Alcuni criteri di divisibilità
|
|
- Romina Vitali
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Ricordiamo il teorema di divisione 1 : Alcuni criteri di divisibilità A. Teorema. Per ogni coppia ordinata di numeri naturali (a, b) con b > 0 esiste un'unica coppia ordinata (q, r) di numeri naturali tale che a = bq + r con 0 r < b. I numeri q, r vengono detti rispettivamente quoziente e resto della divisione di a per b. Il caso in cui r = 0, ossia il caso in cui b divide a, è particolarmente importante e caratterizza la relazione di divisibilità. Questa si estende 2 facilmente ai numeri interi relativi. Esplicitare questa estensione è utile per poter enunciare e dimostrare un risultato ausiliario (Lemma G) che si contestualizza in modo ecace all'interno della struttura dei numeri interi relativi. B. Denizione. Dati s, t Z con t 0, si dice che t divide s, o che s è divisibile per t (in simboli t s), se esiste h Z tale che s = th. Notiamo che se s, t sono entrambi dei numeri naturali allora anche h lo è, quindi la divisibilità tra numeri interi relativi è una estensione di quella fra numeri naturali. C. Criteri di divisibilità e divisione. Dati due numeri naturali a, b 0 un modo certo per vericare se b divide a è quello di... svolgere la divisione completa per calcolarne il resto r. Infatti 1Una dimostrazione di questo teorema si trova nel testo: Mario Ferrari, Aritmetica, in Ministero della Pubblica Istruzione - Unione Matematica Italiana, Aritmetica - Seminario di formazione per Docenti - Istruzione elementare, Quaderni n. 23, Liceo Scientico Statale A.Vallisneri, Lucca, Novembre 1996-Febbraio 1997, pp.11-33; disponibile in Internet al sito 2Una discussione del signicato di estensione o di ampliamento si trova nel testo: Vinicio Villani, Cominciamo da Zero, Complementi di Matematica per l'indirizzo didattico, Vol. 12, Pitagora Editrice, 2003, pp.iii216; in particolare nel paragrafo 6. 1
2 il resto r della divisione di b per a è nullo se e solo se b divide a Purtroppo la divisione è un'operazione spesso lunga e operativamente complicata (quindi con una discreta probabilità di errori di calcolo). D'altra parte l'algoritmo di divisione oltre a dare il resto (e quindi a stabilire se b divide a) produce sempre anche il quoziente, in molti problemi non richiesto, oppure richiesto solo in determinati pochi casi. Ad esempio nella scomposizione in fattori primi di un numero naturale, il calcolo del quoziente interessa solo per i numeri primi divisori del numero dato. E' utile allora poter disporre di criteri di divisibilità: condizioni necessarie e sucienti anchè un numero sia divisibile per un altro e all'atto pratico più semplici dello svolgimento della divisione completa, che ci permettano di caratterizzare la nullità del resto della divisione, indipendentemente dal suo svolgimento. Dunque un criterio di divisibilità per un numero naturale b 0 dovrebbe essere una condizione, indicata con C, sui numeri naturali a, che soddisfa due richieste: 1) b divide a se e solo se la condizione C è vericata da a; 2) vericare la condizione C su a è (sensibilmente) più semplice e rapido dello svolgimento della divisione completa di a per b. Occorre avvertire che stabilire se un numero sia divisibile per un altro (o se un dato numero naturale sia primo e in caso contrario trovarne i suoi divisori primi), è in generale un problema dicile, per il quale non disponiamo di metodi generali (tranne sostanzialmente quello di svolgere a divisione completa). Conosciamo tuttavia qualche criterio di divisibilità, tra cui qualcuno, legato alla scrittura posizionale in base dieci dei numeri, introdotto n dai primi cicli dell'istruzione. D. La scrittura posizionale in base dieci dei numeri. Ricordiamo ad esempio che, nella scrittura posizionale in base dieci dei numeri, 2365 signica 2
3 o anche, facendo intervenire le potenze di 10, 2365 = Inoltre dato che 2365 = e 0 5 < 10, si ottiene che 236 è il quoziente della divisione di 2365 per 10 mentre 5 ne è il resto. In generale dividendo un numero naturale a per 10: a = 10q + r, 0 r < 10, il quoziente q è il numero formato dalle cifre di a con l'omissione dell'ultima a destra (quella delle unità), mentre il resto r è proprio tale ultima cifra. Il primo criterio è semplice e molto noto e lo riportiamo per mostrare in questo caso che cosa intendiamo per condizione C introdotta in (C) e come intervengono sia il teorema di divisione sia la scrittura posizionale in base dieci dei numeri. E. Criterio di divisibilità per 10 (100, ). Un numero naturale a è divisibile per 10 se e solo se l'ultima cifra a destra nella sua scrittura posizionale in base dieci è 0. Osserviamo che in questo caso la condizione C di (C) è espressa dalla frase l'ultima cifra a destra nella scrittura posizionale in base dieci è 0. Per la dimostrazione basta ricordare che a è divisibile per 10 se e solo se il resto della divisione di a per 10 è 0 e che nella scrittura posizionale in base dieci l'ultima cifra a destra di a è proprio tale resto. Ad esempio 2365 = = non è divisibile per 10. In modo analogo Un numero naturale a è divisibile per 100 = 10 2 (1000 = ) se e solo se sono nulle le ultime due cifre (tre cifre...) a destra nella sua scrittura posizionale in base dieci. Infatti le ultime due cifre (tre cifre...) sono il resto della divisione di a per 100 ( ). Ad esempio 2365 = = e 2365 = =
