Questo numero viene detto frequenza relativa della modalità. 24

25 Sia K il numero di modalità distinte che il carattere assume nel collettivo indichiamo: - con x 1,, x K tali modalità - con n 1,, n K le frequenze assolute associate - con f 1,, f K le frequenze relative associate, dove f i = n i /n, i=1,,k - con p 1,, p K le frequenze percentuali associate, dove p i = f i 100 = (n i /n) 100, i=1,,k Torniamo all esempio dei 20 clienti dove n = 20 e K=7. Abbiamo visto la distribuzione unitaria; qui sotto è riportata la distribuzione di frequenze. Freq. assolute Modalità x i n i freq. relative f i freq. percentuali p i 2 (= x 1 ) 1 1/20 = = 5 3 (= x 2 ) 1 1/20 = = 5 4 (= x 3 ) 5 5/20 = = 25 5 (= x 4 ) 6 6/20 = = 30 6 (= x 5 ) 4 4/20 = = 20 7 (= x 6 ) 2 2/20 = = 10 8 (= x 7 ) 1 1/20 = = 5 totale

26 Proprietà 1: la somma (per colonna) di tutte le frequenze relative è pari a 1, in simboli f f + + f 1 (ovvero anche f = 1) K = K i= 1 i Proprietà 2: la somma (per colonna) di tutte le frequenze percentuali è pari a 100, in simboli p p + + p 100 (ovvero anche p = 100 ) K = K i= 1 i Osservazione: se il carattere X è qualitativo ordinato o quantitativo le modalità vengono elencate in ordine crescente come nell esempio riportato sopra in cui il carattere è quantitativo (discreto) e si parte dalla modalità corrispondente al giudizio più basso per arrivare alla modalità corrispondente al giudizio più alto rilevato. Nota: è importante osservare che quando si considera la distribuzione di frequenze, non è più disponibile l informazione riguardante l associazione unità-modalità. 26

27 Siano le modalità x 1,, x K ordinate in modo crescente, definiamo: - Le frequenze assolute cumulate (indicate con N i ) come segue: Modalità x i Freq. assolute n i freq. Assolute cumulate N i x 1 n 1 N 1 = n 1 x 2 n 2 N 2 = n 1 +n 2 = N 1 + n 2 x i n i N i = n 1 +n n i = N i-1 + n i x K n K N k = n 1 +n 2 +n i +...n k = n totale n Cioè la frequenza assoluta cumulata N i misura quante unità del collettivo osservato possiedono o la modalità x 1 o la modalità x 2 o la modalità x i. Per i=1 abbiamo che N 1 è esattamente uguale alla frequenza assoluta della prima modalità. Per i=k abbiamo che N K è uguale a tutta la numerosità del collettivo. 27

28 - Le frequenze relative cumulate (indicate con F i ) come segue: Freq. relative cumulate F i Modalità x i Freq. relative f i x 1 f 1 F 1 = f 1 x 2 f 2 F 2 = f 1 +f 2 = F 1 + f 2 x i f i F i = f 1 +f f i = = F i-1 + f i x K f K F k = f 1 +f 2 +f i +...+f k = 1 totale 1 Stesse considerazioni fatte per le frequenze assolute cumulate possono essere fatte per le frequenze relative cumulate. - Le frequenze percentuali cumulate (indicate con P i ) si ottengono moltiplicando le F i per 100 (oppure cumulando le frequenze percentuali) 28

29 Torniamo all esempio dei 20 clienti dove n = 20 e K=7. Abbiamo visto la distribuzione unitaria; qui sotto è riportata la distribuzione di frequenze. Freq. Freq. ass. freq. Freq. rel. freq. Modalità assolute cumulate relative cumulate percentuali x i n i N i f i F i p i Freq. perc. cumulate P i 2 (= x 1 ) 1 1 1/20 = = (= x 2 ) 1 2 1/20 = = (= x 3 ) 5 7 5/20 = = (= x 4 ) /20 = = (= x 5 ) /20 = = (= x 6 ) /20 = = (= x 7 ) /20 = = totale

