TEORIA DEL CONSUMATORE

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1 TEORIA DEL CONSUMATORE Premessa: La moderna teoria economica del comportamento del consumatore è intimamente legata alla teoria marginalista neo-classica, essendo fra l'altro da essa storicamente derivata. Ciò detto, va però precisato che la moderna teoria poggia su basi formali molto più generali e robuste (facendo in particolare a meno dell'ipotesi di utilità marginale decrescente, essendo fra l'altro il concetto stesso di utilità derivato e non primitivo), ancorché estremamente semplici. In particolare, l'ipotesi comportamentale di base è che i consumatori scelgano le combinazioni migliori fra quelle disponibili. Due fondamentali elementi sono dunque alla base della teoria: l) la definizione di ciò che costituisce l'insieme delle combinazioni di beni (o panieri) disponibili per i diversi consumatori; 2) la definizione di un apparato che consenta di dire quando un paniere è migliore di un altro. Alla prima definizione provvede il vincolo di bilancio; alla seconda l'apparato analitico delle "preferenze" del consumatore. Dato vincolo di bilancio e preferenze, tutta la teoria microeconomia del consumatore discende logicamente dalla formalizzazione di tali nozioni primitive. PRELIMINARI (Varian. paragrafo 2.2). IL VINCOLO DI BILANCIO Nella teoria si assume che il consumatore debba scegliere un paniere tra tanti disponibili. Un paniere è una combinazione X = (Xl, X2,..., xn) di quantità XI, X2,..., Xn, relative ad n beni. Gli n beni possono essere diversi per caratteristiche merceologiche; ma anche per diversa disponibilità nel tempo, nello spazio, negli stati del mondo. Perché, tuttavia, si possa parlare di n beni diversi, è necessario che per ogni bene possa identificarsi un mercato specifico, cosicché ad ogni bene corrisponda un ben definito prezzo. Dunque, se ci sono XI, X2,..., Xn beni, ci devono essere p}, pz,..., Pn prezzi (anche se ovviamente prezzi di beni diversi possono essere uguali). Si assume che il consumatore sia un "price-taker", ovvero se Pi è il prezzo di mercato del bene i, si assume che Pi rimanga costante indipendentemente dalla quantità Xi acquistata dal consumatore. Dati gli n beni e i relativi prezzi, un tipico paniere (Xl, X2,..., Xn) acquistabile dal consumatore è delimitato dalla capacità di spesa m, che il consumatore può sostenere; ovvero il paniere (x1, x2,..., Xn) acquistabile deve costare meno di m: p 1 x 1 + p 2 x p n x n m (1) L'insieme dei panieri che soddisfano la (1), chiamata vincolo di bilancio, costituiscono l'insieme di bilancio. La capacità di spesa m, e di qui l'insieme di bilancio, può essere influenzata da varie variabili e circostanze. Il caso più semplice (e quello che seguiremo nel resto del corso) è che m corrisponde ad un reddito monetario dato per il consumatore.

2 1. REDDITO ESOGENO DEL CONSUMATORE (Varian. paragrafi 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7). Quando m è un reddito esogeno per il consumatore, e n = 2 il vincolo di bilancio si riduce a: p 1 x 1 + p 2 x 2 m Tale caso consente una comoda rappresentazione grafica. bene 2 m/ p 2 Insieme di bilancio Retta di Bilancio p 1 x 1 + p 2 x 2 = m - p 1 / p STATICA COMPARATA SU VINCOLO DI BILANCIO m/ p 1 bene 1 a) Aumento di m da m a m ' b) Aumento di p1 da p1 a pl X 2 X 2 m ' / P 2 m / P 2 m / P 2 -P 1 / P 2 -P 1 / P 2 X 1 X 1 m / P 1 m ' / P 1 c)diminuzione di p2 da p2 a p2' m / P 1 m / P 1 d) Aumento di (m, p1, p2) tutti nella stessa proporzione λ.; da P1x1 + p2x2 m a λ.p1x1 + λ p2x2 λ m il vincolo di bilancio non si modifica X 2 m / P 2 X 2 λ m / P 2 = λm / λ P 2 m / P 2 -P 1 / P 2 = λ P 1 / P BENE NUMERARIO. X 1 m / P 1 = λ m/ P 1 X 1 Il caso d) dimostra che nella teoria economica i valori nominali della variabile (prezzi e reddito) non sono importanti; ciò che è importante sono i valori reali, ovvero i rapporti tra i prezzi (o prezzi