4 F. Osservazione. Notiamo che le condizioni enunciate in tali criteri veri- cano entrambe le richieste previste in (C): infatti caratterizzano i numeri divisibili per 10 (100, ) e sono semplici da vericarsi in quanto qualunque sia il numero (quindi anche molto grande) è suciente controllarne solo le ultime cifre. L'abitudine può portarci a reputare ovvio tale criterio. In un certo senso proprio il fatto di ritenerlo tale, dovrebbe consentirci di apprezzare al contempo la semplicità e la potenza della scrittura posizionale dei numeri. Ad esempio si trovi e si discuta un criterio di divisibilità per dieci, cercando qualcosa di comune ai numeri dieci, trenta, cinquanta, cento, cinquecento, mille, millecinquecentonovanta (e a tutti gli altri multipli di dieci...), scrivendoli come X,, XXX, L, C, D, M, MDXC,... Prima di procedere con altri criteri è opportuno enunciare e dimostrare il risultato ausiliario a cui abbiamo accennato all'inizio G. Lemma. Dati a, a, b Z con b 0 e tali che la dierenza a a sia divisibile per b, allora a è divisibile per b se e solo se lo è a. Dimostrazione. Il fatto di avere esteso il concetto ai numeri interi, ci consente di trattare la divisibilità per b di a a, che può essere anche un numero negativo. Dire che b divide a a signica che esiste γ Z tale che a a = bγ; possiamo anche scrivere le forme equivalenti: a = a bγ e a = bγ + a. Se a è divisibile per b, allora a = bα con α Z, quindi a = a bγ diventa a = bα bγ = b(α γ), quindi a è divisibile per b perchè è prodotto di b per un'altro numero intero (α γ). Viceversa se invece a è divisibile per b, allora esiste α Z tale che a = bα, quindi a = bγ +a diventa a = bγ +bα, ossia a = b(γ + α ) e quindi è divisibile per b. H. Criterio di divisibilità per 2. Un numero naturale a è divisibile per 2 se e solo se l'ultima cifra a destra nella sua scrittura posizionale in base dieci è pari (ossia 0, 2, 4, 6 oppure 8). 4
5 Dal teorema di divisione di ha a = 10 q + r e, come osservato in D, l'ultima cifra a destra di a è r: il resto della divisione di a per 10. Poichè allora a r = 10q e 10 è divisibile per 2 allora a r è anche divisibile per 2, quindi, per il lemma G, a è divisibile per 2 se e solo se lo è r. I. Criterio di divisibilità per 5. Un numero naturale a è divisibile per 5 se e solo se l'ultima cifra a destra nella sua scrittura posizionale in base dieci è divisibile per 5 (ossia 0 oppure 5). E' analogo al precedente. Questa volta occorre osservare che a r è divisibile per 5 dato che lo è il numero 10. J. Esercizio. Per i criteri di divisibilità per 2 e 5 si cerchi di adattare le osservazioni fatte in F per 10, 100, a proposito delle due richieste enunciate in C. Si individuino anche le relative condizioni C. Si cerchi poi un criterio di divisibilità per due cercando qualcosa di comune ai numeri due, quattro, dieci, sedici, cento, centocinquanta, mille, millecinquecento,... scritti come II, IV, X, XV I, C, CL, M, MD,... K. Problema. Si dimostrino i criteri seguenti e se ne discuta la loro applicabilità: Un numero naturale a è divisibile per 4 se e solo se il numero formato dalle ultime due cifre a destra nella sua scrittura posizionale in base dieci è divisibile per 4. Un numero naturale a è divisibile per 8 se e solo se il numero formato dalle ultime tre cifre a destra nella sua scrittura posizionale in base dieci è divisibile per 8. Un numero naturale a è divisibile per 25 se e solo se il numero formato dalle ultime due cifre a destra nella sua l'ultima cifra a destra nella sua scrittura posizionale in base dieci è divisibile per 25 (ossia 00, 25, 50, 75). 5
6 L. Criteri di divisibilità per 3 e per 9. Un numero naturale a è divisibile per 3 (risp. 9) se e solo se la somma delle cifre della sua scrittura posizionale in base dieci è un divisibile per 3 (risp. 9). Ad esempio con si ottiene = = 24, che è divisibile per 3, ma non per 9. In eetti = , mentre = , quindi il resto della divisione per 9 è 6. Diamo una dimostrazione limitandoci, per semplicità, a numeri di al più 5 cifre. Indichiamo con (a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ) dieci, dove a 4, a 3, a 2, a 1, a 0 {0, 1, 2,..., 9}, il numero a a a a a 0 : ad esempio nel caso di si ha: a 4 = 9, a 3 = 7, a 2 = 0, a 1 = 6, a 0 = 2. Abbiamo quindi (a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ) dieci = 10000a a a a 1 + a 0, nel nostro esempio = Le potenze di 10 non sono divisibili per 3 (nè per 9), ma lo sono i numeri immediatamente precedenti: 9 = 3 3 = 9 1, 99 = 3 33 = 9 11, 999 = = 9 111, 9999 = = Quindi possiamo scrivere: (a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ) dieci = ( )a 4 + ( )a 3 + (99 + 1)a 2 + (9 + 1)a 1 + a 0. Applicando poi le consuete proprietà delle operazioni 4 si ottiene: (a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ) dieci = (9999a a a 2 + 9a 1 ) + (a 4 + a 3 + a 2 + a 1 + a 0 ) = 9(1111a a a 2 + a 1 ) + (a 4 + a 3 + a 2 + a 1 + a 0 ). Il numero 9(1111a a a 2 + a 1 ) è divisibile sia per 3 che per 9, quindi per il lemma 5, (a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ) dieci è divisibile per 3 (risp. 9) se e solo se lo è la somma a 4 + a 3 + a 2 + a 1 + a 0 = a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4. M. Osservazione. I criteri appena esposti soddisfano entrambe le richieste di (C). Infatti caratterizzano i numeri divisibili per 3 e per 9 e sono di più semplice verica rispetto alla divisione completa. Infatti dato un numero qualsiasi, la somma delle sue cifre è un numero decisamente più piccolo, ad 3La somma si può eseguire indierentemente da destra o da sinistra. 4Si consiglia di esplicitare per esercizio i passaggi e di indicare le proprietà formali utilizzate. 6
