ATTI DEL XLIII SEMINARIO NAZIONALE

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "ATTI DEL XLIII SEMINARIO NAZIONALE"

Transcript

1 VOL. 37 A-B N. 5 - NOVEMBRE-DICEMBRE 2014 Poste Italiane s.p.a. - Spedizione in Abbonamento Postale - D.L. 353/ (conv. In L. 27/02/2004 n 46) art. 1, comma 1, NE/PD - Rivista mensile - Tiratura inferiore a copie - Taxe Perçue ATTI DEL XLIII SEMINARIO NAZIONALE AGOSTO 2014 Organo del CENTRO RICERCHE DIDATTICHE UGO MORIN - Istituti Filippin - PADERNO DEL GRAPPA

2 IL PROBLEMA DEL COMPLEANNO E LE SUE VARIANTI B.PAOLILLO IL PROBLEMA DEL COMPLEANNO E LE SUE VARIANTI Bonaventura Paolillo Liceo Scientifico F.Severi (Salerno) 1. Introduzione. Tra i vari problemi del calcolo delle probabilità suscita particolare curiosità ed interesse un noto quesito in letteratura, riguardante un tipo di coincidenze. Esso è stato formulato dal filosofo e matematico Richard von Mises nel 1939,[8]. In esso si esamina la probabilità che possano accadere delle coincidenze in un gruppo di persone posto all interno di un locale, aula, cinema, ecc. Più precisamente, si può articolare ciò con due domande: 1.Sia dato un gruppo formato da n persone, qual è la probabilità che almeno due di esse festeggino il compleanno nella stessa data, cioè nello stesso giorno e nello stesso mese? 2.Se si vuole scommettere sulla possibilità di vincere sul verificarsi di qualche coincidenza di compleanni, quanto deve essere numeroso il gruppo di persone, ovvero quanto deve essere il minimo n? Si ignora per motivi di semplicità l anno bisestile, sebbene la sua inclusione non influenzerebbe sostanzialmente le considerazioni successive. L enunciato della seconda domanda costituisce, in letteratura il classico problema del compleanno e la sua soluzione, così come per la prima, porta ad esiti imprevedibili e a risultati che meritano un attenzione particolare. Tali fatti comportano, evidentemente, una riflessione di tipo didattico e metodologico più adeguata per lo sviluppo di concetti e situazioni legati all universo 595

3 L'INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA E DELLE SCIENZE INTEGRATE VOL.37 A-B N.5 NOVEMBRE-DICEMBRE 2014 della probabilità. Ci si interroga infatti profondamente sul significato oggettivo di casualità, contro l interpretazione soggettiva di ciò che noi intendiamo per essa stessa. Come verrà presto analizzata, la risposta alla seconda domanda è 23, ovvero questo è il più piccolo numero in cui posso scommettere di vincere, puntando sulla coincidenza di compleanni. Per la precisione con 23 persone ho una probabilità di successo del 50,7%. Si noti che una coincidenza sicura di due compleanni è soddisfatta immediatamente avendo un gruppo di persone pari a N=366. Evidentemente un ipotetica e facile riposta come 183, ottenuta su una base di proporzionalità, non solo non è corretta, ma mostra i limiti stessi e l inefficacia di un approccio lineare. Se si analizzano diverse date di nascita, scelte da dati anagrafici comuni, come due squadre calcistiche con l arbitro (per ottenere 23), delle scolaresche, bande musicali o altro si può effettivamente constatare l avverarsi di tale coincidenza. Tale evento ci si aspetta che si verifichi, anche se con la dovuta cautela, una volta su due. A titolo di esempio, ai Mondiali di calcio del 2014, dove le relative nazionali erano composte da 23 calciatori, si sono rilevati i casi dei brasiliani Hulk e Paulinho, nati entrambi il 25 luglio e quello degli argentini Gago e Fernandez che condividono anche la data di nascita. 2. Analisi e soluzione del problema. Valuteremo la risposta al problema del compleanno, cioè alla seconda domanda e gli argomenti utilizzati permetteranno di rispondere anche alla prima. Si possono allora seguire due dimostrazioni, entrambe valide in chiave didattica, poiché seguono modalità e approcci differenti ma in qualche modo complementari. La prima fa uso del calcolo combinatorio mentre la seconda si basa 596

4 IL PROBLEMA DEL COMPLEANNO E LE SUE VARIANTI B.PAOLILLO specificamente sul concetto probabilistico di eventi indipendenti. Si consideri quindi, per un gruppo di n persone, l evento coincidenza di almeno due compleanni e lo si indichi con (Coinc_Compleanni), sottintendendo il riferimento a n. Il suo evento contrario, in cui per ogni coppia di persone scelte le date di nascita non coincidono mai, sarà invece indicato con (NonCoinc_Compleanni). Si calcolerà, per motivi di facilità, per prima la probabilità di quest ultimo evento. I casi favorevoli alla non coincidenza saranno allora le disposizioni semplici di 365 oggetti su n posti diversi, in quanto rappresentano le scelte in cui si possono scegliere n date differenti del calendario, cioè D 365,n. I casi possibili sono invece dati dalle disposizioni con ripetizione, ovvero le scelte in cui si possono scegliere n date qualsiasi del calendario, anche con coincidenze, che sono in numero di 365 n. Orbene, si ottiene: P(NonCoinc_Compleanni) Il primo valore di n per cui tale probabilità risulta minore di 0,50 è proprio 23. Si ha di conseguenza: P(Coinc_Compleanni)=1-P(NonCoinc_Compleanni) = = Si è utilizzata, per il calcolo, un approssimazione alla terza cifra decimale. Per una dimostrazione alternativa e più suggestiva si può ricorrere alla metafora di un gruppo di persone poste in una stanza. Precisamente ci sono n persone che entrano una alla volta in una stanza. Per la prima persona non ci sono problemi di coincidenza, in quanto ci sono 365 date possibili di compleanni. La seconda persona che entra nella stanza realizza la non coincidenza di compleanno con la prima, con probabilità.. 597

5 L'INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA E DELLE SCIENZE INTEGRATE VOL.37 A-B N.5 NOVEMBRE-DICEMBRE 2014 Successivamente, la terza persona realizza la non coincidenza con le prime due, con probabilità e così via, l ultima realizza la non coincidenza di compleanno con le altre, con probabilità. Essendo i precedenti eventi indipendenti risulta: P(NonCoinc_Compleanni) =. Si noti quindi che il membro destro coinciderà con D 365,n e la frazione vale uno e si può omettere. Il grafico e la tabella successivi forniscono un andamento globale della probabilità dell evento (Coinc_Compleanni) in funzione del numero n. Probabilità di ottenere una coincidenza al variare del numero n. 598

