Politecnico di Milano - Anno Accademico Statistica Docente: Alessandra Guglielmi Esercitatore: Stefano Baraldo

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1 Politecnico di Milano - Anno Accademico Statistica Docente: Alessandra Guglielmi Esercitatore: Stefano Baraldo Esercitazione 4 14 Aprile 2011 Exercise 1. Una compagnia aerea vola con due tipi di aerei: uno da 20 posti e uno da 10 posti. Poiché è noto che i viaggiatori che prenotano i voli poi non si presentano con una probabilità del 10%, vengono sempre accettate 22 prenotazioni per il 20 posti e 11 per il 10 posti. Su quale aereo è più elevato il rischio di lasciare fuori almeno un passeggero che ha prenotato regolarmente, sapendo che è stato accettanto il massimo numero di prenotazioni (rispettivamente 22 e 11)? Sia X i la variabile che indica se l i-esimo cliente si presenta; per cui X i B(0.9) e le X i sono indipendenti per ogni i. Ora sia S 11 il numero di clienti che si presentano su 11 che hanno prenotato, e sia S 22 l analogo su 22 prenotazioni. Allora: ( ) 11 P(S 11 > 10) = P(S 11 = 11) = ( ) ( ) P(S 22 21) = , quindi il rischio è più elevato per l aereo da 22 posti. Exercise 2. Se X ha legge binomiale di parametri n e p, qual è la legge di Y = n X? Poichè X {0,..., n}, also Y {0,..., n}, allora ( ) n P(Y = k) = P(n X = k) = P(X = n k) = p n k (1 p) k = n k = ( n k ) (1 p) k p n k, dove abbiamo usato il fatto che ( ) n k = n! k!(n k)! = ( n n k). Quindi Y B(n, 1 p). Exercise 3. Un bambino estrae con reimmissione delle palline da un sacchetto che ne contiene 90, numerate da 1 a 90 e per il resto indistinguibili. 1. Qual è la probabilità che su 6 estrazioni esattamente 4 numeri risultino pari? 2. Calcolare il valore approssimato della probabilità che su 200 estrazioni il numero 90 esca almeno 3 volte. 1

2 1. Poichè p = 45/90 = 0.5 è la probabilità di ottenere un numero pari in una singola estrazione, il numero di numeri pari ottenuti in 6 estrazioni con reimmissione è una variabile X B(6, 1/2). Quindi P(X = 4) = ( 6 4 ) ( 1 2 ) 4 ( ) 2 1 = = Sia U la v.a. che conta il numero di volte in cui il 90 è uscito su 200 estrazioni; allora U B(200, 1/90). Possiamo approssimare questa distribuzione binomiale con una distribuzione poissoniana di parametro Pertanto P(U 3) = 1 P(U = 0) P(U = 1) P(U = 2) = 1 e 200/90 200/ e 90 e 200/90 ( ) Exercise 4. Il numero di particelle emesse al secondo da sostanza radioattiva segue una distribuzione di Poisson. Se la probabilità di non emissione di particelle, in 1 secondo, è pari a 0.165, trovare 1. il numero atteso di emissioni al secondo; 2. la probabilità di avere non più di 2 emissioni al secondo. 1. Sia X il numero di particelle emesse al secondo. La v.a. discreta X è distributa secondo una legge di Poisson di media µ. Sappiamo che P(X = 0) = e µ = 0.165, da cui E(X) = µ = log(0.165) P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = e µ µ µ 1! µ (µ) 2 2! Exercise 5. Tra le 2 e le 4 del pomeriggio, il numero medio di chiamate telefoniche al minuto che arrivano ad un certo centralino è 2.5. Trovare la probabilità che, in un minuto, ci siano 1. zero chiamate telefoniche; 2. due chiamate telefoniche; 3. quattro o meno chiamate telefoniche; 4. più di sei chiamate telefoniche. 