7 esempio partendo da un numero di dieci cifre (a 9 a 8 a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ) dieci si ottiene a 9 +a 8 +a 7 +a 6 +a 5 +a 4 +a 3 +a 2 +a 1 +a 0, che è un numero di al massimo due cifre. Infatti, dato che ogni cifra è al più 9, si ha a 9 +a 8 +a 7 +a 6 +a 5 +a 4 + a 3 +a 2 +a 1 +a = 90. Il procedimento quindi consente di semplicare notevolmente il problema, perchè partendo da un numero qualsiasi ci si riduce a risolvere lo stesso problema, ma relativamente a un numero molto più piccolo. Inoltre il procedimento può essere ripetuto a questo secondo numero e così via no a rincondurci ad un numero di una cifra. Adesempio dal numero si ottiene = 141 e da 141 si ottiene = 6, che è divisibile per 3, ma non per 9. N. Criterio di divisibilità per 11. Un numero naturale a è divisibile per 11 se e solo se la somma con segni alterni delle cifre della sua scrittura posizionale in base dieci è un divisibile per 11. Occorre qualche parola sulla condizione espressa con le parole la somma con segni alterni. In generale seguendo la stessa convenzione di (L) per (a n a n 1...a 2 a 1 a 0 ) dieci = a n 10 n + a n 1 10 n a a a 0 si ottiene: a 0 a 1 + a 2 a 3 + a 4...; si può notare che in quest'ordine il segno del termine generico a r è ( 1) r, quindi + se r è pari e se r è dispari. Ad esempio = è divisibile per 11 ed infatti anche = 22 = 11 2 lo è 5. 5La somma alternata può essere fatta sia da destra che da sinistra: nel caso, come il nostro, in cui si abbia un numero pari di cifre, si ottiene la stessa somma; invece nel caso di un numero dispari di cifre le due somme sono l'una l'opposto dell'altra, ma questo non incide sulla divisibilità. Si provi a questo proposito a dimostrare che, dati s, t Z con t 0, allora t divide s se e solo se t divide s e che inoltre i quozienti sono l'uno l'opposto dell'altro. Le somme alternate inoltre possono essere fatte partendo indierentemente con il segno + o con il segno o ancora sommando le cifre di posto pari da destra (risp. da sinistra) e sottraendo a questa la somma delle cifre di posto dispari da destra (risp. da sinistra), oppure sommando le cifre di posto dispari e sottraendo a questa la somma delle 7
8 Per questo criterio inoltre si possono adattare ancora le osservazioni fatte in (M). Il procedimento consente ancora di semplicare il problema: partendo da un numero qualsiasi, ci si riduce a un numero molto più piccolo e il procedimento puèssere ripetuto no a rincondurci rapidamente ad un numero di una cifra. Come prima dimostriamo il criterio limitandoci per semplicità a numeri di al più 5 cifre. Questa volta si ha: (a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ) dieci = 10000a a a a 1 + a 0, ancora una volta le potenze di dieci non sono divisibili per 11, ma lo sono (distinguendo le potenze dispari da quelle pari) 11 = , 1001 = = e 99 = 11 9 = 100 1, 9999 = = Quindi analogamente a prima 6 si ricava: (a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ) dieci = ( )a 4 + (1001 1)a 3 +(99+1)a 2 +(11 1)a 1 +a 0 = (9999a a 3 +99a 2 +11a 1 )+ (a 0 a 1 +a 2 a 3 +a 4 ) = 11(a a 3 91+a 2 9+a 1 )+(a 0 a 1 +a 2 a 3 +a 4 ). Il primo addendo è divisibile per 11, quindi per il Lemma G, (a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 ) dieci è divisibile per 11 se e solo se lo è a 0 a 1 + a 2 a 3 + a 4. O. Criterio di divisibilità per 7. Un numero naturale a è divisibile per 7 se e solo se nella sua scrittura posizionale in base dieci il numero, che si ottiene sottraendo il doppio dell'ultima cifra di a dal numero formato dalle cifre di a con l'omisione dell'ultima, è divisibile per 11. Facciamo un esempio: 406 = 7 58 è divisibile per 7 ed in eetti è divisibile per 7 anche il numero = 28 = 7 4, mentre non sono divisibili per 7 i numeri 407 e = 26. In generale, come abbiamo già osservato in (D), dividendo un numero naturale a per 10, otteniamo quoziente q e resto r, vericanti le relazioni a = 10 q + r e 0 r < 10. Nella scrittura posizionale in base dieci q è il numero formato dalle cifre di a con l'omisione dell'ultima, la quale è r. Quindi il criterio si può enunciare come segue cifre di posto pari; nel nostro caso ( ) (1 + 1) = 22 o (1 + 1) ( ) = 22 entrambi divisibili per 11. 6Si consiglia ancora di svolgere nei dettagli tutti i passaggi. 8
9 un numero naturale a = 10 q + r, 0 r < 10 è divisibile per 7 se e solo se lo è il numero q 2r Infatti supponiamo che a = 10q + r sia divisibile per 7, ossia che a = 7h con h N, allora si ha: 7h = 10q + r o in modo equivalente r = 7h 10q. Prendiamo ora q 2r; sostituendo otteniamo: q 2r = q 2(7h 10q) = 21q 14r = 7(3q 2r) e quindi q 2r è divisibile per 7. Viceversa supponiamo che sia q 2r ad essere divisibile per 7, ossia q 2r = 7k con k N, questo signica q = 7k + 2r e quindi abbiamo a = 10q + r = 10(7k + 2r) + r = 70k + 21r = 7(10k + 3r) ed a è divisibile per r. P. Osservazione. Anche il precedente verica entrambe le richieste enunciate in (D). Tuttavia la seconda merita in questo caso qualche commento. Ancora una volta si passa ancora da un numero più lungo ad uno più corto e di seguito, iterando il procedimento, no ad uno di una o due cifre, ma con una velocità inferiore rispetto ai criteri precedenti per 3, 9, 11. Infatti posto a = 10q + r, il numero q 2r ha solo una o in qualche caso due cifre in meno di a: ad esempio per a = 1115 si ha q 2r = = 101, mentre da a = 1116 si ottiene q 2r = = 99. Così da un numero di 10 cifre si passa ad uno di 8 o 9 cifre, da uno di 8 ad uno di 6 o 7... In questo modo per stabilire se un numero di 10 cifre è divisibile per 7, senza eseguire nessuna divisione ed assumendo noti i numeri di al più due cifre che lo sono 7, sono necessari da un minimo di 4 a un massimo di 8 iterazioni dello stesso procedimento per ricondursi ad un numero di al più due cifre. Il criterio di divisibilità per 7 è dunque meno eciente rispetto ai precedenti. Q. Esercizio. Si scomponga in fattori primi il numero Procediamo nel modo usuale con la tabella 7Questi sono poco più di quelli nell'ordinaria tabellina del 7: 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98. 9
10 ( è divisibile per 1000 = perchè termina con tre zeri) (17325 è divisibile per 5 perchè termina con 5) (3465 è divisibile per 5 perchè termina con 5) (693 è divisibile per 3 perchè lo é la somma delle sue cifre = 18) (231 è divisibile per 3 perchè lo é la somma delle sue cifre = 6) Quindi = R. Esercizi. Si scompongano in fattori primi i numeri seguenti, indicando come prima, gli eventuali criteri di divisibilità utilizzati: a b c d e f g h i j
L insieme dei numeri Relativi (Z)
L insieme dei numeri Relativi (Z) L esigenza dei numeri relativi Due precise situazioni ci spingono ad ampliare l'insieme de numeri naturali (N): una di carattere pratico, un'altra di carattere più teorico.