3 relativi) p1/p2 e il valore reale del reddito m/p1(o m/p2). Ciò significa anche che, dati i prezzi p1 e p2, possiamo sempre trasformare (o, come si dice, normalizzare) i prezzi, cioè che il prezzo di un bene sia uguale ad 1. Ad esempio i vincoli: i) p1x1 + p2x2 m ii) p1'x1 + x2 m' con pl' = pl/p2 e m' = m/p2 iii) xl + p2"x2 m" con p2" = p2/pl e m" = m/pl definiscono tutti lo stesso insieme di bilancio. Beni per i quali il prezzo è normalizzato a l (bene 2 nel vincolo ii), e bene l nel vincolo iii)), si dicono numerari. Tipicamente, nella realtà, il bene numerario è la moneta; ma nella teoria come bene numerario può essere preso qualsiasi bene o funzione di bene, come il bene composito (inteso come somma spesa per un insieme di beni, diversi da un bene dato). 1.3 VINCOLI ISTITUZIONALI. Ad influire sulla forma del vincolo di bilancio possono anche operare vincoli istituzionali di varia natura, imposti dallo Stato o derivanti da regole o comportamenti dei venditori operanti su certi mercati. Esempi (provare e disegnarne il grafico): l) ACCISE (imposta su quantità acquistate di determinati beni) (pl + t)xl + p2x2 m 2) IMPOSTE AD VALOREM (imposte sul volume di spesa per determinati beni) pl(l + r)xl + p2x2 m 3) SUSSIDI SU QUANTITÀ ((pl - s)xl + p2x2 m) e su volumi di spesa (pl(l- s)xl + p2x2 m) 4) VINCOLI DI RAZIONAMENTO, ovvero vincoli che possono operare su dei mercati, così che la quantità massima consumabile di un bene, ad esempio bene x1, debba essere inferiore ad una certa quantità fissata Xi. X 2 insieme di bilancio quando X l è razionato a Xi X l X l

4 2. CASO CON m ENDOGENO (Varian. paragrafi 9.2,). In alcuni casi (nella realtà nella maggioranze), la capacità di spesa di un consumatore può dipendere dalle sue stesse scelte. Ciò ad esempio può accadere quando il consumatore dispone di una dotazione iniziale dei beni oggetto di interesse. In particolare, nel caso n = 2, siano ω1 e ω 2 delle dotazioni del consumatore per il bene l e per il bene 2. Il consumatore può ovviamente consumare direttamente le dotazioni, nel quale caso xl = ω 1 e x2 = ω 2; ma può anche decidere di portare al mercato le sue dotazioni, venderle così da ottenere un reddito da utilizzare per acquistare e quindi consumare quantità diverse dei due beni. Naturalmente dovrà essere: p1x1 + p2x2 p1 ω 1 + p2 ω 2 (2) ovvero, vendendo tutte le sue dotazioni, il consumatore non potrà pensare di consumare quantità maggiori di entrambi i beni; ma potrà pensare di consumare quantità maggiori di un bene (quello che verosimilmente preferisce) e quantità minori dell'altro (quello che verosimilmente considera peggiore). Ovviamente, in tale senso, il mercato consente al consumatore di realizzare un miglioramento paretiano (si ricordi il termine dal corso di istituzioni). Graficamente la (2) è rappresentabile come: bene 2 w2 - p 1 / p 2 w1 bene 1 2.1VINCOLO DI BILANCIO DEL CONSUMATORE/LAVORATORE. (Varian, 9.8). Sia C un bene composito con prezzo 1. Sia L la quantità di tempo usata dal consumatore per il lavoro e remunerata con un salario reale (in termini di bene composto) W. Sia M una dotazione di reddito monetario fissa. Sia T la dotazione di tempo rispetto alla quale si misura il salario W (ad esempio 8 ore se W è salario orario; 24 giorni se è mensile; ecc.).dunque, il vincolo di bilancio del avoratore/consumatore può essere scritto come:c M+WL ovvero C + WR M + WT.

5 Graficamente: C -W M T Tempo libero R 2.2 VINCOLO DI BILANCIO DEL CONSUMATORE/RISPARMIATORE (Varian,10.1) Siano Cl e C2 quantità di beni compositi di consumo a tempo 1 e a tempo 2. Sia (1 + r) il prezzo del consumo C1 in termini di C2 considerato numerario (r è di fatto il tasso di interesse). Siano m1 e m2 i redditi esogeni del consumatore al tempo 1 e 2, entrambi misurati ai prezzi di, rispettivamente, C l e C2. Dunque, il vincolo di bilancio del consumatore/risparmiatore può essere scritto come: (1 + r)c1 + C2 (1 + r)ml + m2 (C1 + C2/l +r m1+ m2/l +r) Esso è detto vincolo di bilancio intertemporale. C2 m2 -(1+r) m1 C1

