DAI NUMERI NATURALI AI NUMERI REALI

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1 February 19, Premessa DAI NUMERI NATURALI AI NUMERI REALI Alberto Zanardo 1 L operazione di riduzione del sistema dei numeri reali al sistema dei numeri naturali viene spesso chiamata aritmetizzazione dell analisi, e trova la sua giustificazione nel tentativo di basare (ridurre) nozioni complesse, quali quella di numero reale, su nozioni più semplici, come quella di numero naturale, delle quali pensiamo di avere un intuizione più immediata. Il punto di partenza di questa breve nota è dunque l insieme N = {0, 1, 2,... } dei numeri naturali, visto come entità primitiva, del quale quindi non verrà data una definizione. Nella nota la costruzione dell insieme dei numeri reali tramite operazioni insiemistiche sull insieme dei numeri naturali (passando attraverso la costruzione degli interi e dei razionali) verrà presentata esclusivamente sotto il punto di tecnico senza entrare in question fondazionali. Verranno omesse inoltre le dimostrazioni, per le quali si rimanda il lettore a testi universitari specialistici. 1 Numeri interi e numeri razionali 1.1 Costruzione di Z L insieme dei naturali è chiuso per la somma e la moltiplicazione, ma non è chiuso per la sottrazione. Per estendere N ad una struttura in cui tale operazione dia sempre un risultato, decidiamo innanzitutto di rappresentare il risultato della sottrazione m n con la coppia (m, n). Ciò è perfettamente analogo a quanto si fa, come vedremo anche più avanti, nel passaggio da interi a razionali, quando decidiamo di rappresentare il risultato della divisione di i con j tramite la coppia (i, j) che indichiamo con i j. Nell insieme N N, cioè l insieme delle coppie ordinate (m, n) ad elementi in N, definiamo la relazione tramite (m, n) (h, k) se e solo se m + k = n + h (1.1) Il significato di questa relazione è chiaro se ricordiamo che con (m, n) vogliamo rappresentare il risultato della sottrazione di n da m: le coppie (m, n) e (h, k) sono equivalenti se i corrispondenti risultati sono uguali. Si osservi tuttavia che non avremmo potuto scrivere (m, n) (h, k) se e solo se m n = h k perché la sottrazione non è ancora stata definita e quindi dobbiamo definire l equivalenza usando solo l operazione di somma che invece è definita nei naturali. 1 Ringrazio vivamente Simonetta Verucchi per le utili osservazioni critiche su una prima bozza di questa nota.

2 February 19, Si verifica facilmente che è una relazione di equivalenza: (a) è riflessiva: per ogni coppia (m, n), abbiamo m + n = n + m, cioè (m, n) (m, n); (b) è simmetrica: (m, n) (h, k) implica banalmente (h, k) (m, n); (c) è transitiva: se m + k = n + h (cioè (m, n) (h, k)) e h + j = k + i (cioè (h, k) (i, j)), allora m + k + h + j = n + h + k + i che implica m + j = n + i, cioè (m, n) (i, j). La classe di equivalenza della coppia (m, n) modulo la relazione, cioè l insieme {(h, k) : (m, n) (h, k)} viene indicato con [(m, n)] e l insieme di tali classi di equivalenza viene indicato con (N N)/. Poniamo Z def = (N N)/ (1.2) Z è l insieme degli interi. Le operazioni sull insieme Z vengono definite da [(m, n)] + [(h, k)] [(m, n)] [(h, k)] def = [(m + h, n + k)] (1.3) def = [mh + nk, nh + mk] Affinché queste definizioni abbiano senso, bisognerebbe ora verificare che esse sono buone definizioni, cioè che non dipendono dal particolare rappresentante scelto delle classi [(m, n)] e [(h, k)]. Per verificare che la somma è ben definita, per esempio, bisognerebbe dimostrare, usando la definizione della relazione, che se (m, n) (m, n ) e (h, k) (h, k ), allora (m + h, n + k) (m + h, n + k ). Per queste e per altre definizioni lasciamo al lettore tali verifiche. Siamo ora in grado di mostrare che in Z è sempre definita la