DettagliLEZIONE 1. del 10 ottobre 2011
LEZIONE 1 del 10 ottobre 2011 CAPITOLO 1: Numeri naturali N e numeri interi Z I numeri naturali sono 0, 1, 2, 3, 4, 5, Questi hanno un ordine. Di ogni numero naturale, escluso lo 0, esistono il precedente
DettagliSCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI:
SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
Dettagli1.5 DIVISIONE TRA DUE POLINOMI
Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale.5 Divisione tra due polinomi..5 DIVISIONE TRA DUE POLINOMI Introduzione Ricordiamo la divisione tra due numeri, per esempio 47:4. Si tratta di trovare
Dettaglim = a k n k + + a 1 n + a 0 Tale scrittura si chiama rappresentazione del numero m in base n e si indica
G. Pareschi COMPLEMENTI ED ESEMPI SUI NUMERI INTERI. 1. Divisione con resto di numeri interi 1.1. Divisione con resto. Per evitare fraintendimenti nel caso in cui il numero a del Teorema 0.4 sia negativo,
DettagliDivisione e divisibilità fra numeri naturali.
Divisione e divisibilità fra numeri naturali. Queste note sostituiscono la definizione 3.5 del testo di Gimigliano e Peggion e integrano il testo stesso e in una loro parte consistente sono tratte da:
Dettagli2 non è un numero razionale
2 non è un numero razionale 1. Richiami: numeri pari e dispari. Un numero naturale m è pari (rispettivamente dispari) se e solo se esiste un numero naturale r tale che m = 2r (rispettivamente m = 2r +
DettagliTutti i numeri qui considerati sono interi. Se si tratta in particolare di numeri Naturali (quindi non negativi) verrà specificato.
LICEO B. RUSSELL A.S. 2010/2011 DALLA TEORIA DEI NUMERI ALLE CONGRUENZE Tutti i numeri qui considerati sono interi. Se si tratta in particolare di numeri Naturali (quindi non negativi) verrà specificato.
DettagliElementi di Algebra e di Matematica Discreta Numeri interi, divisibilità, numerazione in base n
Elementi di Algebra e di Matematica Discreta Numeri interi, divisibilità, numerazione in base n Cristina Turrini UNIMI - 2016/2017 Cristina Turrini (UNIMI - 2016/2017) Elementi di Algebra e di Matematica
DettagliLiceo scientifico Pascal Manerbio Esercizi di matematica per le vacanze estive
Di alcuni esercizi non verranno riportati i risultati perché renderebbero inutile lo svolgimento degli stessi. Gli esercizi seguenti risulteranno utili se i calcoli saranno eseguiti mentalmente applicando
DettagliGara di Matematica Premio Danti
16 febbraio 2018 II Edizione Gara di Matematica Premio Danti Dipartimento di Matematica e Informatica Università degli studi di Perugia POSSIBILI SOLUZIONI DEI QUESITI PROPOSTI I PARTE 1. COMBINAZIONI
DettagliPreparazione Olimpiadi della Matematica
Preparazione Olimpiadi della Matematica Marco Vita Liceo Scientifico G. Galilei Ancona 18 novembre 2015 ( Liceo Scientifico G. Galilei Ancona) Preparazione Olimpiadi della Matematica 18 novembre 2015 1
Dettagli1 Multipli di un numero
Multipli di un numero DEFINIZIONE. I multipli di un numero sono costituiti dall insieme dei prodotti ottenuti moltiplicando quel numero per la successione dei numeri naturali. I multipli del numero 4 costituiscono
DettagliMoltiplicazione. Divisione. Multipli e divisori
Addizione Sottrazione Potenze Moltiplicazione Divisione Multipli e divisori LE QUATTRO OPERAZIONI Una operazione aritmetica è quel procedimento che fa corrispondere ad una coppia ordinata di numeri (termini
Dettagli1. (A1) Quali tra le seguenti uguaglianze sono vere? = vera. 2. (A1) Una sola delle seguenti affermazioni è vera. Quale?
M Commenti generali I test sono divisi in cinque gruppi (A) Aritmetica (A2) Aritmetica 2 (C) Calcolo (O) Ordinamenti (D) Divisioni Osservazione (/2/20): Sono stati sperimentati sugli studenti aggiungendo
DettagliEsercizi svolti di aritmetica
1 Liceo Carducci Volterra - Classi 1A, 1B Scientifico - Francesco Daddi - 15 gennaio 29 Esercizi svolti di aritmetica Esercizio 1. Dimostrare che il quadrato di un numero intero che finisce per 25 finisce
Dettaglic) ogni numero ha infiniti multipli
Multipli e divisori Def: Si dice MULTIPLO di un numero naturale ogni numero che si ottiene moltiplicando tale numero per qualsiasi numero naturale. Es: è un multiplo di perché. Osservazioni: Es: b) ogni
DettagliPREPARAZIONE ALLE GARE DI MATEMATICA - CORSO BASE
Liceo Scientifico Gullace PREPARAZIONE ALLE GARE DI MATEMATICA - CORSO BASE Aritmetica 014-15 1 Lezione 1 DIVISIBILITÀ, PRIMI E FATTORIZZAZIONE Definizioni DIVISIBILITÀ': dati due interi a e b, diciamo
Dettagliper un altro; le più importanti sono quelle di seguito elencate.