6 IL PROBLEMA DEL COMPLEANNO E LE SUE VARIANTI B.PAOLILLO Come si nota, per n=30 si ha una probabilità del 70% e per n=40 si raggiunge l 89%. Se n=60 superiamo il 99% pur non raggiungendo il 100% se non dal valore di n=366 in poi. Si può dimostrare che tale curva appartiene alla famiglia delle logistiche. Queste hanno un carattere asintotico, mentre la nostra presenta un valore effettivamente asintotico fino a 365 e successivamente, come detto, un andamento costante. 3. Risvolti didattici del problema del compleanno. Il problema del compleanno può essere proposto agli allievi di una classe liceale o di altro istituto, secondo le adeguate indicazioni nazionali. Esso offre la possibilità di riflettere sul concetto di casualità, ma anche sul tema attuale e scottante della fallacia del giocatore. Quali sono i meccanismi che portano un giocatore a scommettere spesso su poste non equilibrate? In che modo l analisi di un gioco viene concepita nell animo del giocatore? Sono solo alcune domande che richiedono, evidentemente, giusti spazi di riflessione in altra sede. Sapere però, che all interno di una sequenza di numeri, si possono verificare spesso delle coincidenze, mette in moto già una valutazione più seria e attenta sulla capacità stessa di comprendere la casualità e di come poterla interpretare. Si considereranno allora diverse situazioni didattiche da adottare in classe, che si possono rivelare d interesse concreto per favorire 599

7 L'INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA E DELLE SCIENZE INTEGRATE VOL.37 A-B N.5 NOVEMBRE-DICEMBRE 2014 idonei percorsi didattici. Si può presentare il problema del compleanno con il Gioco di buche e biglie: Si abbiano 365 buche e 23 biglie, si chiede agli allievi di inserire tali biglie in delle buche scelte in modo casuale. (Si dovrebbe chiaramente avvertire che la scelta di una buca di ogni allievo non deve essere comunicata all esterno). Con quale probabilità si verifica una coincidenza di due biglie nella stessa buca? La risposta è ancora del 50,7%, cioè è conveniente scommettere sull evento della coincidenza, piuttosto che su quello contrario. Un altra situazione didattica potrebbe essere la seguente: Scelta di Funzioni non iniettive: Sono dati due insiemi A e B rispettivamente di cardinalità 23 e 365. Scelta a caso una funzione da A a B qual è la probabilità che essa non sia iniettiva? In maniera alternativa a tale scelta si può considerare il seguente Problema degli arcieri: 23 arcieri scoccano i loro dardi su 365 bersagli possibili. Qual è la probabilità che due dardi confluiscano sullo stesso bersaglio. È possibile variare il numero usuale di 365 giorni di un calendario e ottenere risultati più generali sulle coincidenze, utilizzando la stessa tecnica dimostrativa. Si viene ad operare così con altri modelli concreti, ma altrettanto stimolanti ed efficaci, per gli sviluppi didattici che ne seguono. Si indicherà, quindi, con d il numero di giorni o il numero di oggetti che si devono scegliere -il calendarioe si cercherà di determinare il minimo n per cui l evento delle coincidenze, in breve (Coinc_Scelte), si verifichi con probabilità>50%. In modo analogo a quanto già visto si impone P(Coinc_Scelte)=1- P(NonCoinc_Scelte) =. Illustriamo ciò con il gioco della tombola, in cui si hanno novanta numeri e quindi il calendario ha d=90 scelte. Si calcola che con 600

8 IL PROBLEMA DEL COMPLEANNO E LE SUE VARIANTI B.PAOLILLO n=12 estrazioni con reinserimento, si ha una probabilità di ottenere almeno una coincidenza di due numeri estratti, maggiore del 50%. Se si prova a giocare con le 40 carte da gioco classiche, con le dovute varianti locali, bastano 8 estrazioni con reinserimento per avere una probabilità di coincidenza maggiore del 52%, (con sette estrazioni ho una probabilità < 50%), mentre se si opera con le 52 carte francesi per avere delle analoghe chances di successo servono 9 estrazioni. Ecco un quadro illustrativo in cui si riporta per ogni lunghezza d, per valori minori di 100, il numero n cercato. L utilizzo di mezzi concreti carte, tombola o dadi si mostra utile e fruttuoso in chiave didattica, poiché offre un ambiente di gioco familiare e stimolante. Una situazione didattica alternativa e con risvolti altrettanto sorprendenti è data dal seguente esempio: Orologi e coincidenze: Si abbiano n orologi, in formato digitale, (o anche con lancette) alimentati a batteria. Qual è la probabilità che, almeno due di essi, mostrino sul display la stessa ora e lo stesso minuto, una volta esaurita la carica della batteria? In particolare come deve essere scelto n per avere una probabilità di successo maggiore del 50%? Soluzione: Ci sono 24 x 60 = 1440 configurazioni del display; quindi d=1440. Nel modo usuale si calcola la probabilità di successo, in funzione degli n orologi, come 601

9 L'INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA E DELLE SCIENZE INTEGRATE VOL.37 A-B N.5 NOVEMBRE-DICEMBRE 2014 Valutando tale formula, si determina che occorrono n=45 orologi per scommettere sul successo di qualche coincidenza. Proprietà dei calendari: Dato un calendario con d giorni il numero n che fornisce la più piccola probabilità di ottenere almeno una coincidenza > 50% è funzione della radice quadrata di d. In formule si hanno: Queste funzioni sono da considerarsi valide in maniera asintotica, e sono una buona stima fino a Forniscono, infatti il giusto ordine di grandezza per orientarsi a determinare n in funzione dei giorni d del calendario. La dimostrazione di esse necessita normalmente della conoscenza degli sviluppi in serie. Per un approccio elementare in tal senso, si veda per esempio [11]. Un altra utile considerazione offerta dal problema del compleanno e che può aiutare a sondare aspetti non prevedibili sulla casualità è la seguente Domanda inversa: Quante persone n occorrono affinché si possa scommettere con successo (o alla pari) su una coincidenza di compleanno specificata, per esempio il nostro compleanno? La risposta appare ancora poco intuitiva ed è di 253. Si ottiene infatti che n persone hanno, in modo indipendente tra loro, una probabilità, di non coincidenza di compleanno con il nostro, pari a. Poiché interessa l evento complementare e che questo abbia probabilità >50% si ha:, che risolta fornisce il minimo valore n=253. Una facile risposta vicina a 180 comporterebbe un ipotesi sulle date necessariamente distinte tra loro e ciò non sarebbe corretto. Tale domanda inversa, insieme alla 602

