La struttura V-A delle interazioni deboli

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1 Fenomenologia del Modello Standard Prof. A. Andreazza Lezione 1 La struttura V-A delle interazioni deboli

2 Violazione della parità nel decadimento del π Esperimento condotto immediatamente dopo l esperimento di Wu et al. che scoprì la violazione di parità nelle interazioni deboli: Garwin, Lederman, Weinrich, Phys. Rev (1957) Articolo 6. del libro di testo Osserva che lo spin del muone è polarizzato lungo la direzione del moto: Violazione della parità: Misura del coefficiente giromagnetico del µ Ripasseremo: Perdita di energia per collisione s µ p µ 0 Moto dello spin in un campo magnetico Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

3 L esperimento Fascio di pioni di energia cinetica 85 MeV. Fermati in un assorbitore di carbonio. Decadono in µν e il µ si arresta nell assorbitore successivo. Trigger: coincidenza del segnale del π nel contatore #1 e del µ nel #. Sappiamo quindi la direzione di p µ. Lo spin del µ precede nel campo magnetico del target. Elettroni dal decadimento del µ sono rivelati dai contatori #3 e #4 Coincidenza ritardata: delay=0.75 ms, gate=1.5 ms. L assorbitore seleziona elettroni E>5 MeV. Il rate dipende dal campo magnetico 3 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

4 Perdita di energia per collisione In questo esperimento, assorbitori di carbonio sono usati per: Arrestare i π del fascio Assorbire i µ del decadimento Selezionare l energia degli e Si sfrutta il processo di perdita di energia per collisione 4 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

5 Perdita di energia di particelle cariche Perdita di energia per collisione 5 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

6 Perdita di energia per collisione Processo continuo in cui una particella trasferisce energia agli elettroni del mezzo: Ionizzazione, eccitazione di livelli atomici Segue la legge di Bethe-Bloch: de dx Dove: = N A ε 0 z e Z 1 " 1 A β ln m e c β γ T max β δ ' # I ' I ~potenziale di ionizzazione del mezzo T max è la massima energia trasferibile ad un elettrone in collisioni elastiche: m T max = e c γ β 1+ γm e / M + (m e / M ) δ si indica come effetto densità: γβ δγβ / lnhω + lnγβ 1/ Dipende poco dal materiale: Il minimo varia tra 1- MeVg -1 cm p minimo 1/β Plateau relativistico 6 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

7 Misura di ionizzazione specifica (de/dx) In apparati moderni la perdita di energia per ionizzazione è misurata per identificare la massa della particella. Il problema è che il de/dx in uno spessore piccolo presenta grosse fluttuazioni: energia persa per urti con piccolo momento trasferito ha un comportamento quasi gaussiano; code dovute ad eventi rari, con alto momento trasferito ( coda di Landau ) È necessario ricorrere a misure multiple: riduzione delle fluttuazioni media troncata. La differenza tra i vari tipi di particella è significativa: a basse velocità, dove de/dx ~ 1/β nella regione della risalita, prima che si instauri l effetto densità si ha una regione di confusione attorno al GeV 7 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

8 Range Spazio percorso da una particella in un materiale: 0 dk R = de / dx E m (sovra)stima grossolana: K R =, K = ( γ 1)M de / dx min Molta energia viene rilasciata nella parte finale del percorso: Picco di Bragg In pratica si usano valori tabulati 8 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

9 Esercizio 1.1 Analisi dell apparato dell esperimento di Garwin, Lederman, Weinrich 1. Verificare il range in carbonio di pioni con K=85 MeV.. Qual è l energia cinetica del muone prodotto? 3. Qual è il suo range in carbonio? 4. Verificare che il range di elettroni da 5 MeV corrisponda allo spessore dell assorbitore. Tabelle di range per varie particelle e materiali su: Sezione Atomic Nuclear Properties 9 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