2 Abilità di calcolo I quiz raccolti in questo capitolo sono finalizzati alla valutazione della rapidità e della precisione con cui esegui i calcoli matematici. Prima di cimentarti con i test proposti,
DettagliLezione 3 - Teoria dei Numeri
Lezione 3 - Teoria dei Numeri Problema 1 Sia k un numero pari. È possibile scrivere 1 come la somma dei reciproci di k interi dispari? Soluzione: Siano n 1,..., n k interi dispari tali che 1 = 1 n 1 +
DettagliMETODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA. Lezione n 4 2016
METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA Lezione n 4 2016 GLI INSIEMI NUMERICI N Numeri naturali Z : Numeri interi Q : Numeri razionali R : Numeri reali Q A meno di isomorfismi!!! R 5 π
DettagliLOGARITMI. Corso di laurea: BIOLOGIA Tutor: Floris Marta; Max Artizzu PRECORSI DI MATEMATICA. L uguaglianza: a x = b
Corso di laurea: BIOLOGIA Tutor: Floris Marta; Max Artizzu PRECORSI DI MATEMATICA LOGARITMI L uguaglianza: a x = b nella quale a e b rappresentano due numeri reali noti ed x un incognita, è un equazione
DettagliLezione 3 - Teoria dei Numeri
Lezione 3 - Teoria dei Numeri Problema 1 Determinare il più piccolo numero primo p che divide Q(n) = n 2 + n + 23 per qualche n intero. Soluzione: Osserviamo che Q(1) = 25, quindi p può essere 2, 3 oppure
Dettagli24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6 con resto 2
Dati due numeri naturali a e b, diremo che a è divisibile per b se la divisione a : b è esatta, cioè con resto 0. In questo caso diremo anche che b è un divisore di a. 24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6
DettagliRichiami sulla rappresentazione dei numeri in una base fissata
Silvia Bonettini - Appunti di Analisi Numerica 1 Richiami sulla rappresentazione dei numeri in una base fissata In questo capitolo si vogliono richiamare i concetti principali riguardanti la reppresentazione
DettagliLe quattro operazioni fondamentali
1. ADDIZIONE Le quattro operazioni fondamentali Def: Si dice ADDIZIONE l operazione con la quale si calcola la somma; i numeri da addizionare si dicono ADDENDI e il risultato si dice SOMMA o TOTALE. Proprietà:
DettagliDivisibilità per 5 Un numero è divisibile per 5 se termina con 0 o con 5. Esempi: 380, 125, 465 sono divisibili per non è divisibile per 5
Multipli e divisori Def: Si dice multiplo di un numero naturale ogni numero che si ottiene moltiplicando tale numero per qualsiasi numero naturale. 14 è un multiplo di 7 perché 7 2 = 14. Si dice che 14
DettagliInsiemi numerici. Teoria in sintesi NUMERI NATURALI
Insiemi numerici Teoria in sintesi NUMERI NATURALI Una delle prime attività matematiche che viene esercitata è il contare gli elementi di un dato insieme. I numeri con cui si conta 0,,,. sono i numeri
DettagliIl Sistema di numerazione decimale
Il Sistema di numerazione decimale Il NUMERO è un oggetto astratto, rappresentato da un simbolo (o cifra) ed è usato per contare e misurare. I numeri usati per contare, 0,1,2,3,4,5,. sono detti NUMERI
DettagliParte Seconda. Prova di selezione culturale
Parte Seconda Prova di selezione culturale TEORIA DEGLI INSIEMI MATEMATICA ARITMETICA Insieme = gruppo di elementi di cui si può stabilire inequivocabilmente almeno una caratteristica in comune. Esempi:
DettagliNotazione posizionale. Codifica binaria. Rappresentazioni medianti basi diverse. Multipli del byte
Codifica binaria Rappresentazione di numeri Notazione di tipo posizionale (come la notazione decimale). Ogni numero è rappresentato da una sequenza di simboli Il valore del numero dipende non solo dalla
Dettagli4 + 7 = 11. Possiamo quindi dire che:
Consideriamo due numeri naturali, per esempio 4 e 7. Contando successivamente, dopo le unità del primo, le unità del secondo si esegue l operazione aritmetica detta addizione, il cui simbolo è + ; 4 +
DettagliL insieme dei numeri naturali N Prof. Walter Pugliese
L insieme dei numeri naturali N Prof. Walter Pugliese Che cosa sono i numeri naturali I numeri naturali sono: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, Sono chiamati così perché sono stati i primi numeri che abbiamo conosciuto,
DettagliIGiochidiArchimede-SoluzioniBiennio 23 novembre 2005
PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATIA U.M.I. UNIONE MATEMATIA ITALIANA SUOLA NORMALE SUPERIORE IGiochidiArchimede-SoluzioniBiennio 3 novembre 00 1 Griglia delle risposte corrette Risoluzione dei problemi Problema
Dettagli( ) ( ) ( ) individua un nuovo tipo di oggetto algebrico che prende il nome di frazione algebrica. Per esempio, A= 3x+ 1,
.5 Divisione tra due polinomi. Divisione esatta di due polinomi Allo stesso modo in cui la divisione tra due numeri interi non sempre dà un numero intero, anche la divisione tra due polinomi non sempre
DettagliLogica matematica e ragionamento numerico
5 Logica matematica e ragionamento numerico Abilità di calcolo! I quiz raccolti in questo capitolo sono finalizzati alla valutazione della rapidità e della precisione con cui esegui i calcoli matematici:
DettagliCOMPITI VACANZE ESTIVE 2017 MATEMATICA Scuola Media Montessori Cardano al Campo (VA)
COMPITI VACANZE ESTIVE 2017 MATEMATICA Scuola Media Montessori Cardano al Campo (VA) Nel presente documento sono elencati gli esercizi da svolgere nel corso delle vacanze estive 2017 da parte degli studenti
DettagliSistemi di numerazione
Sistemi di numerazione Sistema di numerazione decimale Sapete già che il problema fondamentale della numerazione consiste nel rappresentare con un limitato numero di segni particolari, detti cifre, tutti
DettagliLa tabella dell addizione Completa la tabella e poi rispondi alle domande.
La tabella dell addizione Completa la tabella e poi rispondi alle domande. CCCCCCCCCCCC + 0 4 5 6 7 8 9 0 0 4 5 6 7 8 9 0 A ogni coppia ordinata di numeri naturali corrisponde sempre un numero naturale?
