Fondamenti di Automatica per Ing. Elettrica

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1 Fondamenti di Automatica per Ing. Elettrica Prof. Patrizio Colaneri 2 1 Esame del 9 Settembre 219 Cognome Nome Matricola Firma Durante la prova non è consentita la consultazione di libri, dispense e quaderni. Questo fascicolo contiene 5 esercizi. Si prega di non allegare alcun foglio. 2 Dipartimento di Elettronica, Informazione e Bioingeneria, Politecnico di Milano, 2133 Milano, Italy,

2 2 u z f(.) G(s) Figura 1. Figura dell esercizio 1 I. Esercizio 1 Si consideri il sistema nonlineare in Figura dove mentre f(z) = z 2. G(s) = 1 (s + 1) 2 Si ricavino gli stati di equilibrio in corrispondenza dell ingresso costante u = 2 e si studi la stabilità di tali stati di equilibrio.

3 3 Soluzioni. Una realizzazione in spazio di stato è: [ ] [ 1 ẋ(t) = x(t) Quindi ] y(t), y(t) = (u(t) x 1 (t)) 2 ẋ 1 (t) = x 2 (t), ẋ 2 (t) = x 1 (t) 2x 2 (t) + (u(t) x 1 (t)) 2 Ponendo u = 2 ci sono due stati di equilibrio: [ 1 x = ] [ 4, x = Il primo è asintoticamente stabile, il secondo instabile. ]

4 4 L(s) Figura 2. Figura dell esercizio 2 5 Diagramma di Bode - Modulo 3 Diagramma di Bode - Fase db gradi pulsazione pulsazione Figura 3. Figura dell esercizio 2 II. Esercizio 2 Si consideri lo schema a blocchi retroazionato nella prima figura, dove L(s) = µg(s) e G(s) ha gli andamenti del modulo e della fase (sia asintotici che precisi) nelle due figure sopra riportate. Si studi la stabilità del sistema retroazionato in funzione di µ utilizzando il luogo delle radici (con grafico del luogo), il criterio di Bode, e la tabella di Routh Hurwitz.

5 Phase (deg) Magnitude (db) 5 1 Bode Diagram Gm = db (at 7.75 rad/s), Pm = deg (at 7.75 rad/s) Frequency (rad/s) 15 Root Locus 4 Root Locus 1 3 Imaginary Axis (seconds -1 ) 5-5 Imaginary Axis (seconds -1 ) Real Axis (seconds -1 ) Real Axis (seconds -1 ) Soluzioni: G(s) = (1.1s)(.5s + 1) s 2 (.1s + 1) Il polinomio caratteristico del sistema retroazionato è: s 3 + (1 µ/2)s 2 + 4µs + 1µ e quindi il sistema retroazionato è asintoticamente stabile per < µ < 15 Per il criterio di Bode si veda il grafico del modulo e fase di 15G(jω). Per il luogo delle radici si vedano i luoghi per µ > e µ <.

6 6 III. Esercizio 3 Si consideri il sistema retroazionato in figura, dove f(t) r(t) R(s) G(s) y(t) Figura 4. Figura dell esercizio 3 Si ricavi un regolatore tale che ω c 1rad/s φ m 3 o a regime r(t) y(t) sia minore di.1. G(s) = 1.1s, r(t) = ram(t), f(t) = ±sca(t) s(s + 1)

7 7 Soluzioni: Il guadagno di anello deve essere 2. Basta una rete ritardatrice: R(s) = s 1 + 5s In figura sono mostrati i diagrammi del modulo e fase di L(jω), dove (1 + 5s)(1.1s) L(s) = 2 s(1 + 5s)(1 + s) 15 Bode Diagram Gm = 13.8 db (at 3.13 rad/s), Pm = 3.6 deg (at 1.26 rad/s) Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/s)

8 8 IV. Esercizio 4 Si consideri il sistema retroazionato a tempo discreto in figura, dove u(k) G1(z) y(k) G2(z) Figura 5. Figura dell esercizio 4 G 1 (z) = z α z + 1, G 2(z) = 1 z sono le funzioni di trasferimento di due sistemi del primo ordine a tempo discreto. Si studino le proprietà del sistema in funzione del parametro α e cioè: raggiungibilità da u, osservabilità da y, stabilità asintotica, stabilità BIBO (da u a y), proprietà FIR.

9 9 Soluzioni: La funzione di trasferimento da u a y è; G(z) = z(z α) z 2 + 2z α Per la stabilità asintica (radici di z 2 + 2z α all interno del cerchio di raggio uno) si ha: α < 1 e α > 1. Il sistema non è asintoticamente stabile per nessun valore di α. Per la stabilità BIBO da u a y consideriamo α = e α = 1. nel primo caso abbiamo G(z) = z z + 2 e nel secondo caso G(z) = z z + 1 In conclusione il sistema non è BIBO stabiule per nessun valore di α. Per la raggiungibilità da u consideriamo le cancellazioni tra zeri di G 1 (z) e poli di G 2 (z), che si hanno per α =. Per tale valore di α il sistema non è raggiungibile da u. Per l osservabilità da y abbiamo lo stesso risultato.

10 1 V. Esercizio 5 Si consideri il sistema retroazionato in figura, dove i convertitori A/D e D/A operano in fase e sincronia con intervallo temporale T >. Si studi la stabilità del sistema retroazionato (in funzione di T ) sia adottando il punto di vista analogico sia quello digitale. y o (t) 1/s u(t) u*(k) ZOH ZOH y (t) Figura 6. Figura dell esercizio 5

11 11 Soluzioni: Si noti che u = y e che y è costante a tratti. Quindi l equivalente a tempo discreto è dato dall equazione: u (k + 1) = (1 T )u (k) che è asintoticamente stabile per < T < 2. Per l equivalente analogico, la funzione di trasferimento d anello è approssimata da L(s) = e st/2 s Con tale funzione approssimante (essendo ω c = 1) la stabilità si ha per < T < π. Va da sè che il sistema ibrido in figura è stabile per T < 2.

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