1. Sia X il numero di chiamate al minuto. Possiamo pensare che X sia distribuita secondo una legge di Poisson di valore atteso µ = 2.5. Ricordando che se X è una variabile di Poisson di valore atteso µ allora µ µx P(X = x) = e x!, abbiamo che P(X = 0) = e 2.5 =

3 P(X = 2) = e 2! P(X 4) = 4 P(X = k) k=0 = e ! ! ! ! = P(X > 6) =1 P(X 6) = 1 [ P(X 4) + P(X = 5) + P(X = 6) ] = Exercise 6. Ad un centralino arrivano in media 15 telefonate all ora. 1. Calcolare la probabilitá che in cinque minuti non arrivi piú di una telefonata. 2. Calcolare la probabilitá che in dieci minuti arrivino almeno 3 telefonate. 3. Calcolare il tempo che intercorre mediamente tra una telefonata e la successiva. 4. Calcolare la probabilitá che tra una telefonata e la successiva passino meno di 6 minuti. 5. Se il centralino funzionasse per 18 ore, quante telefonate arriverebbero in media? Misuriamo il tempo in minuti. Se X t =numero di telefonate che arrivano in t minuti, allora X t P (λt) ove λ é il numero di telefonate che arrivano mediamente in un minuto (cioé: = λ = = 1 4 ). Sia inoltre T =intertempo tra una telefonata e la successiva, ovviamente T Exp( 1 4 ). 1. X 5 P ( 5 4 ) quindi P(X 5 1) = P(X 5 = 0) + P(X 5 = 1) = e e 5 4 = 9 4 e X 1 0 P ( 5 2 ) quindi P(X 1 0 3) = 1 P(X 1 0 2) = P(X 1 0 = 0) + P(X 1 0 = 1) + P(X 1 0 = 2) ( ) 2 = 1 e e e = e E[T ] = 4 [minuti] 4. P(T < 6) = 1 e ore = 1080 minuti, quindi E[X 1080 ] = 270 3

4 Exercise 7. Un impiegato di un call center lavora dalle 8 del mattino fino alle 5 del pomeriggio, con pause 10:00-10:15, 12:30-13:30 e 14:45-15:00. Sia assuma che le telefonate arrivino seguendo un processo di Poisson con numero atteso di chiamate all ora pari a Si calcoli la probabilità che ci sia al massimo una chiamata durante la pausa caffè al mattino. 2. Si calcoli la probabilità che arrivino al massimo 3 chiamate complessivamente durante le pause. 3. Si calcoli la probabilità che prima della pausa caffè del mattino arrivino meno di 6 chiamate. 4. Si calcoli la probabilità che la prima chiamata del giorno avvenga dopo le 8:10 del mattino. 5. Si calcoli la probabilità che la seconda chiamata arrivi prima delle 8: Si calcoli la probabilità che l impiegato possa fare qualcos altro per 45 minuti senza essere disturbato da una chiamata. 7. Si calcoli la probabilità che tra una chiamata e la successiva passino almeno 5 minuti ma meno di 10. Per semplicità considereremo il tempo misurato in ore e decimali di ora, anziché minuti, in modo che le 10:30 diventino 10.5 etc. Sia N t il numero di chiamate al call center: questa è una variabile aleatoria di legge P (6t). 1. La pausa caffè al mattino dura 45 minuti, quindi dobbiamo calcolare P(N N 10 1) = P(N ) = P(N 0.25 = 0) + P(N 0.25 = 1) = e e = e e 3 2 = Abbiamo usato la proprietà del processo di Poisson per la quale N t N s = N t s if t s 2. La probabilità richiesta è 3. P((N N 10 ) + (N 13.5 N 12.5 ) + (N 15 N ) 3). Per semplificare questo evento possiamo utilizzare le proprietà del processo di Poisson: N t N s = N t s if t s and N s +N t = N s+t. Quindi otteniamo P(N 1.5 3) = 3 k= (6 1.5)k e k! P(N 2 < 6) = e e 6 2 (6 2)2 6 2 (6 2) (6 2)4 6 2 (6 2)5 6 2 =