10 IL PROBLEMA DEL COMPLEANNO E LE SUE VARIANTI B.PAOLILLO costruzione di grafici e tabelle, può evidentemente porsi per tutte le altre situazioni viste in precedenza, come carte, tombola,ecc. Naturalmente ci si può avvalere di diversi strumenti software come Derive, Excel, linguaggi C, Visual Basic, R, ecc. per simulare tali attività di esplorazione sul mondo della probabilità e proporre percorsi didattici miranti a costruzioni significative. Alcune simulazioni in rete si possono trovare in [12][13]. 4.Aspetti della letteratura In letteratura il problema del compleanno è stato oggetto di diverse riflessioni e approcci spesso anche fantasiosi e peculiari. Tale attenzione non si è ancora esaurita del tutto, poiché si celano dei lati e aspetti non svelati completamente. Si accennerà a qualche risultato di tali sviluppi. Nel 1960 Il matematico McKinney [7] fornì una formula ricorsiva per rispondere al problema della coincidenza di tre compleanni. Si chiese, infatti, di trovare il minimo numero n per cui si poteva scommettere con successo su almeno una coincidenza di tre compleanni. La risposta è n=88. Successivamente dei risultati di tipo computazionale, [7],[3] hanno contribuito in modo analogo, a calcolare per valori di coincidenze successive, la minima numerosità di gruppi di n persone. (Diaconis e Mosteller 1989, [3]). La tabella riportata sotto, mostra tali valori di n per ogni coincidenza multipla. 603

11 L'INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA E DELLE SCIENZE INTEGRATE VOL.37 A-B N.5 NOVEMBRE-DICEMBRE 2014 Per questo problema esistono anche delle formule generali in forma chiusa di tipo ricorsivo (del 1997), ma sono tutt altro che maneggevoli, si veda in proposito [14] [5]. I matematici M. Abramson e W. Moser pubblicarono nel 1970 More Birthday Surprises, [1] e calcolarono la probabilità di scommettere su eventi che sono quasi-compleanni, ovvero che probabilità esiste perché in un gruppo di n persone si possa scommettere su due date che differiscono al più di un giorno solamente. Il caso in cui le date sono coincidenti, viene ancora contemplato nel quasi-compleanno. Si intende che il calendario deve essere considerato chiuso a collana, cioè 31 Dicembre e 1 Gennaio sono giorni con distanza 1. La risposta è che 14 persone bastano per avere un quasi-compleanno con probabilità > 50%. Se si desidera un quasi-quasi-compelanno, ovvero come puntare sulla coincidenza di due date con distanza di al più 2 giorni, allora il minimo numero vincente è 11. Si mostra sotto, la tabella completa di tali fatti per descrivere i quasi compleanni con distanze generiche. Tra gli obiettivi attuali della ricerca c è quello di trovare per un calendario con d giorni, delle formule semplici per n, che siano asintoticamente corrette e nello stesso tempo più precise. I lavori di [4] hanno mostrato, per esempio, che se p indica la probabilità di successo di una coincidenza, il gruppo di persone deve essere almeno di n persone per ottenere tale probabilità p, secondo la seguente formula: 604

12 IL PROBLEMA DEL COMPLEANNO E LE SUE VARIANTI B.PAOLILLO Si intende nell espressione al membro destro, il simbolo come parte intera superiore. La stima così ottenuta è ottima, con un errore di al più 1. Su quest argomento si consiglia anche la lettura dell articolo di D. Brink in [2]. In informatica il problema del compleanno è tutt ora oggetto di perfezionamento. È infatti legato ad una particolare codifica, chiamata Hash, utilizzata spesso in crittografia. In sintesi, si cerca di ottenere da un flusso di dati in input, delle particolari stringhe (sequenze) in output, mediante specifiche funzioni di codifica, non iniettive, rispettando alcune richieste. Si chiede, infatti, che tale codifica sia resistente a possibili collisioni, ovvero che sia arduo partire da due dati distinti ed arrivare allo stesso valore in uscita. Evidentemente l apparato di conoscenze legate alla problematica del compleanno, può aiutare a livello probabilistico, a valutare la bontà di un algoritmo di hashing. In conclusione, il problema del compleanno si può presentare a diversi livelli, secondo un approccio teorico, didattico ma anche applicativo. Il seguire tale evoluzione, anche da un punto di vista storico, rende consapevole lo studioso di come un argomento possa crescere sempre di più, stimolando la curiosità scientifica e contestualmente i mezzi stessi offerti dal calcolo delle probabilità. 605

13 L'INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA E DELLE SCIENZE INTEGRATE VOL.37 A-B N.5 NOVEMBRE-DICEMBRE 2014 Bibliografia 1.Abramson, M.; Moser, W. O. J. (1970). "More Birthday Surprises". American Mathematical Monthly 77: Brink.D. A (probably) exact solution to the Birthday Problem RamanujanJ. (2012) 28: Diaconis, P. and Mosteller, F. "Methods for Studying Coincidences."J. Amer. Statist. Assoc. 84, , Ejaz Ahmed. S-McIntosh Richard J.. An Asymptotic Approximation for the Birthday Problem. Crux Mathematicorum 26(3) Canadian Mathematical Society Finch, S. "Puzzle #28 [June 1997]: Coincident Birthdays. 6.Levin, B. "A Representation for Multinomial Cumulative Distribution Functions."Ann. Statistics 9, , McKinney, E. H. "Generalized Birthday Problem."Amer. Math. Monthly 73, , Mises, R. von. "Über Aufteilungs--und Besetzungs- Wahrscheinlichkeiten." Revue de la Faculté des Sciences de l'université d'istanbul, N. S. 4, , Reprinted in Selected Papers of Richard von Mises, Vol. 2 Ed. P. Frank, S. Goldstein,M. Kac,W. Prager, G. Szegö, and G. Birkhoff). 9.Stewart, I. "What a Coincidence!" Sci. Amer. 278, 95-96, June Tesler, L. "Not a Coincidence!" 11.http://www.dm.unito.it/~cerruti/aprile-07-luglio 08.html#compleanno 12.https://people.richland.edu/james/misc/simulation/ /birthday.html 13.http://www.math.uah.edu/stat/applets/ /BirthdayExperiment.html 14.http://mathworld.wolfram.com/BirthdayProblem.html 606

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k Pordenone Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità UNIVERSITAS STUDIORUM UTINENSIS Giorgio T. Bagni Facoltà di Scienze della Formazione Dipartimento di Matematica e Informatica

Dettagli

Calcolo combinatorio

Calcolo combinatorio Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2009/2010 C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico Calcolo combinatorio Ines Campa e Marco Longhi Probabilità e Statistica

Dettagli

Esercizi di calcolo combinatorio

Esercizi di calcolo combinatorio CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA Esercizi di calcolo combinatorio Nota: Alcuni esercizi sono tradotti, più o meno fedelmente, dal libro A first course in probability di Sheldon Ross, quinta

Dettagli

QUALE MATEMATICA NELLA SCUOLA DELL INFANZIA. Scuola dell Infanzia Don Milani Anni 2006/2007/2008 Ins. Barbara Scarpelli

