COMPENDIO ANALISI MATEMATICA

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1 TORINO, FEBBRAIO 2011 COMPENDIO DI ANALISI MATEMATICA E COMPLEMENTI DI ALGEBRA di BART VEGLIA 1

2 SUCCESSIONI Un insieme di numeri reali, ordinato, è numerabile quando è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra gli elementi dell insieme e la serie dei numeri naturali interi a 1 a 2 a 3 a n a n è il termine generico dell insieme. Tutti i termini dell insieme si possono ottenere dal termine generico sostituendo alla n il numero corrispondente al posto occupato dal termine che si vuole determinare. Le progressioni aritmetiche e geometriche sono degli insiemi ordinati numerabili. I termini generici delle progressioni sono, rispettivamente: a n = a 1 + (n-1)d e a n = a 1 q (n-1) Dicesi successione un insieme ordinato numerabile di numeri reali i cui termini obbediscono ad una ben individuata legge di formazione. Successioni convergenti. Al crescere di n il corrispondente termine della successione si avvicina sempre più ad un numero finito λ: lim a n = λ a n n λ -n Esempio di successione convergente è la successione neperiana di termine generico a n =(1+ 1/n) n lim ( 1 + 1/n) n = e n Successioni divergenti. Al crescere di n il corrispondente termine della successione dventa sempre più grande in valore assoluto tendendo a + o a - lim a n = ± a n n n + _ a n n - Le successioni convergenti o divergenti si dicono regolari Le successioni non regolari si dicono oscillanti Le successioni non convergenti e non divergenti si dicono indeterminate (non esiste il lim a n ) n 2

3 Una successione si dice monotòna generalmente crescente (o generalmente decrescente) se ogni termine risulta ( oppure ) al termine che lo precede. Successione monotòna generalmente crescente: a 1 a 2. a n a n+1 Successione monotòna generalmente decrescente: a 1 a 2.. a n a n+1 FUNZIONI Una grandezza che può assumere diversi valori numerici si chiama variabile Una grandezza i cui valori numerici non cambiano si chiama costante Una funzione è una relazione che fa corrispondere ai valori arbitrari di una variabile indipendente (x) determinati valori di una variabile dipendente (y) Se ad ogni valore della variabile indipendente (x) corrisponde un solo valore della variabile dipendente (y), la funzione si dice univoca ( o monodroma o monotòna ) Se i valori corrispondenti sono più di uno la funzione si dice polivoca ( o polidroma ) Se sono infiniti la funzione si dice infinitivoca. Si dice in forma esplicita la funzione del tipo y = f(x) ;si dice in forma implicita la funzione del tipo F(x,y) = 0 Si dice algebrica una funzione se in forma implicita ha la forma di un polinomio Sono algebriche le funzioni razionali (intere o fratte) e irrazionali (intere o fratte) Si dicono trascendenti le funzioni goniometriche, logaritmiche ed esponenziali Il grado di una funzione algebrica è quello del polinomio che corrisponde alla funzione ridotta in forma implicita: Ad es, y = x/(x 3 b ) cioè x 3 y + by x = 0 è di 4 grado. Se y = f(t) e t = g(x) la funzione y = f [g(x)] è detta funzione composta Una funzione sotto forma implicita può essere esplicitata in y=f(x) e x=g(y) Queste due funzioni si dicono inverse l una dell altra Le funzioni f(x) e 1/f(x) si dicono reciproche Una funzione monotòna è invertibile Una funzione non monotòna non è invertibile Una funzione è positiva in [a,b] se tra a e b il suo diagramma è tutto nel semipiano y>0 Una funzione è negativa in [a,b] se tra a e b il suo diagramma è tutto nel semipiany<0 3

4 Una funzione si dice pari ( o simmetrica ) se per ogni x appartenente all insieme di esistenza è: f(-x) = f(x) ( Ad es. y=x 2 + x 4 f(-x) f(x) ) ( Il diagramma della funzione è simmetrico rispetto all asse y ) -x x Una funzione si dice dispari ( o antisimmetrica ) se per ogni x, appartenente all insieme di esistenza, è: f(x) f(-x) = -f(x) (Ad es. y=x 3 + 2x) x ( Il diagramma della funzione è simmetrico rispetto all origine ) f(-x) Una funzione si dice periodica se esiste un valore p (detto periodo) tale che per ogni x, appartenente all insieme di esistenza, sia: f(x) = f(x + p) f(x) f(x+p) x x x+p p DOMINIO DI UNA FUNZIONE Si chiama dominio o insieme di definizione o insieme di esistenza di una funzione l'insieme dei valori della variabile indipendente x che fanno assumere alla variabile dipendente y valori reali e finiti Funzioni algebriche Le funzioni razionali intere hanno come dominio tutti i numeri reali Le funzioni razionali fratte hanno come dominio tutti i numeri reali che non annullano il denominatore Le funzioni irrazionali hanno come dominio - se le radici hanno indici dispari: tutti i numeri reali tranne quelli che rendono nulli gli eventuali denominatori; - se le radici hanno indici pari: tutti i numeri reali che rendono non negativi i relativi radicandi Funzioni trascendenti Le funzioni goniometriche sen x e cos x hanno come dominio tutti i numeri reali; la funzione tg x ha come dominio tutti i numeri reali che rendono l'argomento (π/2)+kπ Le funzioni logaritmiche hanno come dominio tutti i numeri reali che rendono > 0 gli argomenti dei log Le funzioni esponenziali a base ed esponente reali hanno come dominio tutti i numeri reali che rendono > 0 le basi delle potenze CODOMINIO DI UNA FUNZIONE Si chiama condominio di una funzione l insieme dei valori assunti dalla funzione stessa. Ad es. per la funzione y = x 2 dominio sono i numeri reali; condominio è una parabola 4

5 LIMITI Si dice limite di una funzione y = f(x) al tendere di x a x o, nell'intervallo di definizione della funzione, il valore al quale la funzione stessa si avvicina man mano che la x assume valori sempre più vicini ad x o ( dove x o può essere un numero positivo o negativo, oppure zero, oppure ) Dicesi punto di accumulazione di un insieme un punto x o tale che,stabilito un suo intorno, cada in esso almeno un punto dell'insieme diverso da x o Es. L insieme dei numeri pari non ha punti di accumulazione. Infatti se si considera l intorno (-1;+1) in esso non compare nessun punto dell insieme. Invece ogni punto dell insieme dei numeri reali è un punto di accumulazione perché, comunque si scelga l intorno, sono infiniti i numeri reali che cadono in esso. y 1 ) Limite finito quando la x tende ad un num ero finito λ + ε lim f(x) = λ y =f(x) x x o Si ha questo limite quando in corrispondenza di un arbitrario numero ε > 0, piccolo a piacere, si può determinare un intorno di x o ( x o - δ ; x o + δ ) tale che per ogni x, appartenente all'intorno, risulti soddisfatta la disequazione (fig. 1) f(x o) = λ f(x) λ ε Ο x o δ x x o x o+δ f(x) - λ < ε ossia fig 1 λ - ε < f(x) < λ + ε N.B. In alcuni casi non esiste il valore della f(x) per x = x o mentre invece in x o ne esiste il limite Se x o non è un punto di accumulazione il limite per x x o non esiste Nel caso particolare di λ = 0 la funzione si dice infinitesima in x o 2 ) Limite finito quando la x tende all' infi nito y lim f(x) = λ x λ + ε Si ha questo limite quando in corrispondenza di un arbitrario numero ε > 0, piccolo a piacere, si può deter- f(x) minare un numero N > 0 tale che per ogni x > N λ s sia soddisfatta la disequazione ( fig 2 ) λ f(x) - λ < ε cioè O N x λ - ε < f(x) < λ + ε fig 2 N.B. Se x > N si ha lim f(x) = λ ( fig 3 ) x + Se x < - N si ha lim f(x) = λ ( fig 4 ) x - Nel caso particolare di λ = 0 la funzione si dice infinitesima all'infinito 5