6 LE PREFERENZE E LA FUNZIONE DI UTILITÀ DEFINIZIONE. (Varian, 3.1). Con il termine di preferenze si intende una relazione binaria tra due panieri. In particolare: X> Y significa che il paniere X è strettamente preferito a Y X ~ Y significa che il paniere X è indifferente a Y X Ґ Y significa che il paniere X è debolmente preferito a Y, ovvero che il paniere Y non è preferito ax. 1.DALLE PREFERENZE ALLA FUNZIONE DI UTILITÀ 1.1 "RAZIONALITÀ" DEL CONSUMATORE. (Varian, 3.2). Data la relazione di preferenza, la teoria economica compie tre assunzione volte a garantire che il comportamento sia "razionale". In particolare, le tre assunzioni sono: - completezza, data una qualsiasi coppia di panieri X, Y, sarà sempre X Y o Y X - riflessività, dato un qualsiasi paniere X, sarà sempre X X - transitiva, dati tre panieri X, Y, Z, per cui vale X > Y e Y > Z, allora seguirà X >'?'" Z L'idea di razionalità incorporata nelle tre assunzioni è che dato un qualsiasi insieme {X, Y, Z,..., W} di panieri, il consumatore sarà sempre in grado di ordinare completamente l'insieme dal paniere migliore al paniere peggiore. In particolare, l'ordinabilità dell'insieme di panieri è assicurata dalla completezza (che garantisce che sia sempre possibile per una coppia di panieri dire quale è il migliore e quale il peggiore) e dalla transitività (che assicura che non possano esserci cicli di preferenze del tipo X > Y > Z> X). 1.2 CURVE DI INDIFFERENZA. (Varian, 3.3). Nel caso di panieri definiti su due beni, esempio X = (x1, x2), le preferenza del consumatore e le implicazioni delle tre ipotesi di razionalità, possono essere rappresentate graficamente. bene 2 insieme panieri debolmente preferiti a X (contiene tutti i panieri Y, Y tali che Y~ X) X 2 X curva di indifferenza (contiene tutti i panieri Y, tali che y.~ X) bene 1 X 1

7 Più in generale, le preferenze sono graficamente rappresentabili da una mappa di curve di indifferenza. Ad esempio, nel caso di X > Y > Z>... > W bene 2 X W Z Y bene FUNZIONE DI UTILITÀ. (Varian. tutto capitolo 4, 4.1, 4.4). Se le preferenze soddisfano le assunzioni di razionalità, cosicché qualsiasi insieme di panieri può essere ordinato dal migliore al peggiore, significa anche che si può stabilire una legge, ovvero una funzione che va dall'insieme di panieri alla retta dei numeri reali, cioè μ: {X, Y, Z,...} IR, tale che il minimo che la legge assegna al paniere X è maggiore o uguale al numero che la legge assegna al paniere Y se X Y; ovvero μ(x) μ(y) se e solo se X Y Tale legge μ è un esempio di funzione di utilità. Ovviamente, consumatori diversi avranno preferenze diverse e quindi leggi (o funzioni) di utilità che rappresentano le preferenze, diverse. i noti, tuttavia, che anche nel caso di un singolo consumatore, la funzione di utilità non è unica. In particolare, dato che l'unico ruolo della funzione di utilità è quello di assegnare numeri ai panieri in modo da rappresentare l'ordine di preferenze (e in tale senso si parla di funzione di utilità ordinale), è ovvio che una volta che abbiamo trovato un insieme di numeri che rappresentano tale ordine (come nel caso del grafico 1 in cui si è supposto che X> Y> Z), allora sarà sempre possibile trasformare quei numeri in altri insiemi di numeri che pure rappresentano le preferenze (come nei grafici 2, 3, 4). Grafico 1: bene 2 Z Y X μ =4 μ = 6 μ = 10 bene 1

8 Grafico 2 V 1 = μ 2 bene 2 Z Y X V 1 = 10 2 V 1 = 6 2 V 1 =4 2 bene 1 Grafico 3 V 2 = ln μ bene 2 Z Y X V 2 = ln10 V 2 = ln6 V 2 =ln4 bene 1 Grafico 4 V 3 = Vμ bene 2 Z Y X V 2 =V 10 V 2 = V6 V 2 =V4 bene 1 Ovviamente, affinché le trasformazioni di μ preservino l'ordine di preferenze, è necessario che le trasformazioni siano monotone crescenti. Formalmente, se μ rappresenta le preferenze allora anche Vμcon V > 0 (V derivata prima di V ) rappresenta le preferenze (come in effetti nel caso di V1, V2, V3 dei grafici). In tale senso, si dice che la funzione di utilità che rappresenta le preferenze di un consumatore è unica a meno di una trasformazione monotona crescente. La discussione appena svolta implica ovviamente anche che il particolare numero che ogni funzione di utilità assegna ad un dato paniere non ha alcun significato intrinseco, ovvero che l'utilità non è numerabile (su scala cardinale). In altre parole ancora, questo significa che in generale confronti fra utilità relative a panieri diversi servono solo a determinare in che direzione varia l'utilità passando da un paniere all'altro, ma non di quanto varia. Questo significa anche che mentre ha senso parlare di utilità marginale positiva o negativa, nulla si può dire di come varia