5 4. Se T1 è il tempo trascorso prima di ricevere la prima chiamata, P(T1 > 1 1/6) = P(N1/6 = 0) = e 6 6 = e 1 = Sia T2 il tempo trascorso tra la prima e la seconda chiamata e sia T 2 l istante della seconda chiamata. Sfruttando la proprietà per la quale la somma di variabili Ti Exp(λ), i = 1,..., n, ha legge T Tn = T n Gamma(n, λ), abbiamo che 2: Probabilità Capitolo T 2 Gamma(2, 6), quindi otteniamo Z 1/2 Z 1/2 1/2 P(T 2 < 0.5) = 62 xe 6x dx = 6e 6x dx 6xe 6x che,s non funzioni. Per I'ipotesi di 2. Calcoliamo (1 - o), ossia la 3probabilità 3 = 1 e 3e = connessionein parallelo, questa è uguale alla probabilità che tutti i componenti non Alternativamente, si può trovare la probabilità cercata notando che: funzionino; per I'indipendenzadei componenti, questa è il prodotto delle probabilità P(Towero = P(N0.5 2) = 1 P(N0.5 < 2), 1 + T2 <il0.5) prodotto che ciascunonon funzioni, che ci porta allo stesso risultato.. (1-3 o r) 9 ( 1 - aù... (1 - o"). 6. P(N0.75 = 0) = e 6 4 = e 2 = il fatto che se gli eventi "I implicitamente qui Abbiamo Da questo segue 7. Sia la T tesi. il tempo trascorso trausato una chiamata e la successiva; T Exp(6), otteniamo cheindipendenti,per la Proposizione58, anche gli eventi sono funziona" componente A;quindi 1 tr loro indipendenti. "Il cómponentep(1/12 sono Ai non Tfunziona" 1/6) = P(T tra 1/6) P(T 1/12) = e 2 e 1 = Exercise 8. Si valuti l affidabilità del sistema rappresentato, supponendo che i componenti abbiano le affidabilità reliabilites:in figura, supponendo delseguenti:following sistemaschematizzato I'affidabilità Si calcoli Esempio58. affidabilità: le seguenti chei componentiabbiano A : 0.95 B : 0.99 C : 0.70 D : 0.70 E : 0.90 A : ;B : ; C : D : ;. E: 0' 9 0' Il sistemacostituitodai 2 componentic, D ha affidabilità Il sistema ( 1-0.7ha) (affidabilità ): a@dc:)1 D- (parallelo) ac,d = 1 (1 0.7)(1 0.7) = 0.91; può vedersicome costituito da 4 componentiin serie: A,B,la coppia Il sistema Il sistema globale si può vedere come formato da 4 elementi in serie: A, B, (C, D), E, ha affidabilità: (C, D), E,quindi e quindi ha affidabilità ' 0,9 = 0.95' ' ' '\"0.77. o,: a 0.95 n Exercise 9. In un ufficio lavorano 4 impiegati, con un capo ufficio e un vice capo ufficio; tutte queste personepiù spesso dalin lavoro. lavoro dell ufficio I'affidabittà del diminuisce serieogni componenti che connettere mancano Si osservi può essere compiuto da uno qualsiasi degli impiegati presenti, dopodiché viene componenti); viceversa connettere più singole quella sistema (rispetto consegnato a al capo per delle il controllo finale e la firma; il vice capo ha lo stesso