Risoluzione di EDP con MES-NI e Domain Decomposition

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1 POLITECNICO DI MILANO Corso di Laurea in Ingegneria Matematica Progetto di Analisi Numerica delle EDP 2 e Programmazione Avanzata Risoluzione di EDP con MES-NI e Domain Decomposition Luca Bertagna Alessio Fumagalli Anno Accademico

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3 Indice Introduzione 5 Programma e pacchetti necessari 6 1 Il Metodo degli Elementi Spettrali Richiami di teoria Prove numeriche di convergenza Il metodo della decomposizione dei domini Il metodo di Schwartz Il metodo di Schwartz additivo Prove numeriche di convergenza Un problema di trasporto Dettagli Implementativi 19 3 Classi di base Classe Point Classe Edge Classe Elem Classe Matrix Matrix::add Classi avanzate Classe Mesh Mesh::build boundary groups Mesh::build numeration Classe IntGL IntGL::int2d IntGL::int1d Classe problema problema::build Stiffness problema::build F Codizioni di Neumann e di Dirichlet problema::save data Classe problemadd problemadd:: partiziona problemadd:: Metis problemadd::crea files mesh problemadd:: crea mappe problemadd::crea corrispondenze problemadd::crea problemi problemadd::risolvi problemadd::algebraic solver Funzioni collegate Funzioni generiche direct solver iterative solver Funzioni inerenti all integrazione

4 A Tutorial 41 A.1 Generare la mesh con EMC A.2 Utilizzo del programma in versione semplice A.3 Utilizzo del programma in versione estesa

5 Introduzione Nei metodi ad elementi finiti applicati a problemi ellittici si è sempre condotti alla risoluzione di un sistema lineare in genere molto grande, le cui incognite sono le alzate della soluzione nei nodi della griglia computazionale. La teoria dell interpolazione composita garantisce a questo metodo una convergenza di ordine legato al grado di approssimazione polinomiale utilizzato. Tuttavia, l idea di utilizzare polinomi di grado sempre più alto non paga, in quanto, sempre grazie alla teoria dell interpolazione, sappiamo che su griglie equispaziate l errore di interpolazione rischia di crescere all aumentare del grado. La soluzione a questo problema si può trovare utilizzando dei nodi non equispaziati più fitti verso il bordo del dominio: i nodi di Gauss. La scelta di questi nodi, porta a garantire buona convergenza anche rispetto al grado polinomiale di apporssimazione. I metodi spettrali e i metodi ad elementi spettrali, sfruttano questa caratteristica, utilizzando come nodi di quadratura i nodi di Gauss-Lobatto. Questi si caratterizzano come zeri di polinomi appartenenti ad opportune famiglie di polinomi ortogonali. Tra queste quella senz altro più interessante è la famiglia dei polinomi di Legendre, in quanto sono ortogonali nel senso di L 2 rispetto alla funzione peso w(x) = 1. Un altro problema dei metodi ad elementi finiti, ma anche dei metodi spettrali, è quello di portare alla risoluzione di grossi sistemi lineari, spesso molto mal condizionati. Una soluzione a questo problema è ovviamente la ricerca di buoni precondizionatori, non molto costosi computazionalmente da costruire. Un altra strada è quella di dividere il problema originale in tanti sottoproblemi, equivalenti a quello di partenza, ma formulati in opportuni sottodomini del dominio di partenza, con la richiesta che l unione di questi sottodomini, ricrei tutto il dominio di partenza e con l imposizione di condizioni di interfaccia tra i vari sottoproblemi. Questa logica porta al metodo della decomposizione dei domini, che ha come vantaggio quello di risolvere più problemi, ma di dimensioni in gnere molto minori di quello di partenza. In questo progetto implementiamo un codice per la risoluzione di problemi ellittici lineari tramite il metodo della decomposizione dei domini, utilizzando un solutorie ad elementi spettrali, anch esso implementato da noi, su ogni sottodominio. Testeremo alcune proprietà di convergenza del metodo e lo applicheremo poi ad un problema di diffusione e trasporto. Ad ogni passo, e ad ogni sotto dominio, leggo i dati relativi ai bordi fittizzi su tutti gli altri sotto domini che contengono gli stessi nodi, per poi farne una media. Questo perché se leggessi da un solo sotto dominio, potrebbe capitare che durante il processo iterativo si portano su una soluzione non corretta, leggendo invece da tutti i sotto domini possibili tale fenomeno non si presenta, tale è riportato in figura 14. 5