Dettaglia p a (p) (a + 1) p = i=0 sono noti come coefficienti binomiali 2 e sono numeri interi (a + 1) p a p + 1 (p) (a + 1) p a + 1 (p)
Appunti quarta settimana Iniziamo con un risultato molto importante che ha svariate conseguenze e che3 sarà dimostrato in modi diversi durante il corso: Esercizio 1.[Piccolo teorema di Fermat] Dimostrare
Dettaglinota 1. Aritmetica sui numeri interi.
nota 1. Aritmetica sui numeri interi. Numeri interi. Numeri primi. L algoritmo di Euclide per il calcolo del mcd. Equazioni diofantee di primo grado. Congruenze. Il Teorema Cinese del Resto. 1 0. Numeri
DettagliLezione 3 - Teoria dei Numeri
Lezione 3 - Teoria dei Numeri Problema 1 Trovare il più piccolo multiplo di 15 formato dalle sole cifre 0 e 8 (in base 10). Il numero cercato dev'essere divisibile per 3 e per 5 quindi l'ultima cifra deve
DettagliInsiemi numerici. Alcune definizioni. La retta dei numeri
Insiemi numerici Q Z N 0 1 1 1 4 4 N = 0,1,,,4, = insieme dei numeri naturali Z = insieme dei numeri interi (formato dall unione dei numeri naturali e dei numeri interi negativi) Q = insieme dei numeri
DettagliLa codifica. dell informazione
La codifica dell informazione (continua) Codifica dei numeri Il codice ASCII consente di codificare le cifre decimali da 0 a 9 fornendo in questo modo un metodo per la rappresentazione dei numeri Il numero
DettagliDIVISIBILITA, DIVISORI E MULTIPLI. Conoscenze
DIVISIBILITA, DIVISORI E MULTIPLI Conoscenze 1. Completa: a) Dati due numeri naturali a e b, con b diverso da..., si dice che a è divisibile per b se... b) In N la divisione è possibile solo se... 2. Sostituisci
Dettagli4 0 = 4 2 = 4 4 = 4 6 = 0.
Elementi di Algebra e Logica 2008. Esercizi 4. Gruppi, anelli e campi. 1. Determinare la tabella additiva e la tabella moltiplicativa di Z 6. (a) Verificare dalla tabella moltiplicativa di Z 6 che esistono
DettagliRiassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria.
Capitolo 2 Campi 2.1 Introduzione Studiamo ora i campi. Essi sono una generalizzazione dell insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Nel secondo paragrafo ricordiamo
DettagliIndice. Aritmetica modulare. Mauro Saita. Versione provvisoria. Febbraio
modulare e-mail: maurosaita@tiscalinetit Versione provvisoria Febbraio 2018 1 Indice 1 modulare Classe di resti 2 11 Le proprietà delle congruenze 4 12 Le operazioni in Z n : l addizione e la moltiplicazione
DettagliParte I. Incontro del 6 dicembre 2011
Parte I Incontro del 6 dicembre 20 3 Notazioni Si suppone che il lettore sia familiare con le notazioni insiemistiche, in particolare con quelle che riguardano gli insiemi numerici: N = { 0,, 2, 3, } (numeri
DettagliDefinizione. Siano a, b Z. Si dice che a divide b se esiste un intero c Z tale che. b = ac.
0. Numeri interi. Sia Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} l insieme dei numeri interi e sia N = {1, 2, 3,...} il sottoinsieme dei numeri interi positivi. Sappiamo bene come addizionare, sottrarre e moltiplicare
DettagliI criteri di divisibilita: magie della aritmetica modulare. Silvana Rinauro
I criteri di divisibilita: magie della aritmetica modulare Silvana Rinauro Si vuole risolvere il seguente problema: se oggi è mercoledì, quale giorno della settimana sarà fra 100 giorni? Per rispondere
DettagliPolinomi Definizioni fondamentali
Polinomi. Definizioni fondamentali Definizione.. Un polinomio è un espressione algebrica letterale che consiste in una somma algebrica di monomi. Esempio.. Sono polinomi: 6a + b, 5a b + 3b, 6x 5y x, 7ab
Dettagli1.2 MONOMI E OPERAZIONI CON I MONOMI
Matematica C Algebra. Le basi del calcolo letterale. Monomi e operazioni con i monomi. MONOMI E OPERAZIONI CON I MONOMI... L insieme dei monomi D ora in poi quando scriveremo un espressione letterale in
DettagliUn polinomio è un espressione algebrica data dalla somma di più monomi.
1 I polinomi 1.1 Terminologia sui polinomi Un polinomio è un espressione algebrica data dalla somma di più monomi. I termini di un polinomio sono i monomi che compaiono come addendi nel polinomio. Il termine
DettagliNUMERI INTERI E POTENZE
Saper operare con le potenze di numeri interi - Prof. Di Caprio 1 Obiettivo NUMERI INTERI E POTENZE In questa lezione richiameremo alcune proprietà dei numeri interi, e impareremo a operare con le potenze.
DettagliESERCITAZIONE N.8. Il calcolatore ad orologio di Gauss. L aritmetica dell orologio di Gauss. Operazioni e calcoli in Z n
Il calcolatore ad orologio di Gauss ESERCITAZIONE N.8 18 novembre L aritmetica dell orologio di Gauss Operazioni e calcoli in Z n 1, 1, -11, sono tra loro equivalenti ( modulo 12 ) Rosalba Barattero Sono
DettagliSoluzioni verifica scritta 1A Scientifico 20/01/2009
Soluzioni verifica scritta 1A Scientifico 0/01/009 Esercizio 1 68 = 3 + ; = 11 + 0 MCD68 ; ) = ultimo resto 0) 68 68 mcm68 ; ) = = =68 11 = 68 10 + 1) = 680 + 68 = 748 MCD68; ) Esercizio Possiamo considerare
DettagliDIVISIBILITA, DIVISORI E MULTIPLI. Conoscenze
DIVISIBILITA, DIVISORI E MULTIPLI Conoscenze 1. Completa: a) Dati due numeri naturali a e b, con b diverso da zero, si dice che a è divisibile per b se la divisione a : b è esatta, cioè ha resto 0 b) In
DettagliProntuario degli argomenti di Algebra
Prontuario degli argomenti di Algebra NUMERI RELATIVI Un numero relativo è un numero preceduto da un segno + o - indicante la posizione rispetto ad un punto di riferimento a cui si associa il valore 0.