9 l'utilità marginale stessa (al contrario cioè di quanto facevano i marginalisti). Formalmente, data una funzione di utilità su due beni μ (Xl, X2), definiamo: utilità marginale del bene 1 utilità marginale del bene 2 M μ l = μ (Xl + X1, X2) - μ (X1, X2) / X1 M μ 2 = μ (X1. X2 + X2) - μ (X1,X2), / X Dunque, nulla possiamo dire su come in generale varino M μ l e M μ 2 mentre ovviamente in generale ci aspettiamo che sia MJlI che MJl2 siano positive. Per garantire ciò è tuttavia necessario fare un'altra esplicita assunzione (quella di monotonicità, in ciò che segue). 2. PREFERENZE REGOLARI O "WELL-BEHAVED" (Varian. paragrafo 3.5). Preferenze regolari o "well-behaved" sono preferenze che oltre alle assunzioni di razionalità, soddisfano altre due ipotesi: - monotonicità, dati due panieri X e Y tali che X contiene quantità non minori di Y per tutti i beni e quantità maggiori per almeno un bene, allora deve essere X >Y con n = 2, Xl Yl e X2 > Y2 X >Y - convessità, dato due panieri X, Y tra loro indifferenti, una loro combinazione lineare è non peggiore di entrambi; se poi la combinazione è strettamente migliore, allora le preferenze sono strettamente convesse. Con n = 2, X Y (txl + (l - t)y1, tx2 + (l - t)y2) (Xl, X2) L'intuizione delle due ipotesi è : a) per quanto riguarda la monotonicità, che "più è meglio"; e quindi l'utilità aumenta al crescere della quantità dei beni (cosicché la Mμ di ogni bene è positiva) b) per quanto riguarda la convessità, che "la media è perfetta agli estremi"; ovvero che l'individuo preferisce panieri con un po' di quantità di tutti i beni, piuttosto che panieri che non contengono o contengono pochissime quantità di qualche bene. Graficamente, la monotonicità implica che la pendenza delle curve di indifferenza sia negativa: bene 2 ΔX2 / ΔX1 ΔX2 bene 1 ΔX1 la convessità implica che la pendenza diminuisce in valore assoluto movendosi lungo la curva di indifferenza

10 bene 2 ΔX2 ΔX2 / ΔX1 ΔX2 ΔX1 ΔX1 bene 1 3. SAGGIO MARGINALE DI SOSTITUZIONE : MRS (Varian. paragrafo 3.6, 4.5). La pendenza di una curva di indifferenza costituisce il saggio marginale di sostituzione tra due beni, perché misura la proporzione in cui bisogna sostituire un bene con un altro al fine di rimanere nella stessa curva, ovvero sullo stesso livello di utilità. In riferimento al saggio marginale di sostituzione (MRS): - la monotonicità implica che MRS sia negativo - la convessità che MRS sia decrescente (poiché appunto la pendenza della curva diminuisce in valore assoluto) Una volta che conosciamo una funzione di utilità che rappresenta le preferenze, MRS è facile da calcolare. Essendo in particolare lungo una curva di indifferenza l'utilità costante, cosicché la variazione di utilità μ = 0 lungo una curva, data la regola del differenziale totale secondo cui μ=m μ1 μ1+ M μ2 x2 con μ= 0 segue x2/ x1= - M μ1/ M μ2 che è appunto MRS. 4. ESEMPI DI PREFERENZE E RELATIVE FUNZIONI DI UTILITA. (Varian, par. 3.4, 4.5) 4.1 BENI PERFETTI SOSTITUTI. (Se un consumatore è disposto a sostituire un bene con l altro ad un saggio costante). La funzione di utilità U(x 1, x 2 )= ax 1 +bx 2 con a>0, b>o, rappresenta situazioni in cui i beni si sostituiscono ad un tasso costante: MRS = Δx 2 /Δx 1 = -MU 1 /MU 2 =-a/b (costante) bene 2 Ovvero, 1 unità di x 1 si scambia con a/b unità del bene x 2, cioè vale per il consumatore a/b del bene x 2. bene 1