6 Programma e pacchetti necessari I programmi e i pacchetti necessari per un buon funzionamento del codice sono i seguenti: UMFPACK 4.4: permette di risolvere sistemi lineari. Si può scaricare dal sito: EMC2: è un programma per generare mesh quadrangolari. Si può scaricare dal sito: GnuPlot 4.2: programma per la visualizzazione grafica. Si può scaricare dal sito: Metis: programma che partiziona un grafo in più sotto grafi. Si può scaricare dal sito: GetPot: libreria che gestisce la lettura dei dati utili per la corretta esecuzione del programma. Si può scaricare dal sito: Tutti i programmi citati sono completamente gratuiti. Il programma per la generazione della mesh, può essere sostituito con qualunque altro programma per la generazione di mesh quadrangolari 1, a patto che il file in cui si memorizza la mesh, abbia la stessa formattazione del formato di EMC2, la cui descrizione daremo in seguito. 1 Importante: non vanno bene mesh ibride contenenti sia triangoli che quadrilateri. 6

7 7 1 Il Metodo degli Elementi Spettrali In questo capitolo introduciamo brevemente i metodi ad elementi spettrali, nei quali la velocità di convergenza (rispetto al grado di approssimazione) è limitata dalla sola regolarità della soluzione del problema, ed è di tipo esponenziale per soluzioni analitiche. 1.1 Richiami di teoria Consideriamo il seguente problema ellittico: div (α(x, y) u) + β(x, y) u + γ(x, y)u = f(x, y) in Ω u = u Γ D su Γ D (P) ν u = u Γ N su Γ N dove i dati hanno le regolarità opportune e u H 1 (Ω). Riscriviamo il problema (P) nella sua formulazione debole: con: a(u, v) = F (v) v V = H 1 ΓD(Ω), u V (PD) a(u, v) = α(x, y) u v + β(x, y) uv + γ(x, y)uv Ω Ω Ω F (v) = fv + u Γ N vdσ a(r, v) uγ D Ω Γ N dove R è una qualunque funzione di uγ D H1 che abbia la stessa traccia di u su Γ D. Una volta creata la mesh di quadrilateri T h, introduciamo sull elemento di riferimento [ 1, 1] 2 lo spazio di polinomi { N Q N (ˆΩ) = v(x, y) = a nm x m y n, a nm R n,m=0 cioè lo spazio delle funzioni che, fissata una delle due variabili, sono polinomiali di grado minore o uguale a N nell altra. A questo punto definiamo lo spazio degli elementi spettrali come l insieme delle funzioni continue che, ristette ad ogni singolo elemento K, sono le immagini di polinomi che stanno in Q N, attraverso la mappa ϕ che mappa l elemento di riferimento ˆK in K. D ora in poi quando diremo che una funzione è in Q N (K), sottintenderemo che è in realtà immagine di una funzione in Q N ( ˆK). Per passare alla discretizzazione ad elementi spettrali con integrazione numerica, dobbiamo prima introdurre i polinomi di Legendre; essi sono definiti nell intervallo [ 1, 1] attraverso la relazione di ortogonalità in L 2 ( 1, 1) rispetto alla funzione peso w(x) = 1, ossia 1 1 L n (x)l m (x) dx = 2 2n + 1 δ nm. Possono essere tuttavia facilmente calcolati grazie alla relazione ricorsiva L n+1 (x) = 2n + 1 n + 1 xl n(x) n n + 1 L n 1(x) n = 1, 2,... L 0 (x) = 0, L 1 (x) = x (1) I nodi di Legendre-Gauss-Lobatto (in breve nodi LGL) per l integrazione numerica nell intervallo di riferimento ( 1, 1) sono definiti attraverso questi polinomi. Più precisamente, volendo usare N +1