differenza. Dati due interi [(m, n)] e [(h, k)], infatti, abbiamo che [(h, k)] + [(m + k, n + h)] = [(m, n)], per cui possiamo porre [(m, n)] [(h, k)] def = [(m + k, n + h)] (1.4) Si può inoltre osservare che la somma [(m, n)] + [(n, m)] è uguale a [(m + n, n + m)] che è a sua volta uguale a [(0, 0)], l elemento neutro per l addizione. L intero [(n, m)] è dunque l opposto di [(m, n)] e la differenza [(m, n)] [(h, k)] può essere anche espressa come [(m, n)] + [(k, h)]. Ciò conclude la definizione del sistema dei numeri interi. È immediata, anche se un po laboriosa, la verifica che essi godono delle usuali proprietà, per esempio, della commutatività di somma e prodotto, della distributività del prodotto rispetto alla somma, e così via. Ogni classe di equivalenza [(m, n)] contiene un unico elemento della forma (m 0, 0) o (0, n 0 ), dove m 0, n 0 N. Se infatti m > n allora (m n, 0) (m, n). Per quanto riguarda l unicità, basta osservare che (m, 0) (k, 0) m = k e che da

3 February 19, (m, n) (0, k) seguirebbe n > m, contro le ipotesi. Analogamente, se m < n allora l unica coppia con un elemento uguale a 0 ed equivalente ad (m, n) è (0, n m). Se infine m = n allora (m, n) (0, 0). Possiamo quindi scegliere questi particolari rappresentanti degli elementi di Z e decidere di indicare la classe [(m, 0)] con m e la classe di [(0, n)] (n 0) con n, ottenendo così l usuale notazione per gli interi. Nella pratica matematica siamo abituati a considerare l insieme degli interi una estensione dell insieme dei naturali, cioè a considerare vera l inclusione N Z. Questo atteggiamento trova anche conferma nella notazione abituale ricordata nel capoverso precedente. In base alla costruzione degli interi vista sopra, tuttavia, l inclusione N Z è banalmente falsa: nell insieme dei naturali, 5 indica il numero naturale cinque, mentre negli interi 5 indica un insieme di coppie di numeri naturali e precisamente {(5, 0), (6, 1), (7, 2),... }. Esiste però una immersione naturale ϕ : n [(n, 0)] di N in Z che conserva le operazioni di somma e prodotto, cioè: ϕ(m + n) = ϕ(m) + ϕ(n) e ϕ(m n) = ϕ(m) ϕ(n). Ciò permette di identificare la classe di equivalenza [(n, 0)] con il numero naturale n e di dare un senso all usuale inclusione dei naturali negli interi. 1.2 Costruzione di Q - Campi ordinati La costruzione dell insieme Q dei razionali è simile a quella appena vista e può partire dalla constatazione che Z non è chiuso rispetto alla divisione con divisore diverso da zero. Consideriamo innanzitutto l insieme delle coppie ordinate (m, n) di interi in cui n 0; consideriamo cioè gli elementi dell insieme Z (Z \ {0}). In questo insieme consideriamo relazione definita da (m, n) (h, k) se e solo se mk = nh (1.5) Si noti che questa relazione non è altro che l uguaglianza tra le frazioni m e h che n k siamo abituati ad usare. Anche in questo caso, abbiamo dovuto definire la relazione usando solo l operazione di prodotto, non essendo la divisione sempre definita negli interi. Si verifica facilmente che anche è una relazione di equivalenza, per cui possiamo considerare le classi di equivalenza su Z (Z \ {0} modulo e porre Q def = (Z (Z \ {0}))/ (1.6) L insieme Q dei razionali risulta quindi essere l insieme delle classi di equivalenza [(m, n)], dove m e n sono interi. La classe di equivalenza [(m, n)] della coppia (m, n) modulo viene anche indicata con m, che corrisponde all usuale notazione n per i numeri razionali. Le definizioni delle operazioni sui razionali sono quelle che ci aspettiamo, per le quali, come per gli interi, bisogna verificare che si tratta di buone definizioni. Le operazioni di somma e prodotto sull insieme dei razionali godono delle seguenti proprietà (alcune delle quali valgono ovviamente anche per i naturali e per gli interi).