10 Misura della polarizzazione Si cerca la violazione della parità nelle interazioni deboli: Nel decadimento del π: <σ µ p µ > 0 ovvero lo spin del µ ha un orientamento preferenziale verso l alto o il basso della figura. Nel decadimento del µ: lo spettro di momento degli elettroni dipende dall angolo rispetto allo spin. Serve uno spettro differenziale: dn/dcosθ(σ µ,p ε ) ma il rivelatore di elettroni è in posizione fissa. Si sfrutta la precessione dello spin in un campo magnetico Come sottoprodotto si misura rapporto giromagnetico del muone. 10 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

11 Moto dello spin in un campo magnetico Il moto dello spin in un campo magnetico segue l equazione di Bargmann, Michel, Telegdi: dsµ dτ = µf µν s ν u µ µ " F νλ u ν s λ µ è il momento magnetico della particella: µ=g(eħ/m)(s/ħ) se si trascurano correzioni radiative g= per particelle di spin ½ e µ=µ 0 =eħ/mc µʹ è il momento magnetico anomalo: µʹ =µ-µ 0 Nel sistema di quiete il tetravettore s concide con il vettore tridimensionale di spin della particella: s = 0, ξ Nel caso di particella in quiete in un campo magnetico d ξ dt = µ ξ B Lo spin precede con frequenza angolare ω = µ B 11 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

12 Esercizio 1. Risultati dell esperimento di Garwin, Lederman, Weinrich Assumendo che la distribuzione degli elettroni nel decadimento del µ abbia l andamento: dn d cosϑ 1+ acosϑ 1. Calcolare il valore di a. Calcolare il fattore g del µ. 1 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

13 Misura dell elicità del neutrino L esperimento di Fraunfelder dimostrò che gli elettroni nel decadimento β sono sinistrorsi (art. 6.4). Non permetteva però di discriminare le ipotesi: Interazione S+T (es.: e ( 1+γ 5 )ν ) con neutrino destrorso. Interazione V-A ( eγ µ ( 1 γ 5 )ν ) con neutrino sinistorso Misurare l elicità del neutrino permette di risolvere queste ambiguità. Prima rivelazione del neutrino (Reines e Cowan, 1956) Raffinamento del metodo nel 1958 (art. 6.7) Misurare l elicità del neutrino senza misurare il neutrino Goldhaber, Grozdin, Sunyar, Phys. Rev (1958) Articolo 6.5 del libro di testo 13 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

14 Elicità del neutrino Catena di decadimento: Eu 15m (0 - ) ν h ν cattura elettronica Q=840 kev ê Eu Sm 15m 15* m z (Sm)=0,-h ν Sm 15* (1 - ) emissione γ E γ =960 kev ê Sm 15 (0 + ) Sm 15 γ h γ =-h ν γ Sm 15 Fotoni emessi lungo la direzione di volo del nucleo: h γ =h ν Hanno la stessa elicità del neutrino Sono più energetici 14 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

15 Apparato sperimentale Polarimetro Il ferro magnetizzato trasmette meglio fotoni con spin parallelo a quello degli elettroni Riassorbimento dell emissione gamma soppresso: Righe di emissione ed assorbimento leggermente spostate L effetto doppler del nucleo in movimento può compensare la distanza tra le righe. Richiede di trovare un decadimento in cui Q E γ. 15 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

16 Scattering risonante 16 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

17 Scattering Compton polarizzato Nel sistema di riferimento in cui l elettrone è in quiete: dσ dω = 1 r e " E # E 0 ' ( Φ 0 + Φ 1 + Φ ) ( E 0, k ) = ( E 0,0,0,E 0 ) γ e ( m e, 0 ) dove r e è il raggio classico dell elettrone: e 1 r = e.8 fm 4πε mc = e l energia E del fotone uscente è collegata all angolo di emissione θ dalla relazione: E 1 = E 1 + E / m 1 cosθ è la sezione d urto non polarizzata Φ 1 = sin θ cos φ Effetto della polarizzazione lineare: φ angolo azimutale tra direzione di scattering e polarizzazione del fotone e E E 0 Φ 0 = + E0 E 0 0 sin θ e e ( E, k!) = ( E,Esinθ cosφ,esinθ sinφ,e cosθ) γ 1 cosθ Φ = ξ ζ k cosθ + k! m e è il termine che ci interessa: ξ=±1 elicità del fotone ( E 0 + m e E, k k!) ζ=vettore di spin dell elettrone (ζ =1) Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