8 8 1 Il Metodo degli Elementi Spettrali nodi di quadratura, si pone x 0 = 1, x N = 1 e si prendono i restanti N 1 nodi pari agli zeri della derivata del polinomio di Legendre di grado N. A questo punto dobbiamo scegliere la base per lo spazio degli elementi spettrali. Scegliamo una base lagrangiana sui nodi LGL, ossia scegliamo l insieme delle funzioni ψ i (x) : ψ i (x j ) = δ ij 0 i, j N (2) dove x 0,,x N sono i nodi LGL. Dunque lo spazio V h del problema ad elementi spettrali è { N V h = v Q N (Ω) : v(x, y) = v mn ψ m (x)ψ n (y), v Γd = 0. m,n=0 Nel metodo degli elementi spettrali con integrazione numerica, come dice il nome, gli integrali vengono sostituiti da formule di quadratura. In particolare vengono usate formule di integrazione gaussiane di tipo interpolatorio f(x, y) dx dy N α ij f(x i, x j ) i,j dove x i sono i nodi LGL e i pesi, nel caso monodimensionale, sono dati da α i = ψ i (x) dx = n(n + 1) [L N (x i )] 2 j = 0,..., N (3) definendo poi α ij = α i α j per il caso bidimensionale. Nel caso in cui il quadrato non fosse quello di riferimento, attraverso un cambio di variabili, possiamo riportare il calcolo dell integrale sul quadrato di riferimento. In particolare, se le coordinate nell elemento K sono definite dalla mappa invertibile x = F(ˆx), e J è la matrice Jacobiana associata, risulta f(x)dx = f(f 1 (x)) detj dˆx K mentre nel caso in cui compaiano gradienti, abbiamo f(x)dx = J T ˆ f(f 1 (x)) detj dˆx K ˆK ˆK dove il cappuccio sopra il simbolo di gradiente indica che le derivate sono fatte rispetto alle coordinate dell elemento di riferimento. A questo punto, definendo il prodotto scalare discreto in L 2 ( 1, 1) N (f, g) N = α ij f(x i )g(x j ) (4) i,j=1 possiamo scrivere la formulazione MES-NI del problema PD: M a N (u n, v n ) = m=1 M F N (v n ) v n V h (PDD-NI) m=1 Tale formulazione si ottiene sostanzialmente dalla formulazione debole del problema, sostituendo i prodotti scalari continui con quelli discreti: a N (u n, v n ) = (α u n, v n ) N + (β u n, v n ) N + (γu n v n ) N F N (v n ) = (f, v n ) N + ( u n,γ N, v n )N,Γ N

9 1.2 Prove numeriche di convergenza 9 Osservazione 1. Quando si calcolano numericamente integrali in cui compare il gradiente, non è necessario calcolare i gradienti delle funzioni ψ i ; gli integrali numerici, infatti, dipendono solo dal valore assunto dalla funzione integranda nei nodi, cioè, in questo caso, dai valori delle derivate delle funzioni di base nei nodi LGL. Questi valori possono facilmente essere memorizzati una volta per tutte in una matrice D R (N+1) (N+1), detta matrice della derivata pseudospettrale, che ha per elementi D ij = ψ j (x i). Questa matrice associa ad un vettore v R N+1, le cui componenti sono i valori nodali v(x), il vettore w = Dv, le cui componenti sono i valori nodali della derivata del polinomio interpolante di v(x), ossia w i = (Π N v(x)). Si può mostrare che valgono le relazioni N(N + 1) 4 N(N + 1) 4 D ij = L N (x i ) (x i x j )L N (x j ) i = j = 0 i = j = N i j 0 altrimenti Si può dimostrare che per il metodo degli elementi spettrali vale la seguente stima a priori dell errore: u u n H k (Ω) C ( M m=1 ) 1/2 h 2(min(Nm+1,sm) k) m Nm 2(k sm) u 2 H sm;nm (Ωm) Usando un grado polinomiale di approssimazione uniforme pari a N, supponendo una regolarità della soluzione uniforme pari a s e ponendo h = max h m, la stima può essere riscritta in maniera più semplice come: (5) u u n H k (Ω) C(s)h min(n+1,s) k N k s u H s;n (Ω) (6) dove s u H s;n (Ω) = j=min(s,n+1) 1/2 v (j) 2 L 2 (Ω). Dunque la stime per la norma L 2 e per quella H 1 sono rispettivamente u u n L 2 (Ω) C(s)h min(n+1,s) N s u H s;n (Ω) (7) u u n H 1 (Ω) C(s)h min(n+1,s) 1 N 1 s u H s;n (Ω). (8) 1.2 Prove numeriche di convergenza Effettuiamo ora qualche test numerico, per verificare il giusto andamento dell errore di approssimazione rispetto alla spaziatura della mesh e rispetto al grado polinomiale di approssimazione. Problema 1. Consideriamo il seguente problema: u(x, y) = f(x, y) in Ω = [0, 5] 2 u(x, 5) = u(x, 0) = (x 2.5) 4 u(0, y) = 0 u(1, y) = (P1)

