TRAVE SU SUOLO ELASTICO

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1 RAVE SU SUOO EASICO a trattazione della trave su suolo elastico è un tipico esempio di problema diffusivo, ovvero il carico concentrato viene distribuito su una zona di terreno più ampia rispetto alla sua impronta. a trave è in grado di assorbire il carico in funzione del rapporto tra la sua rigidezza flessionale e quella del terreno: più la trave risulta rigida e meglio viene distribuito il carico. 2.1 Caratterizzazione meccanica del suolo Il terreno può essere suddiviso in due tipologie: coerente e incoerente. er definizione il suolo coerente (a) è quello la cui deformata è a catino, cioè molto più grande dell impronta del carico. In questo caso vengono trasmessi sforzi di taglio al terreno. Il suolo incoerente (b) è invece quello in cui l area della zona soggetta al carico ha deformata coincidente con l impronta del carico. In questo caso non vengono trasmessi sforzi di taglio al terreno. FIGURA 2.1: ERRENO COERENE ED INCOERENE. --

2 2.2 Suolo elastico alla Winkler a trattazione del suolo elastico alla Winkler prevede di schematizzare un terreno incoerente attraverso colonne di terreno indipendenti tra loro che non trasmettono sforzi di taglio al resto della struttura. Se si considera ad esempio una trave che poggia su un argilla, gli sforzi di taglio trasmessi al terreno sono trascurabili; è pertanto possibile, almeno in prima approssimazione, considerare tale terreno come incoerente con una risposta di tipo lineare. a trave ha rigidezza flessionale mentre la costante elastica delle molle del terreno K è determinata sperimentalmente ed è nota come costante del terreno o costante di Winkler. FIGURA 2.2: ESEMIO DI MODEIZZAZIONE DE ERRENO AA WINKER. In ogni punto del suolo lo stato tensionale è caratterizzato da σ K (x), dove K è la forza da applicare al terreno per avere un abbassamento unitario, cioè K [F - ] σ /. I valori di K variano a seconda del tipo di terreno: - K 2 kg / cm per sabbia - K 8 1 kg / cm per argilla - K 1 kg / cm per ghiaia 2. rattazione analitica Si consideri una trave prismatica di larghezza b, di sezione costante e con rigidezza flessionale (supposta costante), appoggiata su un suolo alla Winkler con costante elastica K ; si supponga: - σ costante sulla larghezza b; - la deformabilità a taglio trascurabile. FIGURA 2.: RAVE RISMAICA AOGGIAA SU SUOO AA WINKER. -4-

3 Il problema risulta essere infinitamente iperstatico; per risolverlo si può applicare l equazione della linea elastica alle derivate quarte: IV p ( ) r x con r σ b FIGURA 2.5: RAVE RISMAICA AOGGIAA SU SUOO AA WINKER:CARICHI AICAI. Si ottiene così: IV p σ b p K b IV K b (x) + (x) p a soluzione di questa equazione differenziale è data dalla somma di un integrale particolare e di uno generale + : + 4 condizioni al contorno (due di tipo cinematico e due di tipo statico). 2.4 rave di lunghezza illimitata sottoposta a un carico concentrato in mezzeria Si consideri una trave di lunghezza illimitata. a soluzione di questo caso è ancora del tipo: + Si risolve inizialmente l integrale particolare : IV 4 p + 4α con Se si sceglie come integrale particolare p K b α [1] 4 4 4K b p + che è proprio l integrale cercato. 4 4K b p, sostituendo in [1] si ottiene: K b -5-

4 FIGURA 2.6. In presenza di un carico p (v. figura 2.6) si avranno degli abbassamenti pari a p cioè la trave trasla verso il basso. In realtà i carichi distribuiti (come ad K b esempio il peso proprio) provocano degli abbassamenti trascurabili, quindi l integrale particolare può trascurarsi. Si consideri ora l integrale generale dell omogenea associata: : IV 4 + 4α risolvendo si ottiene : αx αx e [Asin ( αx) + Bcos( αx)] + e [C sin( αx) + Dcos] α Rispetto ad un sistema di riferimento definito come in figura 2.7, il problema è simmetrico. Si ricercano quindi le condizioni al contorno: - per + FIGURA 2.7: SISEMA DI RIFERIMENO ADOAO. x e esaurito, quindi D, C ; ' questo vuol dire che il fenomeno diffusivo è - per x per simmetria la deformata ha tangente orizzontale pari a zero, quindi: 1. ' ( ) 2. - ''' V ''' ( ) (il segno negativo deriva dal fatto 2 che il taglio è antiorario). In conclusione si ottiene: ''' ( ) A questo punto si possono ricavare anche i coefficienti A e B: αx e [A sin( αx) + Bcos] α ' α e αx [A sin( αx) + Bcos( αx)] + α e αx 2 [A cos( αx) B sin( αx)] -6-

