Dinamica dei Sistemi Multicorpo Esempi di reti elettriche

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1 Dinamica ei Sistemi Multicorpo Esempi i reti elettriche Basilio Bona Dipartimento i Automatica e Informatica Politecnico i Torino versione provvisoria: 3 novembre

2 Basilio Bona - Esempi i Sistemi Elettromagnetici 2 Pur aveno fatto ogni sforzo per eliminare la presenza i errori in questa ispensa, tuttavia è possibile che ve ne siano ancora; chi ne trovasse o volesse are suggerimenti all autore, è pregato i inviare una a: basilio.bona@polito.it

3 Basilio Bona - Esempi i Sistemi Elettromagnetici 3 1 Reti elettriche Esempio 1.1 Sia ata la rete RLC illustrata in Fig. 1. Poiché si tratta i una rete in cui sono presenti solo generatori ieali i tensione, è opportuno proceere sceglieno come variabili i stato le variabili i carica. Approccio in carica A ogni maglia elementare attribuiamo arbitrariamente elle correnti e le inichiamo con q 1 i 1 q = q 2 q 3 = i 2 i 3 q 4 i 4 Le correnti che percorrono elementi comuni a ue maglie sono la somma con segno elle correnti i maglia: a esempio, la corrente in C 1 vale q 1 q 4 e la corrente in L 2 vale q 1 q 2. La scelta el segno elle correnti è el tutto arbitraria. Funzione Lagrangiana Funzione i issipazione L e (q, q) = Wm( q) W c (q) = 1 ( L1 q L 2 ( q 2 q 1 ) 2 + L 3 q 2 2 3) 1 ( 1 (q 1 q 4 ) q ) q4 2 2 C 1 C 2 C 3 D e = 1 2 ( R1 ( q 2 q 3 ) 2 + R 2 q R 3 q 2 4) Forze generalizzate Esistono ue generatori ieali i tensione: la potenza fornita (uscente) al resto el circuito risulta essere quini δw nc = E 1 (t)δ q 1 + E 2 (t)(δq 3 δq 4 ) E 1 = E 1 (t), E 2 = 0, E 3 = E 2 (t), E 4 = E 2 (t) Equazioni i Lagrange (L 1 + L 2 ) q 1 L 2 q C 1 (q 1 q 4 ) = E 1 (t) L 2 q 1 + L 2 q 2 + R 1 ( q 2 q 3 ) + 1 C 2 q 2 = 0 L 3 q 3 + (R 1 + R 2 ) q 3 R 1 q 2 = E 2 (t) R 3 q 4 + C 1 + C 3 C 1 C 3 q 4 1 C 1 q 1 = E 2 (t)

4 Basilio Bona - Esempi i Sistemi Elettromagnetici 4 oppure, utilizzano come variabili primarie le correnti e come variabili accessorie le tensioni sui conensatori: con (L 1 + L 2 ) t i 1 L 2 t i 2 + v C1 = E 1 (t) L 2 t i 1 + L 2 t i 2 + R 1 (i 2 i 3 ) + v C2 = 0 L 3 t i 3 + (R 1 + R 2 )i 3 R 1 i 2 = E 2 (t) R 3 i 4 + v C3 v C1 = E 2 (t) v C1 = 1 C 1 (q 1 q 4 ); v C2 = 1 C 2 q 2 ; v C3 = 1 C 3 q 4 Esempio 1.2 Sia ata la rete RLC illustrata in Fig. 2. Poiché si tratta i una rete in cui sono presenti solo generatori ieali i corrente, è opportuno proceere sceglieno come variabili i stato le variabili i flusso. Approccio in flusso A ogni noo elementare, eccetto quello convenzionalmente assunto come terra, attribuiamo arbitrariamente elle tensioni e le inichiamo con λ 1 q = λ 2 = v 1 v 2 λ 3 v 3 Le ifferenze i potenziale ai capi ei noi sono la ifferenza con segno elle tensioni i noo: a esempio, la tensione su C vale λ 1 λ 2. Funzione Lagrangiana Funzione i issipazione L e (λ, λ) = W c ( λ) W m (λ) = 1 2 C 1( λ 2 λ 1 ) C 2( λ 3 λ 2 ) 2 1 2L λ2 1 D e = 1 R λ 2 3 Forze generalizzate Esiste un generatore ieale i corrente: la potenza fornita al resto el circuito vale: δw nc = I(t)δ λ 2 quini I 1 = 0, I 2 = I(t), I 3 = 0