18 Elicità del neutrino: risultati Invertendo il campo magnetico: Canali A e C non mostrano cambiamento di rate Variazione osservata in B: δ = N N + = 0.017± ( N + N + ) (dopo aver sottratto il fondo non risonante) Atteso per elicità 100: δ = 0.05 <h ν >=-(68±14) Tenuto conto di effetti depolarizzanti, compatibile con 100 nel decadimento 18 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

19 Esercizio 1.3 Caratterizzazione esperimento di Goldhaber 1. Calcolare lo splitting tra l energia di emissione ed assorbimento del γ del Sm 15.. Confrontarla con la larghezza della transizione (τ s). 3. Calcolare la differenza relativa tra i coefficienti di assorbimento del polarimetro per fotoni delle opposte elicità. 19 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

20 Appendice IL DECADIMENTO DEL π Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

21 Il decadimento del π Il decadimento del pione carico è uno degli effetti più spettacolari della struttura vettoriale delle interazioni deboli....ed anche il test più accurato dell uguaglianza delle costanti di accoppiamente deboli ad elettrone e muone. In analogia con il decadimento del µ, possiamo scrivere l elemento di matrice come il prodotti di due correnti: dove l=e, µ. abbiamo scritto G l per indicare che il valore dell accoppiamento potrebbe dipendere dal tipo di leptone 1 M = 4G V * ud 0 dγ µ 1 1 γ ( 5)u π + 1 u ν ( p ν )γ 1 γ µ ( 5)v p Essendo un decadimento a due corpi la cinematica è completamente fissata ( s=m π ): ( p π = m π 0 )! p = # "! p ν = # " p 1 m π + m m π m π m m π = m π m m π p 1 n p 1 n Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

22 Il decadimento del π Il problema è definire l elemento di matrice della corrente adronica tra due stati non elementari. Possiamo però definirne almeno la forma generale: γ 5 non contribuisce alla reazione tra stati con spin 0; il termine con γ µ deve essere un vettore, e l unico vettore a disposizione è il momento del π. Di conseguenza deve essere + π µ ( 1 γ ) u π p µ 1 0 dγ 5 = f π f π viene talvolta chiamata ampiezza di dissociazione, in pratica rappresenta come possiamo passare da un processo a livello di mesone al processo fondamentale a livello di quark in diagrammi simili a quello presente nel decadimento. Analogamente esistono f K, f B... che hanno lo stesso ordine di grandezza. Da un punto di vista pratico, la larghezza di decadimento del π µν viene usata per misurare il valore di f π, essendo G (e V ud ) ricavabili da altre reazioni. dove f π ha le dimensioni di un energia ed il fattore di normalizzazione ½ è stato introdotto per accordarsi alle convenzioni standard in letteratura. Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

23 La corrente leptonica L elemento di matrice lo possiamo scrivere come il prodotto di due tensori: Siccome tornerà utile per il futuro, scrivamo l espressione di questi tensori: def. L ρσ = J ρ J σ = uν ( p ν )γ ρ 1 ( 1 γ 5)v ( p )v ( p )γ σ 1 ( 1 γ 5)u ν ( p ν ) spin M = 8G V ud " = Tr ( /p ν + m ν )γ ρ 1 1 γ 5 # " = Tr ( /p ν + m ν )γ ρ /p γ σ 1 1 γ 5 # " = Tr /p ν γ ρ /p γ σ 1 1 γ 5 # /p + m ( J had,σ J had,ρ ) J ρ σ J 1 ( 1 γ 5) γ σ 1 1 γ 5 " '+Tr m ν γ ρ /p γ σ 1 1 γ 5 # = ( p ρ ν p σ l + p σ ν p ρ l ( p ν p l ) g ρσ ) iε αρβσ p ν,α p l,β ' " '+Tr ( /p ν + m ν )γ ρ m γ σ 1 1+γ 5 # ' 1 ( 1 γ 5) ' 3 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