5 ' ( ) α B + α A A B ' 2αAe sin( αx) Derivando due volte si ottiene: ''' 4α Ae cos( αx) e sostituendo ''' ( ) A 8α 2 si ricava 4α 2 A, da cui: α 2K b α 2K b Si è calcolata quindi la soluzione del problema: e [sin( αx) + cos( αx)] 2.5 racciamento azioni interne oiché il problema è simmetrico si può considerare solo metà della struttura, estendendo i risultati all altra parte. racciamo il diagramma (figura 2.8) della funzione: α 2 K b e [sin( αx) + cos( αx)]. α 2K b considerando che ( ) si osserva come () e [sin( αx) + cos( αx)] cioè la deformata è l abbassamento in zero smorzato della funzione e αx. er (αx) ¾ π la (x) diviene negativa, il che significa che si verificherebbero delle trazioni, ovvero dei sollevamenti del terreno: condizione non accettabile per il tipo di problema in esame. Si nota però che per (αx) variabile da ¾π a π, la deformata è solo il 4% del totale e può quindi essere trascurata. Inoltre solitamente si considerano più carichi concentrati sovrapposti: si ha quindi un fenomeno di livellamento dovuto alla sovrapposizione di tutte le compressioni. er le travi di fondazione per carichi modesti è il terreno stesso che si oppone al sollevamento della trave. er questo motivo si può trattare la trave reale (finita), come se fosse una trave illimitata. ¼π ½π ¾π π αx FIGURA 2.8: ANDAMENO DEA FUNZIONE (x). -7-

6 Si tracciano ora i diagrammi del taglio e del momento flettente per un carico concentrato. a zona di diffusione del carico, (trascurando le code) è di questo tipo (figura 2.9): Con α 4 K b 4 Momento flettente: (figura 2.1) '' α α K α K b e [sin( αx) cos( αx)] 4 e b K b e 4α K b [sin( αx) cos( αx)] [sin( αx) cos( αx)] FIGURA 2.9: ZONA DI DIFFUSIONE DE CARICO. Noto che: '' αx M e che M ( ), allora M M( ) e [sin( αx) cos( αx)] 4 α Si può notare come M max M() smorzato della quantità e -αx : aglio: (figura 2.11) FIGURA 2.1: ANDAMENO DE MOMENO FEENE M(x). '' V ' αx ( ) V( ) e cos( αx) V x con V 2-8-

7 FIGURA 2.11: ANDAMENO DE AGIO V(x). 2.6 UNGHEZZA D ONDA λ (lunghezza di diffusione del carico) Si definisce lunghezza d onda della funzione la distanza fra due punti di massimo o di minimo: αλ 2 π λ 2π 2π α 4 4 K b si ha che e -αλ 2. Da ciò si deduce che per λ non c è più diffusione dei carichi. Di conseguenza non ha senso fare una trave di lunghezza maggiore di λ perché il carico non verrebbe comunque diffuso. er 2λ è valida la teoria per travi illimitate. λ indica qual è la dimensione dell area sulla quale vanno a distribuirsi i carichi. Distribuire gli sforzi su una lunghezza maggiore è un vantaggio perché si diminuiscono gli sforzi massimi, ma si paga tale vantaggio con momenti flettenti più alti. Quindi è inutile aumentare la lunghezza della trave senza aumentarne contemporaneamente la sua rigidezza. Esempio: Data una trave di sezione rettangolare con altezza h e larghezza b e b h J si calcola che il 12 4Ebh 4Eh valore della lunghezza d onda è λ 2π4 2π4. 12K b 12K er aumentare λ è inutile allargare la trave poiché il problema è governato dall altezza h. Se consideriamo che h 6 1 cm E kg/ cm 2 K 5 15 kg/cm -9-