30 Raggruppamento in classi Il raggruppamento in classi si applica a caratteri sia quantitativi discreti (quando questi si manifestano nella popolazione con un numero elevato di modalità) che continui. Classi di diversa ampiezza Vediamo innanzitutto un esempio: una banca sta valutando la qualità del suo servizio. Decide di controllare il tempo di attesa dei suoi clienti prima di essere serviti. La tabella seguente riporta la distribuzione di n=90 clienti secondo l attesa (in minuti) Attesa (in minuti) n i f i α i h i Totale

31 Quando le classi hanno ampiezza diversa, non ha senso confrontare le frequenze assolute (o relative o percentuali) di queste due classi. Le frequenze, infatti, possono essere quantità eterogenee in quanto dipendenti dall ampiezza delle classi. È necessario eliminare l effetto della dimensione della classe. Lo si fa calcolando la densità assoluta (H i ) o relativa (h i ) di ciascuna classe. Indichiamo con c i-1 l estremo inferiore e con c i l estremo superiore della generica classe i; introduciamo le seguenti quantità: ampiezza classe i, in formule α i = (c i -c i-1 ), è la differenza tra estremo superiore e inferiore della classe densità assoluta della classe i è formule H i = n α i i frequenza assoluta della classe i ampiezza della classe i, ossia in 31

32 densità relativa della classe i è formule h i = f α i i frequenza relativa della classe i ampiezza della classe i, ossia in I rapporti di ciascuna frequenza (assoluta o relativa) con l ampiezza della classe si chiamano densità ed esprimono correttamente l addensamento delle frequenze nelle varie classi. Importante: La densità rappresenta la frequenza che si avrebbe in un intervallino di ampiezza unitaria se all interno di una data classe le frequenze fossero uniformemente distribuite ovvero se ad ogni classe unitaria interna a ciascuna classe competesse lo stesso numero di unità. 32

33 Rappresentazioni grafiche È difficile cogliere da una tabella tutte (o parte delle) informazioni in essa contenute. Un aiuto viene dalle rappresentazioni grafiche che, grazie al loro impatto visivo, sono generalmente di facile lettura e sono spesso memorizzabili. La rappresentazione grafica costituisce una sintesi delle informazioni contenute in una tabella, pertanto è una fonte di informazioni meno ricca della tabella di partenza. È consigliabile generalmente presentare congiuntamente il grafico e la tabella da cui si è ricavato il grafico; in questo modo si potrà leggere l informazione più rilevante dal grafico mentre tutte gli altri chiarimenti potranno essere estratti dalla tabella. Le sintesi grafiche consistono nel rappresentare graficamente una distribuzione di frequenza. 33

34 Esistono molti tipi di rappresentazioni grafiche. Come scegliere? Spesso la scelta tra rappresentazioni possibili è dettata dal tipo di distribuzione che si sta analizzando e in particolar modo dal tipo di carattere che è stato rilevato. Hanno tutte la stessa capacità informativa? Generalmente le rappresentazioni grafiche sono tanto più dettagliate, specifiche e capaci di contenere informazioni quanto è più alto il posto occupato dal carattere nella graduatoria dei tipi di carattere. Esistono rappresentazioni grafiche utilizzabili qualunque sia la natura del carattere (ad es. diagrammi a barre). 34

35 Grafici per distribuzioni secondo un carattere qualsiasi La rappresentazione grafica più usata per questo tipo di caratteri è il grafico a barre (verticali) o a nastri (orizzontali). Il grafico a barre ha - tante barre o nastri quante sono le modalità del carattere - l altezza delle colonne (nei grafici a barre verticali) o la lunghezza dei nastri (nei grafici a barre orizzontali) è proporzionale alla frequenza assoluta o relativa o percentuale. 35

36 Esempio: consideriamo un Help Desk informatico. Supponiamo che le varie richieste siano state raggruppate in categorie ampie di problemi. (come è strutturato il foglio di raccolta dati???) 1 settimana Categoria di problema Risolti Riferiti Totali Difficoltà di soluzione = (riferiti/totali)x100 Sistema operativo Word processor Comunicazione Altre applicazioni PC Software statistico Linguaggi di programmazione Altro