5 Basilio Bona - Esempi i Sistemi Elettromagnetici 5 Equazioni i Lagrange C 1 ( λ 1 λ 2 ) + λ 1 L = 0 C 1 λ1 + (C 1 + C 2 ) λ 2 C 2 λ3 = I(t) C 2 λ2 + C 2 λ3 + λ 3 R = 0 oppure, utilizzano come variabili primarie le tensioni e come variabili accessorie le correnti negli inuttori: ( C 1 t v 1 ) t v 2 + i L1 = 0 con C 1 t v 1 + (C 1 + C 2 ) t v 2 C 2 t v 3 = I(t) C 2 t v 2 + C 2 t v 3 + v 3 R = 0 i L1 = 1 L 1 λ 1 Esempio 1.3 Consieriamo la rete RLC illustrata in Fig. 3. Invece i scrivere le equazioni i Lagrange utilizzano l approccio in carica, come sarebbe naturale esseno presente un solo generatore ieale i tensione, proviamo a utilizzare l approccio in flusso. Approccio in flusso Come nel caso ell Esercizio 1.2, fissiamo tre tensioni ai noi ella rete, esclueno il noo i terra. Osserviamo ora che la tensione λ 0 non può essere scelta a piacere, in quanto essa è specificata al generatore i tensione, che opera come un vincolo. Ciò si trauce nel porre δλ 0 = 0. A questo punto le variabili generalizzate si riucono a tre a ue ) ( ) ( λ1 v1 q = = λ 2 Funzione Lagrangiana Funzione i issipazione v 2 L e (λ, λ) = W c ( λ) W m (λ) = 1 2 C( λ 2 λ 1 ) 2 1 2L (λ 1 λ 0 ) 2 D e = 1 R 1 λ R 2 λ2 2

6 Basilio Bona - Esempi i Sistemi Elettromagnetici 6 Forze generalizzate Non essenoci contributi ovuti a generatori ieali i tensione, abbiamo semplicemente: I 1 = 0, I 2 = 0. Equazioni i Lagrange C λ 1 C λ 2 + λ 1 + λ 1 R 1 L = 1 L λ 0 C λ 1 + C λ R 2 λ2 = 0 con λ 0 = E(t) Esempio 1.4 Consieriamo nuovamente la rete RLC illustrata in Fig. 2. Invece i scrivere le equazioni i Lagrange utilizzano l approccio in flusso, come sarebbe naturale, esseno presente un solo generatore ieale i corrente, proviamo a utilizzare l approccio in carica. Approccio in carica A ogni maglia elementare ella rete in Fig. 4 attribuiamo arbitrariamente una corrente e le inichiamo con ( ) ( ) q1 i1 q = = q 2 Però ora al noo A si può scrivere un equazione i bilancio tra le correnti, che vale q 1 = q 0 + q 1 ove q 0 = I(t). Integrano questa relazione e consierano che non vi sono costanti i integrazione (il noo A non possiee cariche iniziali), abbiamo q 1 = q 0 +q 1 ; questa equazione rappresenta un vincolo, che riconotto alle variazioni porta a scrivere δq 1 = δq 2, poichè δq 0 = 0, esseno una corrente specificata all esterno: Pertanto le variabili q si riucono a ue a una sola q = q 1 = i 1 Funzione Lagrangiana i 2 L e (q, q) = W m( q) W c (q) = 1 2 L q C 1 q C 2 (q 1 + q 0 ) 2 Funzione i issipazione D e = R(q 1 + q 0 ) 2

7 Basilio Bona - Esempi i Sistemi Elettromagnetici 7 Forze generalizzate Non essenoci contributi ovuti a generatori ieali i corrente, abbiamo semplicemente: E 1 = 0. Equazioni i Lagrange ( ) C1 + C 2 L q 1 + R q 1 + q 1 = RI(t) 1 q 0 C 1 C 2 C 2 Esempio 1.5 Consieriamo la rete RLC illustrata in Fig. 5, alimentata a un generatore ieale i tensione E(t) e a un generatore ieale i corrente I(t). Utilizziamo prima l approccio in carica e successivamente l approccio in flusso. Approccio in carica Faceno riferimento alla Fig. 6, a ogni maglia elementare attribuiamo arbitrariamente una corrente e le inichiamo con q 1 i 1 q = q 2 q 3 = i 2 i 3 q 4 i 4 Ora però al noo A si può scrivere un equazione i bilancio tra le correnti, che vale q 4 = q 0 + q 3 ove q 0 = I(t). Integrano questa relazione e consierano che non vi sono costanti i integrazione (il noo non possiee cariche iniziali), abbiamo q 4 = q 0 + q 3 ; questa equazione rappresenta un vincolo, che riconotto alle variazioni porta a scrivere δq 4 = δq 3, poichè δq 0 = 0, esseno una corrente specificata all esterno: pertanto le variabili q si riucono a quattro a tre q 1 i 1 q = q 2 = i 2 q 3 Funzione Lagrangiana L e (q, q) = W m( q) W c (q) = 1 2 Funzione i issipazione ( L1 q L 2 q 2 2) 1 2 i 3 ( 1 (q 1 q 2 ) ) (q 2 q 3 ) 2 C 1 C 2 D e = 1 ( R1 q R 2 ( q 3 + q 0 ) 2) 2