11 Ad esempio, se per rinunciare ad un cucchiaino di zucchero (x 1 ) il consumatore vuole 2 bustine di dolcificante (x 2 ), scriveremo la funzione di utilità come U(x 1,x 2 )=2x 1 +x 2. Ovviamente, se U(x 1,x 2 )=ax 1 +bx 2 rappresenta le preferenze di un consumatore, allora anche V (ax 1,bx 2 ), con V >0 rappresenta le preferenze. Nota che anche con n beni perfetti sostituti, la funzione di utilità sarà U(x 1,x 2,...,x n ) =ax 1 +bx dx n. 4.2 BENI PERFETTI COMPLEMENTI. (Beni consumati congiuntamente in proporzioni fisse). La funzione di utilità U(x 1,x 2 )=Min{ax bx 2 } con a>0, b>0, è una funzione che assegna al generico paniere (x 1, x 2 ) un valore pari al numero più piccolo tra ax 1 e bx 2. Si tratta cioè di preferenze relative a beni per i quali avere quantità maggiori di x 1 (x 2 ) quando ax 1 >bx 2 (bx 2 >ax 1 ) non genera alcun aumento di benessere. MRS=Δx 2 /Δx 1 = -Δ per bx 2 >ax 1 MRS=Δx 2 /Δx 1 = 0 per ax 1 >bx 2 MRS=Δx 2 /Δx 1 = non definito per ax 1 =bx 2 bene 2 curva indiff. curva indifferenza curva indifferenza bene 1 Il consumatore vuole cioè consumare i beni nella proporzione fissa di 1 unità di x 1 insieme ad a/b di x 2. Ad esempio, se il consumatore vuole 2 cucchiaini di zucchero (x 2 ) per ogni tazza di caffè (x 1 ), scriveremo U(x 1,x 2 )=Min{2x 1,x 2 } Ovviamente anche in questo caso, se U(x 1,x 2 )=Min{2x 1,x 2 } rappresenta le preferenze di un consumatore, anche V(Min{x 1,x 2 } con V >0, rappresenta le preferenze. Con n beni perfetti complementi, la funzione di utilità sarà: U(x 1,x 2,...,x n )= {ax 1 +bx dx n }. 4.3 PREFERENZE DI COBB-DOUGLAS. Una classe di preferenze molto utilizzate nell analisi economica sono le preferenze di Cobb- Douglas, rappresentate da funzioni di utilità del tipo: U(x 1,x 2 )=x 1a *x 2 b con a>0 e b>0. MRS=Δx 2 /Δx 1 =-MU 1 /MU 2 =-a/b*x 2 /x 1. bene 2 bene 2 bene 2 a/b=1/4 bene 1 a/b=1/2 bene 1 bene 1 a/b=4

12 b b Ovviamente, se U(x 1,x 2 )=x 1a *x 2 rappresenta lòe preferenze, anche V(x 1a x 2 ) con V >0 le rappresenta. Trasformazioni V() molto utilizzate sono: b logaritmica: ln( x 1a x 2 )=alnx 1 +blnx 2 b normalizzata: ( x 1a x 2 ) 1/(a+b) 1-α = x 1α x 2 con α= a/(a+b) α 1- α log. normalizzata: ln(x 1 x 2 )= αlnx 1 +(1-α)lnx 2 Preferenze Cobb-Douglas su n beni: U(x 1,x 2,...,x i,...,x j,...,x n )= x 1 α1, x 2 α2., x n αn Il saggio marginale tra due generici beni i,j è: MRS ij =Δx i /Δx j =-MU i /MU j =(-α i α j)*(xj/x i ).

13 SCELTA OTTIMA DEL CONSUMATORE Premessa: Date le preferenze e il vincolo di bilancio, la teoria economica semplicemente assume che un agente razionale sceglierà tra tanti panieri disponibili, ovvero che appartengono all insieme di bilancio, il paniere che è preferito. L obiettivo del consumatore è quello di scegliere il paniere migliore e di soddisfare al massimo le sue preferenze. 1.1 CONSIDERAZIONI GENERALI. 1. IL PANIERE SCELTO (Varian, par.5.1, 5.3). Data l ipotesi di monotonicità, segue che il paniere scelto X * =(x 1*,x 2*,...,x n* ) soddisfa il vincolo di bilancio con il segno di uguale: P 1 x 1* +P 2 x 2* +...+P n x n* =m. Se le preferenze del consumatore soddisfano anche l ipotesi di convessità stretta, il paniere scelto X * =(x 1*,x 2*,...,x n* ) sarà di OTTIMO INTERNO, nel senso che conterrà quantità positive di tutti i beni, ovvero x 1* >0, x 2* >0,..., x n* >0. Se viceversa le preferenze non sono strettamente convesse, l ottimo potrà essere di FRONTIERA, ovvero il paniere X * potrà contenere qualche quantità nulla. Inoltre ci potrà essere più di una scelta ottima. X2 X2 X2 X* X1* X* X1* X* X2* X1 OTTIMO INTERNO OTTIMO INTERNO X1 X1 OTTIMO DI FRONTIERA X2 X2 X* X2* X1* X1 X1 OTTIMO DI FRONTIERA 2 OTTIMI