10 10 1 Il Metodo degli Elementi Spettrali dove f(x, y) = { 12(x 2.5) 2 se x < altrove (9) La soluzione di questo problema è banalmente la funzione u(x, y) = { (x 2.5) 4 se x < altrimenti che possiede una discontinuità della derivata quarta sulla retta x = 2.5 e dunque ha regolarità H 4 (Ω). Figura 1: Simulazione numerica per il problema (P1) con passo di griglia h = e grado N = 3. Effettuando alcune simulazioni numeriche otteniamo il seguente andamento dell errore in norma H 1 in funzione della spaziatura della mesh: N = 1 N = 2 N = 3 N = 4 h = e e e e+01 h = e e e e 08 h = e e e e 08 h = e e e e 08 h = e e e e 07 h = e e e e 07 Come si può notare, nel caso di grado N = 4, il metodo non ha più problemi a catturare la soluzione esatta, in quanto essa, in ogni elemento 2, appartiene allo spazio polinomiale di approssimazione V h 3. Quindi, per calcolare l andamento dell errore, facciamo uso solo delle prime tre colonne della tabella. Sfruttando la stima (8), nel caso in cui consideriamo un dimezzamento successivo del passo di griglia, possiamo trovare la semplice relazione 2 Le griglie sono costruite in modo che la retta critica x = 2.5 non sia mai interna ad alcun elemento. Ciò fa sì che la soluzione, ristretta ad un qualunque elemento, sia sempre un polinomio di quarto grado. 3 Facciamo osservare che, nonostante l errore sia dell ordine di 10 8, siamo già ai limiti della precisione della macchina. Infatti, i calcoli per l errore che vengono fatti sui singoli nodi vanno a costruire l errore al quadrato. Di conseguenza, estraendo poi la radice per avere la norma H 1 (Ω) vera e propria, si trovano dei numeri dell ordine della radice della precisione macchina.

11 1.2 Prove numeriche di convergenza 11 p log (e n+1/e n ) log 2 dove log indica il logaritmo naturale. Se la usiamo per gli errori riportati nella precedente tabella, otteniamo che sono in perfetto accordo con la teoria. N = 1 N =2 N = 3 p p p p p p teo Problema 2. Il secondo problema affrontato è il seguente: { u(x, y) = 2π 2 sin(πx) sin(πy) in Ω = [0, 5] 2 u(x, y) = 0 su Ω (P2) la cui soluzione esatta, che appartiene a C (Ω) e dunque anche a H k (Ω) per ogni k, è u(x, y) = sin(πx) sin(πy) Figura 2: Simulazione numerica per il problema (P2) con passo di griglia h = e grado N = 3. Effettuando alcune simulazioni numeriche otteniamo il seguente andamento dell errore in norma H 1 in funzione della spaziatura della mesh: N = 1 N = 2 N = 3 N = 5 h = e e e e+01 h = e e e e+00 h = e e e e 01 h = e e e e 03 h = e e e e 04 h = e e e e 06

12 12 1 Il Metodo degli Elementi Spettrali Dato che la soluzione è analitica, l ordine di convergenza è limitato solo dal grado degli elementi utilizzati ed infatti otteniamo la seguente stima N = 1 N = 2 N = 3 N = 5 p p p p p p teo Il valore dell errore nel caso di griglia mono-elemento con grado di approssimazione N = 1 è senza significato. Infatti, gli unici nodi della mesh sono i quattro vertici, dove per altro il valore della soluzione è imposto ed è pari a zero. Ne segue che il gradiente numerico è nullo, così come lo è quello della soluzione esatta in quei punti, da cui ne deriva un errore nullo. Di conseguenza, anche il primo valore della stima dell ordine di convergenza per elementi lineari è privo di significato, in quanto viziato dall errore precedente. Problema 3. Il terzo problema affrontato è il seguente: u(u, y) = 15 x in Ω = [0, 5] 2 4 u(x, 0) = u(x, 5) = x 5/2 u(0, y) = 0 u(5, y) = (P3) la cui soluzine esatta è u(x, y) = x 5/2 (10) che appartiene ha regolarità H 3 (Ω). Figura 3: Simulazione numerica per il problema (P3) con passo di griglia h = e grado N = 3. Effettuando alcune simulazioni numeriche otteniamo il seguente andamento dell errore in norma H 1 in funzione della spaziatura della mesh:

13 1.2 Prove numeriche di convergenza 13 N = 1 N = 2 N = 5 h = e e e 01 h = e e e 02 h = e e e 03 h = e e e 03 h = e e e 04 h = e e e 04 Dato che la soluzione è H 3 ε (Ω), con ε > 0, dovremmo avere un ordine di convergenza limitato; la stima a priori (8) ci suggerisce che quest ordine dovrebbe essere p 2, raggiunto con N 2. Dagli errori della tabella precedente ricaviamo in perfetto accordo con la teoria. N = 1 N = 2 N = 5 p p p p p p teo Osservazione 2. Come suggerisce la stima (8) 00e8 possibili fare tutti questi ragionamenti lasciando fissa la spaziatura della mesh, e aumentando il grado dei polinomi di Lagrange. Tuttavia dopo alcune prove numeriche abbiamo notato che i risultati ottenuti non erano soddisfacenti. Infatti l ordine di convergenza era notevolmente superiore a quello previsto dalla stima, fino ad un grado N = 10 in cui l errore smetteva di scendere diventando praticamente stazionario.

14 14 2 Il metodo della decomposizione dei domini 2 Il metodo della decomposizione dei domini Il metodo della decomposizione dei domini cerca di dividere il problema in più sottoproblemi, ma di dimensione minore. Ovviamente questi problemi non possono e non devono essere totalmente indipendenti, ma devono in qualche modo potersi parlare. Il punto in cui comunicano è ovviamente laddove i vari sottodomini si toccano e a questo punto occorre fare una distinzione tra i due casi principali: il caso in cui tra i sottodomini vi sia sovrapposizione (metodo di Schwartz), e il caso in cui invece non ve ne sia (metodo di Schur). Quest ultimo caso è un po più complicato e richiede un analisi più fine. In questo progetto ci occupiamo solo del metodo di Schwartz. L idea di base, che sta comunque alla base di entrambi i metodi, è di risolvere il problema di partenza ristretto ai vari sottodomini, aggiungendo delle opportune condizioni sul bordo che è stato introdotto a causa del partizionamento (d ora in poi chiamato per semplicità bordo artificiale). Queste condizioni al bordo devono tener conto della soluzione nell altro dominio e sono di fatto l unico vero collegamento tra i vari problemi. 2.1 Il metodo di Schwartz Nel metodo di Schwartz si costruisce una successione di soluzioni nei vari sottodomini. Fissata una soluzione inizale, ad ogni iterazione, si risolvono i vari problemi, mettendo come condizione sul bordo artificiale una condizione di Dirichlet, usando il valore della soluzione nel sottodominio adiacente all iterazione precedente. È evidente già da questo punto come una maggiore sovrapposizione tra i domini debba garantire una convergenza più rapida in quanto il dato sul bordo artificiale viene preso più all interno nel dominio adiacente, quindi più lontano da dove la soluzione è imposta da noi sulla base dell iterata precedente. Vi sono due possibilità di comunicazione tra i vari domini: la prima prevede che si risolvano tutti i problemi e poi avvenga lo scambio delle informazioni; la seconda, invece, consiste nel risolvere i vari problemi in modo sequenziale, utilizzando i valori al bordo più aggiornati possibile, ossia usando, ove possibile, quelli degli altri domini appena calcolati nell iterazione corrente. La prima versione prende il nome di metodo di Schwartz additivo, mentre la seconda è detta metodo di Schwartz moltiplicativo. Chiaramente il metodo moltiplicativo converge più rapidamente di quello additivo, in quanto utilizza subito le nuove informazioni appena calcolate, senza aspettare l iterazione seguente. Il vantaggio del metodo additivo è invece nel fatto che è parallelizzabile, ossia i vari problemi possono essere risolti in parallelo, in modo indipendente l uno dall altro, dato che la comunicazione risulta necessara solo dopo aver determinato le varie soluzioni. Il motivo degli aggettivi moltiplicativo e additivo, sta nel fatto che questi due metodi possono essere reinterpretati come delle iterazioni del metodo di Richardson precondizionato su un problema opportuno. L espressione del precondizionatore nel caso additivo è data dalla somma di alcune matrici, mentre nel caso moltiplicativo presenta anche dei prodotti matriciali. 2.2 Il metodo di Schwartz additivo Il metodo di Schwartz additivo può essere riassunto nel seguente schema iterativo. Fissato u 0 Lu k+1 u k+1 i = f i in Ω i i = u k j su Γ i +B.C. su Ω i \ Γ i. (11) dove i pedici i e j denotano la restrizione al dominio i-esimo e j-esimo (con i j in modo che i domini si scambino informazioni). È evidente come ad ogni iterazione i dati sul bordo artificiale migliorino, in quanto vengono posti uguali alla traccia delle soluzioni dei domini confinanti. Questo mette tuttavia in luce uno dei difetti del metodo: proprio perché le informazioni si propagano solo tra domini confinanti, al crescere del loro numero, la velocità di convergenza cala, poiché le informazioni ci mettono più tempo a propagarsi. Questo difetto del metodo ne rende in principio poco conveniente l implementazione in parallelo, che è l unico vantaggio del metodo additivo rispetto a quello moltiplicativo. Si dice che il metodo non è scalabile, ossia che il tempo di risoluzione non