24 Il decadimento del π Calcolando il quadrato dell elemento di matrice, otteniamo: dove abbiamo il solito tensore leptonico. Nella contrazione con il momento del pione, la parte antisimmetrica del tensore leptonico si annulla, e rimane: Valutando nel sistema di quiete del π p π p si ottiene infine M = G Vud fπ pπ, µ pπ, ν L µν l [ ( p p )( p p ) m ( p p )] = 4G V fπ π l π ν π l M ud ( p π p ν ) m π ( p p ν ) " m = m π + m π # m π = 1 m m ( π m ) m π m m π " ' m m π + m π m # π m π m m π ( m m ) = G V fπ ml π l M ud " + m m π # m ' π ν ' ' 4 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

25 Tensore leptonico: µ-ν µ con polarizzazione Per il µ -, anziché mediare sugli spin, utilizziamo l identità: u ( p )u ( p ) = ( /p m )( 1+ /s γ 5 ) s = 0, ξ Ottenendo: L ρσ = u ν ( p ν )γ ρ 1 ( 1 γ 5)u ( p )u ( p )γ σ 1 ( 1 γ 5)u ν ( p ν ) " = Tr /p ν γ ρ 1 ( 1 γ 5) ( /p m )( 1+ /s γ 5 )γ σ 1 ( 1 γ 5) ' # " = Tr /p γ ρ ( /p m )( 1+ /s γ 5 )γ σ 1 ( 1 γ 5) ' # spostando a destra la γ " = Tr /p ν γ ρ ( /p m )( 1+ /s )γ σ 1 ( 1 γ 5 5) ' # " = Tr /p ν γ ρ ( /p m + /p /s m /s )γ σ 1 ( 1 γ 5) ' # " ρ = p ν ( p m s ) σ σ + p ν ( p m s ) ρ ( p ν ( p m s )) g ρσ ' iε αρβσ p # ν,α p m s In pratica, è equivalente a fare la sostituzione p p m s nell elemento di matrice. 5 nel sistema di quiete la traccia di un numero dispari di matrici γ è nulla β Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

26 Tensore leptonico: µ-ν µ con polarizzazione Per il µ +, bisogna tenere conto che vale invece l identità: v ( p )v ( p ) = ( /p + m ) 1+ /s γ 5 Ottenendo: L ρσ! ρ l = p ν ( p l + m l s l ) σ σ # + p ν ( p l + m l s l ) ρ p ν ( p l + m l s " l ) s = 0, ξ g ρσ nel sistema di quiete iε αρβσ p ν,α ( p l + m l s l ) β In pratica, è equivalente a fare la sostituzione p p + m s nell elemento di matrice. 6 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

27 Il decadimento del π (con polarizzazione) L elemento di matrice diventa: M = 4G V ud f π # p π p ( p π p ν ) m π ( p p ν ) M = G V ud f π ( p π p ν ) m π ( p p ν ) ( p π p ν ) m π m ( p ν s ) # p p π + m p π s ( '( Valutando nel sistema di quiete del π: dato che il leptone ha momento: il vettore di spin assume la forma: " p l = # s = 0, ξ E l = m π + m l m π tenuto conto che, per questo decadimento in due corpi: # p s = ξ ( ξ + m m π ) m m π m!" p l = m π m l m π # s = γβ n ξ n ξ n! nl ' ξ + γ 1 γβ = p, m ( ( '! n l = n n ξ # # p l p l ( γ 1= m π m ) m π m ( ' 7 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