QUALE MATEMATICA NELLA SCUOLA DELL INFANZIA. Scuola dell Infanzia Don Milani Anni 2006/2007/2008 Ins. Barbara Scarpelli QUALE MATEMATICA NELLA SCUOLA DELL INFANZIA Scuola dell Infanzia Don Milani Anni 2006/2007/2008 Ins. Barbara Scarpelli ESPERIENZE MATEMATICHE A PARTIRE DA TRE ANNI QUALI COMPETENZE? L avventura della matematica

Dettagli

CALCOLO COMBINATORIO

CALCOLO COMBINATORIO CALCOLO COMBINATORIO 1 Modi di formare gruppi di k oggetti presi da n dati 11 disposizioni semplici, permutazioni Dati n oggetti distinti a 1,, a n si chiamano disposizioni semplici di questi oggetti,

Dettagli

Che cosa e come valutano le prove di matematica e con quali risultati. nell A.S. 2008 2009

Che cosa e come valutano le prove di matematica e con quali risultati. nell A.S. 2008 2009 Che cosa e come valutano le prove di matematica e con quali risultati nell A.S. 2008 2009 Presentazione a cura di Roberta Michelini Casalpusterlengo, 8 gennaio 2010 http://www.invalsi.it/esamidistato0809/

Dettagli

186. Un gioco d incertezza: Forse che sì, forse che no Rosa Marincola rosamarincola@virgilio.it

186. Un gioco d incertezza: Forse che sì, forse che no Rosa Marincola rosamarincola@virgilio.it 186. Un gioco d incertezza: Forse che sì, forse che no Rosa Marincola rosamarincola@virgilio.it Premessa Durante una mia visita al Palazzo Ducale di Mantova, nell ammirare i tanti capolavori che custodisce,

Dettagli

La ricerca operativa

La ricerca operativa S.S.I.S. PUGLIA Anno Accademico 2003/2004 Laboratorio di didattica della matematica per l economia e la finanza La ricerca operativa Prof. Palmira Ronchi (palmira.ronchi@ssis.uniba.it) Gli esercizi presenti

Dettagli

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA 006-007, lezione del 08.05.07 IDICE (lezione 08.05.07 PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIAZA DELLE QUATITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIOE CO I DATI OSSERVATI 3.1 Valore

Dettagli

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche Ancora sull indipendenza Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche A e B Ā e B Ā e B Sfruttiamo le leggi di De Morgan Leggi di De Morgan A B = Ā B A B = Ā B P (Ā B) = P (A B) = 1 P (A B) = 1 (P (A)

Dettagli

Classe di abilitazione C032 Calendario e modalità di svolgimento delle prove

Classe di abilitazione C032 Calendario e modalità di svolgimento delle prove Classe di abilitazione C032 Calendario e modalità di delle prove Per lo degli esami sono previste più date in tre diversi periodi (maggio/giugno 2015, luglio 2015, gennaio 2016) con la possibilità per

Dettagli

Accuratezza di uno strumento

Accuratezza di uno strumento Accuratezza di uno strumento Come abbiamo già accennato la volta scora, il risultato della misurazione di una grandezza fisica, qualsiasi sia lo strumento utilizzato, non è mai un valore numerico X univocamente

Dettagli

Cenni sul calcolo combinatorio

Cenni sul calcolo combinatorio Cenni sul calcolo combinatorio Disposizioni semplici Le disposizioni semplici di n elementi distinti di classe k con kn sono tutti i gruppi di k elementi scelti fra gli n, che differiscono per almeno un

Dettagli

QUARTA E QUINTA ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE

QUARTA E QUINTA ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE QUARTA E QUINTA ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE - Matematica - Griglie di valutazione Materia: Matematica Obiettivi disciplinari Gli obiettivi indicati si riferiscono all intero percorso della classe quarta

Dettagli

Esercizi di consolidamento di probabilità e calcolo combinatorio parte 1

Esercizi di consolidamento di probabilità e calcolo combinatorio parte 1 Esercizi di consolidamento di probabilità e calcolo combinatorio parte 1 1. Si lancia una moneta 2 volte: qual è la probabilità che esca TESTA 0 volte? 1 volta? 2 volte? 2. Si lancia una moneta 3 volte:

Dettagli

Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α?

Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α? QUESITO 1 Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α? Applicando il Teorema dei seni si può determinare il valore di senza indeterminazione, in quanto dalla

Dettagli

Rappresentazione dei numeri in un calcolatore

Rappresentazione dei numeri in un calcolatore Corso di Calcolatori Elettronici I A.A. 2010-2011 Rappresentazione dei numeri in un calcolatore Lezione 2 Università degli Studi di Napoli Federico II Facoltà di Ingegneria Rappresentazione dei numeri

Dettagli

RICERCA-AZIONE. l insegnamento riflessivo. Caterina Bortolani-2009

RICERCA-AZIONE. l insegnamento riflessivo. Caterina Bortolani-2009 RICERCA-AZIONE ovvero l insegnamento riflessivo Gli insegnanti sono progettisti.. riflettono sul contesto nel quale devono lavorare sugli obiettivi che vogliono raggiungere decidono quali contenuti trattare

Dettagli

Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2015 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della secondaria di secondo grado

Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2015 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della secondaria di secondo grado Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2015 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della secondaria di secondo grado I quesiti dal N. 1 al N. 10 valgono 3 punti ciascuno 1. Angela è nata nel 1997,

Dettagli

UTILIZZO DELLA PSICOCINETICA NELLA SCUOLA PRIMARIA E IN AMBITO SPORTIVO

UTILIZZO DELLA PSICOCINETICA NELLA SCUOLA PRIMARIA E IN AMBITO SPORTIVO UTILIZZO DELLA PSICOCINETICA NELLA SCUOLA PRIMARIA E IN AMBITO SPORTIVO Le capacità cognitive richieste per far fronte alle infinite modalità di risoluzione dei problemi motori e di azioni di gioco soprattutto

Dettagli

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A.