4 February 19, Associatività: (i) x, y, z (x+(y +z) = (x+y)+z), (ii) x, y, z (x(yz) = (xy)z); 2. Commutatività: (i) x, y (x + y = y + x), (ii) x, y (xy = yx); 3. Distributività rispetto all addizione: x, y, z (x(y + z) = xy + yz); 4. Esistenza degli elementi neutri: (i) esiste un unico elemento a di Q, tale che x(x + a = x), (ii) esiste un unico elemento b di Q, tale che x(xb = x) (dall unicità degli elementi particolari a e b segue che esso coincidono rispettivamente con 0 e 1); 5. Esistenza dell opposto e del reciproco: (i) x y(x + y = 0), (ii) x 0, y(xy = 1); L insieme dei razionali è inoltre un insieme totalmente ordinato, esiste cioè una relazione su Q con le seguenti proprietà. 6. Riflessività: x(x x); 7. Antisimmetria: x, y (x y y x x = y); 8. Transitività: x, y, z (x y y z x z); 9. Totalità: x, y (x y y x). Infine, la relazione d ordine sui razionali è compatibile con le operazioni di somma e prodotto; valgono cioè le seguenti proprietà. 10. Compatibilità dell ordine con l addizione: x, y, z (x y x + z y + z); 11. Compatibilità dell ordine con la moltiplicazione: x, y, z 0 (x y xz yz). In generale, se + e sono operazioni e è una relazione sull insieme X, e inoltre valgono le proprietà 1-11 viste sopra, allora la struttura X, +,, viene chiamata campo (totalmente) ordinato. Ogni campo ordinato è denso; dati cioè due elementi a < b, esiste un altro elemento c tale che a < c < b. Si dimostra inoltre che ogni campo ordinato contiene una sottostruttura isomorfa a Q, per cui l insieme dei razionali risulta essere il minimo campo ordinato. Da questa proprietà segue che Q è archimedeo, cioè, dati a > 0 e b in Q, esiste un numero naturale n tale che an > b. Altre formulazioni equivalenti dell archimedeità sono: (i) dato un qualsiasi razionale a esiste un naturale n tale che n > a, e (ii) dato un qualsiasi razionale a > 0 esiste un naturale n tale che 1 < a. n

5 February 19, I numeri reali 2.1 Sezioni su Q, successioni di Cauchy, allineamenti decimali Dati due sottoinsiemi X e Y di Q, diciamo che la coppia (X, Y ) è una sezione (o un taglio di Dedekind) su Q se sono verificate le seguenti proprietà. (a) (b) (c) X, Y X Y = Q x X, y Y, x < y (2.1) Si osservi che in base alla propriteà (c) segue che in ogni sezione (X, Y ) X Y =. Esempio 2.1 Gli insiemi X = {q : q < 0 oppure q 2 < 2} e Y = {q : q > 0 e q 2 > 2} costituiscono una sezione perché l equazione x 2 = 2 non ha soluzioni in Q. Una sezione (X, Y ) è di prima specie se X ha massimo o Y ha minimo, di seconda specie, o lacuna, altrimenti. Si dimostra che la sezione dell esempio precedente è una lacuna. Ogni sezione di prima specie (X, Y ) individua un numero razionale: il massimo di X o il minimo di Y e, inversamente, ad ogni razionale q possiamo far corrispondere le due sezioni di prima specie (X, Y ) in cui q è il massimo di X o il minimo di Y. In base a questa corrispondenza è naturale adottare la seguente convenzione. Convenzione 2.2 Verranno considerate uguali le sezioni di prima specie (X, Y ) e (X, Y ) ogniqualvolta X ha massimo x 0, Y ha minimo y 0, e x 0 = y 0. In tal caso, x 0 verrà chiamato elemento separatore della sezione. 2 Definizione 2.3 (a) Una successione a valori nell insieme A è una funzione f da N +, l insieme dei naturali positivi, in A. 3 Nel seguito i valori di una funzione f verranno spesso indicati con a 1, a 2,... anziché con f(1), f(2),... e scriveremo spesso (a n ) invece di f. Considereremo inoltre quasi esclusivamente particolari successioni in Q. Definizione 2.4 Una successione (a n ) a valori in Q è di Cauchy se ε > 0 n ε : m, n n ε a m a n < ε (2.2) L insieme delle successioni di Cauchy su Q verrà indicato con C(Q). 2 Esistono altre definizioni delle sezioni sui razionali per le quali non c è bisogno di questa convenzione. Alcuni autori per esempio richiedono che in ogni caso X non abbia massimo e Y non abbia minimo, e che l unione X Y sia Q oppure Q privato di un numero razionale. È chiaro che in questo caso le sezioni in cui X Y non è tutto Q individuano un razionale e ogni razionale è individuato da un unica sezione. Questa definizione tuttavia presenta altri inconvenienti. 3 Le successioni vengono spesso presentate come funzione da N in un dato insieme. È solo per convenienza tecnica che qui abbiamo escluso lo zero dal dominio di f.