6 y y λ λ f(x) λ - ε f(x) λ - ε O N x + - x -N O fig 3 fig 4 3 ) Limite infinito quando la x tende a un nu mero finito lim f(x) = x x o Si ha questo limite quando in corrispondenza di un arbitrario numero E > 0 si può determinare un intorno di x o (x o - δ ; x o ) tale che per ogni x, appartenente all'intorno, risulti soddisfatta la disequazione ( fig 5 ) f(x) > E N.B. Se f(x) > E si ha lim f(x) = + x x o ( fig 6 ) Se f(x) < -E si ha lim f(x) = - x x o ( fig 7 ) y f(x) E O x o - δ x x o fig 5 + y y x o x x o + δ O -E f(x) f(x) E O x o x x o + δ - fig 6 fig 7 4 ) Limite infinito quando la x tende all' in finito lim f(x) = x 6

7 Si ha questo limite quando in corrispondenza di un arbitrario numero E > 0 si può determinare un numero N > 0 tale che per ogni x > N risulti soddisfatta la disequazione f(x) > E N.B. Se per x > N è sempre f(x) > E esiste il lim f(x) = + ( fig 8 ) x Se per x > N è sempre f(x) < -E esiste il lim f(x) = - ( fig 9 ) x oo + y f(x) E -E y N x O O N x f(x) fig 8 fig 9 - Se per x > N è sempre f(x) > E esiste il lim f(x) = ( fig 10 ) y + x y f(x) E x E O N f(x) O N x - fig 10 / a fig 10 / b Se per x > N è sempre f(x) > E esiste il lim f(x) = + ( fig 11 ) x + y + f(x) E -E N O + f(x) O N x + - x fig 11 fig 12 Se per x > N è sempre f(x) < -E esiste il lim f(x) = - ( fig 12 ) x + Se per x < -N è sempre f(x) > E esiste il lim f(x) = ( fig 13 ) x - 7

8 y y + E f(x) x - E -N O - x -N O fig 13 / a - fig 13 / b f(x) Se per x < -N è sempre f(x) > E esiste il lim f(x) = + ( fig 14 ) x - Se per x < -N è sempre f(x) < -E esiste il lim f(x) = - ( fig 15 ) x - + f(x) - x -N O E -E - x -N O - fig 14 fig 15 f(x) Il caso n 4, cioè quello dei lim f(x) = x si può riassumere nella seguente tabella f(x) > E, esiste il lim f(x) = x Se per x > N risulta sempre f(x) > E, " " lim f(x) = + x f(x) < -E, " " lim f(x) = - x f(x) > E, esiste il lim f(x) = x + Se per x > N risulta sempre f(x) > E, " " lim f(x) = + x + f(x) < -E, " " lim f(x) = - x + f(x) > E, esiste il lim f(x) = x - Se per x < -N risulta sempre f(x) > E, " " lim f(x) = + f(x) < -E, " " lim f(x) = - x - 8

9 LIMITE DESTRO E LIMITE SINISTRO Talvolta non esiste il lim f(x), ma esiste un limite λ quando si considera il solo intorno x x o destro o il solo intorno sinistro di x o. In tal caso si dice che λ è il limite destro o il limite sinistro della f(x) per x tendente a x o, e si scrive rispettivamente lim f(x) = λ lim f(x) = λ + - x x o x x o quando in corrispondenza ad un numero arbitrario ε si può determinare un intorno destro ( o un intorno sinistro ) del punto x o tale che per ogni x, appartenente all'intorno, sia soddisfatta la disequazione f(x) - λ < ε (v figura) Analoghe definizioni si hanno per i limiti ε f(x) f(x) - λ lim f(x) = lim f(x) = + - x x o x x o λ TEOREMI SUI LIMITI x x 0 Teorema dell unicità del limite Se al tendere di x a x o (Reale), la funzione y = f(x) tende al limite λ, ( Reale) questo limite è unico Teorema della permanenza del segno Se al tendere di x a x o la funzione f(x) tende al limite λ diverso da 0, esiste un intorno di x o in cui la funzione assume lo stesso segno di λ. Teorema del confronto Date tre funzioni: f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x), definite nello stesso intervallo se risulta, per ogni x di tale intervallo f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) e se risulta pure lim f 1 (x) = lim f 3 (x) = l x x o x x è pure lim f 2 (x) = λ x x o Teorema del valore assoluto Se al tendere di x a x o la funzione f(x) tende al limite λ, il limite del valore assoluto della funzione sarà uguale al valore assoluto del limite λ, cioè: lim f(x) = λ x x o Teorema (senza nome) Se al tendere di x a x o la funzione f(x) tende al limite λ e se si considerano i due numeri m ed n per i quali è: m < λ < n sarà sempre possibile determinare un intorno di x o per ogni x del quale risulti m < f(x) < n n f(x) l m x 0 -δ x x 0 x 0 +δ δ 9

10 OPERAZIONI SUI LIMITI Limite della somma di due o più funzioni E la somma dei limiti delle singole funzioni. Limite della differenza di due funzioni. Limite del prodotto di due o più funzioni Limite della funzione reciproca E la differenza dei limiti delle due funzioni E il prodotto dei limiti delle singole funzioni E il reciproco del limite della funzione N.B. Se lim f(x) = 0 il lim 1/f(x) = x--x o x x o Se lim f(x) = il lim 1/f(x) = 0 x x o x x o Limite del quoziente di due funzioni Limite della potenza di una funzione Limite della radice n ma di una funzione E il quoziente del limite delle due funzioni E la potenza del limite della funzione E la radice n ma del limite della funzione CALCOLO DEI LIMITI Lim per x x 0 di una funzione razionale o irrazionale, intera o fratta: si sostituisce alla x il valore di x 0 Es. Lim (x + x ) / (x - x ) = (2 + 2 ) / ( 2-2 ) = x 2 Lim per x ± di una funzione razionale intera:si sostituisce alla x il valore ±, ottenendo ± Lim per x ± di una funzione razionale fratta avente i termini in x al Numeratore e al Denominatore con lo stesso esponente massimo: si dividono N e D per le x con tale esponente. Es. Lim (3x 2 4x + 1) / (x 2 + 4) = lim (3 4/x + 1/x 2 ) / ( 1 + 4/x 2 ) = 3 x + x + Lim per x ± di una funzione razionale fratta avente i termini in x al N e al D con esponente massimo diverso: si dividono N e D per la x con il minore tra gli esponenti massimi, ottenendo ± o 0 Es. Lim (x 4-3x + 1) / ( -x 2 + 2x ) = lim (x 2 3/x + 1/x 2 ) / (-1 + 2/x ) = - x + x + (Il N è + ma il D è 1) Lim per x ± di una funzione irrazionale intera: si sostituisce il valore ± alla x con il maggiore esponente Es. Lim (x x x 2 + x - 3) = lim (x 3/2 - x 2 + x 1/2-3) = - x + x + lim per x ± di una funzione irrazionale fratta: si applicano le regole precedenti_ Es lim (x 2-3 x 2 ) / (2 x 2-3 x ) = lim [1 - ( 3 x 2 / x 2 )] / [ 2 ( 1/ x 2 3 x 2 )] = 1/2 x + x + NB La somma di un limite finito con uno infinito è infinito Il risultato di (+ ).(- ), essendo i segnj discordi, è - 10