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A. UdA n. 1 Titolo: Disequazioni algebriche Saper esprimere in linguaggio matematico disuguaglianze e disequazioni Risolvere problemi mediante l uso di disequazioni algebriche Le disequazioni I principi delle

Dettagli

Consideriamo due polinomi

Consideriamo due polinomi Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al

Dettagli

ISTITUTO COMPRENSIVO N 1 LANCIANO - SCUOLA SECONDARIA DI PRIMO GRADO CURRICOLO VERTICALE - Classe Prima MATEMATICA a.s. 2014/2015

ISTITUTO COMPRENSIVO N 1 LANCIANO - SCUOLA SECONDARIA DI PRIMO GRADO CURRICOLO VERTICALE - Classe Prima MATEMATICA a.s. 2014/2015 NUMERI. SPAZIO E FIGURE. RELAZIONI, FUNZIONI, MISURE, DATI E PREVISIONI Le sociali e ISTITUTO COMPRENSIVO N 1 LANCIANO - SCUOLA SECONDARIA DI PRIMO GRADO CURRICOLO VERTICALE - Classe Prima MATEMATICA procedure

Dettagli

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI 1. CONFRONTO DI CARDINALITÀ E chiaro a tutti che esistono insiemi finiti cioè con un numero finito di elementi) ed insiemi infiniti. E anche chiaro che ogni insieme infinito

Dettagli

CORSO ALLIEVO ALLENATORE

CORSO ALLIEVO ALLENATORE CORSO ALLIEVO ALLENATORE GUIDA DIDATTICA 2013 1. Introduzione La presente guida vuole essere uno strumento a disposizione del Formatore del Corso Allievo Allenatore. In particolare fornisce informazioni

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 2006 Indirizzo Scientifico Tecnologico Progetto Brocca

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 2006 Indirizzo Scientifico Tecnologico Progetto Brocca ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 2006 Indirizzo Scientifico Tecnologico Progetto Brocca Trascrizione del testo e redazione delle soluzioni di Paolo Cavallo. La prova Il candidato svolga una relazione

Dettagli

Così come le macchine meccaniche trasformano

Così come le macchine meccaniche trasformano DENTRO LA SCATOLA Rubrica a cura di Fabio A. Schreiber Il Consiglio Scientifico della rivista ha pensato di attuare un iniziativa culturalmente utile presentando in ogni numero di Mondo Digitale un argomento

Dettagli

Informatica Applicata

Informatica Applicata Ing. Irina Trubitsyna Concetti Introduttivi Programma del corso Obiettivi: Il corso di illustra i principi fondamentali della programmazione con riferimento al linguaggio C. In particolare privilegia gli

Dettagli

RAPPRESENTAZIONE BINARIA DEI NUMERI. Andrea Bobbio Anno Accademico 1996-1997

RAPPRESENTAZIONE BINARIA DEI NUMERI. Andrea Bobbio Anno Accademico 1996-1997 1 RAPPRESENTAZIONE BINARIA DEI NUMERI Andrea Bobbio Anno Accademico 1996-1997 Numeri Binari 2 Sistemi di Numerazione Il valore di un numero può essere espresso con diverse rappresentazioni. non posizionali:

Dettagli

PROGETTO EM.MA PRESIDIO

PROGETTO EM.MA PRESIDIO PROGETTO EM.MA PRESIDIO di PIACENZA Bentornati Il quadro di riferimento di matematica : INVALSI e TIMSS A CONFRONTO LE PROVE INVALSI Quadro di riferimento per la valutazione Quadro di riferimento per i

Dettagli

Elementi di informatica

Elementi di informatica Elementi di informatica Sistemi di numerazione posizionali Rappresentazione dei numeri Rappresentazione dei numeri nei calcolatori rappresentazioni finalizzate ad algoritmi efficienti per le operazioni

Dettagli

Esercizi Capitolo 5 - Alberi

Esercizi Capitolo 5 - Alberi Esercizi Capitolo 5 - Alberi Alberto Montresor 19 Agosto, 2014 Alcuni degli esercizi che seguono sono associati alle rispettive soluzioni. Se il vostro lettore PDF lo consente, è possibile saltare alle

Dettagli

CAPITOLO PRIMO IL CONCETTO DI ALGORITMO 1

CAPITOLO PRIMO IL CONCETTO DI ALGORITMO 1 1.1 Che cos è un algoritmo CAPITOLO PRIMO IL CONCETTO DI ALGORITMO 1 Gli algoritmi sono metodi per la soluzione di problemi. Possiamo caratterizzare un problema mediante i dati di cui si dispone all inizio

Dettagli

Classe di abilitazione A036 Calendario e modalità di svolgimento delle prove

Classe di abilitazione A036 Calendario e modalità di svolgimento delle prove Classe di abilitazione A036 Calendario e modalità di delle prove Per lo degli esami sono previste più date in tre diversi periodi (maggio/giugno 2015, luglio 2015, gennaio 2016) con la possibilità per

Dettagli

RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE

RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE Quando si considerano due o più caratteri (variabili) si possono esaminare anche il tipo e l'intensità delle relazioni che sussistono tra loro. Nel caso in cui

Dettagli

Classe di abilitazione C450 Calendario e modalità di svolgimento delle prove

Classe di abilitazione C450 Calendario e modalità di svolgimento delle prove Classe di abilitazione C450 Calendario e modalità di delle prove Per lo degli esami sono previste più date in tre diversi periodi (maggio/giugno 2015, luglio 2015, gennaio 2016) con la possibilità per

Dettagli

GUIDA RAPIDA emagister-agora Edizione BASIC

GUIDA RAPIDA emagister-agora Edizione BASIC GUIDA RAPIDA emagister-agora Edizione BASIC Introduzione a emagister-agora Interfaccia di emagister-agora Configurazione dell offerta didattica Richieste d informazioni Gestione delle richieste d informazioni

Dettagli

1 n. Intero frazionato. Frazione

1 n. Intero frazionato. Frazione Consideriamo un intero, prendiamo un rettangolo e dividiamolo in sei parti uguali, ciascuna di queste parti rappresenta un sesto del rettangolo, cioè una sola delle sei parti uguali in cui è stato diviso.

Dettagli

Manuale Software. www.smsend.it

Manuale Software. www.smsend.it Manuale Software www.smsend.it 1 INTRODUZIONE 3 Multilanguage 4 PANNELLO DI CONTROLLO 5 Start page 6 Profilo 7 Ordini 8 Acquista Ricarica 9 Coupon AdWords 10 Pec e Domini 11 MESSAGGI 12 Invio singolo sms

Dettagli

La prova di matematica nelle indagini IEA TIMSS e

La prova di matematica nelle indagini IEA TIMSS e PIANO DI INFORMAZIONE E FORMAZIONE SULL INDAGINE OCSE-PISA E ALTRE RICERCHE NAZIONALI E INTERNAZIONALI Seminario provinciale rivolto ai docenti del Primo Ciclo La prova di matematica nelle indagini IEA

Dettagli

Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor

Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor Quando troncare uno sviluppo in serie di Taylor Marco Robutti October 13, 2014 Lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione è uno strumento matematico davvero molto utile, e viene spesso utilizzato in

Dettagli

Introduzione alla Teoria degli Errori

Introduzione alla Teoria degli Errori Introduzione alla Teoria degli Errori 1 Gli errori di misura sono inevitabili Una misura non ha significato se non viene accompagnata da una ragionevole stima dell errore ( Una scienza si dice esatta non

Dettagli

Classe di abilitazione C110 Calendario e modalità di svolgimento delle prove

Classe di abilitazione C110 Calendario e modalità di svolgimento delle prove Classe di abilitazione C110 Calendario e modalità di delle prove Per lo degli esami sono previste più date in tre diversi periodi (maggio/giugno 2015, luglio 2015, gennaio 2016) con la possibilità per

Dettagli

La fattoria delle quattro operazioni

La fattoria delle quattro operazioni IMPULSIVITÀ E AUTOCONTROLLO La fattoria delle quattro operazioni Introduzione La formazione dei bambini nella scuola di base si serve di numerosi apprendimenti curricolari che vengono proposti allo scopo

Dettagli

AUTOLIVELLI (orizzontalità ottenuta in maniera automatica); LIVELLI DIGITALI (orizzontalità e lettura alla stadia ottenute in maniera automatica).