6 February 19, Nelle prossime pagine, salvo avviso contrario, con successione di Cauchy intenderemo sempre successione di Cauchy su Q. Le due seguenti proposizioni stabiliscono un legame tra successioni di Cauchy e tagli di Dedekind. Proposizione 2.5 Data una sezione (X, Y ) in Q, esistono due successioni (x n ) e (y n ) di Cauchy tali che, per ogni n N, x n X, y n Y, e y n x n = 1 n. Proposizione 2.6 Sia (a n ) una successione di Cauchy su Q e sia X = {x Q : esistono infiniti indici n tali che x < a n }. (2.3) Allora la coppia (X, Q \ X) è una sezione su Q. Se (a n ) è una delle successioni (x n ) o (y n ) determinate dalla sezione (X, Y ) nella Proposizione 2.5, allora la corrispondente sezione di Dedekind determinata in base alla Proposizione 2.6 è proprio la sezione (X, Y ) (tenendo presente la Convenzione 2.2). Esiste quindi una corrispondenza naturale tra sezioni e elementi di C(Q). Si può però osservare che nella Proposizione 2.6 la successione (a n ) determina un unico taglio di Dedekind, mentre non è difficile rendersi conto che le successioni (x n ) e (y n ) corrispondenti, in base alla Proposizione 2.5, ad una data sezione (X, Y ), sono infinite. Si ovvia a questa asimmetria introducendo una opportuna relazione di equivalenza tra successioni di Cauchy. Definizione 2.7 Diciamo che una successione (a n ) ha limite a (o converge ad a), e scriviamo L(a n ) = a, se ε > 0, n ε : n > n ε, a n a < ε Definizione 2.8 Diciamo che le successioni di Cauchy (a n ) e (b n ) sono equivalenti, e scriviamo (a n ) (b n ), se L(a n b n ) = 0. Si verifica facilmente che la relazione è una relazione di equivalenza. Possiamo quindi considerare l insieme C(Q)/ delle classi di equivalenza [(a n )] delle successioni di Cauchy modulo. Poiché inoltre si dimostra che succession di Cauchy equivalenti determinano, in base alla Proposizione 2.6, la stessa sezione, abbiamo stabilito una corrispondenza biunivoca tra C(Q)/ e tagli di Dedekind. La corrispondenza tra classi di equivalenza di successioni di Cauchy e sezioni su Q può essere resa più precisa in base alla seguente proposizione. Proposizione 2.9 La sezione (X, Y ) è di prima specie se e solo se ogni successione appartenente alla classe [(a n )] corrispondente a (X, Y ) ha limite, e tale limite è l elemento separatore di (X, Y ).