14 1.2 SCELTA OTTIMA CON PREFERENZE STRETTAMENTE CONVESSE. Nel caso di preferenze strettamente convesse (grafico a) (e funzione di utilità differenziabile), nel punto di ottimo la curva di indifferenza è tangente al vincolo di bilancio. Ovvero con n=2, il paniere X * soddisferà le due condizioni matematiche: 1) MRS (x * 1, x * 2)=-MU 1 (x * 1, x * 2)/MU 2 (x * 1, x * 2)=-P 1 /P 2 condizione di tangenza 2) P 1 x 1* +P 2 x 2* =m vincolo di bilancio Se le curve di indifferenza sono strettamente onvesse(non hanno alcun tratto piatto), vi sarà una sola scelta ottima per ciascun insieme di bilancio. X2 E X* Se le curve sono strettamente convesse vi sarà una sola scelta ottima per ciascun insieme di bilancio. E X1 Per capire la condizione 1) di tangenza, si supponga che essa non sia soddisfatta, ad esempio nel punto E, P 1 /P 2 >MU 1 /MU 2, da cui MU 1 /P 1 >MU 2 /P 2. Questo significa che ogni unità di reddito spesa sul bene 1, dà al consumatore più utilità di ogni unità di reddito spesa sul bene 2. Dunque, il consumatore aumenterà la spesa su x 1 e ridurrà la spesa su x 2, spostandosi verso destra sul vincolo di bilancio. Data la convessità, ovvero MRS è decrescente in x 1 (e crescente in x 2 ), questo significa che un aumento di x 1 a scapito di x 2 tenderà ad aumentare MRS e quindi MU 1 /MU 2. Tale aumento continuerà fino al punto in cui MU 1 /MU 2 =P 1 /P 2 cioè in corrispondenza di x * sul grafico.. Oltre tale punto un ulteriore aumento di x 1, ridurrà ulteriormente MRS, a cui evidentemente seguirà MU 1 /MU 2 <P 1 /P 2 ovvero MU 1 /P 1 <MU 2 /P 2. Al consumatore a questo punto non converrà più acquistare x 1, ma aumenterà x 2 ritornando verso il punto x * che è infatti di ottimo. Si noti che tutto questo ragionamento dipende dall ipotesi di convessità, ovvero dal fatto che MRS sia decrescente in x 1 (e crescente in x 2 ), mentre non richiede nessuna ipotesi circa la variazione di MU 1 e MU 2 individualmente considerate. Nel caso di preferenze convesse, la condizione di tangenza è una condizione sufficiente. Da un punto di vista formale, la soluzione al problema del consumatore di trovare il paniere ottimo, ovvero che massimizza la sua funzione di utilità e soddisfa il vincolo di bilancio, si affronta con il metodo matematico noto come metodo di Lagrange, che non viene affrontato in questo corso. Si noti tuttavia (e questo è da sapere) che le condizioni di ottimo espresse dalla condizione di tangenza 1) e dal vincolo di bilancio 2) nel caso di n=2, si generalizzano alla situazione in cui i beni siano n.

15 Più precisamente, le condizioni che massimizzano la funzione di utilità U(x 1,x 2,...,x n ) e che soddisfano il vincolo di bilancio P 1 x 1 +P 2 x P n x n =m, sono: 1) MRS 12 = -MU 1 (x 1,x 2,...,x n )/MU 2 (x 1,x 2,...,x n )= -P 1 /P 2. 2) MRS 23 = -MU 2 (x 1,x 2,...,x n )/MU 3 (x 1,x 2,...,x n )= -P 2 /P 3 n-1) MRS n-1, n = -MU n-1 (x 1,x 2,...,x n )/MU n (x 1,x 2,...,x n )= -P n-1 /P n n) P 1 x 1 +P 2 x P n x n =m 1.3 ESEMPI DI SCELTE OTTIME. Perfetti sostituti. U(x 1,x 2 ) = ax 1 +bx 2 Δx 2 /Δx 1 =MRS=-MU 1 /MU 2 =-a/b in generale K-P 1 /P 2 la soluzione è di frontiera X2 X* X2 X* X* X1 X1 a) Se a/b > P 1 /P 2 MU1/P 1 > MU 2 /P 2 b) Se a/b < P 1 /P 2 MU1/P 1 < MU 2 /P 2 * * * * x 1 = m/p 1 ; x 2 = 0 x 1 = 0; x 2 = m/p 2 Perfetti complementi. U(x 1,x 2 )=Min{ax bx 2 } MRS non è definito Tuttavia è evidente che il consumatore vuole ax 1 =bx 2 ; dunque la scelta ottima x 1*,x 2*, eve soddisfare: X2 { a x * * 1 =b x 2 { qr * * P 1 x 1 + P 2 x 2 = m X 1 * =bm / bp 1 + ap 2 X 2* =am / bp 1 + ap 2 X1* X* X1