11 LIMITI NOTEVOLI sen x sen 1/x sen x cos x tg x lim = 1 lim = 1 lim = 0 lim = 0 lim = 1 x o x x 1/x 0 1/x x x x x x 0 x 1 cos x 1 cos x lim = 0 lim = ½ lim ( 1 + x ) 1/x = e lim ( 1 1/x ) x = 1/e x 0 x x 0 x 2 x 0 x lim ( 1 + n/x ) x = e n (per n=1 il lim = e) lim (1 + k/x ) mx = e mk x x e x 1 a x - 1 e x x c lim = 1 lim = ln a lim = + lim = 0 x 0 x x 0 x x + x c x + e x ln ( 1 + x ) (1+x) k 1 ln x lim = 1 lim = 1 lim = 0 lim x c ln x = 0 x 0 x x 0 kx x + x c x 0 + lim a f(x) = a lim f(x) = a λ lim log a f(x) = log a lim (fx) = log a λ x x o x x o x x o lim sen f(x) = sen lim f(x) = sen λ lim cos f(x) = cos lim f(x) = cos λ x x o x x o x x o x x o lim tg f(x) = tg lim f(x) = tg λ lim cotg f(x) = cotg lim f(x) = cotg λ x x o x x o x x o x x o x lim f(x) = lim f(-x) lim 1 - x = + lim x = 1 x - x + x - x I limiti del tipo: lim sen (π/x) non sono calcolabili perché sen (π/x) si annulla infinite volte per x = 0 x o FORME INDETERMINATE Esistono alcuni casi di limiti che si presentano in forma indeterminata. Le forme indeterminate sono /0 / 0 o 1 ( ) o log 0 0 log 0 log 0 log 1 1 Non sono forme indeterminate: (+ ) / λ =(+ ) (λ>0); (- ) / λ = (- ) (λ>0); (+ ) λ = (+ ) (λ>0); ( ) + λ = ( ) (+ )+(+ ) = (+ ); (- )+(- ) = (- ); (+ ) (- ) = (- ); (- ) (- ) = (+ ); 1 / (+ ) = 1 / (- ) = 0; 0 /( ) = 0; ( ) / 0 = ( ); ( ± ) -n = 0 11

12 FUNZIONI CONTINUE Una funzione è continua in x o se risulta lim f(x) = f(x o ) oppure se risulta : x x o lim f(x) = lim f(x) = f(x o ) + - x x o x x o che indicano rispettivamente che la f(x) è continua a destra e a sinistra di x o Una funzione è continua in [a, b] se è continua in ogni punto di [a, b], cioè se non ammette nessun punto di discontinuità in [a, b] ( v al Cap Funzioni discontinue) Funzioni algebriche Ogni funzione razionale intera è continua Ogni funzione razionale fratta è continua per tutti i valori della variabile che non annullano il denominatore La funzione potenza y = x n è continua per ogni valore della x > o La funzione irrazionale y = n x è continua per ogni valore della x 0 Funzioni trascendenti Le funzioni sen x e cos x sono continue per ogni valore della x La funzione tg x = sen x / cos x è continua quando cos x è diverso da zero La funzione esponenziale y = a x è continua per ogni valore della x La funzione logaritmica y = log a x ( a > 0 e 1 ) è continua per ogni valore della x > 0 TEOREMI SULLE FUNZIONI CONTINUE Teorema di Weierstrass Se la funzione y = f(x) è continua nell intervallo chiuso [a, b] essa è, ivi, limitata ed ammette un massimo ed un minimo massimo minimo Teorema dell'esistenza degli zeri Se la funzione y = f(x) è continua nell intervallo chiuso e limitato [a, b] e se agli estremi dell'intervallo essa. assume valori di segno opposto, a c b cioè è f(a) f(b) < 0, esiste almeno un punto c, interno all'intervallo, in cui è f(c) =0 Teorema dei valori intermedi Una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a; b] assume, almeno una volta, qualunque valore compreso tra il massimo ed il minimo assoluti a b 12

13 FUNZIONI DISCONTINUE IN UN PUNTO Se una funzione non è continua in x o tale punto è detto punto singolare o punto di discontinuità. ( 3 casi ) 1 caso) La funzione non esiste in x o ma è : lim f(x) = λ R e lim f(x) = λ' R x x o + x x o - λ diverso da λ' x o è detto punto di discontinuità di prima specie 1 e la differenza λ - λ' è detta salto salto Es. x + ( x / x ) x = 0 è un punto di discontinuità di 1 a specie (salto = 2) caso) La funzione non esiste in x o ma in tale punto uno almeno dei due limiti lim f(x) ; lim f(x) è infinito ( in tal caso x o è detto punto di infinito ) + - x x o x x o o non esiste. x o è detto punto di discontinuità di seconda specie Es. y =1/x nel punto x = caso): Il limite della funzione f(x) per x x o esiste ed è finito ma - il valore di f(x) o non esiste, oppure esiste ma risulta f(x 0 ) lim f(x), il che è in contrasto x x 0 con la definizione di funzione continua data all inizio del capitolo relativo. x o è detto punto di discontinuità eliminabile o di terza specie 1 Es. y = ( sen x) / x nel punto x = 0 0 NB Il limite sinistro e quello destro per x x 0, in questo caso, sono uguali ma, come si vedrà in seguito, le derivate in x 0 sono diverse. NB Se in una espressione compaiono dei monomi o binomi in x 0, in valore assoluto, x 0 è un punto angoloso RAPPORTO INCREMENTALE 13

14 Si chiama rapporto incrementale di una funzione f(x), f(x o+h) definita in un intervallo [a,b], nell'intorno di un suo punto, x o, il rapporto tra l'incremento della funzione ed il corrispon- f(x o) A C dente incremento, positivo o negativo, della variabile cioè (v fig ) BC/AC α h O a x o x o+h b f(x o +h) f(x o ) si chiama rapporto incrementale nell'intorno destro della variabile h f(x o -h) f(x o ) si chiama rapporto incrementale nell'intorno sinistro della variabile -h, N.B. Il rapporto incrementale è la tangente trigonometrica dell'angolo tra la retta AB e la retta AC, cioè il coefficiente angolare della retta AB. y B f(x) DERIVATE Se al tendere a zero dell incremento h della variabile esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale di una funzione nell intorno di un suo punto x o, tale limite si dice derivata della funzione nel punto x o f ( x o + h ) - f (x o ) f ( x o - h ) - f ( x o ) y' = f ' (x o ) = lim = lim h 0 h h 0 -h N:B La derivata di una funzione in un suo punto è uguale al coefficiente angolare della retta tangente alla curva in quel punto, cioè f (x 0 ) = m, per cui la equazione della tangente ad una curva y = f(x) nel punto (x 0, y 0 ) può essere scritta come segue y y 0 = f (x 0 ) ( x x 0 ) Se non esiste finito il limite suddetto ma tuttavia esistono e sono finiti il limite sinistro o quello destro del rapporto incrementale o entrambi, essi si chiamano rispettivamente derivata sinistra e derivata destra f ( x o + h ) - f ( x o ) f (x o + h ) - f ( x o ) lim = f - ' ( x o ) lim ' = f + ( x o ) h 0 - h h 0 + h Se f + (x 0 ) è = f - (x o ) ma di segno opposto, x 0 è un punto angoloso Se f + (x 0 ) = + ed è anche f - (x 0 ) = + in corrispondenza di x 0 c è x 0 = - = - una cuspide Se una funzione è derivabile in un punto x o essa è necessariamente continua in tale punto, ma non è sempre vero il contrario La derivabilità è una condizione più restrittiva della continuità x 0 QUADRO RIASSUNTIVO DELLE OPERAZIONI SULLE DERIVATE 14