DettagliFrazioni e numeri decimali
Frazioni e numeri decimali Sappiamo che uno stesso numero razionale può essere rappresentato sia sotto forma di frazione (in infiniti modi tra loro equivalenti) che sotto forma di numero decimale. Precisiamo
DettagliCongruenze. Classi resto
Congruenze. Classi resto Congruenze modulo un intero DEFINIZIONE Siano a e b due numeri interi relativi; fissato un intero m si dice che a è congruo a b modulo m se la differenza a b è multipla di m, e
Dettaglinota 1. Aritmetica sui numeri interi.
nota 1. Aritmetica sui numeri interi. Numeri interi. Numeri primi. L algoritmo di Euclide per il calcolo del mcd. Equazioni diofantee di primo grado. Congruenze. Il Teorema Cinese del Resto. 1 0. Numeri
DettagliAritmetica sui numeri interi
CHAPTER 1 Aritmetica sui numeri interi L insieme dei numeri naturali N è certamente l insieme numerico più familiare. Non consideriamo lo zero 0 come elemento dell insieme N; non è stata infatti naturale
DettagliLezioni di Informarica. Prof. Giovanni Occhipinti
Lezioni di Informarica Prof. Giovanni Occhipinti 23 settembre 2010 2 Indice 1 La codifica delle Informazioni 5 1.1 Il sistema binario........................... 5 1.1.1 Conversione da binario a decimale.............
DettagliIl Teorema di Kakutani
Il Teorema di Kakutani Abbiamo visto, precedentemente, il seguente risultato: 1 Sia X uno spazio di Banach. Se X è separabile, la palla è debolmente compatta. B X = {x X x 1} Il Teorema di Kakutani è un
DettagliScomposizione in fattori
Corso di Laurea: Biologia Tutor: Marta Floris, Max Artizzu PRECORSI DI MATEMATICA 1 Introduzione Scomposizione in fattori La scomposizione in fattori dei polinomi assume un importanza speciale quando si
DettagliLEZIONE DI MATEMATICA SISTEMI DI NUMERAZIONE. (Prof. Daniele Baldissin)
LEZIONE DI MATEMATICA SISTEMI DI NUMERAZIONE (Prof. Daniele Baldissin) L'uomo usa normalmente il sistema di numerazione decimale, probabilmente perché ha dieci dita. Il sistema decimale è collegato direttamente
Dettagli1. INSIEME DEI NUMERI NATURALI
1. INSIEME DEI NUMERI NATURALI 1.1 CONCETTO DI NUMERO NATURALE: UGUAGLIANZA E DISUGUAGLIANZA Consideriamo l'insieme E, detto insieme Universo, costituito da tutti i possibili insiemi che si possono costruire
DettagliLe quattro operazioni fondamentali
SINTESI Unità 3 Le quattro operazioni fondamentali Addizione Si dice somma di due numeri naturali il numero che si ottiene contando di seguito al primo tanti numeri consecutivi quante sono le unità del
DettagliRichiami di aritmetica (1)
Richiami di aritmetica (1) Operazioni fondamentali e loro proprietà Elevamento a potenza e proprietà potenze Espressioni aritmetiche Scomposizione: M.C.D. e m.c.m Materia: Matematica Autore: Mario De Leo
DettagliArgomenti della Lezione
ANALISI Argomenti della Lezione 5 ottobre 2011 1. I numeri reali 1.1. Naturali, Interi, Razionali. Gli insiemi dei numeri naturali N : 0, 1, 2,..., interi Z : 0, ±1, ±2,..., razionali Q = m/n, m, n Z sono
DettagliINSIEME N. L'insieme dei numeri naturali (N) è l'insieme dei numeri interi e positivi.
INSIEME N L'insieme dei numeri naturali (N) è l'insieme dei numeri interi e positivi. N = {0;1;2;3... Su tale insieme sono definite le 4 operazioni di base: l'addizione (o somma), la sottrazione, la moltiplicazione
DettagliIL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA: DIMOSTRAZIONE VELOCE.
IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA: DIMOSTRAZIONE VELOCE. PH. ELLIA Indice Introduzione 1 1. Divisori di un numero. 1 2. Il Teorema Fondamentale dell Aritmetica. 2 3. L insieme dei numeri primi è
DettagliALGEBRA I: SOLUZIONI TERZA ESERCITAZIONE 11 aprile 2011
ALGEBRA I: SOLUZIONI TERZA ESERCITAZIONE 11 aprile 2011 Esercizio 1. Siano m e n due numeri interi positivi tali che m + n è un numero primo. Mostrare che m e n sono coprimi. Soluzione. Sia d = (m, n)
DettagliParte II. Incontro del 20 dicembre 2011
Parte II Incontro del 20 dicembre 2011 12 I quadrati modulo 4 Cerchiamo di determinare i possibili resti nella divisione per 4 del quadrato x 2 di un numero intero x. Se x = 2h è un numero pari allora
DettagliOperatori di confronto:
Operatori di confronto: confrontano tra loro due numeri e come risultato danno come risposta o operatore si legge esempio risposta = uguale a diverso da > maggiore di < minore di maggiore o uguale a minore
DettagliMonomi L insieme dei monomi
Monomi 10 10.1 L insieme dei monomi Definizione 10.1. Un espressione letterale in cui numeri e lettere sono legati dalla sola moltiplicazione si chiama monomio. Esempio 10.1. L espressione nelle due variabili
DettagliIstituzioni di Matematiche (V): Seconda Prova Parziale, 13 Gennaio 2015 (versione 1)
Istituzioni di Matematiche (V): Seconda Prova Parziale, 13 Gennaio 015 (versione 1) Nome e Cognome: Numero di matricola: Esercizio 1 Esercizio Esercizio 3 Esercizio 4 Esercizio 5 Totale 4 6 6 8 6 Tutte
DettagliEQUAZIONI BIQUADRATICHE
EQUAZIONI PARTICOLARI PROF.SSA ROSSELLA PISCOPO Indice 1 EQUAZIONI BIQUADRATICHE ------------------------------------------------------------------------------------------ 3 2 EQUAZIONI RECIPROCHE -----------------------------------------------------------------------------------------------
Dettagli= < < < < < Matematica 1
NUMERI NATURALI N I numeri naturali sono: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,... L insieme dei numeri naturali è indicato con la lettera. Si ha cioè: N= 0,1,2,3,4,5,6,7,.... L insieme dei naturali privato