16 Preferenze di Cobb-Douglas. U(x 1,x 2 )= x 1 a * x b 2 a>0, b>0 Δx 1 /Δx 2 =MRS=-MU 1 /MU 2 =-a/b * x 2 /x 1 Applico la regola dell ottimo interno: qr { MRS=-P1 / P2 -P1/P2= A/B x2/x1 P 1 x 1 + P 2 x 2 = m { X1 * =(a / a+b) * m/ P 1 X 2* =(b / a+b) * m/ P 2 X2 X* X1 Dunque (a/a+b) e (b/a+b), rappresentano le quote di reddito che il consumatore con preferenze Cobb-Douglas spende rispettivamente per il bene x 1 e per il bene x 2. La stessa interpretazione vale evidentemente per i coefficienti della Cobb-Douglas normalizzata, 1- α ovvero x 1α x 2 (oppure αlnx 1 +(1-α)lnx 2 ) dove α = a/(a+b).

17 LA FUNZIONE DI DOMANDA (Varian 5.2; introduzione 6) Premessa: la scelta ottima x*= (x 1 *, x 2 *,, x n *) deve quindi essere tale da soddisfare il vincolo di bilancio: P 1 x 1 * + P 2 x 2 = m. In questo senso, la scelta ottima x 1 * x 2 * dipende oltre che dalle preferenze, dai parametri P 1, P 2 e m. In questo senso si dice che le quantità ottime dei beni sono funzioni del reddito m, e dei prezzi. Per il generico bene x i, scriveremo quindi la funzione di domanda: x i = f i (P 1, P 2,, P n, m) con i=1,, n Tali funzioni sono dette funzioni di domanda Marshalliana. 1.LA DOMANDA DEI BENI IN FUNZIONE DEL REDDITO. (Varian 6.1, 6.2, 6.3) A seconda di come varia la domanda di un bene al variare del reddito, possiamo dare una classificazione dei beni. Se guardiamo semplicemente alla direzione della variazione della domanda di un bene, distinguiamo tra: BENI NORMALI Δ x I / Δ m > 0 BENI INFERIORI Δ x I / Δ m < 0 X2 X2 curva reddito - consumo curva reddito - consumo X1 X1 m cresce, cresce la domanda di x I m cresce, x I diminuisce Possiamo anche confrontare la variazione proporzionale della domanda Δ x I / x I, rispetto alla variazione proporzionale del reddito Δ m / m. Cioè possiamo guardare a (Δ x I / x I ) / (Δ m / m), o (Δ x I / Δ m) / ( m / x I ). Distinguiamo tra: BENI DI LUSSO, la cui domanda cresce più che proporzionalmente al crescere di m: (Δ x I / m) * (m / x I ) > 1. BENI NECESSARI, la cui domanda cresce meno che proporzionalmente al crescere di m: (Δ x I / m) * (m / x I ) < 1. Beni che derivano da PREFERENZE OMOTETICHE, la cui domanda cresce nella stessa proporzione di m: (Δ x I / m) * (m / x I ) = 1.

18 Graficamente la domanda di un bene rispetto al reddito visualizza la curva di Engel. Dunque: Beni di Lusso X 1 Preferenze omotetiche Beni Necessari Si noti che la domanda di beni perfetti sostituti (X 1 = m/p), di beni perfetti complementi (X 1 = bm/ bp1 + bp2), di beni da preferenze Cobb-Douglas (X 1 = a / a+b * m/p1) rilevano che tutti i tre casi sono di preferenze omotetiche. m 2.LA DOMANDA DEI BENI IN FUNZIONE DEI PREZZI. (Varian 6.4, 6.5, 6.6, 6.7) Consideriamo la domanda Marshalliana di un bene: X i = f i (P i,, P n ) Quando varia un qualsiasi prezzo la domanda varia. Consideriamo come varia la domanda di un bene quando varia il proprio prezzo distinguiamo: P1 curva di domanda bene ordinario P1 curva di domanda bene di Giffen X1 X1 BENE INF. ORDINARIO Δ X 1 / Δ P 1 < 0 BENE DI GIFFEN Δ X 1 / Δ P 1 > 0 In generale, ovviamente ci aspettiamo che la maggior parte dei beni siano beni ordinari.

19 Nel caso abbiamo a che fare con beni ordinari è anche utile distinguere come varia la domanda di un bene x1 x2 al variare del prezzo di un altro bene p1, p2. in tal caso distinguiamo: x1 > 0 ( x2 >0) allora x1 e x2 sono sostituti lordi p2 p1 x1 < 0 ( x2 <0) allora x1 e x2 sono complementi lordi p2 p1 graficamente possiamo allora distinguere: X 1 ordinario, X 1 X 2 compl. lordi X 1 ordinario, X 1 X 2 sost. lordi X 2 Curva Prezzo- Consumo X 2 Curva Prezzo- Consumo X 1 X 1 P 1 P 1 Δ P 1 < 0 Δ X 1 > 0, Δ X 2 > 0 Δ P 1 < 0 Δ X 1 > 0, Δ X 2 < 0 X 2 Curva Prezzo- Consumo X 1 P 1 Δ P 1 < 0 Δ X 1 < 0