28 Il decadimento del π (con polarizzazione) Abbiamo già calcolato ( p π p )( p π p ν ) m π ed il risultato è: ( p p ν ) = 1 m m ( π m ) ora valutiamo: m ( p π s )( p π p ν ) m π m ( p ν s ) " p ξ " m = m m π ' m π m π ' m m π m π m " p ξ + n ξ ( + m m π ) n ξ # m # m π m π # m m π m = m π ( p ξ ) m ( π m ) 1 m m # π ( π m ) ( p ξ ) + m π + m n ξ m π ( ' = ( n ξ # ) m ( π m ) m π m 1 m π m 1 m π + m ( = 1 ( n ξ )m m π m ' M = G V ud f π m m ( π m )( 1 n ξ ) ' Il µ + ha preferenzialmente lo spin opposto alla direzione di moto 8 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

29 Spazio delle fasi di due particelle Anche se questo conto è già stato fatto in altri corsi, lo ripetiamo scritto negli appunti, come riferimento. Sia un sistema con 4-momento P che si trasforma in due particelle con 4-momento p 1 e p : dφ = ( π ) 4 δ (4) ( P p 1 p ) d 3 p 1 d ( π ) 3 E 1 3 p ( π ) 3 E Essendo questo fattore invariante, possiamo calcolarlo nel sistema di riferimento del centro di massa, dove P = p p 1 p 1 ( s 0) s + m = 1 s + m = = m s m s p ( s ( m + m ) ) s ( m m ) p s n 1 n 1 L integrale sulla parte tridimensionale della delta dà: 3 1 d p1 dφ = δ s E1 E ( π ) 4E1E Esplicitando nell integrale il modulo del momento ed integrando sullo stesso usando l ultima delta, otteniamo: p 1 1 dφ = ( π ) δ s p 1 + m 1 p 1 + m 1 1 = ( π ) p 1 + p 1 E 1 E = 1 E 1 E 16π p 1 E 1 + E = 1 16π p 1 s dω p 1 dω 4E 1 E p 1 dω 4E 1 E dp 1 dω 4E 1 E 9 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

30 Larghezza di decadimento Infine, la larghezza di decadimento è data da: dγ( π + + ν ) = 1 m π = 1 m π M dφ G V ud fπ m m ( π m )( 1 n ξ ) nell integrale sull angolo solido, il prodotto scalare 1 16π p 1 s dω n ξ si cancella. tenuto conto che Γ( π + + ν ) = 1 m π = G V ud 8π p 1 s = m m π m π G V ud fπ fπ m m π m m m ( π m ) m π 3 1 m π m 4π m π ed il risultato è: = G V ud Γ π + + ν 8π fπ m π 3 m m π! 1 m # " m π 30 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

31 Appendice IL DECADIMENTO DEL µ Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

32 Il decadimento del µ Il decadimento del muone è il processo che definisce il valore di G F. In analogia con il decadimento del π, possiamo scrivere l elemento di matrice come il prodotti di due correnti 3 M = G F " u γ µ 1 γ " # ν µ ( 5 )u µ # u γ 1 γ e µ ( 5)u νe M = 8G F L e ρσ ( p νe, p e ) = g ρσ iεαρβσ p p νe,α e,β ( p νµ, p ) = µ p ρ νe p σ e + p σ νe p ρ e p νe p e L µ ρσ ( J µ,σ J µ,ρ ) J ρ σ e J e 1 = 4G F L ( ρσ p νµ, p ) Lρσ µ p e, p νe iεαρβσ p νµ,α p µ,β p ρ νµ p σ µ + p σ νµ p ρ µ ( p νµ p ) g ρσ µ media delle polarizzazioni del µ - Essendo un decadimento a tre corpi la cinematica non è completamente fissata: ( p µ = m µ 0! ) ( s = 0! ) ξ ( p e = E e E e n! ) e E e + E νe + E νµ = m µ ( p νe = E νe E νe n! ) ν e 0 E e, E νe, E νµ m µ ( p νµ = E νµ E νµ n! ) ν µ E e n! e + E νe n! ν e + E νµ n! ν µ = 0! Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