37 Distribuzione dei problemi risolti per tipologia Sistema operativo Word processor Comunicazione Altre applicazioni PC Software statistico Linguaggi di programmazione Altro

38 Distribuzione delle richieste totali per tipo di problema Sistema operativo Word processor Comunicazione Altre applicazioni PC Software statistico Linguaggi di programmazione Altro Risolti Riferiti

39 Riferti Risolti Composizione dei problemi segnalati (risolti e riferiti) 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Sistema operativo Word processor Comunicazione Altre applicazioni PC Software statistico Linguaggi di programmazione Altro 39

40 Categoria di problema Frequenze assolute 4 settimane Frequenze % Frequenze assolute cumulate Frequenze cumulate % Sistema operativo Word processor Altre applicazioni PC Comunicazione Software statistico Linguaggi di programmazione Altro

41 Pareto Chart per Categoria di problemi Count Percent Defect Count Percent Cum % 0 Sistema operativo Word processor Altre applicazioni PC Comunicazione Software statistico Others 0 41

42 Il grafico sopra riportato è detto grafico di Pareto 1. E stato costruito dopo quattro settimane di rilevazione del tipo di problemi segnalati. Come si vede chiaramente, questo grafico consente di mettere in luce quelle che sono le cause di segnalazioni più frequenti. Nel nostro esempio, la lettura del grafico consente di concludere che nel servizio help desk sarà necessario avere sempre persone competenti soprattutto in materia di sistemi operativi e word processor e altri pacchetti informatici. 1 Il grafico è stato fatto con il software Minitab. Si può costruire anche usando Excel. 42

43 Il diagramma di Pareto Il diagramma di Pareto 2 è un modo di organizzare i dati che permette di evidenziare quelle categorie di problemi che sono di tipo primario (i vital few). In sostanza è un diagramma a barre in cui le categorie (e quindi le barre) sono ordinate in modo non crescente (leggendo il grafico da sinistra verso destra) in termini di frequenze assolute (o relative o percentuali). Vantaggi del diagramma di Pareto: separa i vital few dai trivial many (riferito a problemi, sintomi, cause) fornisce un ordine alle attività (e alle forme di intervento sul processo) supporto visivo al processo di miglioramento della qualità. 2 L economista Vilfredo Pareto ha dimostrato (1897) che la distribuzione del reddito non è uniforme. 43

44 Come si costruisce il diagramma di Pareto? 1) A partire dal foglio di raccolta dati compilato, si scrive una tabella in cui per ogni categoria di problema (causa possibile, sintomo, difetto, ecc...) si riporta il numero di volte (frequenza assoluta) in cui è stato osservato. (in altre parole si costruisce una distribuzione di frequenze) 2) Ordinare le categorie dalla più frequente alla meno frequente. Nota: la voce altro deve essere sempre messa per ultima (qualunque sia la sua frequenza) perché composta da un gruppo di voci, ognuna delle quali di importanza minore. 3) Calcolare le frequenze assolute cumulate e le frequenze percentuali cumulate 4) Disegnare due assi verticali uniti alla base da uno orizzontale - Asse verticale di sinistra: rappresenta le frequenze assolute. La scala, quindi, va da 0 alla frequenza assoluta totale (nel nostro esempio 1577) - Asse verticale di destra: rappresenta le frequenze percentuali. La scala, quindi, va da 0 a

45 - Asse orizzontale: dividere questo asse in un numero di intervalli uguale al numero di voci classificate. Attenzione: nel costruire la griglia, cercate di non introdurre elementi di distorsione. È importante, ad esempio, che il 100% sull asse verticale di destra corrisponda al totale (il n totale di segnalazioni, 1577 nel nostro esempio) sull asse verticale di sinistra. 5) Costruire il diagramma a barre (usando le frequenze assolute) 6) Disegnare la curva cumulativa. Riportare nell area del grafico i punti di coordinate (centro della base superiore di una barra, corrispondente frequenza cumulata percentuale). Unire i punti con una linea continua. Nota: in molti testi i punti da unire hanno come coordinate l estremo destro della base superiore della barra (e non il punto centrale) e (sempre) la corrispondente frequenza cumulata percentuale. ******* 45