delle singole a quella rispetto I'affidabilità parallelo in del ruolo capo in aumenta sua assenza. Si suppongadel chesistema, ogni impiegato abbia affidabilcomponenti ità (probabilità di presenza in ufficio quando un particolare lavoro deve essere componenti. completato) pari a 0.6, che il capo ufficio abbia affidabilità 0.5 e il vice capo può avere un ma 0.7. un apparecchio, Il termine sisterna non indica necessariamente significato molto ampio; conseguentementela nozione di affidabilitù è apphcabile in 5 vari contesti. Esempio 61. In un ufficio lavorano 4 impiegati, un capo ufficio e un vice capo; tutte e sei le persone sono spessoassenti.ogni pratica può esseresbrigatada uno qualunque degli impiegati (basta che sia presente in ufficio), dopodiché viene passata al capo ufficio per il controllo finale e la firma; il vice capo svolge la stessafunzione del capo,

6 1. Si rappresenti il sistema con uno schema di connessioni in serie o in parallelo e si calcoli l affidabilità totale; 2. date le basse performance, il capo ha 2 possibilità: assumere un nuovo impiegato di affidabilità 0.6, oppure dare a uno degli impiegati già presenti il ruolo di aiuto vice capo (con lo stesso ruolo del vice ma affidabilità pari a quella del suo vecchio ruolo). Qual è la scelta più conveniente??uilqeqord :Z optldec 8É eruoc avqezzj.wvrel{cs QBrrrelqsII 'D a ltseerdrlllii8ep?ruol$sot]osiep RtmwplJJs,T - I) :wlo'o- u(g'o I 1. L affidabilità del sottosistema degli impiegati è Qldsc enp lep eruelslsolloslep Rllllq!plJJ!,1 1 (1 0.6)4 = , igg'o- (t'o- r)(g'o- r) r l affidabilità del sottosistema dei due capi è QsurelsrsIep Q{FqepIJ}e,l 1 (1 0.5)(1 0.7) = 0.85, 'obt9 = V7,828'0: 98'0 'WL6'0 quindi l affidabilità totale del sistema è eq Btuelslsottosounrd I RUIqBpIJJe 'q un uoj 'e lt!ure{e rse}odtonp efieu R{llqeplJJs,lotuu11oclec1g 'qld q o1e8e1du = ' '0 :"(9 ' 0- r) - r 2. Con un ulteriore impiegato il sottosistema degli impiegati ha affidabilità QeluelslsIep RIIIqepI.lJs,le 1 (1 0.6)5 = , 'ob V.*? 96 Z I? 8' 0_9B '0 ' ' 0 quindi l affidabilità totale del sistema diventa q{uq!prjjeue Ile8erdun ewe}$so}}os F 'aoe^ul lso}odt upuooes!llen = ,gt6.o_,(g.o- r) I Nella seconda situazione, al contrario, il sottosistema degli impiegati ha affidabilità 1 (1 0.6)3 = 0.936, Rlmq!psJuuq ldec 3rl TopetlIallsollosF _ (g'o- t)(r'o- I)(g'o- r) 'P6'o r mentre l affidabilità del sistema dei tre capi è o Quruolqs treprllllqepljjb,l 'a/o '0_ V6'0 ' 9t6'0 ^-, 1 (1 0.5)(1 0.7)(1 0.6) = 0.94, tr 'spujlsspuocesel enneesipqnb euel^uoj il che implica un affidabilità totale pari a = ; gllllqeqord ellnsouolzelolldecu lp lzlclosf quindi la seconda scelta è più conveniente. '?ssoj?l ejelocl?j 'q?un :8rs eqc?u?c!un o sjn8g R{II.q!qoJd 'rrons 3I erelocl!j 'D?un :3IS eqj!un o aqccld ernsg rp Rwwqord Ip '"un"ue3 ozzew un BCI '6T'z oejlse eu es eusc z9fp 'qun8n rjerrrnuenp '2 :6 ers!ururosrnj EI rjerunuenp 'p iued ueurnu enp 't ig un e I un 'q i7 enp 'o :orpcse 'lpep enp opuurju!l'aqc Rtl[q?qord u1erelool?j 'gi'z 6