7 February 19, In base a questa proposizione abbiamo che se a è l elemento separatore della sezione di prima specie (X, Y ), allora la successione costantemente uguale ad a (che banalmente è di Cauchy ed ha limite a) appartiene alla classe di equivalenza corrispondente alla sezione (X, Y ). Inversamente, se L(a n ) = a, allora una classe [(a n )] contiene tutte e sole le successioni (b n ) di Cauchy tali che L(b n ) = a e in particolare [(a n )] contiene la successione costantemente uguale ad a; inoltre, se (X, Y ) è la sezione corrispondente a [(a n )], allora a è tale sezione è di prima specie e il suo elemento separatore è a. Definizione 2.10 Un allineamento decimale è una funzione f da N in Z tale che, per n N +, f(n) {0, 1,..., 9}. Il numero intero f(0) viene chiamato parte intera di f, mentre la successione f(1), f(2),... viene chiamata parte decimale. L allineamento decimale f viene anche indicato, in base all usuale notazione, con f(0).f(1)f(2) Ad ogni allineamento decimale f possiamo associare la successione (a n ) in Q (che risulta essere di Cauchy) definita da a n = n i=0 f(i) 10 i (2.4) Il legame tra allineamenti decimali e successioni di Cauchy viene stabilito dalla seguente proposizione. Proposizione 2.11 Siano (a n ) e (b n ) le successioni di Cauchy associate agli allineamenti decimali f g. Allora (a n ) è equivalente a (b n ) se e solo se esiste k N tale che (i) f(n) = g(n) per ogni n < k (ii) (iii) f(k) = 1 + g(k) f(n) = 0 e g(n) = 9 per ogni n > k oppure se valgono (i )-(iii ) ottenute da (i)-(iii) scambiando f con g. (2.5) Questo risultato giustifica l usuale identificazione, per esempio, di 1 con 0.9. generale, possiamo, come nel caso delle sezioni, adottare la seguente convenzione. In Convenzione 2.12 Nel seguito verranno identificati gli allineamenti decimali f e g aventi le proprietà (i)-(iii) della Proposizione Per la Proposizione 2.11 e la precedente convenzione, ogni classe di equivalenza [(a n )] contiene al più una successione di Cauchy associata ad un allineamento decimale. Vale anche il risultato opposto, cioè che ogni successione di Cauchy è equivalente 4 Tutto quanto detto riguardo agli allineamenti decimali può essere ripetuto e continua a valere per qualsiasi base con le ovvie modifiche. Per esempio, se f è un allineamento binario, allora, per n n N + f(i), f(n) {0, 1} e la formula (2.4) diventa a n = 2 i. i=0

8 February 19, alla successione associata ad un opportuno allineamento decimale e quindi possiamo concludere che esiste una corrispondenza biunivoca tra C(Q)/ ed allineamenti decimali. Anche in questo caso, è possibile rendere più precisa la corrispondenza dimostrando che se le successioni in [(a n )] hanno limite a, allora il corrispondente allineamento decimale è periodico. In particolare, se a = m e m 0 e n > 0, allora l allineamento n decimale f corrispondente a [(a n )] si può ottenere dalla divisione euclidea di m con n scritti in notazione decimale. 5 Vale la pena di osservare che se invece m < 0 e n > 0, allora dobbiamo tener presente che in un allineamento decimale la parte f(1)f(2)... è positiva. Possiamo quindi calcolare prima l allineamento decimale g corrispondente a m n, e quindi definire f tramite f(0) = g(0) 1 e, per k > 0, f(k) = 9 g(k). Possiamo ora riassumere i risultati visti in questo paragrafo ricordando che (1) c e corrispondenza biunivoca tra sezioni su Q, successioni di Cauchy, e allineamenti decimali; (2) le sezioni di prima specie corrispondono alle (classi di equivalenza di) successioni di Cauchy che hanno limite, che a loro volta corrispondono agli allineamenti decimali periodici; (3) le sezioni, o successioni, o allineamenti viste al punto precedente sono in corrispondenza biunivoca con l insieme dei numeri razionali. Tutte queste strutture quindi possono essere viste come estensioni dell insieme dei numeri razionali e costituire un nuovo sistema numerico. 2.2 Numeri reali. Campi ordinati completi L insieme R dei numeri reali viene definito da R def = C(Q)/ (2.6) Un numero reale è quindi una classe di equivalenza di successioni di Cauchy in Q. In base ai risultati precedenti abbiamo che l insieme R può essere identificato anche con l insieme dei tagli di Dedekind o con l insieme degli allineamenti decimali (accettando le identificazioni date dalle Convenzioni 2.2 e 2.12). Restano da definire le operazioni e la relazione d ordine su R. definite nel modo più ovvio, cioè Le prime vengono [(a n )] + [(b n )] = [(a n + b n )] [(a n )] [(b n )] = [(a n b n )] (2.7) Anche in questo caso sono necessarie alcune verifiche. Oltre alla solita verifica che abbiamo dato delle buone definizione, dobbiamo anche dimostrare che la somma e il prodotto di due successioni di Cauchy è ancora una successione di Cauchy. La definizione della relazione d ordine è un po più complessa. preliminarmente le successioni positive: Bisogna definire (a n ) è positiva se e solo se q > 0 e n 0 : n > n 0, a n > q (2.8) 5 Qui si intende ovviamente che, nel caso in cui la divisione euclidea abbia termine, l allineamento decimale avrà costantemente valore 0 dal un certo punto in avanti.