46 Il diagramma di Pareto che abbiamo visto è per fenomeni perché è finalizzato alla individuazione della difettosità di un processo (esprimendosi in termini di controllo di qualità industriale). È possibile disegnare nello stesso identico modo un diagramma di Pareto per cause. Questo è finalizzato alla individuazione delle principali cause di difettosità. Nel nostro esempio, potremmo costruire un grafico di Pareto per cause se nel foglio di raccolta dati avessimo anche tenuto traccia, ad es., dell operatore impiegato all help desk. In questo modo avremmo potuto fare un grafico di Pareto per operatore prendendo, ad es., come frequenze assolute il numero di problemi non risolti. Ancora, volendo fare un analisi più dettagliata, potremmo considerare il tipo di problema come una variabile di stratificazione e rappresentare per ogni tipo un grafico di Pareto per gli operatori. 46

47 Osservazione: dalla costruzione del grafico di Pareto è emerso quanto sia importante la fase di costruzione del foglio di raccolta dati al fine della identificazione dei problemi. Attenzione!!! a. Le categorie per le quali si costruisce il diagramma devono essere mutuamente esclusive. (Per es. nel nostro caso NON posso avere le categorie sistemi operativi e sistema Windows perché Windows è un sistema operativo) b. NON mischiare categorie di problemi diversi. Ad esempio, il grafico seguente è errato! Infatti le categorie sono di tipo diverso e sono anche in contrapposizione: le vendite costituiscono un problema di crescita mentre i rifiuti vanno ridotti a zero. 47

48 Errato! Controllo Statistico della qualità Prof.ssa P. Vicard 100 c Count Percent Defect Inventario Rifiuti Vendite Others Count Percent Cum %

49 c. Il grafico di Pareto costituisce un analisi esplorativa molto importante del processo quindi bisogna procedere per tentativi provando diverse classificazioni. In altre parole bisogna guardare il problema da diverse angolazioni. d. Quando ai problemi (difetti/reclami) può essere associato un valore economico, allora è bene disegnare il diagramma di Pareto in cui, invece della frequenza dei problemi (frequenze assolute), si rappresentano i loro costi. Ciò significa che il problemi vengono elencati sempre in ordine decrescente ma, questa volta, da quello più costoso a quello meno costoso. e. La voce altro non deve costituire una grossa percentuale. 49

50 Diagramma ramo-foglia (Stem-leaf plot) Può essere costruito per caratteri quantitativi. Questo è molto utile per il suo impatto visivo perché consente di vedere la distribuzione di frequenza. Per costruire questo diagramma è necessario innanzitutto ordinare in modo non decrescente i nostri dati. Esempio: il responsabile del processo di formazione in una società che produce componenti elettroniche vuole confrontare i risultati di due differenti metodi di addestramento: uno basato sulla formazione individuale (FI) e uno basato sulla formazione di gruppo (FG). Consideriamo i dati relativi ai 21 nuovi addetti formati con FI circa il tempo necessario per assemblare il prodotto: 50

51 19.4, 20.7, 21.8, 14.1, 16.1, 16.8, 14.7, 16.7, 19.3, 16.8, 17.7, 19.8, 19.3, 16.0, 16.5, 17.7, 16.2, 17.4, 16.4, 16.8, 18.5 Il diagramma si costruisce dividendo ciascuna osservazione nella sua parte principale (ramo) e in quella secondaria (foglia). Nel nostro esempio il ramo è dato dal numero intero mentre la foglia è data dalla cifra decimale. Il diagramma ramo-foglia è il seguente Stem-and-Leaf Display: FI Stem-and-leaf of FI N = 21 Leaf Unit = (9) grafico Come si vede nella prima colonna del grafico ci sono i rami e quindi i numeri interi. Nella seconda colonna ci sono le foglie. Partiamo dal ramo 14, questo ha due foglie (corrispondenti alle osservazioni 14.1 e 14.7). Passiamo al ramo 16, questo ha 9 foglie (perché sono 9 le osservazioni che presentano il 16 come numero intero) e sono 0 (dovuto a 16.0), 1 (dovuto a 16.1) 8 (dovuto al secondo 16.8). 51