8 Si ottiene un valore di λ pari a h. Ciò che è molto importante è il rapporto tra e K, infatti è proprio tale rapporto che governa il fenomeno diffusivo. Se consideriamo una putrella di 2 cm posta su una superficie di sabbia il carico risulta essere ben diffuso, se al contrario la stessa putrella è posta su una superficie di roccia il carico non viene per nulla diffuso. Un altro parametro significativo è la tensione σ : σ π α K K 2K b π ( ) ( ) π λ b Si nota che tanto maggiore è λ, tanto minore è σ ( ), cioè il fenomeno diffusivo è limitato. Finora si è sempre parlato di travi di lunghezza illimitata; proviamo a rimuovere tale ipotesi. FIGURA 2.12 Si deve risolvere ancora una volta l equazione differenziale di quarto grado ricavata in precedenza: IV K b + p er calcolare la soluzione esatta sono necessarie 8 condizioni al contorno: '' 1 M ( A) ( ) ; ''' 1 V ( A) ( ) ; '' 2 M ( B) V( B) ( l ), ( l ) 2 per continuità della trave: ( l ) ( ) ; ' rotazione relativa nulla: ( l ) ' 2 ( ) '' '' ( l ) ( ) ; 1 1 ''' ''' ( l ) + ( ). Se l 1< l 2 e l 1 2 λ ; ''' 2 2 ; si può approssimare la soluzione rigorosa a quella della trave illimitata. -4-

9 Si può quindi risolvere il problema considerando una trave illimitata da una sola parte (figura 2.1); in questo caso bisogna trovare 4 condizioni al contorno. FIGURA 2.1 Innanzitutto si può dire che per x il fenomeno diffusivo sarà esaurito: quindi ' ( ) ( ). equazione della linea elastica ci permette di dire che C D, perché α altrimenti il termine e x [Csin( αx) + Dcos( αx)] non andrebbe mai a. A differenza del caso della trave illimitata, questa volta non c è simmetria; quindi non si può dire che A B. er risolvere il problema è necessario ricorrere agli equilibri. 2.7 Graticcio di travi FIGURA 2.14: GRAICCIO DI RAVI. Vengono fatte alcune ipotesi: materiali elastici lineari; piccoli spostamenti; travi trasversali con cost; q(x) uguale su tutte le travi; trave longitudinale con cost; la trave principale si imposta in mezzeria dei travetti; -41-

10 vincoli mutui sferici. Cos è un vincolo sferico? Un vincolo sferico trasferisce solo le reazioni verticali e assiali e non il momento torcente. Quindi la nostra ipotesi ci porta a dire che i travetti non ruotano se la trave si deforma. ornando al nostro problema, esso può essere schematizzato in due modi: A) Si può vedere la trave principale come appoggiata su molle poste a distanza reciproca pari a d: FIGURA

11 B) Oppure i travetti doppiamente appoggiati. In questo caso dobbiamo conoscere la risultante R che diventerà un carico applicato alla trave principale. FIGURA 2.18 Usando la sovrapposizione degli effetti, la situazione può essere scomposta in: FIGURA 2.19 Si ottiene quindi (si considerano positivi i carichi agenti verso l alto) R R - R con: R' γ Q : cioè si considera una quota del carico con Q qdx ; γ 1 R ' ' perché si è in campo elastico con f ( ) k η k. Si può calcolare il valore di k per un carico applicato in mezzeria della trave: l FIGURA 2.2 l 48 η η k R'' k Si ricava quindi che principale. l l. 48 γ Q.Questa è la forza che il travetto scarica sulla trave l R -4-

12 Oss. 1: iù è rigido il travetto minore è R. Oss. 2: a R non è uguale per ogni travetto anche se q(x) è la stessa per ogni travetto. Infatti nei punti più vicini all incastro la trave è più rigida e quindi prende più carico. Se d<< si può ipotizzare un appoggio elastico continuo, quindi si può considerare un carico distribuito fittizio che nasce dal fatto che si spalmano le reazioni R sulla lunghezza della trave: q * 48 γq l q * è un carico distribuito NON uniforme! d o stesso discorso vale per le molle: anziché vedere le molle come concentrate con costante elastica k, si spalmano e si considera una molla continua con costante elastica fittizia: k d 48 l d K Il vantaggio di questa trattazione è che ci si è ricondotti ad un caso di cui si conosce già la soluzione: la trave su suolo elastico. iv * q γ Q k iv K + q o con q d o γ Q d Si è ritrovata quindi la stessa equazione della trave su suolo elastico IV 4 4α + q avendo o posto 48 K α la cui soluzione è : 4 4 d l α x α x c1e sin( αx) + c 2e cos( αx) + ce sin( αx) + c 4e cos( αx) + 4 Imponendo le condizioni al contorno: ± 2 ' ± 2 da cui si ricavano le 4 costanti di integrazione. q 4α. FIGURA

13 Si consideri ora un secondo caso in cui il carico p(x) è applicato sulla trave principale. FIGURA.21 Il problema risulta ancora più semplice perché non occorre calcolare il carico che agisce sulla trave principale essendo quest ultimo già noto. Come in precedenza è possibile calcolare k : F k η 48 l Si ritorna così al problema di una trave su suolo elastico di cui è nota la soluzione: iv p r R k 48 con r iv 4 Da cui: + 4α (x) d d d l -45-