AUTOLIVELLI (orizzontalità ottenuta in maniera automatica); LIVELLI DIGITALI (orizzontalità e lettura alla stadia ottenute in maniera automatica). 3.4. I LIVELLI I livelli sono strumenti a cannocchiale orizzontale, con i quali si realizza una linea di mira orizzontale. Vengono utilizzati per misurare dislivelli con la tecnica di livellazione geometrica

Dettagli

TELECOMUNICAZIONI (TLC) Generico sistema di telecomunicazione (TLC) Trasduttore. Attuatore CENNI DI TEORIA (MATEMATICA) DELL INFORMAZIONE

TELECOMUNICAZIONI (TLC) Generico sistema di telecomunicazione (TLC) Trasduttore. Attuatore CENNI DI TEORIA (MATEMATICA) DELL INFORMAZIONE TELECOMUNICAZIONI (TLC) Tele (lontano) Comunicare (inviare informazioni) Comunicare a distanza Generico sistema di telecomunicazione (TLC) Segnale non elettrico Segnale elettrico TRASMESSO s x (t) Sorgente

Dettagli

Classe di abilitazione A019 Calendario e modalità di svolgimento delle prove

Classe di abilitazione A019 Calendario e modalità di svolgimento delle prove Classe di abilitazione A019 Calendario e modalità di delle prove Per lo degli esami sono previste più date in tre diversi periodi (maggio/giugno 2015, luglio 2015, gennaio 2016) con la possibilità per

Dettagli

Documentazione Servizio SMS WEB. Versione 1.0

Documentazione Servizio SMS WEB. Versione 1.0 Documentazione Servizio SMS WEB Versione 1.0 1 Contenuti 1 INTRODUZIONE...5 1.1 MULTILANGUAGE...5 2 MESSAGGI...7 2.1 MESSAGGI...7 2.1.1 INVIO SINGOLO SMS...7 2.1.2 INVIO MULTIPLO SMS...9 2.1.3 INVIO MMS

Dettagli

BAMBINI E ROBOT. Giusy Dompé, Laura Gullino, Lucia Papalia, Luisa Pezzuto

BAMBINI E ROBOT. Giusy Dompé, Laura Gullino, Lucia Papalia, Luisa Pezzuto BAMBINI E ROBOT Giusy Dompé, Laura Gullino, Lucia Papalia, Luisa Pezzuto Docenti di Scuola dell Infanzia e di Scuola Primaria Circolo Didattico Beinasco - Gramsci www.beinascogramsci.it Introduzione La

Dettagli

Introduzione alla probabilità

Introduzione alla probabilità Introduzione alla probabilità CAPITOLO TEORIA Il dilemma di Monty Hall In un popolare show televisivo americano il presentatore mostra al concorrente tre porte chiuse. Dietro a una di esse si cela il premio

Dettagli

Lezioni di Matematica 1 - I modulo

Lezioni di Matematica 1 - I modulo Lezioni di Matematica 1 - I modulo Luciano Battaia 16 ottobre 2008 Luciano Battaia - http://www.batmath.it Matematica 1 - I modulo. Lezione del 16/10/2008 1 / 13 L introduzione dei numeri reali si può

Dettagli

Esempi di algoritmi. Lezione III

Esempi di algoritmi. Lezione III Esempi di algoritmi Lezione III Scopo della lezione Implementare da zero algoritmi di media complessità. Verificare la correttezza di un algoritmo eseguendolo a mano. Imparare a valutare le prestazioni

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero Giacomo Pagina Giovanna Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 1 per la Scuola secondaria di secondo grado UNITÀ CMPIONE Edizioni del Quadrifoglio à t i n U 1 Insiemi La teoria degli

Dettagli

Introduzione agli algoritmi e alla programmazione in VisualBasic.Net

Introduzione agli algoritmi e alla programmazione in VisualBasic.Net Lezione 1 Introduzione agli algoritmi e alla programmazione in VisualBasic.Net Definizione di utente e di programmatore L utente è qualsiasi persona che usa il computer anche se non è in grado di programmarlo

Dettagli

ITALIANO - ASCOLTARE E PARLARE

ITALIANO - ASCOLTARE E PARLARE O B I E T T I V I M I N I M I P E R L A S C U O L A P R I M A R I A E S E C O N D A R I A D I P R I M O G R A D O ITALIANO - ASCOLTARE E PARLARE Ascoltare e comprendere semplici consegne operative Comprendere

Dettagli

Minimizzazione di Reti Logiche Combinatorie Multi-livello

Minimizzazione di Reti Logiche Combinatorie Multi-livello Minimizzazione di Reti Logiche Combinatorie Multi-livello Maurizio Palesi Maurizio Palesi 1 Introduzione Obiettivo della sintesi logica: ottimizzazione delle cifre di merito area e prestazioni Prestazioni:

Dettagli

IL GIOCO DEL 15. OVVERO: 1000$ PER SPOSTARE DUE BLOCCHETTI

IL GIOCO DEL 15. OVVERO: 1000$ PER SPOSTARE DUE BLOCCHETTI IL GIOCO DEL. OVVERO: 000$ PER SPOSTARE DUE BLOCCHETTI EMANUELE DELUCCHI, GIOVANNI GAIFFI, LUDOVICO PERNAZZA Molti fra i lettori si saranno divertiti a giocare al gioco del, uno dei più celebri fra i giochi

Dettagli

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Archimede ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. Sia ABCD un quadrato di

Dettagli

Teoria quantistica della conduzione nei solidi e modello a bande

Teoria quantistica della conduzione nei solidi e modello a bande Teoria quantistica della conduzione nei solidi e modello a bande Obiettivi - Descrivere il comportamento quantistico di un elettrone in un cristallo unidimensionale - Spiegare l origine delle bande di

Dettagli

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1 Le funzioni continue A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. -3 A. Pisani, appunti di Matematica 1 Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato

Dettagli

Mario Polito IARE: Press - ROMA

Mario Polito IARE: Press - ROMA Mario Polito info@mariopolito.it www.mariopolito.it IMPARARE A STUD IARE: LE TECNICHE DI STUDIO Come sottolineare, prendere appunti, creare schemi e mappe, archiviare Pubblicato dagli Editori Riuniti University

Dettagli

Il luogo delle radici (ver. 1.0)

Il luogo delle radici (ver. 1.0) Il luogo delle radici (ver. 1.0) 1 Sia dato il sistema in retroazione riportato in Fig. 1.1. Il luogo delle radici è uno strumento mediante il quale è possibile valutare la posizione dei poli della funzione

Dettagli

LA MOLTIPLICAZIONE IN PRIMA ELEMENTARE

LA MOLTIPLICAZIONE IN PRIMA ELEMENTARE LA MOLTIPLICAZIONE IN PRIMA ELEMENTARE E bene presentarla confrontando tra loro varie tecniche: addizione ripetuta; prodotto combinatorio (schieramenti). Rispetto a quest'ultima tecnica, grande utilità

Dettagli

Logica fuzzy e calcolo delle probabilità: due facce della stessa medaglia?