15 D [ f(x) + g(x) ] = f '(x) + g '(x) D [ f(x) g(x) ] = f '(x) g(x) + f(x) g '(x) D c f(x) = c f '(x) D [ f(x)] n = n [ f(x) ] n-1 f '(x) D f 1 (x) f 2 (x) f n (x) = f 1 (x) f 2 (x). f n (x) + f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x).f n (x) + n f '(x) f '(x) D f(x) = n D f(x) = n [ f(x) ] n-1 2 f(x) 1 - f '(x) f(x) f '(x) g(x) - f(x) g '(x) D = D = f(x) [ f(x) ] 2 g(x) [ g(x) ] 2 DERIVATE FONDAMENTALI D cost = 0 D sen x = cos x D sen f(x) = f '(x) cos f(x) D x = 1 D cos x = - sen x D cos f(x) = - f '(x) sen f(x) D 1/x = - 1/ x 2 D tg x = 1 / cos 2 x D tg f(x) = f '(x) / cos 2 f(x) D x a = a x a-1 D cotg x = -1 /sen 2 x D cotg f(x) = - f '(x) / sen 2 f(x) D x n = -n x -n-1 D a x = a x ln a 1 f '(x) D arcsen x = D arcsen f(x) = D e x = e x 1-x 2 1-[f(x)] 2 D e -x = - e -x -1 - f '(x) D arccos x = D arccos f(x) = D a f(x) = f '(x) a f(x) ln a 1-x 2 1-[f(x)] 2 1 f '(x) D e f(x) = f '(x) e f(x) D arctg x = D arctg f(x) = (es. e -2x = -2 e -2x ) 1+x 2 1+[f(x)] 2 D log a x = (1/x) log a e -1 -f ' (x) D ln x = 1/x D arccotg x = D arccotg f(x) = f '(x) 1+x 2 1+[f(x)] 2 D log a f(x) = log a e f(x) 1 f '(x) D x = D f(x) = f '(x) 2 x 2 f(x) D ln f(x) = f '(x) f(x) D = D = x 2 x x f(x) 2 f(x) Derivata della funzione inversa Sia y = f(x) una funzione continua e invertibile nell'intervallo [a,b] e sia x = g(y) la sua inversa. Se la f(x) è derivabile nel punto x o 15

16 di [a,b] ed è f '(x o ) 0 anche la g(y) è derivabile nel punto y o e la sua derivata è g '(y o ) = 1 / f '(x o ) Derivata della funzione composta Siano y = f(z) e z = g(x) due funzioni derivabili Allora anche la funzione y = f [g(x)] è derivabile e la sua derivata è f '(x) = f '(z) g '(x) e cioè f '[g(x)] g '(x) N.B. Le funzioni componenti possono essere anche più di due TEOREMA DI ROLLE Se la funzione y = f(x) è continua nell'intervallo chiuso [a, b], e derivabile all'interno dell'intervallo e assume valori uguali agli estremi dell'intervallo, cioè è f(a) = f(b), esiste almeno un punto c; interno ad [a, b] in cui risulta f '(c) = 0 f(a) f(b) ( tangente orizzontale = massimo o minimo ) TEOREMA DI CAUCHY ( o degli incrementi finiti ) a b Se le due funzioni y = f(x) e g(x) sono continue nell'intervallo chiuso [a, b] e derivabili all'interno dell'intervallo, esiste almeno un punto c, interno ad [a, b] in cui è TEOREMA DI LAGRANGE ( o del valor medio ) f(b) - f(a) = f '(c) ( g '(c) diverso da 0 ) g(b) g(a) g '(c) Se la funzione y = f(x) è continua nell'intervallo chiuso [a, b] ed è derivabile all'interno dell'intervallo, esiste almeno un punto c, interno ad [a, b] in cui è f(b) - f(a) = ( b a ) f '(c) TEOREMA DI DE L' HOPITAL 16 β f(b) f(b) f(a) = tg β = f (c) b-a a c 1 c 2 b Nel caso del lim di un quoziente di due funzioni f(x) e g(x) continue e derivabili nell'intorno di c i cui lim sono entrambi =0 (forma indeterminata 0/0) oppure = (f. i. / ) in x c f(x) f ' (x) tutti e due i casi vale la regola lim = lim x c g(x) x c g ' (x) Nel caso del lim di un prodotto di due funzioni i cui lim sono l'uno = 0 e l'altro = (f.i. 0 oo) basta considerare che f(x) g(x) f(x) g(x) = = e applicare la regola precedente 1 / g(x) 1 / f(x) Nel caso del lim di una differenza tra due funzioni i cui lim sono entrambi + o - (f.i. + ) si deve cercare di trasformare la differenza delle funzioni in un prodotto o in un quoziente rientrando così in uno dei casi precedenti Nel caso delle f.i. 0 0, 1 0, 0 di può scrivere [f(x)] g(x) = [e ln f(x)] ] g(x) = e g(x) ln f(x) e il calcolo del lim di [f(x)] g(x) si riconduce a quello del lim g/x) ln f(x) ( f.i. 0 ) x 0 x 0 ln b Nel caso di f.i. come log 0 0, log 1 1, log 0, log 0, log oo essendo log a b =

17 effettuando le opportune sostituzioni si rientra nelle f.i. / oppure 0/0 ln a N.B. Nell'eventualità che anche f '(x) e g '(x) soddisfino le ipotesi del teorema, esso potrà essere applicato più volte CONCAVITA E CONVESSITA DI UNA CURVA Se f " (x o ) > 0 la curva che rappresenta la funzione ha in x o la concavità rivolta verso l alto ( curva concava ) Se f " (x o ) < 0 la curva ha in x o la concavità rivolta verso il basso ( curva convessa ) FUNZIONI CRESCENTI E DECRESCENTI Una funzione è crescente se la sua derivata prima esiste ed è positiva; decrescente se la derivata prima esiste ed è negativa Una funzione sempre crescente o decrescente è monotòna e quindi invertibile MASSIMI E MINIMI RELATIVI DI UNA FUNZIONE Condizione necessaria ma non sufficiente perché x 0 sia un punto di massimo o di minimo relativo (estremante) di una funzione f(x) è che sia verificata la condizione f ' (x 0 ) = 0 La condizione diventa sufficiente se f " (x 0 ) 0 Per determinare i punti di massimo e di minimo relativo di una funzione f(x) si procede così: 1 ) Si cercano le radici dell equazione f ' (x) = 0 2 ) Se x o è una delle radici si calcola la f " (x 0 ); 3 ) Se f " (x o ) 0 la f(x) ha in x o un massimo relativo ( se f " (x o ) < 0 ) o un minimo relativo ( se f " (x o ) > 0 ) 4 ) Se è f " (x o ) = 0 si calcola la f ''' (x o ) 5 ) Se è f ''' (x o ) 0 la f(x) non ha in x o né un massimo né un minimo relativo 6 ) Se anche f ''' (x o ) = 0 si calcolano le derivate successive fino a trovare quella che in x o è diversa da zero 7 ) Se essa è di ordine pari si ha in x o un massimo relativo se essa è < 0, un minimo relativo se essa è > 0 8 ) Se essa è di ordine dispari non c è in x o né un massimo né un minimo relativo 17

