METODI DELLA MATEMATICA ATTRAVERSO I TEMPI: CALCOLO DI AREE E VOLUMI. Liceo Scientifico Galileo Galilei Trieste

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1 METODI DELLA MATEMATICA ATTRAVERSO I TEMPI: CALCOLO DI AREE E VOLUMI Liceo Scientifico Galileo Galilei Trieste

2 Premessa Laboratorio organizzato nell ambito del Progetto nazionale Lauree Scientifiche Inserito nel POF per l a.s. 2006/2007 (secondo anno di attività) Serie di incontri di 2 ore ciascuno per un totale di circa 20 ore complessive in orario extracurricolare fra gennaio e marzo Coinvolti 12 alunni del triennio, sia di classi sperimentali PNI che di classi tradizionali, in particolare di classi terze e quarte Coinvolti tre docenti, di cui due docenti del biennio e uno del triennio e tre specializzande del Corso di perfezionamento in didattica della matematica e orientamento universitario.

3 Obiettivi Gli obiettivi caratterizzanti questo progetto possono essere suddivisi in due aree: Obiettivi di tipo trasversale, Obiettivi di tipo matematico. Le considerazioni che seguono nascono dall ampia discussione avvenuta in fase di preparazione del laboratorio durante i numerosi incontri fra i docenti coinvolti e il referente universitario.

4 Obiettivi di tipo trasversale Stimolare gli studenti al lavoro di gruppo: i gruppi erano composti in genere da ragazzi di eguale livello scolare e il loro lavoro era supervisionato da un insegnante-tutore Avvicinare gli studenti ad una mentalità di ricerca autonoma: questa attività è stata, in alcuni casi, parzialmente guidata anche se la maggior parte degli studenti aveva già avuto un analoga esperienza, nel biennio, con il progetto La matematica dei ragazzi: scambio di esperienze fra coetanei

5 Rendere vivo ed attivo il processo di apprendimento: in questo modo sono stati gli studenti ad essere coinvolti in prima persona nella scoperta Rafforzare la mentalità di ricerca creando un ambiente d indagine aperto ad osservazioni e contributi di tutti gli studenti: infatti nel lavoro di gruppo la diversità di metodo e di conoscenze va intesa come ricchezza e non come ostacolo Avvicinare gli studenti più motivati ed interessati allo studio della matematica ed ai suoi metodi: questo è stato un progetto di eccellenza rivolto agli studenti più interessati

6 Obiettivi di tipo matematico Far apprezzare la matematica antica nelle sue differenze rispetto alla matematica presentata nei testi in uso nelle scuole Mostrare l evoluzione della matematica attraverso i tempi, come certi problemi si presentino ciclicamente e siano stati affrontati in modo differente Presentare ed analizzare il linguaggio utilizzato in quel particolare momento storico e scientifico (testo originale tradotto, testo originale riadattato, testo originale anche in lingua latina)

7 Scoprire eventuali proprietà non esplicitamente presentate dal testo Recuperare e riapplicare conoscenze acquisite nelle ore curriculari (es. teoremi di geometria euclidea) Mostrare come si sia evoluto il concetto di rigore matematico nel tempo Porre l accento sulla parte viva della matematica cioè quella dell intuizione, della scoperta e della successiva dimostrazione

8 Metodologia Ogni sessione di lavoro prevedeva: Brevissima presentazione ed introduzione all argomento da parte dei docenti Analisi individuale del testo originale od adattato/tradotto da parte degli studenti Lavoro di gruppo, con domande ed indicazioni di ricerca sul testo suggerite da una scheda di lavoro Discussione collettiva sulle conclusioni fatte dai diversi gruppi Eventuali chiarimenti da parte degli insegnanti

9 Percorso Il percorso seguito ha affrontato lo studio di problemi inerenti il calcolo di aree e volumi attraverso i secoli: dapprima si sono analizzati alcuni dei risultati ottenuti in epoca ellenistica e poi si sono affrontati gli stessi ed altri risultati con nuovi metodi elaborati nel Presentiamo di seguito i principali temi affrontati.

10 1. L area del cerchio di Euclide (300 a.c) attraverso: Dimostrazione che poligoni simili iscritti in cerchi stanno fra loro come i quadrati dei diametri dei cerchi (dagli Elementi di Euclide, traduzione italiana) Il metodo di esaustione I cerchi stanno tra loro come i quadrati dei diametri, cioè Euclide ha dimostrato che l area del cerchio è proporzionale al quadrato del diametro (dagli Elementi di Euclide, traduzione italiana)

11 1. Il volume della sfera di Luca Valerio presentato da Galilei ( ): Principio di Cavalieri (testo originale in latino e traduzione italiana) Dimostrazione che la scodella ottenuta sottraendo da un cilindro mezza sfera, avente raggio pari all altezza del cilindro, ha stesso volume del cono avente altezza e base pari a quelle del cilindro. Luca Valerio ottiene poi il volume dell emisfero sottraendo al volume del cilindro quello della scodella che è pari a quello del cono, risultato già noto ad Archimede e da lui dimostrato con il metodo di esaustione (dall opera di Galileo, testo adattato)