33 Il decadimento del µ La contrazione delle parti simmetriche: risulta in: g ρσ p ρ νe p σ e + p σ νe p ρ e p νe p e p µ p e! 8 p νe p "# ν µ p p + p p ( p νµ p ) g ρ µσ ν µ σ µρ ν µ µ ρσ + p νe p µ p ν µ p e La contrazione delle parti anti-simmetriche: ( iε αρβσ p α β νµ p ) iεαρβσ µ p p νe,α e,β = 8 δ α! α δ β! β δ β! α! ( α δ β ) p α νµ p β µ p p νe, α! e, β! p µ p e " = 8 p νe p # ν µ p νe p µ p ν µ p e ' M = 64G F ( p νe p )( µ p νµ p ) e 33 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

34 Il decadimento del µ Aggiungiamo lo spazio delle fasi per ricavare l espressione della larghezza di decadimento: dγ ( µ e ν e ν µ ) = 1 M ( π ) 4 δ (4) ( p m µ p e p νe p ) νµ µ d 3 p e ( π ) 3 E e d 3 p νe ( π ) 3 E νe Normalmente l elettrone è l unica particella osservabile, per cui siamo interessari a integrare sullo spazio delle fasi dei neutrini. È utile fattorizzare l elemento di matrice nella parte dipendente dal tetramomento dei neutrini e quello di µ ed e: dγ ( µ e ν e ν µ ) = = 1 1 m µ π 8G F m µ ( π ) p p 5 µ,α e,β 5 8G F ( p νe p µ )( p p ) δ (4) ( ν µ e p µ p e p νe p ) d 3 p e νµ E e d 3 p e E e p α νe p β νµ δ (4) ( p µ p e p νe p ) d 3 p νe νµ E νe d 3 p νµ ( π ) 3 E νµ d 3 p νe E νe d 3 p νµ E νµ d 3 p νµ E νµ 34 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

35 Il decadimento del µ: spazio delle fasi dei neutrini Nella scrittura della larghezza di decadimento è messo in evidenza il termine in cui compaiono I tetramomenti dei neutrini. L integrale di questo termine dà un tensore: I αβ = p α νe p β νµ δ (4) ( p µ p e p νe p ) d 3 p νe νµ E νe d 3 p νµ L unico parametro da cui dipende l integrale è il tetravettore q = p µ p e per cui la struttura di Lorentz di I αβ può contenere solamente termini del tipo g αβ e q α q β oltre a funzioni scalari di q. Tale integrale può venire scritto in forma del tutto generale come somma di due componenti ortogonali E νµ + B( g αβ q q α q β ) I αβ = A g αβ q + q α q β Per determinare A e B, diventa comodo calcolare separatamente: I αβ ( g αβ q + q α q β ) =1q 4 A I αβ g αβ q q α q β = 4q 4 B 35 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

36 Il decadimento del µ: spazio delle fasi dei neutrini I αβ ( g αβ q + q α q β ) =1q 4 A ( + ( p q ν e )( p q ν µ )) δ ( (4) q p νe p νµ ) d 3 p νe = q p νe p νµ Essendo il risultato uno scalare, si può calcolare in un sistema di riferimento a scelta. Il calcolo risulta molto semplice se si sceglie il sistema del centro di massa dei due neutrini, in cui:! q = # q " L integrale sulla delta tridimensionale dà: ( + ( p q ν e )( p q ν µ )) δ q E νe = q p νe p νµ! = q # E " νe + E ν e q e l integrale sulla delta dell energia risulta: E νe d 3 p νe δ ( q ( E q ) / E ) νe ν e = q E νe δ ( q / E ) de νe dω ν e νe E νe d 3 p νµ E νµ E νe de νe dω νe E νe p νe = E νe E νe n νe p νµ = E νe E νe n νe = q dω νe = q4 4π A = π 6 36 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