18 FLESSI Condizione necessaria ma non sufficiente perché x 0 sia un punto di flesso di una funzione f(x) è che sia verificata la condizione f " (x 0 ) = 0 La condizione diventa sufficiente se f ''' (x 0 ) 0 Se anche f ' (x 0 ) = 0 il flesso è a tangente orizzontale Per determinare i punti di flesso di una funzione f(x) si procede così 1 ) Si cercano le radici dell equazione f " (x) = 0 2 ) Se x o è una delle radici si calcola la f ''' (x o ) 3 ) Se f ''' (x o ) 0 la f(x) ha in x o un flesso. Se f '(x o ) = 0 il flesso è a tangente orizzontale ; se f '(x 0 ) > 0 il flesso è ascendente; se f '(x o ) < 0 il flesso è discendente. 4 ) Se invece è f ''' (x o ) = 0 si calcolano le derivate successive fino a trovare quella che in x o è diversa da zero 5 ) Se essa è di ordine dispari si ha in x o un flesso ( In particolare se anche f ' (x o ) = 0 il flesso è a tangente orizzontale ) 6 ) Se essa è di ordine pari, x o non è un punto di flesso per la curva ma, nel caso che sia f ' (x o ) = 0 : un massimo se la derivata di ordine pari è < 0, un minimo se la, derivata di ordine pari è > 0 N.B. Se la funzione ha "derivata infinita" in x 0 ( cioè y (x 0 ) = = tg 90 ) in tale punto si ha un flesso a tangente verticale o una cuspide RICERCA DEI MASSIMI, MINIMI E FLESSI MEDIANTE LO STUDIO DEL SEGNO DELLA DERIVATA PRIMA Se in x o la derivata prima è nulla e se si può stabilire il segno di tale derivata nell'intorno sinistro e nell'intorno destro di x o, i 4 schemi che seguono mostrano come si può determinare se x o è un punto di massimo o di minimo relativi o di flesso ascendente o discendente Per stabilire il segno della derivata basta risolvere la disequazione y ' > 0 Massimo Minimo Flesso asc. Flesso disc y ' + - y ' - + y ' + + y ' - - x o x o x o x o N.B. Nell'esame degli schemi è opportuno ricordare che y' è la tangente alla curva I flessi sono a tangente orizzontale 18

19 QUADRO RIASSUNTIVO DEI MASSIMI, MINIMI E FLESSI f ' (x o ) f " (x o ) f ''' (x o ) f iv (x o ) f v (x o ) = 0 > 0 minimo < 0 massimo = 0 = 0 o flesso = 0 = 0 = 0 > 0 minimo < 0 massimo = 0 = 0 = 0 = 0 0 flesso N.B. Essendo la f ' (x o ) = 0 gli eventuali flessi sono a tangente orizzontale DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE Se f(x) è una funzione derivabile in un punto x, si chiama differenziale di f(x) il prodotto della derivata f ' (x) della funzione per l'incremento x della variabile indipendente. Lo si indica con d f(x) oppure d y per cui si può scrivere d f(x) = f ' (x) x (1) Poiché il differenziale di x, che è dx, è uguale a x, la (1) si può anche scrivere d f(x) = f ' (x) dx da cui si ricava f ' (x) = d f(x) / dx che significa che la derivata di una funzione è uguale al rapporto tra il differenziale della funzione stessa e il differenziale della variabile dipendente Data una funzione f(x), consideriamo un suo punto P di ascissa x ed un suo punto R di ascissa x + x y B f(x) e la tangente alla curva in P, che forma con l'asse x R un angolo α Se si prende sulla tangente suddetta un punto B avente ascissa x + x, essendo il rapporto P A BA / PA = tg α = f ' (x) (V. definizione della derivata) si ha BA = PA tg α = f ' (x) x Pertanto il differenziale della funzione f(x) è rappresentato graficamente dal segmento BA α che è l'incremento dell'ordinata della tangente O x x + x in P conseguente all'incremento x della variabile indipendente 19

20 ASINTOTI Una retta si dice asintoto della curva y = f(x) quando la distanza di un punto della curva dalla retta tende a zero man mano che tale punto si allontana sulla curva rispetto all'origine degli assi tendendo all'infinito Una funzione algebrica razionale intera non presenta nessun tipo di asintoto x =x 0 ASINTOTI VERTICALI Se lim f(x) = ± o / e lim f(x) = ± x x o - x x o + x 0 la retta x = x o è un asintoto verticale della curva f(x) N.B. Le funzioni razionali ed irrazionali fratte hanno tanti asintoti verticali quanti sono gli zeri del loro minimo comun denominatore; infatti, se in y=f(x)/g(x) è g(x)=0, y = Le funzioni irrazionali intere non hanno normalmente asintoti verticali ASINTOTI ORIZZONTALI y = λ Se lim f(x) = λ x la retta y = λ è un asintoto orizzontale della curva f(x) y = λ Se lim f(x) = λ e /o lim f(x) = λ ' x - x + λ è l'asintoto orizzontale sinistro; λ ' è l'asintoto orizzontale destro N.B. Nel caso di una funzione razionale fratta quando numeratore e denominatore sono dello stesso grado l'asintoto orizzontale è il rapporto dei coefficienti delle variabili di massimo grado; quando il denominatore è di grado superiore al numeratore l'asintoto orizzontale è l'asse x ( y=0 ) Le funzioni irrazionali intere con dominio infinito possono avere più asintoti orizzontali ASINTOTI OBLIQUI Quando lim f(x) = x y = mx + q l'equazione dell'asintoto obliquo ( se esiste ) è y = m x + q 20

21 in cui f(x) m = lim = lim f '(x) ( Regola di De L' Hopital ) (V pag. 16) x x x q = lim [ f(x) - m x ] = lim [ f(x) x. f (x) ] x x N.B. Le funzioni razionali fratte hanno un solo asintoto obliquo soltanto quando il grado del numeratore supera di 1 il grado del denominatore Le funzioni irrazionali il cui dominio si estende all'infinito possono avere più asintoti obliqui oppure asintoti orizzontali e asintoti obliqui FUNZIONE ASINTOTICA AD UNA FUNZIONE RAZIONALE FRATTA Data una funzione algebrica razionale fratta a 0 x n + a 1 x n a n y = b 0 x m + b 1 x m b m esiste l'asintoto orizzontale y = 0 se n < m, l'asintoto orizzontale y = a 0 / b 0 se n = m e l'asintoto obliquo y = m x + q = Q(x) se n m =1 ( Q(x) è il quoziente della divisione del polinomio numeratore per il polinomio denominatore della funzione data ) Se n > m la curva rappresentante il polinomio Q(x) ( sempre di grado n - m ), che è una retta se n - m =1, una parabola se n - m = 2, una cubica se n - m = 3, è asintotica alla curva che rappresenta l'equazione data 2 x 4 Es Sia data la funzione y = y in cui è n = m + 2 x 2 3 La funzione è definita per ogni x ± 3 (x = 3 e x = - 3 sono asintoti verticali) La curva passa per l'origine degli assi γ C'è un minimo relativo nei punti ( - 6 ; 24) e ( 6 ; 24 ) e un massimo relativo nel O x punto ( 0 : 0 ) La parabola γ di equazione Q(x) = 2 x è asintotica alla curva della funzione dat 21