9 February 19, quindi, diciamo che [(a n )] > [(b n )] se e solo se (a n b n ) è positiva (2.9) È chiaro che, grazie alla corrispondenza tra classi di equivalenza di sezioni di Cauchy e sezioni su Q e allineamenti decimali, l ordinamento appena definito induce un ordinamento su questi altri due insiemi. Nel primo caso, date due sezioni diverse (X, Y ) e (X, Y ) si ha (X, Y ) > (X, Y ) se e solo se X X. Dati invece due allineamenti decimali diversi f e g, risulta che f > g se e solo se esiste un n 0 0 tale che f(n 0 ) > g(n 0 ) e f(n) = g(n) per ogni n < n 0. Abbiamo già osservato che particolari successioni di Cauchy, o sezioni, o allineamenti decimali corrispondono in modo naturale ai numeri razionali. Si dimostra che le operazioni di somma e prodotto e la relazione d ordine tra queste successioni, o sezioni, o allineamenti, corrispondono proprio alle analoghe operazioni sui razionali. Possiamo quindi dire che i razionali si immergono nei reali anche come struttura dotata di operazioni e relazioni. Oltre a questo, dati due qualsiasi numeri reali r e s, esiste un numero razionale q tale che r < q < s; ciò si esprime dicendo che i razionali sono densi nei reali. Ne segue che ogni reale può essere approssimato con un razionale con qualsiasi grado di precisione. Le classi di equivalenza di successioni di Cauchy che non hanno limite (o le lacune, o gli allineamenti decimali non periodici) vengono chiamati reali irrazionali. Anche i reali sono un campo ordinato archimedeo in quanto valgono le proprietà 1-11 viste nel paragrafo 1 e ogni reale può essere maggiorato da un razionale e quindi da un naturale. Nei reali esiste inoltre la radice, di indice arbitrario, di ogni numero positivo. Queste proprietà, tuttavia, non caratterizzano completamente i reali, nel senso che ci sono anche altri campi ordinati, contenuti propriamente nei reali, in cui esistono le radici di numeri positivi. L ulteriore proprietà dei reali è la completezza: X, Y R [( x X, y Y, x y) z : x X, y Y, x z y] (2.10) I reali sono dunque un campo ordinato completo. Conseguenza immediata di questa proprietà è che ogni sezione su R è di prima specie (2.11) cioè non esistono lacune in R. Inoltre, (2.10) implica anche che ogni successione di Cauchy in R ha limite (2.12) Queste proprietà di R dicono essenzialmente che, se ripetiamo la costruzione con le sezioni oppure con le successioni di Cauchy partendo da R (anziché da Q), non otteniamo niente di nuovo. Le proprietà (2.11) e (2.13) sono di fatto equivalenti alla proprietà (2.10) di completezza nel senso che ogni campo ordinato senza lacune è anche completo e ogni campo

10 February 19, ordinato archimedeo in cui ogni successione di Cauchy converge è anche completo. Un altra proprietà dei reali equivalente alla completezza (e che viene effettivamente spesso usata al posto della completezza) è l esistenza dell estremo superiore: ogni insieme superiormente limitato ha estremo superiore (2.13) Citiamo infine il risultato che garantisce di fatto l unicità dell insieme dei reali Proposizione 2.13 Tutti i campi ordinati completi sono isomorfi (e quindi isomorfi a R).