15 2.3 Prove numeriche di convergenza 15 aumenta all aumentare del numero di processori disponibili. Si può ovviare a questo problema introducendo un problema coarse, che ha il compito di propagare un po di informazione in tutto il dominio, accelerando la convergenza. Tale tencica prende il nome di metodo di Schwartz a due livelli, ma non ce ne occupiamo in questo progetto. Vediamo ora di reinterpretare il metodo di Schwartz additivo come un metodo di Richardson precondizionato. Per fare questo introduciamo degli operatori di restrizione e di allargamento associati al dominio i-esimo, che denotiamo con R i e Ri t rispettivamente. Questi operatori sono a conti fatti delle matrici rettangolari. Il primo (quello di restrizione) prende un vettore u h definito su tutti i nodi di Ω e ne seleziona le componenti relative ai nodi contenuti in Ω i, mentre il secondo (quello di allargamento) fa esattamente il contrario, mettendo a zero le componenti in più del vettore esteso. Questi operatori possono anche essere applicati alle matrici di rigidezza, ottenendo che, detta A i la matrice di rigidezza del dominio i-esimo, risulta A i = R i ARi t. Fatto questo il metodo di Schwartz può essere riscritto come u k+1 = u k + ( ND ) (f RiA t 1 R i Au k ). (12) Definendo quindi il precondizionatore di Schwartz additivo ad un livello i=1 giungiamo all espressione P 1 a1 RiA t 1 R i = ND i=1 u k+1 = u k + P 1 a1 rk (13) che è la tipica espressione di un metodo di Richardson precondizionato con parametro di accellerazione α = 1. Come detto in precedenza, all aumentare del numero di domini, aumenta anche il numero di iterazioni necessarie alla convergenza del metodo, in quanto le informazioni ci impiegano più tempo ad attraversare il dominio. Tradotto in termini del metodo di Richardson, questo significa che il condizionamento della matrice precondizionata peggiora all aumentare del numero di sottodomini. Infatti, vale la stima cond ( Pa1 1 A) C 1 (14) δh dove δ è lo spessore della zona di sovrapposizione tra i domini e H è il massimo diametro dei sottodomini. 2.3 Prove numeriche di convergenza Volendo stimare il numero di condizionamento della matrice precondizionata per qualche simulazione numerica, sarebbe in teoria necessario calcolarne l autovalore massimo e quello minimo, ma questo è eccessivamente costoso per i nostri scopi. Dato che il buono o cattivo condizionamento è strettamente correlato con la veloce o lenta convergenza del metodo iterativo, prendiamo come valore significativo il numero di iterazioni del metodo di Richardson. Abbiamo dunque effettuato delle simulazioni su un dominio quadrato con una mesh abbastanza fitta da far sì che un elevato numero di sottodomini non portasse ad avere domini con interno discreto vuoto e abbiamo controllato il numero di iterazioni al diminuire del diametro dei sottodomini (cioè all aumentare del loro numero), controllando anche cosa succede nel caso di overlap singolo o doppio, ottenendo i risultati riportati in figura (4) Possiamo costruire un altro grafico strettamente collegato al caso precedente: dato che il diametro dei sottodomini in prima approssimazione è pari all inverso della radice del numero degli stessi, il condizionamento dovrebbe crescere come la radice del numero di sottodiomini. Riportando dunque i risultati in figura (4) in funzione del numero di sottodomini, otteniamo il grafico riportato in figura (5). In modo speculare abbiamo anche effettuato simulazioni numeriche per vedere l andamento del numero di iterazioni al diminuire dello spessore δ di sovrapposizione dei domini. Per fare questo

16 16 2 Il metodo della decomposizione dei domini Figura 4: Andamento del numero di iterazioni del metodo di Richardson in funzione del massimo diametro dei sottodomini. Figura 5: Andamento del numero di iterazioni del metodo di Richardson in funzione del massimo diametro dei sottodomini. abbiamo utilizzato due sottodomini con overlap singolo e abbiamo infittito via via la griglia, di modo che lo spessore dell overlap diventasse sempre più piccolo. L andamento del numero di iterazioni in funzione di δ è riportato in figura (6).