22 x 4 Es Sia data la funzione y = in cui n = m + 3 x 1 y La funzione è definita per ogni x 1 ( x = 1 è un asintoto verticale ) La curva interseca gli assi nell'origine C'è un minimo relativo nel punto ( 4/3 ; 256 / 27 ) δ e un flesso nel punto ( -1 ; -1/2 ) Essendo y' (-1) > 0 il flesso è ascendente O 1 x La cubica δ di equazione Q(x) = x 3 + x 2 + x + 1 è asintotica alla curva della funzione data STUDIO DELL'ANDAMENTO DI UNA FUNZIONE x 3 Data una funzione, ad es y =., per studiarne l'andamento in modo da (x-1) 2 poterne costruire il grafico (non per punti) è opportuno procedere nel modo seguente 1 Stabilire quale è la natura di y ( Nel caso d ell' es. si tratta di una funzione algebrica razionale fratta di 3 grado ) 2 Studiare il segno ( Nel caso dell'es: per x >0 è y>0 ; per x<0 è y<0 ) 3 Stabilire l'insieme di definizione o dominio ( Nel caso dell' es. la y è definita per x 1: infatti per x = 1 il denominatore si annulla e la funzione non esiste più) 4 Esaminare il comportamento agli estremi del dom inio ( Nel caso dell'es. lim y = - lim y = + ) x - x + 5 Calcolare le coordinate degli eventuali punti d i intersezione con gli assi cartesiani, ricavando il valore di x ponendo y = 0 ed il valore di y ponendo x = 0 ( Nel caso dell'es.la curva taglia gli assi cartesiani soltanto nell' origine; infatti per x = 0 è y = 0 ) 6 Discutere la continuità della funzione ( Nel caso dell'es.la funzione presenta un punto di discontinuità di seconda specie per x = 1) 7 Stabilire il periodo, se è una funzione goniom etrica ( Non è il caso dell'es. ) 8 Determinare l'equazione degli eventuali asint oti ( Nel caso dell'es. esiste un asintoto verticale doppio di equazione x = 1 e l'asintoto obliquo di equazione y = x + 2 che interseca la curva della y nel punto ( 2/3 ; 8/3 ) ) 9 Calcolare la derivata prima ed eventualmente la seconda ( Nel caso dell'es. la x 2 (x 3) derivata prima è y ' = ) (x-1) 3 10 Determinare gli intervalli in cui la funzione è crescente o decrescente 11 Calcolare le coordinate degli eventuali punti di massimo e di minimo relativi, di flesso con tangente orizzontale e di flesso con tangente obliqua, y ' 0 per x 0 ; per 0 x < 1 ; e per x 3 22

23 Si può quindi disegnare lo schema 7 y 6 minimo 5 4 asintoto obliquo 0 0 y ' o Esiste pertanto un minimo relativo nel punto 1 (3;27/4) ed un flesso ascendente a tangente orizzontale nell'origine (asse x) - 12 Studiare la concavità e la convessità 0 flesso x (Nel caso dell'es. c'è una concavità verso l'alto per 0 < x < 1 e per x > 1 13 Tracciare il diagramma della y (Nel caso dell'es. il diagramma è quello asintoto verticale a lato) ESEMPIO DI STUDIO DI UNA FUNZIONE CON TERMINI IN VALORI ASSOLUTI 1 Sia data la funzione y = x x 2 2 E' una funzione razionale fratta di 3 grado Si hanno due casi 1 caso x 2-2 > 0 cioè x - 2 o x 2 In questo caso la funzione si può scrivere -1 y = (1) x 2 - x 2 Essa è definita per x 2 (Infatti per x = 2 la funzione presenta un punto di Infinito; x = 2 è un asintoto verticale) Inoltre essendo il lim y = 0 l'asse x (y = 0) è un asintoto orizzontale x Non ci sono né massimi, né minimi, né flessi La funzione è crescente per x 2 (però 2); decrescente per x caso x 2-2 < 0 cioè - 2 x 2 In questo caso la funzione si può scrivere 1 y = (2) x 2 + x - 2 Essa è definita per x 1 (infatti ad x = 1 corrisponde un punto all'infinito; x = 1 è un asintoto verticale) La curva non interseca l'asse x ma interseca l'asse y nel punto A (0 ; -1/2) La derivata prima mostra che esiste un massimo nel punto (-1/2 ; -4/9) Ci sono due punti di discontinuità in B ( - 2 ; - 2 / 2 ) e C ( 2 ; 2 / 2 ) 23

24 In entrambi i punti B e C, con ascisse - 2 e 2, la curva presenta due tangenti distinte con equazioni generiche y = m(x-x 0 ) + y 0 in cui m è il lim y essendo y la derivata delle (1) e (2) e x 0 e y 0 le coordinate x x 0 di B e di C, rispettivamente. B e C sono punti angolosi. y _ - 2-1/2 0 1 C 2 A x B RISOLUZIONE GRAFICA DI DISEQUAZIONI Quando si deve risolvere una disequazione f(x) > g(x) oppure f(x)< g(x) si trovano dei valori della x il cui corrispondente punto (x; f(x)) ha ordinata maggiore ( o minore ) del punto (x; g(x)). In altre parole il punto di coordinate (x; f(x)) si può trovare al di sopra (o al di sotto) del punto di coordinate (x; g(x)) Es Risolvere la disequazione x-1 x e x+1 > 1 x-1 1 che si può scrivere (se x 0 ) e x+1 > x Posto il 1 membro della disequazione uguale a f(x) ed il 2 membro uguale a g(x) risulta f(x) > g(x) Dai grafici delle due funzioni appare che tale disequazione è valida per x > 1 Il punto (-1;0) è un punto di discontinuità di 2^ specie f(x) y g(x) e f(x) (1;1) g(x) RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI EQUAZIONI ALGEBRICHE E TRASCENDENTI 24

25 Una equazione algebrica di grado superiore al secondo o trascendente (goniometrica, logaritmica, esponenziale ) è talvolta difficile da risolvere con esattezza, mediante calcoli algebrici. In questi casi ci si deve accontentare di una soluzione approssimata. Per fare questo occorre individuare un intervallo dell'equazione in cui ci sia una ed una sola soluzione dell'equazione stessa. Il teorema dell'esistenza degli zeri (v Teoremi delle funzioni continue) afferma che in una funzione continua in (a, b), se f(a) ed f(b) hanno segni opposti, di modo che sia f(a).f(b) < 0 esiste un punto c fra a e b tale che f(c) = 0. Cioè c sta sull'asse x ed essendo l'intersezione della curva che rappresenta l'equazione con l'asse x (y=0), rappresenta la soluzione cercata dell'equazione. Se gli intervalli fossero più di uno bisognerebbe separare i vari intervalli in modo che due estremi consecutivi abbiano i corrispondenti valori della funzione, uno positivo ed uno negativo, cosicché sia rispettata la condizione f(a). f(b) < 0 Per individuare gli estremi dell'intervallo (a, b) si può procedere graficamente, come nell'esempio che segue. Sia data l'equazione f(x) = x x 3 5 = 0 che si può scrivere x 4 = 5 3 x 3 da cui si possono y = 5 3 x 3 y = x 4 ricavare le due funzioni y = x 4 ed y = 5 3 x 3. I grafici delle due funzioni, tracciati per punti, si Intersecano ( le y sono =) in A la cui ascissa è compresa, come si vede dal disegno, tra 1 e 2, che sono gli estremi dell'intervallo cercato. _1 A Per trovare il valore dell'ascissa approssimata 0 di A, entro i limiti della precisione voluta, si possono adottare diversi metodi, tra cui il metodo di bisezione ed il metodo delle tangenti METODO DI BISEZIONE Individuato, come si è visto, graficamente, l'intervallo (a,b) in cui cade la soluzione c, dovendo essere f(a).f(b) < 0, la funzione può avere solo uno dei quattro andamenti rappresentati nelle figure seguenti Fig. 1 Fig. 2 Fig: 3 Fig. 4 Concavità verso l'alto: f "(x) > 0 Concavità verso il basso: f "(x) < 0 25