8 Basilio Bona - Esempi i Sistemi Elettromagnetici 8 Forze generalizzate Vi sono ue generatori, ma solo il generatore i tensione contribuisce alle tensioni generalizzate; la potenza fornita (uscente) al resto el circuito risulta essere δw nc = E(t)δ q 1 quini Equazioni i Lagrange E 1 = E(t); E 2 = 0; E 3 = 0. L 1 q 1 + R 1 q C 1 (q 1 q 2 ) = E(t) L 2 q 2 1 C 1 (q 1 q 2 ) + 1 C 2 (q 2 q 3 ) = 0 R 2 ( q 3 + q 0 ) 1 C 2 (q 2 q 3 ) = 0, con q 0 = I(t) oppure L 1 t i 1 + R 1 i 1 + v C1 = E(t) L 2 t i 2 + v C2 = v C1 R 2 i 3 = v C2 R 2 I(t) Osserviamo che il numero i equazioni ifferenziali el secon orine si riuce a ue, mentre la terza equazione è el prim orine. Approccio in flusso Faceno riferimento alla Fig. 7, a ogni noo attribuiamo arbitrariamente una tensione e le inichiamo con λ 0 q = λ 1 λ 2 λ 3 Ora però la tensione λ 0 = E(t) non può essere scelta a piacere, in quanto essa è specificata al generatore i tensione, che opera come un vincolo. Ciò si trauce nel porre δλ 0 = 0. Pertanto le variabili q si riucono a quattro a tre λ 1 v 1 q = λ 2 = v 2 λ 3 v 3 Funzione Lagrangiana L e (λ, λ) = W c ( λ) W m (λ) = 1 2 (C 1 λ C 2 λ2 3 ) 1 2L 1 (λ 1 λ 2 ) L 2 (λ 2 λ 3 ) 2

9 Basilio Bona - Esempi i Sistemi Elettromagnetici 9 Funzione i issipazione D e = 1 2R 1 ( λ 0 λ 1 ) R 2 λ2 3 Forze generalizzate Vi sono ue generatori, ma solo il generatore i corrente contribuisce alle correnti generalizzate; la potenza fornita (uscente) al resto el circuito risulta essere δw nc = I(t)δ λ 3 quini Equazioni i Lagrange I 1 = 0; I 2 = 0; I 3 = I(t). 1 R 1 ( λ 0 λ 1 ) + 1 L 1 (λ 1 λ 2 ) = 0 C 1 λ2 1 L 1 (λ 1 λ 2 ) + 1 L 2 (λ 2 λ 3 ) = 0 C 2 λ3 + 1 R 2 λ3 1 L2(λ 2 λ 3 ) = I(t) La prima equazione esprime il fatto che la corrente in R 1 è uguale alla corrente in L 1 ; la secona esprime l equilibrio i correnti al noo el conensatore C 1 : i L1 = i C1 + i L2 la terza equazione esprime l equilibrio al noo el conensatore C 2 : i C2 + i R2 = i L2 + I(t)

10 Basilio Bona - Esempi i Sistemi Elettromagnetici 10 2 Equazioni in variabili i stato Utilizzeremo le equazioni i Lagrange ottenute agli esercizi sulle reti elettriche per scrivere le relative equazioni i stato. Ricoriamo che vogliamo riconurci alla seguente equazione matriciale Non ci interessa invece scrivere le equazioni i uscita ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) (1) y(t) = Cx(t) Esempio 2.1 Preniamo le equazioni i Lagrange ell Esempio 1.1: (L 1 + L 2 ) q 1 L 2 q C 1 (q 1 q 4 ) = E 1 (t) L 2 q 1 + L 2 q 2 + R 1 ( q 2 q 3 ) + 1 C 2 q 2 = 0 L 3 q 3 + (R 1 + R 2 ) q 3 R 1 q 2 = E 2 (t) R 3 q 4 + C 1 + C 3 C 1 C 3 q 4 1 C 1 q 1 = E 2 (t) Variabili i stato Notiamo subito un fatto importante: nell equazione (5) non compare la erivata secona i alcuna carica. Ciò significa che le variabili i stato sono solo 7, ossia le seguenti Fissiamo come ingressi le tensioni E i (t) Avremo immeiatamente x 1 q 1 x 2 q 2 x 3 q 3 x(t) = x 4 = q 4 x 5 q 1 x 6 q 2 x 7 q 3 u(t) = ( u1 u 2 ) = ( E1 E 2 ẋ 1 = x 5 ; ẋ 2 = x 6 ; ẋ 3 = x 7 )