17 2.4 Un problema di trasporto 17 Figura 6: Andamento del numero di iterazioni del metodo di Richardson in funzione dello spessore δ di sovrapposizione tra i domini. 2.4 Un problema di trasporto Proviamo ora a considerare un problema un po più complesso di quelli considerati precedentemente. Consideriamo α u + b u = 0 in Ω u = 1 su Γ D (15) u = 0 su Γ N dove Ω è il quadrato [0, 1] 2 con al suo interno alcuni buchi, come illustrato in figura (7). L incognita u possiamo pensarla come lo stato stazionario della concentrazione di un inquinante che diffonde nell aria sotto l azione di un campo di trasporto impostob. In questo modello il buco colorato in rosso nel dominio può essere interpretato come una ciminiera, sul bordod ella quale la concentrazione di inquinante rimane fissa a causa della continua emissione. Le zone colorate in blu possono essere interpretate come delle altre strutture nelle vicinanze della ciminiera. La condizione al bordo su queste strutture è di derivata normale nulla (attraverso le pareti non vi è flusso di inquinante). La condizione ideale da porre al bordo esterno sarebbe probabilmente una condizione di radiazione o condizione di Robin. Il nostro codice, tuttavia, non riesce a gestire tali condizioni, perciò abbiamo optato per una condizione di Dirichlet omogenea. Per la risoluzione abbiamo usato cinque sottodomini, come si vede bene dalle diverse colorazioni della mesh in figura (7), grado di approssimazione N = 4, overlap singolo e tolleranza sul residuo pari a 1e 04. Il numero di elementi della griglia è pari a 924. Inoltre abbiamo posto α = 1 e b = [ 10, 10] T, che equivale alla situazione in cui il vento soffia verso l angolo in basso a destra, ossia spinge l inquinante emesso dalla ciminiera verso gli edifici. La soluzione ottenuta rispecchia le aspettative, in quanto presenta un chiaro trasporto nella direzione del vento e un accumulo di inquinante nelle pareti esposte al vento, come si può notare dal grafico (8) Per quanto riguarda i tempi di esecuzione, il programma ha impiegato per essere esguito completamente un totale di 723 secondi, così distribuiti: acquisizione dati e preprocessing, 0 secondi.

18 18 2 Il metodo della decomposizione dei domini Figura 7: La mesh utilizzata per il problema (15). Il bordo del buco colorato in rosso costituisce il bordo di Dirichlet, mentre il bordo esterno e il bordo dei buchi colorati in blu costituiscono quello di Neumann. Figura 8: Contour plot della concentrazione u per il problema (15). instanzianziazione del problema, 11 secondi, sostanzialmente spesi nel partizionamento del dominio. creazione dei sottoproblemi, 61 secondi, sostanzialmente spesi nell assemblaggio delle matrici di stiffness locali. ciclo iterativo, 649 secondi, sostanzialmente spesi nella risoluzione dei sistemi lineari locali per l aggiornamento dell incremento. salvataggio mesh e soluzione, 2 secondi.