52 Prendiamo la distribuzione relativa ai 21 assunti e formati con metodo FG: 22.4, 18.7, 19.3, 15.6, 18.0, 21.7, 30.7, 13.8, 18.0, 20.8, 17.1, 28.2, 20.8, 24.7, 23.7, 17.4, 23.2, 20.1, 12.3, 15.2, 16.0 Stem-and-Leaf Display: FG Stem-and-leaf of FG N = 21 Leaf Unit = (1) Osservando i due diagrammi, si possono osservare le caratteristiche diverse delle due distribuzioni. La prima è più concentrata intorno a valori bassi di tempi di assemblaggio mentre la seconda è estremamente più dispersa. 52

53 Esempio: una società che produce batterie è interessata al confronto fra le performance di due diverse batterie per cellulari, una batteria Nikel-Cadmium (tipo 1) e una batteria Nikel-Metal Hydride (tipo 2). 25 batterie del tipo 1 e del tipo 2 sono state testate su cellulari della stessa marca rilevando il tempo di carica. > x1=c(54.5,71,67,67.8,41.7,56.7,64.5,69.7,86.8,70.4,40.8,74.9,72.5,75.4,76.9,64.9,81,104.4,83.3, 90.4,82,72.8,71.8,58.7,68.8) > x2=c(78.3,103,79.8,95.4,81.3,91.1,69.4,46.4,82.8,87.3,82.3,71.8,62.5,83.2,77.5,85,85.3,74.3,85.3,85.5,86.1,72.1,112.3,74.1,41.1) > stem(x1, scale = 2, width = 80, atom = 1e-08) The decimal point is 1 digit(s) to the right of the

54 > stem(x2, scale = 2, width = 80, atom = 1e-08) The decimal point is 1 digit(s) to the right of the Dal metodo di costruzione visto, risulta chiaro che il diagramma ramo-foglia può essere costruito facilmente solo quando il numero dei dati da analizzare è alquanto piccolo. Altrimenti è necessario ricorrere a pacchetti statistici per la costruzione del diagramma. 54

55 L istogramma NON può essere costruito per caratteri qualitativi sconnessi. Le modalità di un carattere quantitativo hanno un ordine e una prima e ultima modalità. Il grafico usato per questi caratteri è l istogramma. Consideriamo distribuzioni di caratteri quantitativi con modalità raggruppate in classi di uguale ampiezza. Sull asse delle ascisse (asse orizzontale) si riporta il carattere di interesse e quindi la base dei rettangoli sarà pari all ampiezza della classe e l altezza dei rettangoli sarà esattamente corrispondente alla frequenza (assoluta, relativa o percentuale). 55

56 Esempio: si consideri la seguente distribuzione degli importi di piccola entità pagati da una assicurazione in 120 casi. Importo del risarcimento Numero di casi (n i ) Totale 120 L istogramma è il seguente 56

57 57

58 Nota: che fare quando l ampiezza della classe non è data? In molti casi ci si trova ad avere tutti i fogli di raccolta dati e a dover iniziare a fare le elaborazioni statistiche. In questo caso siamo noi a dover fissare le classi. Procediamo per passi. Scelta del numero delle classi. Questo numero dipende dalla quantità di informazioni disponibili (all aumentare del numero di queste si richiede un maggior numero di classi) e generalmente è compreso tra 5 e 15. Se la scelta del numero di classi effettuata non è quella opportuna, la quantità di informazioni che la distribuzione (e, di conseguenza, l istogramma) ci può dare diminuisce. 58