11 Basilio Bona - Esempi i Sistemi Elettromagnetici 11 e alle equazioni i Lagrange (L 1 + L 2 )ẋ 5 L 2 ẋ C 1 (x 1 x 4 ) = u 1 (2) L 2 ẋ 5 + L 2 ẋ 6 + R 1 (x 6 x 7 ) + 1 C 2 x 2 = 0 (3) L 3 ẋ 7 + (R 1 + R 2 )x 7 R 1 x 6 = u 2 (4) R 3 ẋ 4 + C 1 + C 3 C 1 C 3 x 4 1 C 1 x 1 = u 2 (5) Si osserva che le prime ue equazioni ifferenziali contengono sia ẋ 5 sia ẋ 6 e quini occorre effettuare elle sostituzioni per portarle nella forma (1). Questa situazione è ovuta alla scelta fatta i prenere le correnti alle maglie, invece i prenere le correnti (e le cariche) nei conensatori. Ora ricaviamo L 2 ẋ 6 alla (3) e sostituiamo nella (2) L 2 ẋ 6 = L 2 ẋ 5 R 1 (x 6 x 7 ) 1 C 2 x 2 (6) a cui (L 1 + L 2 )ẋ 5 L 2 ẋ 5 + R 1 (x 6 x 7 ) + 1 C 2 x C 1 (x 1 x 4 ) = u 1 ẋ 5 = 1 L 1 C 1 x 1 1 L 1 C 2 x L 1 C 1 x 4 R 1 L 1 x 6 + R 1 L 1 x L 1 u 1 Ora usiamo questa espressione per sostituirla nella (6), otteneno ẋ 6 = 1 L 1 C 1 x 1 1 L 12 C 2 x L 1 C 1 x 4 R 1 L 12 x 6 + R 1 L 12 x L 1 u 1 ove In conclusione avremo: L 12 = L 1L 2 L 1 + L 2 ẋ 1 = x 5 (7) ẋ 2 = x 6 (8) ẋ 3 = x 7 (9) ẋ 4 = 1 x 1 1 x 4 1 u 1 R 3 C 1 R 3 C 13 R 3 (10) ẋ 5 = 1 L 1 C 1 x 1 1 L 1 C 2 x L 1 C 1 x 4 R 1 L 1 x 6 + R 1 L 12 x L 1 u 1 (11) ẋ 6 = 1 L 1 C 1 x 1 1 L 12 C 2 x L 1 C 1 x 4 R 1 L 12 x 6 + R 1 L 12 x L 1 u 1 (12) ẋ 7 = R 1 L 3 x 6 R 1 + R 2 L 3 x L 3 u 2 (13)

12 Basilio Bona - Esempi i Sistemi Elettromagnetici 12 a cui si ricavano le matrici A e B R 3 C 1 R 3 C 13 A = R 1 R 1 L 1 C 1 L 1 C 2 L 1 C 1 L 1 L R 1 R 1 L 1 C 1 L 12 C 2 L 1 C 1 L 12 L 12 R R 1 + R 3 L 3 L R 3 B = 1 0 L L L 3 (14) (15)

13 Basilio Bona - Esempi i Sistemi Elettromagnetici 13 Inice 1 Reti elettriche 3 2 Equazioni in variabili i stato 10 Elenco elle figure 1 Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio Esempio 1.5, approccio in carica Esempio 1.5, approccio in flusso

14 Basilio Bona - Esempi i Sistemi Elettromagnetici 14 Figure Figura 1: Esempio 1.1. Figura 2: Esempio 1.2.

15 Basilio Bona - Esempi i Sistemi Elettromagnetici 15 Figura 3: Esempio 1.3. A Figura 4: Esempio 1.4. Figura 5: Esempio 1.5.

16 Basilio Bona - Esempi i Sistemi Elettromagnetici 16 A Figura 6: Esempio 1.5, approccio in carica. Figura 7: Esempio 1.5, approccio in flusso.