Logica fuzzy e calcolo delle probabilità: due facce della stessa medaglia? Logica fuzzy e calcolo delle probabilità: due facce della stessa medaglia? Danilo Pelusi 1 Gianpiero Centorame 2 Sunto: Il seguente articolo illustra le possibili analogie e differenze tra il calcolo delle

Dettagli

Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals

Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals II Parte Verifica delle ipotesi (a) Agostino Accardo (accardo@units.it) Master in Ingegneria Clinica LM in Neuroscienze 2013-2014 e segg.

Dettagli

Programmazione Generale. Matematica e Complementi. Classi: 2 Biennio Quarta. Istituto Tecnico Tecnologico Basilio Focaccia Salerno

Programmazione Generale. Matematica e Complementi. Classi: 2 Biennio Quarta. Istituto Tecnico Tecnologico Basilio Focaccia Salerno Istituto Tecnico Tecnologico Basilio Focaccia Salerno Programmazione Generale Matematica e Complementi Classi: 2 Biennio Quarta I Docenti della Disciplina Salerno, lì 12 settembre 2014 Finalità della Disciplina

Dettagli

IL SAMPLE AND HOLD UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO. Progetto di Fondamenti di Automatica. PROF.: M. Lazzaroni

IL SAMPLE AND HOLD UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO. Progetto di Fondamenti di Automatica. PROF.: M. Lazzaroni UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI Corso di Laurea in Informatica IL SAMPLE AND HOLD Progetto di Fondamenti di Automatica PROF.: M. Lazzaroni Anno Accademico

Dettagli

capitolo 6 IL QUESTIONARIO PER LA VALUTV ALUTAZIONEAZIONE DEI CONTENUTI

capitolo 6 IL QUESTIONARIO PER LA VALUTV ALUTAZIONEAZIONE DEI CONTENUTI capitolo 6 IL QUESTIONARIO PER LA VALUTV ALUTAZIONEAZIONE DEI CONTENUTI 6.1 ISTRUZIONI PER IL VALUTATORE Il processo di valutazione si articola in quattro fasi. Il Valutatore deve: 1 leggere il questionario;

Dettagli

PROGRAMMA DI FISICA ( CLASSE I SEZ. E) ( anno scol. 2013/2014)

PROGRAMMA DI FISICA ( CLASSE I SEZ. E) ( anno scol. 2013/2014) PROGRAMMA DI FISICA ( CLASSE I SEZ. E) ( anno scol. 2013/2014) Le grandezze fisiche. Metodo sperimentale di Galilei. Concetto di grandezza fisica e della sua misura. Il Sistema internazionale di Unità

Dettagli

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità Calcolo delle Probabilità Il calcolo delle probabilità studia i modelli matematici delle cosidette situazioni di incertezza. Molte situazioni concrete sono caratterizzate a priori da incertezza su quello

Dettagli

Esponenziali elogaritmi

Esponenziali elogaritmi Esponenziali elogaritmi Potenze ad esponente reale Ricordiamo che per un qualsiasi numero razionale m n prendere n>0) si pone a m n = n a m (in cui si può sempre a patto che a sia un numero reale positivo.

Dettagli

Scuola primaria: obiettivi al termine della classe 5

Scuola primaria: obiettivi al termine della classe 5 Competenza: partecipare e interagire con gli altri in diverse situazioni comunicative Scuola Infanzia : 3 anni Obiettivi di *Esprime e comunica agli altri emozioni, sentimenti, pensieri attraverso il linguaggio

Dettagli

EQUAZIONI non LINEARI

EQUAZIONI non LINEARI EQUAZIONI non LINEARI Francesca Pelosi Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE http://www.mat.uniroma2.it/ pelosi/ EQUAZIONI non LINEARI p.1/44 EQUAZIONI

Dettagli

Le soluzioni dei quesiti sono in fondo alla prova

Le soluzioni dei quesiti sono in fondo alla prova SCUOLA MEDIA STATALE GIULIANO DA SANGALLO Via Giuliano da Sangallo,11-Corso Duca di Genova,135-00121 Roma Tel/fax 06/5691345-e.mail:scuola.sangallo@libero.it SELEZIONE INTERNA PER LA MARATONA DI MATEMATICA

Dettagli

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione in virgola mobile

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione in virgola mobile Problemi connessi all utilizzo di un numero di bit limitato Abbiamo visto quali sono i vantaggi dell utilizzo della rappresentazione in complemento alla base: corrispondenza biunivoca fra rappresentazione

Dettagli

Servizio Nazionale di Valutazione a.s. 2013/14 Guida alla lettura Prova di Matematica Classe seconda Scuola secondaria di II grado

Servizio Nazionale di Valutazione a.s. 2013/14 Guida alla lettura Prova di Matematica Classe seconda Scuola secondaria di II grado Servizio Nazionale di Valutazione a.s. 2013/14 Guida alla lettura Prova di Matematica Classe seconda Scuola secondaria di II grado I quesiti sono distribuiti negli ambiti secondo la tabella seguente Ambito

Dettagli

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO APPUNTI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I G. MAUCERI Indice 1. Introduzione 1 2. La funzione esponenziale 2 3. Il numero e di Nepero 9 4. L irrazionalità di e

Dettagli

SiStemi musicali Origine delle note Divisione dell ottava

SiStemi musicali Origine delle note Divisione dell ottava Scale Chi ha stabilito i rapporti d altezza fra le note musicali? Chi ha stabilito che le note sono sette e i semitoni dodici? Se il è uguale al Re perché hanno lo stesso nome? Se sono diversi qual è più

Dettagli

GLI ASSI CULTURALI. Allegato 1 - Gli assi culturali. Nota. rimessa all autonomia didattica del docente e alla programmazione collegiale del

GLI ASSI CULTURALI. Allegato 1 - Gli assi culturali. Nota. rimessa all autonomia didattica del docente e alla programmazione collegiale del GLI ASSI CULTURALI Nota rimessa all autonomia didattica del docente e alla programmazione collegiale del La normativa italiana dal 2007 13 L Asse dei linguaggi un adeguato utilizzo delle tecnologie dell