59 Costruzione degli intervalli. Supponiamo di volere tutti intervalli di uguale ampiezza. Si ottiene la lunghezza di ciascun intervallo dividendo il range dei valori (=valore massimo valore minimo) per il numero delle classi, ovvero ampiezza dell'intervallo = range numero delle classi Determinazione degli estremi delle classi. Gli estremi vanno determinati al fine di evitare sovrapposizioni. Gli estremi devono coprire l intero range delle osservazioni. Generalmente si lavora così: si fissa per primo l estremo inferiore della prima classe; gli si aggiunge l ampiezza della classe accertandosi che appunto la prima classe contenga l osservazione minima. 59

60 Consideriamo distribuzioni di caratteri quantitativi con modalità raggruppate in classi di ampiezza diversa. Il caso è più complicato perché ora le basi dei rettangoli sono diverse (visto che le classi hanno ampiezza diversa). Quindi ora l altezza del rettangolo è data dalla densità (assoluta, relativa o percentuale). Ricordo che la densità assoluta della classe i = [c i-1, c i ) è data dal rapporto tra la frequenza assoluta e l ampiezza della classe, cioè H i = n i /α i. Pertanto operando così, è verificato che per ogni rettangolo si ha area = α i H i = n i = frequenza, dove α i = base del rettangolo e H i = altezza del rettangolo. 60

61 Esempio: Una banca sta valutando la qualità del suo servizio. Decide di controllare il tempo di attesa dei suo clienti prima di essere serviti. La tabella seguente riporta la distribuzione di n=90 clienti secondo l attesa (in minuti) Attesa (in minuti) n i f i α i h i Totale

62 Grafico corretto! 62

63 Vediamo come sarebbe venuto l istogramma se SBAGLIANDO avessi usato le frequenze invece delle densità. Come di può ben vedere confrontando il grafico che segue con quello sopra, avrei ottenuto una rappresentazione completamente distorta del fenomeno. Grafico errato! 63

64 Interpretazione dell istogramma Ricordiamoci che l istogramma viene usato quando la variabile rilevata è continua (altezza, peso, spessore, premi assicurativi, costi, tempo di servizio, tempo di attesa, tempo di sopravvivenza sono esempi di variabili rilevate nell ambito del controllo statistico della qualità). L interpretazione (lettura) dell istogramma costituisce un momento importante dell analisi del processo. L istogramma contiene molte informazioni sulla distribuzione del processo e aiuta, quindi, a verificare se esso è sotto controllo. L istogramma consente di conoscere varie caratteristiche del processo La sua intensità media (classi con alta frequenza, valori anomali, ecc...) Un quadro della variabilità del processo ovvero della sua dispersione Informazioni sulla simmetria/asimmetria della distribuzione (informazione, questa, estremamente importante soprattutto se si è in presenza di limiti di specifica) Vediamo, di seguito, alcuni esempi: 64

65 (a) (b) (a) struttura normale (a forma di campana). La classe centrale è quella modale (a massima frequenza) e la distribuzione è simmetrica (classi equidistanti dalla moda hanno la medesima frequenza) (b) struttura a pettine. L istogramma ha questa forma generalmente quando il numero delle classi è errato (troppo alto) oppure quando le rilevazioni sono state arrotondate male. Rifare il grafico!!! 65

66 (c) (d) (c) La distribuzione presenta due picchi (è bimodale). Ciò accade quando ciò che rappresentiamo è la mistura di due distribuzioni (per es. fogli di raccolta provenienti da due operatori diversi) aventi intensità molto diverse (individuate dai due picchi). Soluzione: stratificare, ovvero rappresentare le due distribuzioni separatamente. (d) Presenza di un dato anomalo nella distribuzione. Occorre studiare l anomalia osservata. Può essere dovuta ad errori nella compilazione del foglio o nella successiva elaborazione dei dati. Oppure può essere dovuta a 66

67 valori estremi (per es. si consideri la distribuzione relativa ai premi assicurativi, il valore estremo sta ad indicare che nel periodo a cui si riferisce la rilevazione, sono stati pagati premi estremamente più elevati della media). (e) Può avere varie interpretazioni. Ad esempio è la distribuzione del processo prima che venga effettuata un ispezione e che i valori non conformi (colonne in grigio) vengano rimossi. Notare che la barra rossa rappresenta un limite di specifica. È necessario intervenire sul processo. (f) La distribuzione è detta a precipizio sinistro. Questo istogramma mostra una distribuzione che può essere il risultato di un processo che è stato completamente ispezionato con conseguente rimozione di alcune osservazioni (la barra in grassetto rappresenta un limite di specifica). Ha una fortissima asimmetria positiva, ovvero la media è posizionata molto a sinistra rispetto alla classe che occupa il centro del campo di variazione (o range) della variabile. 67