19 19 Dettagli Implementativi L intero programma è stato gestito per rendere il più agevole possibile l implementazione algoritmica per la costruzione e la successiva risoluzione di problemi ellittici lineari. Il main, infatti, è molto semplice e intuitivo e per fare ciò sono state sviluppate diverse classi di base e numerose classi avanzate. Le prime hanno permesso l introduzione di concetti semplici e ben implementati, permettendo quindi di semplificare numerose operazioni fatte nelle classi più complesse. L ottimizzazione del codice si è concentrata per lo più sulle classi di base e sulla classe che permette di integrare, in quanto infatti appartengono proprio a loro i metodi che vengono richiamati maggiormente. Alcune classi avanzate, invece, hanno metodi lunghi e complessi che devono però essere richiamati una sola volta; per loro non abbiamo provato a ottimizzare il codice, cercando di privilegiare la maggior leggibilità rispetto all efficienza (che è pur sempre buona). La lettura dei dati viene fatta utilizzando il pacchetto GetPot, che permette di gestire comodamente files contenenti dati che poi servono al programma, senza dover ricompilare ogni volta il programma. Riscrivendo opportunamente il file main.cpp, è comunque possibile utilizzare tutto il programma senza l uso di GetPot, che tuttavia ci sentiamo di consigliare fortemente. La gestione degli errori all interno di tutto il codice è stata fatta utilizzando l estensione della funzione assert, implementata dal prof. Formaggia: ASSERTM contenuta nel file extendedassert.hpp. Il messaggio di output che genera prima di fermare il programma è in un formato standard: prima di tutto si specifica la funzione o il metodo che genera l errore e poi viene spiegata la tipologia stessa dell errore. In questo modo l utente, e il programmatore, possono trovare velocemente l errore nel programma. Utilizzando l istruzione #define NDEBUG per il pre-processore, si possono disattivare tutte le chiamate alla funzione ASSERTM, e rendere più veloce il programma. 3 Classi di base In questa sezione presenteremo le classi di base. Esse risultano molto semplici dal punto di vista implementativo, ma sono la base per una buona programmazione ed efficienza per le classe più complesse. 3.1 Classe Point È la classe base per l intero programma, permette di gestire un punto geometrico, inteso come coppia (x, y). class Point{ Uint _Id; double _x; double _y; A suo interno, oltre al valore di ascissa e di ordinata, troviamo anche un numero identificativo, utile a poter distinguere più agevolmente un punto da un altro. Troviamo inoltre metodi standard di lettura degli attributi e l overloading dell operatore di uguaglianza =. 3.2 Classe Edge La classe Edge permette di gestire i lati come enti geometrici. class Edge{ Uint _Id; Uint _first; Uint _last; Uint _elem_right; Uint _elem_left;

20 20 3 Classi di base std::vector<uint> _int_dof; Al suo interno troviamo esclusivamente gli Id di tutti i punti che vi appartengono, questo per poter facilitare sia la ricerca dei punti, sia per non dover memorizzare tutti i punti per tutti i lati. Gli Id dei punti memorizzati sul lato sono gestiti da una classe superiore, in cui sono presenti tutti i punti intesi come Point. Vi è una suddivisione tra i nodi interni e quelli di bordo, che risulta molto comoda per numerose operazioni successive. Vengono memorizzati anche gli Id dell elemento che sta alla sinistra del lato e dell elemento che sta alla destra del lato; questo sempre per poter facilitare eventuali ricerche o per determiare se il lato è di bordo o meno. Nella memorizzazione degli Id estremi del lato, il primo è sempre quello con Id più piccolo. Per quanto riguarda i metodi contenuti, troviamo i metodi standard di lettura, l overloading dell operatore di uguaglianza = e qualche metodo di scrittura utile nella fase di creazione degli enti che costituiscono la mesh. L attributo _elem_left, ad esempio, non può infatti essere noto prima di aver costruito tutti gli elementi, i quali, per altro, non possono essere costruiti prima di aver creato tutti i lati. 3.3 Classe Elem Classe che implementa un generico quadrilatero derivante dal partizionamento, a mezzo di mesh, di un generico dominio. class Elem{ Uint _Id; std::vector<uint> _vertices; std::vector<uint> _edges; std::vector<int> _orient; std::vector<uint> _global_num; std::vector<point> _nodes; In essa troviamo, oltre all Id univocamente identificativo dell elemento, anche un vettore con i quattro Id dei quattro vertici che identificano geometricamente l elemento. Vi sono presenti, sempre sotto forma di Id, i quattro lati che formano l elemento e la loro rispettiva orientazione. L orientazione del lato è un flag: 1 se è concorde con la numerazione locale dei nodi, 0 i caso contrario, -1 se non è ancora stata settata; serve esclusivamente nel metodo problema::_build_numeration. Sono presenti tutti i nodi di quadratura per l elemento gestiti utilizzando un vettore di Point, e la loro rispettiva numerazione globale all interno dell intera mesh. Per quanto riguarda i metodi della classe, oltre ovviamente ai vari metodi standard di lettura, troviamo, come per la classe Edge, alcuni metodi di scrittura, utili in fase di creazione degli enti geometrici e loverloading dell operatore di uguaglianza =. 3.4 Classe Matrix La classe Matrix implementa matrici sparse nel formato COOrdinate. class Matrix{ Cont A; Essa memorizza esclusivamente le coppie (i, j) e il relativo elemento della matrice a ij. In particolare le coppie, che rappresentano la posizione dell elemento a ij all interno della matrice, sono definite come pair di interi strettamente positivi; questo permette un controllo implicito sui valori in ingresso.

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