26 Il metodo di bisezione consiste nel calcolo del valore medio c i tra gli estremi di intervalli sempre più piccoli, calcolando, in corrispondenza di tali valori, quello della funzione f(c i ) che si avvicina sempre di più a zero, quanto più c i si avvicina a c. Il primo dei valori medi è c 1 = (a + b) / 2 da cui si calcola f(c 1 ) che potrà essere > o < 0. Per calcolare c 2 si dovrà scegliere, fra gli intervalli (a, c 2 ) e (c 2, b), quello ai cui estremi la funzione assume valori opposti come nelle figg Quindi nell'ipotesi che f(c 1 ) sia > 0 e che la funzione abbia l'andamento di fig 3, bisognerà scegliere l'intervallo (c 1, b) tra i cui estremi c'è il c cercato. Sarà perciò c 2 = (c 1 + b) / 2 e f(c 2 ) sarà più vicino a zero. Per calcolare c 3 si dovrà scegliere, tra i vari intervalli possibili, il più piccolo, che abbia però i relativi valori della funzione negli estremi dell'intervallo, di segno opposto. Il c n, cui corrisponde un valore f(c n ) prossimo allo zero, entro la precisione voluta, è la soluzione approssimata dell'equazione. Nel caso della funzione prima esaminata, la cui soluzione cade nell'intervallo (1, 2), l'andamento, essendo f(1) = -1 ed f(2) = 35 e la derivata seconda f "(x) > 0 per x>0 e quindi nell'intervallo (1, 2), è quello della fig 2. c 1 = 1,5 ed f(c 1 ) = 15,25 > 0..c 10 = 1,070 ed f(c 10 ) = -0,010 < 0 e così via fino alla precisione desiderata. M METODO DELLE TANGENTI Supponendo che la curva della funzione abbia l'andamento di fig 2, nell'intervallo (a, b), come nel disegno a fianco, S si scrive l'equazione della tangente alla curva nel punto c (b. f(b)). Ricordando che il coefficiente angolare della a T R N b tangente ad una curva in un punto (x 0, f(x 0 )) è la derivata prima della funzione in x 0, si può scrivere y = m (x x 0 ) + y 0 = f '(x 0 ). (x x 0 ) + f(x 0 ) (1) Ponendo y = 0 si trova l'ascissa x 1 del punto N di intersezione fra la curva e l'asse x Questa ascissa si trova con la formula, ricavata dalla (1) x 1 = x 0 - f(x 0 ) / f '(x 0 ) (2) che si può facilmente generalizzare in x n = x n-1 f(x n-1 ) / f '(x n-1 ) (3) Nota la x 1 si calcola la f(x 1 ), che è l'ordinata del punto P, ottenuto conducendo la verticale per N, e la f '(x 1 ). Dal punto P si procede come da M e si calcola x 2, ascissa di R, e quindi f(x 2 ), ordinata di S e f '(x 2 ), e così via. I valori delle x i sj avvicinano sempre di più a c, mentre l valori delle f(x i ) si approssimano a zero Nel caso dell'esempio già esaminato precedentemente, x 0 = 2 e f(x 0 )= 35.x 6 = 1,07099 e f(x 6 ) = 0,00065 La soluzione approssimata è molto simile a quella trovata con il metodo di bisezione. P 26

27 INTEGRALI AREA DEL TRAPEZOIDE f(b) y y=f(x) b - a x = = costante n f(x 1 ) f(a) x O a x 1 x 2 x n b x f(a) + f(x 1 ) f(x 1 ) + f(x 2 ) f(x n ) + f(b) S = x = f(a) f(b) = x + f(x 1 ) +..+ f(x n ) + = 2 2 f(a) + f(b) = x + f(x 1 ) f(x n ) 2 b a f(a) + f(b) n S = + Σ f(x i ) n 2 i = 1 INTEGRALE DEFINITO Il limite di S per n tendente all'infinito si definisce integrale definito della funzione y = f(x) nell'intervallo [a, b], si indica con il simbolo f(x) dx ed esprime l'area a compresa tra le rette x = a e x = b, la curva y = f(x) e l asse x y= ± r 2 - (x-1) 2 y y y a b x 1 1+2=0 y=f(x) - a b x 2 a b x y=f(x) L tra a e b del semicerchio 1 dà area positiva b area negativa un area positiva; quello tra a e b del a a f(x) dx dà un area negativa; f(x) dx dà invece un area positiva 27 b 2 dà un area negativa Quindi Per calcolare l area occorre quindi procedere come è detto al

28 b Calcolo di aree a pag. 31 La funzione f(x) si chiama funzione integranda; la variabile x si dice variabile di b integrazione; l'integrale f(x) dx è detto funzione integrale a La funzione integranda deve essere continua e non negativa nell'intervallo [a, b] Una funzione continua nell'intervallo [a, b] è integrabile in tale intervallo e viceversa Consideriamo ora la funzione f(t) continua x nell'intervallo [a, b] ; l'integrale f(t) dt è chiaramente una funzione di x Esso viene indicato con il simbolo S(t) ed è detto integrale definito, funzione del suo estremo superiore a y y = f(t) S(t) O a x b t TEOREMA DI TORRICELLI - BARROW x La derivata della funzione integrale S(t) = f(t) dt in un punto è uguale al valore che a la funzione integranda f(t) assume in quel punto cioè S ' (t) = f(t) e, più in generale, S ' (x) = f(x) FUNZIONI PRIMITIVE Infinite sono le funzioni che hanno come derivata una determinata funzione, cioè tutte quelle che differiscono, l'una dall'altra, per una costante c indeterminata Per cui si può scrivere x S (x) = f(x) dx = F(x) + c a Le infinite funzioni F (x) + c si chiamano primitive della funzione integranda data CALCOLO DELL'INTEGRALE DEFINITO L'integrale definito è uguale al valore che una primitiva assume all'estremo superiore dell'intervallo di integrazione diminuito del valore che tale primitiva assume nell'estremo inferiore b f(x) dx = F(b) - F(a) a 28

29 TEOREMA DEL VALOR MEDIO O DELLA MEDIA Data la funzione y = f(x) continua nell intervallo [a, b] e quindi integrabile, esiste almeno un punto c (valore medio), interno all intervallo, y per cui è cioè b f(x) dx = ( b - a ) f(c) f(b) y = f(x) a f(c) F(b) - F(a) = ( b a ) f(c) Derivando si ottiene f(b) - f(a) = ( b a ) f '(c) che è il teorema di Lagrange ( Vedi al Cap relativo) VALORE EFFICACE f(a) O a c b x Dicesi valore efficace di una funzione f(x), continua nell'intervallo [a,b], l'espressione b V eff [f(x)] = [1 / ( b-a ) ] [f(x)] 2 PROPRIETA' DELL'INTEGRALE DEFINITO a dx b - a 1^ 2^ 3^ b f(x) dx = - f(x) dx a b a b c d d f(x) dx + f(x) dx + f(x) dx = f(x) dx a b c a b b b f(x) dx ± g(x) dx = [ f(x) ± g(x) ] dx a a a 4^ b k f(x) dx = k f(x) dx a a b INTEGRALE DEFINITO CON UNO O ENTRAMBI GLI ESTREMI ILLIMITATI Se una funzione f(x) è definita in [ a ; + ) ed è integrabile in [ a ; b ] si pone + b f(x) dx = lim f(x) dx a b a Così pure per una funzione definita in ( - ; b ) o in ( - ; + ) si pone b b + b f(x) dx = lim f(x) dx e f(x) dx = lim f(x) dx - a - a - a - a b + Ovviamente i limiti devono esistere ed essere finiti 29