68 (g) Distribuzione positivamente asimmetrica. La media è posizionata a sinistra rispetto alla classe che occupa il centro del range della variabile. La distribuzione, poi, ha un coda destra. Questa forma si presenta quando il limite inferiore viene controllato teoricamente mediante un limite di specifica (la barra rossa) oppure quando non si presentano valori inferiori ad un certo valore. Un esempio può essere dato dalla registrazione della presenza in ufficio; c è il limite inferiore dato da 7 ore e 12 minuti al giorno. 68

69 (e) (f) (g) 69

70 (h) (i) 70

71 (h) e (i) mostrano un esempio del caso in cui siano stati fissati limiti inferiori e superiori di specifica (barre rosse). In (h) vediamo che la distribuzione mostra una elevata dispersione; alcune osservazioni si trovano oltre i limiti. Un esempio può essere dato sempre dal monitoraggio degli orari di lavoro dei dipendenti. Da un lato si deve lavorare almeno 7 ore e 12 minuti; d altro lato la società (o agenzia, o ministero) ha pochi fondi a disposizione per pagare gli straordinari e quindi concede al più due ore di straordinario. Quindi le barre rosse sono a 7,12 ore e 9,12 ore. Si deve ridurre la variabilità e di conseguenza il numero di persone che eccedono questi limiti. (che altri esempi vi vengono in mente?) È necessario intervenire per ridurre la variabilità del processo. (i) invece mostra il caso in cui la distribuzione soddisfa ampiamente le specifiche e quindi non è necessario intervenire. 71

72 Il Box-Plot Il box-plot è una rappresentazione grafica che presenta diversi importanti indicatori dei dati osservati. Il box-plot, infatti, è un riassunto a cinque numeri. I numeri sono i seguenti: - la mediana (che dà informazioni sulla tendenza centrale) - il primo e terzo quartile (danno informazioni sulla variabilità e sulla asimmetria) - i due estremi (indicano la presenza di osservazioni anomale, outliers, in quanto molto lontane dal nucleo centrale dei dati) Questi numeri forniscono una descrizione sintetica di un insieme di dati anche quando il numero di unità osservate è elevato. Consideriamo nuovamente l esempio degli assunti presso una società che produce componenti elettroniche e formati con metodo FI: 72

73 Descriptive Statistics: FI Variable N N* Mean SE Mean StDev Minimum Q1 Median Q3 FI Variable Maximum FI Boxplot of FI FI Questo grafico è stato prodotto mediante il software Minitab (disponibile presso il Laboratorio di Informatica della Facoltà) 73

74 Il box-plot è utile perché riassume mediante pochi numeri molte informazioni su una distribuzione di frequenze. La mediana riassume la tendenza centrale della distribuzione. I quartili danno un indicazione sulla variabilità, perché con essi si calcola lo scarto interquantile (misura più robusta del campo di variazione). La posizione della mediana rispetto ai quartili fornisce altre utili informazioni (in particolare sulla asimmetria della distribuzione, che si vedrà nelle prossime lezioni). Gli estremi forniscono indicazioni non solo sul valore massimo e valore minimo ma soprattutto sull eventuale presenza di dati con caratteristiche anomale (al limite impossibili) dovute ad errori di misura, di trascrizione, Descriviamo più in dettaglio come disegnare il box-plot. Esso è la rappresentazione grafica che si associa al riassunto a cinque numeri. Si costruisce nel modo seguente: 74