DettagliSomma di numeri floating point. Algoritmi di moltiplicazione e divisione per numeri interi
Somma di numeri floating point Algoritmi di moltiplicazione e divisione per numeri interi Standard IEEE754 " Standard IEEE754: Singola precisione (32 bit) si riescono a rappresentare numeri 2.0 10 2-38
DettagliGLOSSARIO MATEMATICO. ,0,, 2, 3,,... = {razionali e irrazionali}
GLOSSARIO MATEMATICO SIMBOLI MATEMATICI N insieme dei naturali { 0,,,,,... } Z insieme dei interi relativi {...,,,0,,,... } Q insieme dei razionali...,,,0, +, +,... 7 Q a insieme dei razionali positivi
DettagliCalcolo algebrico e polinomi 1 / 38
Calcolo algebrico e polinomi 1 / 38 2 / 38 Calcolo Algebrico e Polinomi: introduzione In questa lezione esporremo i principali concetti relativi al calcolo algebrico elementare e ai polinomi. In particolare,
Dettagli1 Relazione di congruenza in Z
1 Relazione di congruenza in Z Diamo ora un esempio importante di relazione di equivalenza: la relazione di congruenza modn in Z. Definizione 1 Sia X = Z, a,b Z ed n un intero n > 1. Si dice a congruo
Dettagli3/10/ Divisibilità e massimo comun divisore
MCD in N e Polinomi 3/10/2013 1 Divisibilità e massimo comun divisore 1.1 Divisibilità in N In questa sezione introdurremo il concetto di divisibilità e di massimo comun divisore di due numeri naturali
DettagliArgomenti della lezione. Criteri di divisibilità fattorizzazione m.c.m. e M.C.D. frazioni ed espressioni
Argomenti della lezione Criteri di divisibilità fattorizzazione m.c.m. e M.C.D. frazioni ed espressioni Quale cifra deve assumere la lettera c affinché i numeri 821c e 82c1 siano divisibili per 2? Un numero
DettagliLEZIONE 2. ( ) a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, ove a j, b R sono fissati.
LEZIONE 2 2 Sistemi di equazioni lineari Definizione 2 Un equazione lineare nelle n incognite x, x 2,, x n a coefficienti reali, è un equazione della forma (2 a x + a 2 x 2 + + a n x n = b, ove a j, b
DettagliEsempio B2.1: dire il grado del monomio seguente rispetto ad ogni lettera e il suo grado complessivo:
B. Polinomi B.1 Cos è un polinomio Un POLINOMIO è la somma di due o più monomi. Se ha due termini, come a+b è detto binomio Se ha tre termini, come a-3b+cx è detto trinomio, eccetera GRADO DI UN POLINOMIO
DettagliCONGRUENZE. proprietà delle congruenze: la congruenza è una relazione di equivalenza inoltre: Criteri di divisibilità
CONGRUENZE I) Definizione: due numeri naturali a e b si dicono congrui modulo un numero naturale p se hanno lo stesso resto nella divisione intera per p. Si scrive a b mod p oppure a b (p) proprietà delle
DettagliOPERAZIONI IN Q = + = = = =
OPERAZIONI IN Q A proposito delle operazioni tra numeri razionali, affinché il passaggio da N a vero e proprio ampliamento è necessario che avvengano tre cose: Q risulti un ) le proprietà di ciascuna operazione
DettagliSviluppi e derivate delle funzioni elementari
Sviluppi e derivate delle funzioni elementari In queste pagine dimostriamo gli sviluppi del prim ordine e le formule di derivazioni delle principali funzioni elementari. Utilizzeremo le uguaglianze lim
Dettagli35 è congruo a 11 modulo 12
ARITMETICA MODULARE Scegliamo un numero m che chiameremo MODULO Identifichiamo ogni altro numero con il suo resto nella divisione per m Tutti i numeri col medesimo resto si trovano insieme nella classe
DettagliUniversità degli Studi del Piemonte Orientale Facoltà di Scienze M.F.N. Precorso di Matematica APPUNTI (preparati da Pier Luigi Ferrari)
Università degli Studi del Piemonte Orientale Facoltà di Scienze M.F.N. Precorso di Matematica APPUNTI (preparati da Pier Luigi Ferrari) 0. Come usare questi appunti In questi appunti troverete alcune
DettagliDivisibilità: definizioni e criteri
cbnd Antonio Guermani Scheda n 1 Nome Data Divisibilità: definizioni e criteri Il numero 69 7 è divisibile per 3 se al posto Ha un solo divisore Tra i multipli di 58 i due più grandi nessun numero naturale
Dettagli1 n 1. n + 1. n=1 N+1. n=1. n=1 N N + 1.
44 Roberto Tauraso - Analisi 2 e quindi la somma parziale s N è uguale a N N s N n(n + ( n n + n N n n N+ n n N +. n2 N n N n n + dove nell ultimo passaggio si sono annullati tutti i termini opposti tranne
DettagliMonomi e Polinomi. Monomio Si dice monomio un espressione letterale in cui figurano solo operazioni di moltiplicazione.
Monomi e Polinomi Monomio Si dice monomio un espressione letterale in cui figurano solo operazioni di moltiplicazione. ) Sono monomi: 5 a 3 b 2 z; 2 3 a2 c 9 ; +7; 8a b 3 a 2. Non sono monomi: a + 2; xyz
DettagliQualche informazione su gruppi e anelli
Qualche informazione su gruppi e anelli 1. Gruppi e sottogruppi: prime proprietà Cominciamo subito scrivendo la definizione formale di gruppo. Definizione 0.1. Un gruppo G è un insieme non vuoto dotato
Dettagli1. (A1) Quali tra le seguenti uguaglianze sono vere? 2. (A1) Una sola delle seguenti affermazioni è vera. Quale?
M ============= (A) Aritmetica ===================== rappresentazione dei numeri algebra dei numeri proprietà delle operazioni. (A) Quali tra le seguenti uguaglianze sono vere? e. 2 + 2 2 2 + = 2 2 + =
DettagliRiassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria.
Capitolo 2 Campi 2.1 Introduzione Studiamo ora i campi. Essi sono una generalizzazione dell insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Nel secondo paragrafo ricordiamo
Dettagli