Dettagli

Dall italiano alla logica proposizionale

Dall italiano alla logica proposizionale Rappresentare l italiano in LP Dall italiano alla logica proposizionale Sandro Zucchi 2009-10 In questa lezione, vediamo come fare uso del linguaggio LP per rappresentare frasi dell italiano. Questo ci

Dettagli

PROGETTO SCUOLA 150 anni Grande Italia

PROGETTO SCUOLA 150 anni Grande Italia PROGETTO SCUOLA 150 anni Grande Italia Nel mondo ci sono 150 milioni di Italici: sono i cittadini italiani d origine, gli immigrati di prima e seconda generazione, i nuovi e vecchi emigrati e i loro discendenti,

Dettagli

GeoGebra 4.2 Introduzione all utilizzo della Vista CAS per il secondo biennio e il quinto anno

GeoGebra 4.2 Introduzione all utilizzo della Vista CAS per il secondo biennio e il quinto anno GeoGebra 4.2 Introduzione all utilizzo della Vista CAS per il secondo biennio e il quinto anno La Vista CAS L ambiente di lavoro Le celle Assegnazione di una variabile o di una funzione / visualizzazione

Dettagli

ALLEGATO al verbale della riunione del 3 Settembre 2010, del Dipartimento di Elettrotecnica e Automazione.

ALLEGATO al verbale della riunione del 3 Settembre 2010, del Dipartimento di Elettrotecnica e Automazione. ALLEGATO al verbale della riunione del 3 Settembre 2010, del Dipartimento di Elettrotecnica e Automazione. COMPETENZE MINIME- INDIRIZZO : ELETTROTECNICA ED AUTOMAZIONE 1) CORSO ORDINARIO Disciplina: ELETTROTECNICA

Dettagli

Stima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una

Dettagli

Curve di risonanza di un circuito

Curve di risonanza di un circuito Zuccarello Francesco Laboratorio di Fisica II Curve di risonanza di un circuito I [ma] 9 8 7 6 5 4 3 0 C = 00 nf 0 5 0 5 w [KHz] RLC - Serie A.A.003-004 Indice Introduzione pag. 3 Presupposti Teorici 5

Dettagli

IL CURRICOLO D ITALIANO COME LINGUA STARNIERA

IL CURRICOLO D ITALIANO COME LINGUA STARNIERA IL CURRICOLO D ITALIANO COME LINGUA STARNIERA INDICE INTRODUZIONE scuola media obiettivo generale linee di fondo : mete educative e mete specifiche le abilità da sviluppare durante le sei sessioni alcune

Dettagli

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Se a e b sono numeri interi, si dice che a divide b, in simboli: a b, se e solo se esiste c Z tale che b = ac. Si può subito notare che:

Dettagli

Codifica dei numeri negativi

Codifica dei numeri negativi E. Calabrese: Fondamenti di Informatica Rappresentazione numerica-1 Rappresentazione in complemento a 2 Codifica dei numeri negativi Per rappresentare numeri interi negativi si usa la cosiddetta rappresentazione

Dettagli

esame di stato 2013 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento

esame di stato 2013 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento Archimede esame di stato seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA La funzione f

Dettagli

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA. Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che può assumere i

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA. Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che può assumere i DISTRIBUZIONE di PROBABILITA Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che uò assumere i valori: ; ;, n al verificarsi degli eventi incomatibili e comlementari: E ; E ;..;

Dettagli

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme 1. L insieme R. Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme R = R {, + }, detto anche retta reale estesa, che si ottiene aggiungendo all insieme dei numeri reali R

Dettagli

Indicizzazione terza parte e modello booleano

Indicizzazione terza parte e modello booleano Reperimento dell informazione (IR) - aa 2014-2015 Indicizzazione terza parte e modello booleano Gruppo di ricerca su Sistemi di Gestione delle Informazioni (IMS) Dipartimento di Ingegneria dell Informazione

Dettagli

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni. MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un

Dettagli

MAURIZIO ABBATI STRUMENTI UTILI PER CAMBIARE E MIGLIORARE. HOUSE ORGAN AZIENDALE Guida alla creazione di un magazine interno

MAURIZIO ABBATI STRUMENTI UTILI PER CAMBIARE E MIGLIORARE. HOUSE ORGAN AZIENDALE Guida alla creazione di un magazine interno MAURIZIO ABBATI STRUMENTI UTILI PER CAMBIARE E MIGLIORARE HOUSE ORGAN AZIENDALE Guida alla creazione di un magazine interno Indice 01. 02. 03. I tipi di house organ Dall idea al progetto I contenuti A

Dettagli

LA NOTAZIONE SCIENTIFICA

LA NOTAZIONE SCIENTIFICA LA NOTAZIONE SCIENTIFICA Definizioni Ricordiamo, a proposito delle potenze del, che = =.000 =.000.000.000.000 ovvero n è uguale ad seguito da n zeri. Nel caso di potenze con esponente negativo ricordiamo

Dettagli

GIUGNO 2009 A TUTT OGGI Consorzio Regionale Parco Valle Lambro, Via Vittorio Veneto, 19 20050 TRIUGGIO

GIUGNO 2009 A TUTT OGGI Consorzio Regionale Parco Valle Lambro, Via Vittorio Veneto, 19 20050 TRIUGGIO F O R M A T O E U R O P E O P E R I L C U R R I C U L U M V I T A E INFORMAZIONI PERSONALI Nome Indirizzo Nazionalità 23, VIA GIOVANNI PAOLO II, 23861, CESANA BRIANZA, LC ITALIANA Data di nascita 09/02/1979

Dettagli

PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce la loro somma.

PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si sostituisce la loro somma. Addizione: PROPRIETA' COMMUTATIVA Cambiando l'ordine degli addendi la somma non cambia. 1) a + b = b + a PROPRIETA' ASSOCIATIVA La somma di tre o più addendi non cambia se al posto di alcuni di essi si

Dettagli

I NUMERI DECIMALI. che cosa sono, come si rappresentano

I NUMERI DECIMALI. che cosa sono, come si rappresentano I NUMERI DECIMALI che cosa sono, come si rappresentano NUMERI NATURALI per contare bastano i numeri naturali N i numeri naturali cominciano con il numero uno e vanno avanti con la regola del +1 fino all

Dettagli

Giovanna Mayer. Ordinamento dei numeri e retta numerica. Nucleo: Numeri

Giovanna Mayer. Ordinamento dei numeri e retta numerica. Nucleo: Numeri Giovanna Mayer Nucleo: Numeri Introduzione Tematica: Si propongono attività e giochi per sviluppare in modo più consapevole la capacità di confrontare frazioni, confrontare numeri decimali e successivamente

Dettagli