75 - Si traccia un asse verticale (scala del carattere) alla destra del quale viene disegnato il diagramma - Si disegna un rettangolo (la scatola) che ha il primo e il terzo quartile come estremi dell altezza (cioè l altezza del rettangolo è uguale allo scarto interquartile). La larghezza della base del rettangolo è arbitraria. - Si traccia, all interno del rettangolo, una linea orizzontale in corrispondenza della mediana. - si tracciano due linee orizzontali (di larghezza uguale o minore alla base del rettangolo) in corrispondenza del valore massimo e del valore minimo. Questi due segmentini vengono detto baffi del box-plot. - Infine si tracciano due linee verticali che collegano i baffi al rettangolo. 75

76 Le statistiche descrittive per la formazione di gruppo (FG) individuale (FI) sono: Variable formazione N Mean StDev CoefVar Minimum Q1 Median tempo FG 21 19,890 4,577 23,01 12,300 16,550 19,300 FI 21 17,557 1,933 11,01 14,100 16,300 16,800 Variable formazione Q3 Maximum IQR tempo FG 22,800 30,700 6,250 FI 19,300 21,800 3,000 Boxplot di tempo di assemblaggio con FG e FI tempo FG formazione FI 76

77 Esempio: una società che produce batterie è interessata al confronto fra le performance di due diverse batterie per cellulari, una batteria Nikel-Cadmium (tipo 1) e una batteria Nikel-Metal Hydride (tipo 2). 25 batterie del tipo 1 e del tipo 2 sono state testate su cellulari della stessa marca rilevando il tempo di carica. > x1=c(54.5,71,67,67.8,41.7,56.7,64.5,69.7,86.8,70.4,40.8,74.9,72.5,75.4,76.9,64.9,81,104.4,83.3, 90.4,82,72.8,71.8,58.7,68.8) > x2=c(78.3,103,79.8,95.4,81.3,91.1,69.4,46.4,82.8,87.3,82.3,71.8,62.5,83.2,77.5,85,85.3,74.3,85.3,85.5,86.1,72.1,112.3,74.1,41.1) > summary(cbind(x1,x2)) Batterie tipo1 (x1) Min st Qu Median Mean rd Qu Max Batterie tipo2 (x2) 77

78 > boxplot(list(x1,x2),main="side-by-side Boxplot",ylab="Durata delle batterie", xlab="tipo di batteria") 78

79 Esempio: A un campione di clienti di una banca è stato chiesto quanto tempo hanno atteso prima di essere serviti alla cassa. di seguito si riporta il box-plot. 79

80 La cassa aperta è stata una sola ma nell arco della giornata il servizio è stato coperto da due cassieri diversi. È stata rilevata anche l informazione in merito al cassiere che era di turno (diciamo cassiere A e cassiere B). Consideriamo il fattore cassiere come fattore di segmentazione e costruiamo i due box-plot comparati: 80

81 Come individuare valori anomali nella distribuzione. Il box-plot (nella su versione cosiddetta modificata ) aiuta a visualizzare i dati anomali. Infatti, in alcuni software (quali Minitab) i baffi sono estesi di un valore pari a 1.5(Q 3 Q 1 ) oltre gli estremi della scatola. Le osservazioni che non cadono entro questi limiti sono, quindi, assunte come possibili valori anomali (e rappresentate con asterischi). ******* In generale, i valori anomali di una distribuzione si possono individuare in modo semplice come segue. Un dato è anomalo se: - è più alto del valore Q W - è più basso del valore Q W 81

82 Un dato è estremo (estremamente anomalo) se - è più alto del valore Q W - è più basso del valore Q 1 3 W Questi valori una volta individuati possono poi essere indicati sul box-plot. Sono osservazioni che NON vanno cancellate in quanto molto lontane e molto differenti dalle altre. Occorre innanzitutto capirne la ragione e quindi studiarle. Esse, infatti, potrebbero essere dovute i) o ad errori nella fase di raccolta dati (trascrizione o interpretazione errata della domanda) ii) o ad errori in fase di registrazione dei dati su computer iii) o a segnali importanti che arrivano in merito al fenomeno oggetto di interesse. Potrebbe essere un segno di cambiamento o di un qualche distorsione che inizia d agire sul fenomeno. In questo caso le osservazioni non vanno cancellate. 82