37 Il decadimento del µ: spazio delle fasi dei neutrini I αβ ( g αβ q q α q β ) = 4q 4 B ( ( p q ν e )( p q ν µ )) δ ( (4) q p νe p νµ ) d 3 p νe = q p νe p νµ E νe Essendo il risultato uno scalare, si può calcolare in un sistema di riferimento a scelta. Il calcolo risulta molto semplice se si sceglie il sistema del centro di massa dei due neutrini, in cui:! q = # q " d 3 p νµ E νµ L integrale sulla delta tridimensionale dà: ( ( p q ν e )( p q ν µ )) δ q E νe = q p νe p νµ " = q E # νe = 0 E ν e q d 3 p νe δ ( q ( E q ) / E ) νe ' ν e E νe E νe de νe dω νe E νe p νe = E νe E νe n νe p νµ = E νe E νe n νe quindi abbiamo: B = 0 e l integrazione dello spazio delle fasi dei neutrini dà il tensore: I αβ = π ( 6 gαβ q + q α q β ) 37 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

38 Il decadimento del µ: spettro di energia La larghezza differenziale diventa dunque: = 8G F dγ µ e ν e ν µ m µ π nel sistema di quiete del muone: p µ = m µ 0 p e = E e E e n e q = p µ p e = m µ E e E e n e 5 p µ,α p e,β d 3 p e E e Integrando quindi sull angolo solido: dγ ( µ e ν e ν µ ) = G F I αβ = G F! p 48m µ π 4 "( µ p e )q + p µ q ( p e q) # E de dω e e e ( p µ p e ) = m µ E e q = ( m µ E e ) E e = m µ m µ E e ( p µ q) = m µ ( m µ E e ) ( p e q) = E e ( m µ E e ) + E e = m µ E e 1m µ π m E 3 µ e 3m µ 4E e ' de e 38 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

39 Il decadimento del µ: larghezza totale Possiamo esprimere lo spettro in funzione del parametro adimensionale: L espressione diventa: x = E e E max = E e m µ 0 < x <1 ed integrando si ottiene: = G 5 m F µ dγ µ e ν e ν µ 96π 3 x 3 x ' dx = G 5 m F µ Γ µ e ν e ν µ 1 x 3 x 96π 3 ' dx 0 = G 5 m F µ 96π 3 " x 3 1 # x4 ' 1 0 = G 5 m F µ Γ µ e ν e ν µ 19π 3 39 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

40 Il decadimento del µ: polarizzazione Se consideriamo il vettore di polarizzazione del muone dobbiamo fare la sostituzione: La larghezza differenziale diventa dunque: ) G dγ ( µ e ν e ν µ ) = F ( p 48m µ π E de dω µ p e )q + ( p µ q) p e q ' + ( * 4 e e e m, + µ ( s µ p e )q + s µ q!! ( s µ p e ) = E e ξ ne p µ m µ s µ = m (! µ 1 ξ ) p µ = m µ 0!! ( s µ q) = E e ξ ne = G F 48m µ π m E 4 µ e de e dφ e d cosθ e 3m µ 4E e ( p e q) Prendendo come direzione dell asse z quella dello spin del µ, e integrando su φ e G dγ ( µ e ν e ν µ ) = F 4m µ π m E 3 µ e {( 3m µ 4E e ) + ( m µ 4E e )cosθ e }de e d cosθ e - +. ' (/ + { + ( m µ 4E e )! ξ n! e } Violazione di parità: prodotto di un vettore polare ed uno assiale. 40 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15

41 Il decadimento del µ: distribuzioni angolari Utilizzando il parametro adimensionale: L espressione diventa: = G 5 m F µ dγ µ e ν e ν µ La distributione angolare dipende dall energia dell elettrone Considerimo alcuni casi particolari: Integrando sull energia, si ottiene la distribuzione angolare media: Come si confronta con il risultato dell esperimento di Garwin, Lederman e Weinrich? Nel caso di massima energia dell elettrone: Corrisponde al risultato atteso per la struttura V-A delle interazioni deboli? Nel limite di x 0 la distribuzione diventa: Come si motiva questa distribuzione con la struttura V-A delle interazioni deboli? x = E e E max = E e m µ 0 < x <1 ( 19π 3 x 3 x) + ( 1 x )cosθ e ' dxd cosθ e dγ d cosθ e 1 cosθ e dγ d cosθ e cosθ e dγ d cosθ e cosθ e 41 Lezione 1- A. Andreazza - a.a. 014/15