12 Principio di Cavalieri Figure piane quali si vogliano, collocate tra le medesime parallele, nelle quali condotte linee rette qualunque equidistanti dalle parallele in questione le porzioni intercette di una qualsivoglia di dette rette sono uguali, sono del pari uguali tra di loro. E figure solide quali si vogliano collocate tra i medesimi piani paralleli, nelle quali condotti piani qualunque equidistanti a quei piani paralleli le figure piane generate dai solidi stessi da uno qualsivoglia dei piani condotti sono uguali, saranno del pari uguali tra di loro. Le figure si chiamino poi ugualmente analoghe, se confrontate tra di loro, tanto quelle piane, che quelle solide, e anche [si dica che esse lo sono] rispetto alle linee, o ai piani paralleli, tra i quali si suppongano collocate, prese come riferimenti, quando sia necessario dirlo esplicitamente. Bonaventura Cavalieri, Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota, libro VII

13 Scodella di Galileo Il risultato si ottiene dimostrando che, sezionando il solido con un piano parallelo alla base, la sezione del cono CDE ha la stessa area dell anello generato da GI. Allora la scodella generata da ADFEB ha lo stesso volume del cono.

14 Scodella di Galileo

15 1. Gli indivisibili curvi di Torricelli ( ): L area del cerchio calcolata da Torricelli utilizzando gli indivisibili curvi (testo adattato). Teoremi inerenti il volume della sfera proposti da Torricelli utilizzando gli indivisibili curvi (testi originali in latino) Il solido acuto iperbolico di Torricelli (testo adattato).

16 Teoremi inerenti il volume della sfera proposti da Torricelli utilizzando gli indivisibili curvi Il volume di una sfera è uguale al volume di un cono avente altezza pari al raggio della sfera e raggio di base pari al diametro della sfera stessa.

17 Poiché l area della base del cono ACD è uguale alla superficie sferica di diametro BF, Torricelli, prendendo come indivisibili il cerchio di diametro LM e la superficie sferica di raggio AI, conclude che i volumi della sfera ( riempita dalle superfici sferiche), e del cono ( riempito dai cerchi di base dei coni) hanno lo stesso valore.

18 Torricelli confronta l area del cerchio di diametro FH e l area della superficie laterale del cilindro LIMN: esse sono uguali. Quindi ad ogni cerchio corrisponde una superficie laterale del cilindro ad esso equivalente e quindi, poiché i cerchi riempiono la sfera e le superfici laterali corrispondenti riempiono il cono, allora la sfera e il cono hanno il medesimo volume.

19 1. Iperboloide acuto di Torricelli : Dimostrazione che l area compresa tra l arco di iperbole e l asse delle ascisse è infinita (testo adattato) Dimostrazione che il volume dell iperboloide di rotazione è finito (testo adattato)

20 Iperboloide di Torricelli

21 Area sotto l iperbole Considerata l iperbole di equazione y=1/x, si fissi un punto A di coordinate (a,1/a), con a>0. Per semplicità abbiamo assunto a=1. Si consideri una successione di punti dell asse delle x di

22 L area sottesa dall iperbole è evidentemente maggiore della somma delle aree dei rettangoli La somma delle aree di n rettangoli così fatti inscritti nella parte di piano sotto l iperbole risulta uguale a n(1-1/x), quindi all aumentare di n tende all infinito.

23 Volume dell iperboloide di rotazione

24 Volume dell iperboloide di rotazione Per il calcolo del volume Torricelli considera gli indivisibili superficiali. Il volume dell iperboloide di rotazione può essere pensato come somma delle superfici laterali degli infiniti cilindri aventi raggio OP = 1/x ed altezza PM = x. Tali superfici misurano tutte 2π indipendentemente dalla posizione di M.

25 Ciascuna di esse è equivalente ad un cerchio di raggio 2 che pensiamo centrato nel punto P. Al variare di M sull iperbole i cilindri riempiono l iperboloide mentre i corrispondenti cerchi descrivono un cilindro di raggio 2 ed altezza OC = 1 che ha come volume 2π. Per ottenere il volume dell iperboloide a partire dal punto A bisogna però sottrarre il volume del cilindro di raggio OC ed altezza CA, che è uguale a π. Si ottiene così che il volume dell iperboloide è π.

26 Considerazioni finali Abbiamo apprezzato la metodologia proposta? dovevamo produrre un risultato: è diverso da come si lavora in classe, molto diverso ma decisamente molto più coinvolgente! abbiamo avuto l opportunità di capire qualcosa da soli! Abbiamo trovato interessanti gli argomenti? L esperienza si è rivelata stimolante? Ho scoperto che la matematica non nasce perfetta credo che sia molto importante conoscere in quale modo la matematica che noi studiamo a scuola è nata e si è sviluppata nel tempo, prima di affrontare qualche tematica di matematica attuale mi piacciono le sfide matematiche

27 Quali teoremi, temi proposti avete trovato più interessanti e perché? l iperboloide esaltante, l area è infinita ma il volume è finito! Infine, un nostro compagno che non aveva ancora studiato a scuola il concetto di limite e di integrale, ha esteso, in maniera intuitiva, il metodo di Torricelli per

28 Grazie per la Vostra attenzione