30 INTEGRAZIONE APPROSSIMATA Qualora non sia possibile, o sia troppo laborioso, il calcolo di un integrale con le note regole di integrazione, si può far ricorso ad uno dei metodi di calcolo approssimato, con le cosiddette formule di quadratura Formule dei rettangoli Data una funzione y = f(x), da integrare nell intervallo y y=f(x) (a,b), di cui non si è in grado di calcolare l integrale, se ne possono ottenere dei valori approssimati dividendo il suddetto intervallo in n intervallini uguali, di ampiezza (b a) / n, cioè ( x 0,x 1 ) ; ( x 1,x 2 ); ( x n-1,x n ), in cui x 0 = a e x n = b. Si calcolano quindi le aree dei due plurirettangoli, uno che contiene la curva, l altro sotto la curva,ottenuti y 0 y 1 y n-1 y n tracciando le relative ordinate y 0, y 1, y n-1, y n. O x 0 =a x 1 x n-1 x n =b x Tali aree forniscono due valori dell integrale, uno in eccesso ed uno in difetto, tanto più approssimati quanto più grande è il numero n. Si ha quindi b a f(x) dx [ (b-a) / n ]. (y 0 + y y n-1 ) b area del plurirettangolo esterno e a f(x) dx [ (b-a) / n ]. (y 1 + y y n ) area del plurirettangolo interno Un valore più vicino a quello esatto si può ottenere facendo la media dei due valori calcolati con le formule precedenti. Formula dei trapezi Si divide l intervallo (a,b) e si tracciano le ordinate y come descritto nel paragrafo precedente. Si indicano con A, P 1,. P n-1, B i punti in cui le P 1 P n-1 suddette ordinate incontrano la curva della funzione. P 2 Si uniscono poi nell ordine i punti A con P 1, P 1 con P 2 e infine P n-1, con B. A Si ottengono così dei trapezi le cui aree sono y 0 y 1 y 2 y n-1 y n O x 0 =a x 1 x 2 x n-1 x n =b [ (b-a) / n ]. [( y 0 + y 1 ) / 2 ] ; [(b-a) / n]. [ ( y + y ) / n ] La somma delle aree di tutti i trapezi dà un valore approssimato dell integrale, tanto più prossimo al valore vero quanto più grande è il numero n. E cioè b a f(x) dx [ (b-a) / n ]. { [(y o + y n ) / 2 ] + y 1 + y y n-1 }. B 30

31 CALCOLO DI AREE B y curva AB y = f 1 (x) A B BC y = f 2 (x) y = f 2(x) y = f 1(x) a c b CA y = f 3 (x) A S 1 S 2 C a b c x C S 3 L area del triangolo curvilineo ABC è b c a y = f 3(x) S = f 1 (x) dx + f 2 (x) dx + f 3 (x) dx = S 1 + S 2 + S 3 a b c Fissato sul contorno dell area il senso orario, partendo da uno qualsiasi dei punti di intersezione, si esegue la somma degli integrali definiti aventi: per estremo inferiore l ascissa del punto di partenza, per estremo superiore l ascissa del punto di arrivo, per funzione integranda l equazione della curva che rappresenta un lato del triangolo Analogamente si procede con figure diverse dal triangolo curvilineo. CALCOLO DI VOLUMI S(x) b B V = S(x) dx a x x b Es Volume di una piramide S(x) h a B = Area della base S(x) = B x 2 / h 2 h V = ( B x 2 / h 2 ) dx = (1/3) B h 0 31

32 CALCOLO DI VOLUMI DI SOLIDI DI ROTAZIONE S(x) Y Ogni sezione è un cerchio di area S(x) = π y 2 x b b y = f(x) V = S(x) dx = π y 2 dx a a (rotazione attorno all'asse x) a x b n x = g(y) V = π x 2 dy m (rotazione attorno all'asse y) CALCOLO DELLA LUNGHEZZA DI UN TRATTO DI CURVA PIANA L i = = x i Dato un tratto di curva piana AB, che rappresenta la funzione y = f(x) nell'intervallo [a, b], per mi- y surarne la lunghezza L si suddivide l'intervallo in B n parti, indicate con x i ; si indicano con y i gli incrementi relativi della funzione e con L i le lunghezze delle corde corrispondenti L i y i Per il teorema di Pitagora è A x i ( x i ) 2 + ( y i ) 2 1+[ ( y i ) / ( x i ) ] 2 x ed, essendo, per il teorema di Lagrange a b y i = f ' ( x i ) x i si ottiene L i = x i 1 + [ f ' ( x i )] 2 Poiché L n = L 1 + L L n b passando all'integrale si potrà scrivere L = 1 + [ f ' (x) ] 2 dx a Se la curva è rappresentata dalle equazioni parametriche x = x(t) e y = y(t) definite nell'intervallo (t 0, t 1 ) è b L = a [x ' (t)] 2 + [y ' (t)] 2 32 dt

33 TEOREMA DI GULDINO Superficie di rotazione Data una linea piana che effettua una rotazione completa attorno ad una retta complanare ma senza punti di contatto con essa, l'area della superficie generata dalla rotazione della linea è uguale al prodotto della lunghezza della linea per la lunghezza della circonferenza descritta dal suo baricentro G Indicando con L la lunghezza della linea, con R la distanza del suo baricentro dall'asse di rotazione e con S l'area della superficie, è S = 2 π R L G Es Si vuole calcolare la superficie laterale del tronco r 2 di cono rappresentato nella figura r 1 R Essendo L = ( r 2 r 1 ) 2 + h 2 asse di rotazione R = ( r 1 + r 2 ) / 2 L si ha r 1 + r 2 S = 2 π ( r 2 r 1 ) 2 + h 2 2 h Volume di rotazione Data una superficie piana che effettua una rotazione completa attorno ad una retta complanare ma senza punti di contatto con essa, il volume del solido generato dalla rotazione della superficie è uguale al prodotto dell'area della superfice per la lunghezza della circonferenza descritta dal suo baricentro Indicando con S l'area della superficie e con R la distanza del baricentro della superficie dall'asse di rotazione e con V il volume è V = 2 π R S Es Indicando con G il baricentro del triangolo equilatero della figura a lato, con λ il lato, con h = ( 3 / 2 ) λ l'altezza, con. h R = (1/3)h +d = ( 3 / 6 ) λ la distanza di G G dall'asse di rotazione, con S = ( 3 / 4) λ 2 l'area della superficie, il volume V è d λ, V = 2 π ( 3 / 6) λ ( 3 / 4) λ 2 = π λ 3 / 4 asse di rotazione R 33

34 TEOREMA DI ARCHIMEDE Tale teorema afferma che l'area di un segmento parabolico è uguale ai 2/3 di quella del rettangolo circoscritto Si può dimostrare con un esempio Sia data una parabola y = ax 2, una corda AB e il rettangolo ABCD, circoscritto al segmento parabolico delimitato da AB e dalla parabola, in cui, ovviamente, CD è parallelo ad AB e tangente alla parabola Supponiamo che le coordinate di A e B siano A(-2 ; 4a) e B(4 ; 16a) Allora AB = 6 1+4a 2 ; l'equazione della retta AB è y = 2ax + 8a con m = 2a ; l'equazione della retta CD è y = 2ax a ; BC è uguale alla distanza di B dalla retta CD e risulta 9a / 4a A D y B C L'area del rettangolo ABCD è pertanto = 54a O x L'area del settore parabolico è 4-2 ( 2ax + 8a ) dx + ax 2 dx = 36a che è appunto i 2/3 di 54 a -2 4 c.v.d. INTEGRALE INDEFINITO L'integrale indefinito di una funzione ( detta integranda ) è una funzione ( detta primitiva ) nota a meno di una costante e la cui derivata è la funzione integranda Si scrive f(x) dx = F(x) + c PROPRIETA' DELL' INTEGRALE INDEFINITO 1^ [ f(x) ± g(x) ± ] dx = f(x) dx ± g(x) dx ±.. 2^ k f(x) dx = k f(x) dx 34