20 2.1 EFFETTO REDDITO, EFFETTO DI SOSTITUZIONE, EQUAZIONE DI SLUTZKY (Varian 8.1, 8.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.6) Concentriamoci ora in modo particolare sull analisi della variazione della domanda di un bene rispetto al proprio prezzo chiedendoci in particolare da cosa dipende la variazione totale della domanda di un bene così fra l altro da determinare se un bene è ordinario o di Giffen? A tale proposito notiamo che quanto il prezzo di un bene varia succedono due cose: da un lato, quel bene diventa più conveniente o meno conveniente (a seconda se il prezzo è diminuito o aumentato) rispetto agli altri beni; dall altro lato la capacità di spesa di un consumatore in termini reali è pure variata (è cresciuta se il prezzo è diminuito, è diminuita se il prezzo è aumentato) Con il termine di EFFETTO DI SOSTITUZIONE si intende la variazione della domanda di un bene dovuta esclusivamente alla maggiore o minore convenienza di quel bene a seguito della variazione del suo prezzo. Con il termine EFFETTO DI REDDITO si intende la variazione della domanda di un bene in seguito alla variazione del potere d acquisto in termini reali perché il prezzo del bene è variato. In termini più formali la variazione della domanda di un bene rispetto alle variazioni del prezzo la individuiamo con x1 = x1(p 1,m) - x1(p1,m) p1 ( p 1-p1) dove x1(p1,m) indica la domanda del bene a prezzo p1 e x1(p 1,m) la domanda del bene al prezzo p 1 dopo cioè la variazione (si noti che la domanda è indicata solo per x1(p1,m) poiché gli altri prezzi sono fissi). Per distinguere in x1 / p1 la componente dovuta all effetto di sostituzione e quella dovuta all effetto di reddito ritraduciamo nell analisi in reddito virtuale m tale da consentire al consumatore al prezzo p 1 cioè al nuovo prezzo di sostenere una spesa esattamente pari a quella che sosteneva prima della variazione di p1. Analiticamente m virtuale è data da: p 1 x1(p1,m) + p2 x2 (p2,m) = m graficamente m virtuale è un vincolo che passa dal vecchio punto di ottimo E mo con pendenza p 1/p2 X 2 X 1 L effetto di sostituzione è dato da: x1 s = x1(p 1,m ) - x1(p1,m) p1 p 1- p1

21 L effetto di reddito è dato da: x1 m = x1(p 1,m) - x1(p 1,m ) p1 p 1- p1 Dunque l effetto totale è pari a: x1 = x1 s + x1 m = [x1(p 1,m ) - x1(p1,m)] +[ x1(p 1,m)- x1(p 1,m ) ] = x1(p 1, m) x1(p1,m) p1 p1 p1 p 1- p1 p 1- p1 Noto anche che l effetto di reddito è a tutti gli effetti una variazione della quantità domandata dovuta solo ad una variazione di m (cioè a prezzi costanti). Dunque vorremmo in generale esprimere la variazione x1(p 1,m)- x1(p 1,m ) rispetto alla variazione di reddito m= m m. Date le identità di bilancio p 1 + p2x2 = m e p1 x1 + p2 x2 = m potremmo scrivere (p1 p1)x1= m -m, e dunque l effetto reddito diventa: x1 m = x1(p 1,m) - x1(p 1,m ) = - (x1(p 1, m) x1 (p 1,m ) x1= - x1 x1 p1 p 1- p1 m- m m Sostituendo nella precedente scomposizione abbiamo: x1 = x1 s + x1 m = x1 s - x1 x1 p1 p1 p1 p1 m questa espressione costituisce l EQUAZIONE DI SLUTSKY. Nota (anche dagli esempi grafici che seguono) che l effetto sostituzione è sempre negativo, nel senso che prezzo e quantità si innovano sempre in direzioni opposte, ovvero se p1 > 0 x1 s <0 se invece p1 < 0 x1 s >0. Ricordandoci allora le definizioni di beni normali e inferiori possiamo fare la seguente classificazione: BENI NORMALI x1 >0 beni ordinari x1 < 0 sempre m p1 BENI INFERIORI x1 < 0 con x1 s > x1 x1 beni ordinari x1 < 0 m p1 m p1 BENI INFERIORI x1 < 0 con x1 s < x1 x1 beni di Giffen x1 > 0 m p1 m p1 La prima derivazione è nota come legge della domanda ovvero, l equazione di Slutzky (con l effetto sostituzione sempre negativo) serve a dimostrare da quando la domanda di un bene cresce al crescere del reddito allora la domanda del bene diminuisce all aumentare del suo prezzo.

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